2022年新高考數(shù)學(xué)數(shù)列經(jīng)典題型專題提升：第23講數(shù)列的新定義問題（解析版）

第23講數(shù)列的新定義問題一、單選題（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項(xiàng)之差并不相等，而是逐項(xiàng)差數(shù)之差或者高次差相等.對(duì)這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有一個(gè)高階等差數(shù)列，其前7項(xiàng)分別為1,5,11,21,37,61,95,則該數(shù)列的第8項(xiàng)為（ ）A.99 B.131 C.139 D.141【答案】D【分析】根據(jù)題中所給高階等差數(shù)列定義，找出其一般規(guī)律即可求解.【詳解】設(shè)該高階等差數(shù)列的第8項(xiàng)為x,根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項(xiàng)減去前一項(xiàng)得到一個(gè)數(shù)列，即得到了一個(gè)等差數(shù)列，如圖：1 5 11 21 37 61 95 %4 6 10 16 24 342 4 6 8 10 12fy-34=12 fx=!41由圖可得〈京，則[x-95=y[y=46故選：D（2021.北京?東直門中學(xué)高二月考）在一個(gè)數(shù)列中，若每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的乘積都同為一個(gè)常數(shù)（有限數(shù)列最后一項(xiàng)除外），則稱該數(shù)列為等積數(shù)列.｛q｝是等積數(shù)列，且％=2,公積為6,則4七5，。9…一%005,“2009的值是（ ）A.2502 B.3502 C.250-1 D.3503【答案】D【分析】根據(jù)等積數(shù)列定義可推導(dǎo)得到數(shù)列｛4｝的奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為2，由此可求得結(jié)果.【詳解】由等積數(shù)列定義可知：4%==…=41T4,=6,又牝=2,.?.%=%=2,由此推導(dǎo)可得：數(shù)列｛q｝的奇數(shù)項(xiàng)為3,偶數(shù)項(xiàng)為2;設(shè)等差數(shù)列｛々｝的首項(xiàng)為4=1,d=4,由1+4（〃-1）=2009得：〃=503,

TOC\o"1-5"\h\z..,G,,Gj,,?<^2009共有503項(xiàng)，（Z|'Gj-tig “2005,02009=3 .故選：D.（2021?江蘇蘇州?高三月考）若數(shù)列｛凡｝中不超過〃加）的項(xiàng)數(shù)恰為或（meN*）,則稱數(shù)列也｝是數(shù)列｛《,｝的生成數(shù)列，稱相應(yīng)的函數(shù)〃加）是數(shù)列血｝生成"｝的控制函數(shù).已知。“=2",且/（，〃）=m,數(shù)列｛〃“｝的前加項(xiàng)和S?,,若S,,,=30,則，"的值為（ ）A.9 B.11 C.12 D.14【答案】B【分析】絲3m=24-1）根據(jù)生成數(shù)列的定義，先求出超=2 （keN*）,然后分，"為偶數(shù)和奇數(shù)討論W（m=2k）即可求解.【詳解】解：由題意可知，當(dāng)m為偶數(shù)時(shí)，可得2〃4m,則〃“=￡；當(dāng)m為奇數(shù)時(shí)，可得2〃Wm-l,則,=等，所以久二2 （kwN*）,^（m=2k）則當(dāng)根為偶數(shù)時(shí)，Sm=bt+b2+---+bm=g（l+2+…+/n）—,則=30,因?yàn)閦neN",所以無解；4當(dāng)川為奇數(shù)時(shí)，北超+4+…+^^^…J+尸”匕券;寺人所以哼^。,因?yàn)闄C(jī)￡N*，所以機(jī)=11,故選：B.（2021?寧夏?六盤山高級(jí)中學(xué)高二月考（理））對(duì)于正項(xiàng)數(shù)列｛4｝,定義G.="+2%+M+…+叫為數(shù)列加“｝的，，勻稱值，，.已知數(shù)列｛4｝的“勻稱值，，為G.=〃+2,則該數(shù)列中的為等于（A-112BA-112B.—51019~9【答案】D【分析】由已知得4+抽+加+…+叫="（〃+2）,由此推導(dǎo)出a”=也〃，從而能求出生.n【詳解】解，..g=q+物+31+?.?+”,n數(shù)列｛q｝的“勻稱值”為3=〃+2,/.q+2a2+物+…+nan=n（n+2）,①二.幾.2時(shí),q+2a2+3%+...+（〃- =（〃-1）（〃+1），②①一②，得叫,=2〃+1,當(dāng)〃=1時(shí)，4=G|=3滿足上式，2/?4-1.?.%=丁’19：，%=飛?故選：D（2021?湖北黃石?高三開學(xué)考試）普林斯頓大學(xué)的康威教授發(fā)現(xiàn)了一類有趣的數(shù)列并命名為“外觀數(shù)列”，該數(shù)列的后一項(xiàng)由前一項(xiàng)的外觀產(chǎn)生.以1為首項(xiàng)的''外觀數(shù)列''記作A，其中A為1,11,21,1211,111221即第一項(xiàng)為1,外觀上看是1個(gè)1,因此第二項(xiàng)為11;第二項(xiàng)外觀上看是2個(gè)1,因此第三項(xiàng)為21；第三項(xiàng)外觀上看是1個(gè)2,1個(gè)1,因此第四項(xiàng)為1211，…，按照相同的規(guī)則可得A其它項(xiàng)，例如A為3,13,1113,3113,132113,...若A的第〃項(xiàng)記作4，4的第"項(xiàng)記作2,其中i,je[2,9],若c“=|a”—切，則｛%｝的前n項(xiàng)和為（ ）A.2n\i-j\ B.n（i+j） C.n\i-j\ D.【答案】C【分析】列出A；、4的前四項(xiàng)，觀察規(guī)律，即得.【詳解】由題得，4=i,a2=",%=llh\a4=31li,???,?,,=???/,4=j，b[=lj,b3=111/也=31Ij,…也=…j,由遞推可知，隨著〃的增大，?！昂?每一項(xiàng)除了最后一位不同外，其余各位數(shù)都相同，

所以％ ，:,｛c“｝的前〃項(xiàng)和為川”兒故選：C.（2021.貴州威寧?高一期末）對(duì)于數(shù)列｛4｝，定義匕=4+2%+…+2"4為數(shù)列｛4｝的“美值”，現(xiàn)在已知某數(shù)列｛q｝的“美值”匕=2川，記數(shù)列｛/-仞｝的前〃項(xiàng)和為5.，若九對(duì)任意的〃eN*恒成立，則實(shí)數(shù)/的取值范圍是（ ）1112~1112~5'~51811811TT'MIT'T【答案】c【分析】由匕=4+2%+…+2"["=2"*|,可得4+2/+…+2"-&=八2的進(jìn)而求得勺=2〃+2,所n以4一例=（2-。”+2可得｛?！耙磺惺堑炔顢?shù)列，由S"V小可得/-IOd0,au-lk<0,即可求解【詳解】由工=4+2/+…+2”‘可，=2"+|可得q+2%+…+2”-'“=〃x2"+’,n當(dāng)"=1時(shí)，％=4當(dāng)〃N2時(shí)q+加2+…+2〃_%_]=（〃-1）2〃，又因?yàn)?+2叼+…+2"t4=兩式相減可得：2n-'an=〃2向一（〃-1）2"=（〃+1）2",所以a“=2〃+2,顯然滿足<=1時(shí),4=4,所以。〃=2〃+2,neN*所以a.T〃=（2T）〃+2,可得數(shù)列應(yīng)一切｝是等差數(shù)列，由5?<九對(duì)任意的〃GN*恒成立，可得：?10-10f>0, 即可求解，B|J（2-r）xl0+2>0H（2-r）xll+2<0,24 11 r2411解得：所以實(shí)數(shù)r的取值范圍是—，y,故選：C（2021.全國.高三專題練習(xí)（文））對(duì)任一實(shí)數(shù)列｛4｝,定義，若△（網(wǎng),）=1,"18=fl2OI7=°，則?2021=（ ）A.1000 B.2000 C.2003 D.4006【答案】D【分析】根據(jù)定義可求出"的通項(xiàng)，從而可得%+"1，利用累加法可得4，再由/=%>"=。求出。2-4及4,即可求出生021.【詳解】由題意知，△（M,）=M1T-Aa“=l,所以Aa“是公差為1的等差數(shù)列，所以Aa“=△4+"-1,所以a”t-a0=a2-al+n-\,當(dāng)〃22時(shí)，。2—="2—“I，a3-a2=a2-?1+1,-ciy—a2—4+2，4_%=/_4+〃_2,將以匕各式兩邊對(duì)應(yīng)相加，得a“-q=（"-1）。2_（〃-1）。1+（"」："一2）,所以為=（〃-1）%-（〃-2）4+ 二2）,17%-16q+136=0由刈7=°，得Lz, 2016x2015八，解得『=16120，4=17136,2016/-2015。1+ =0所以a.]=2020x16120-2019x17136+^- =4006.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于讀懂題n,準(zhǔn)確把握的定義.（2021.江蘇?高二單元測(cè)試）對(duì)于數(shù)列｛玉｝若存在常數(shù)例>0,對(duì)任意的〃eN,恒有|x“+i-+k-X」+…+居-引4M,則稱數(shù)列優(yōu)｝為有界數(shù)列.記S?是數(shù)列｛4｝的前"項(xiàng)和,下列說法塔堡的是（ ）A.首項(xiàng)為1,公比為4（51<1）的等比數(shù)列是有界數(shù)列B.若數(shù)列｛%｝是有界數(shù)列，則數(shù)列｛S.｝是有界數(shù)列C.若數(shù)列｛，｝是有界數(shù)列，則數(shù)列｛x,｝是有界數(shù)列D.若數(shù)列｛q｝、他」都是有界數(shù)列，則數(shù)列｛。也｝也是有界數(shù)列【答案】B【分析】根據(jù)有界數(shù)列的定義，利用不等式放縮，可判斷A、C正確；設(shè)x.=l,〃wN*,可判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)數(shù)列｛a,,｝和數(shù)列也｝的有界性，用和來控制兄+也川也|，即可選項(xiàng)D.【詳解】解：對(duì)A:設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為｛4｝,則a“=q"T（|q|<l）,當(dāng)〃22時(shí)，IHqz_q"2\=\q'-2IIq-11,所以I%-a”l+la,,-%1+…+&-a/=|g|+…+|Wq-l|：J]，1-19I1-lgl即14+i1+14-4-11+…+a l<I"J,，I-。所以首項(xiàng)為1,公比為以"1<1）的等比數(shù)列是有界數(shù)列，故A正確；對(duì)B:事實(shí)上，設(shè)x“=l,〃wN*,則x“+1-x“=O,易知數(shù)列｛x,,｝是有界數(shù)列，而此時(shí)S.=〃，所以應(yīng)川-S,J+|S“-S/+…+|邑-號(hào)=〃，由〃的任意性，知數(shù)列⑸｝不是有界數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：因?yàn)閿?shù)列｛SJ是仃界數(shù)列，所以存正數(shù)M,對(duì)任意〃eN*有|S"+1-S.|+|s,-s"」+…+|S「S||4M,即kJ+|x」+…+|x|4M,于是+…+由-引4kM+2同+2k1+...+2同+|引42加+國,所以數(shù)列｛七｝是有界數(shù)列，故C正確；對(duì)D：若數(shù)列｛q｝、｛4｝都是有界數(shù)列，則存在正數(shù)M2,使得對(duì)任意”eN*,有|a?+l_fln|+|an-an-l|+，--+|a2-ai|^A^|S|%-"|+|￡-%+..+%一4|4蟆,又因?yàn)橥?|?！耙坏?+…+4_q+ai|^\an~an-l\+\an-l-an-2\+"-+\a2-ai\+\a｝\^Ml+|?1|同理,可得同4M2+間，所以|%加一凡”-a也a+a?bn+l-anbn\4〃+M+i-%|+同同+i-d4（M+|4|）|-—a“|+（M+同）爆i-々|，所以|。"+也+1-。也|+1”也-也_]|+…+|她一。四w（“2+|4|乂|。同--%|+…+1%-%|）+（M+|力）（|%-〃|+|〃-%|+…+|。2-eI）

<(m2+|^|)a/,+(m1+|o,|)M2,數(shù)列｛a也｝也是有界數(shù)列，故D正確.故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于讀懂題目，準(zhǔn)確把握“有界數(shù)列''的定義.(2021?湖南?長郡中學(xué)高二期中)對(duì)任一實(shí)數(shù)序列A=(q,%,%,…)，定義序列AA=3_q，4_"2嗎一色，…)，它的第"項(xiàng)為4+1-a”?假定序列的所有項(xiàng)都為1，且ai3==°，則a202\=( )A.1000 B.2000 C.2003 D.4006【答案】D【分析】AA是公差為1的等差數(shù)列，可先設(shè)出AA的首項(xiàng)，然后表示出AA的通項(xiàng)，再用累加法表示出序列A的通項(xiàng)，再結(jié)合%=。刈7=。求出AA的首項(xiàng)和A的首項(xiàng)，從而求出序列A的通項(xiàng)公式，進(jìn)而獲解.【詳解】依題意知AA是公差為1的等差數(shù)列，設(shè)其首項(xiàng)為通項(xiàng)為則包=a+(〃-l)xl=〃+a-l,于是4=4+Z(4+i-4)=4+WA=4+ Z -=?i+(〃-1"+ 由4+17。+136=04+17。+136=0解得a=^+2016?+2015x1008=0丁=。237=丁=。237=。,即aX2t=17136+2020x(-1016)+=4Go6.故選：D【點(diǎn)睛】本小題E要考查新定義數(shù)列的性質(zhì)，考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式以及通項(xiàng)公式.題目定義的數(shù)列為二階等差數(shù)列.高階等差數(shù)列的定義是這樣的：對(duì)于對(duì)于一個(gè)給定的數(shù)列，把它的連續(xù)兩項(xiàng)與4,的差4田-4記為2，得到一個(gè)新數(shù)列，把數(shù)列"稱為原數(shù)列的一階差數(shù)列，如果c"="+|-N=常數(shù)，則可為二階等差數(shù)列，可用累加法求得數(shù)列的通項(xiàng)公式.(2020?江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué)高二期中)幾位大學(xué)生響應(yīng)國家的創(chuàng)業(yè)號(hào)召，開發(fā)了一款應(yīng)用軟件.為激發(fā)大家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，他們推出了“解數(shù)學(xué)題獲取軟件激活碼”的活動(dòng).這款軟件的激活碼為下面數(shù)學(xué)問題的答案：已知數(shù)列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,其中第一項(xiàng)是2°，接下來的兩項(xiàng)是2°，2'，再接下來的三項(xiàng)是2°，2',22，依此類推.求滿足如下條件的最小整數(shù)N：N>55且該數(shù)列的前N項(xiàng)和為2的整數(shù)幕,那么該款軟件的激活碼是（ ）A.95 B.105 C.115 D.125【答案】A【分析】將數(shù)歹U按行排歹|J,第〃行和為？=1X0~2，，）=2"-1,前〃和為=2x（1~2，，）-n=2"+l-2-n,1-2 " 1-2把第N個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為N=W；"+前N和則為Tn=S?+d?=r+l-2-n+2?-l,進(jìn)而可得結(jié)果.【詳解】將數(shù)列排成行的形式11,21,2,42,4,8第”行為：2°,2',L,2"-',第〃行和為a“=筌/=2"-1,前"行共有地魯行個(gè)數(shù)，前〃和為S“=2x（l—2"）一"=2"”一2—“2 " 1-2第也+1行第加14m4凡+1）個(gè)數(shù)共有N個(gè)數(shù)，則m前N和為4=5.+4=2向-2一"+2/一1,若和為2的整數(shù)幕，則有2+UQ7V>55,.-.n>10,且“為奇數(shù)，當(dāng)”=11時(shí)，，”無整數(shù)解13x14當(dāng)九二13時(shí)，m=4f此時(shí)N== +4=952故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將數(shù)列按行排列，把第N個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為'=四#+帆，前N和則為Tn=S?+4=2"'-2-〃+2"-1,進(jìn)而問題變得簡單.本題考查了運(yùn)算求解和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，邏輯推理能力，屬于難題.（2021?山東?嘉祥縣第一中學(xué)高三期中）在進(jìn)行1+2+3+L+100的求和運(yùn)算時(shí)，德國大數(shù)學(xué)家高斯提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律n生成，因此，此方法也稱之為高斯算法.已知數(shù)列｛《,｝滿足則2m+4042a1+a2+---+a?1+2O2O=( )A.—+505 B.—+5052 4C.m+505 D.2m+505【答案】B【分析】利用倒序相加法得到2S="+產(chǎn)°,得到答案.【詳解】依題意，記S=q+%+…+4+2020，1 2 +2019m+2020IlliS= + +...+ + .人」2m+40422m+40422m+40422m+4042又5='"+2020+,"+2019+..+_2_+__1_兩式相加可得人2m+40422m+40422m+40422m+4042Q八〃口〃“JE__ m+202\m+2021 m4-2021 w+2021m4-2020TOC\o"1-5"\h\z2S= + +…+ + = ,2^+40422^+4042 26+40422m+4042 2故選：B.二、多選題（2021.全國?高二課時(shí)練習(xí)）在數(shù)列｛q｝中，若a：-a；i=p（n>2,〃wN*，p為常數(shù)），則｛q｝稱為“等方差數(shù)列下列對(duì)“等方差數(shù)列”的判斷，其中正確的為（ ）A.若｛《,｝是等方差數(shù)列，則忖｝是等差數(shù)列B.若｛凡｝是等方差數(shù)列，則｛n｝是等方差數(shù)列C.數(shù)列｛（-1）"｝是等方差數(shù)列D.若｛4｝是等方差數(shù)列，則&｝（hN*，1為常數(shù)）也是等方差數(shù)列【答案】ACD【分析】利用等方差的定義和等差數(shù)列的定義依次判斷即得.【詳解】對(duì)于A,｛4｝是等方差數(shù)列，可得。；一4=%（〃N2,"eN*,p為常數(shù)），即有帆｝是首項(xiàng)為裙，公差為p的等差數(shù)列，故A正確.對(duì)于B,例如：數(shù)列｛冊(cè)｝是等方差數(shù)列，但是數(shù)列"[不是等方差數(shù)列，所以B不正確.對(duì)于C,數(shù)列｛(-l)")中，說=[(-1)"]2-[(-if]2=0,(n>2,neN，),所以數(shù)列｛(-1)")是等方差數(shù)列，故C正確對(duì)于D,數(shù)列｛q｝中的項(xiàng)列舉出來是4,4，…，4,…?；?，…，數(shù)列｛%,｝中的項(xiàng)列舉出來是“*，，4*，…，因?yàn)椤猘kntk-l=akn<-k-l~。嬴?-2=…=~°kn=P'所以al.+k-a]=("：+*一 )+(a*+i-a：+A-2)+…+(4：+1一a：，)=即，[/《(“叫一°1=切,所以數(shù)列｛叫是等方差數(shù)列，故D正確.故選：ACD.(2021.江蘇?蘇州中學(xué)高二月考)已知數(shù)列｛《,｝中的前“項(xiàng)和為S.，若對(duì)任意的正整數(shù)〃，都有4S,,,則稱｛凡｝為“和諧數(shù)列”，下列結(jié)論，正確的有( )A.常數(shù)數(shù)列為“和諧數(shù)列”為“和諧數(shù)列”｛2〃+1｝為“和諧數(shù)列”D.若公差為d的等差數(shù)列｛4｝滿足：｛/+〃｝為"和諧數(shù)列”，則的最小值為-2【答案】BD【分析】根據(jù)給定“和諧數(shù)列''的定義，對(duì)各選項(xiàng)中的數(shù)列逐一分析計(jì)算即可判斷作答.【詳解】對(duì)于A,數(shù)列｛凡｝中，令a“=c(c為常數(shù))，Sn=nc,當(dāng)“0時(shí)，a3=c>2c=S2,此時(shí)的常數(shù)數(shù)列不為“和諧數(shù)列”，A不正確；對(duì)于B,數(shù)列｛4｝中，令。“=M，則S,=1-*，5”-4+|=1-￡一擊=1-3>0,即生”4S”成立，B正確；對(duì)于C,數(shù)列｛4｝中，令a“=2〃+l,S“=3+(_+l).〃=〃5+2),。2=5>3=耳，｛2〃+1｝不是“和諧數(shù)列”，C不正確;對(duì)于D,令〃,=4+”,則或+|-〃,=(a“+i+”+l)-(4,+")=d+l,數(shù)列｛%“｝是首項(xiàng)為4+1，公差為4+1的等差數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為，，則〃=(q+l)+(〃-l)(d+l),因｛々｝是“和諧數(shù)列"，于是有b”\ ,即有447],4+d+24q+l,從而得dV-l,

又b“.i=a]+l+n(d+l)<Tn=〃(q+1)+——^-(d+1),即(d+l)n2+(20]-1-3d)n-(2a,+2)20對(duì)〃6n”恒成立,若d=—1,則有(4+NO對(duì)〃仁n,恒成立，必有4+1W0,即qN-l,at+d>-2,因此(q+d)En=-2,若d<T,則3+l)n2+(2a,-1-3d)n-(2a,+2)對(duì)應(yīng)的是開口向下的拋物線y=(d+l)/+(24-1-3d)x-(2q+2)在x取正整數(shù)時(shí)的函數(shù)值，由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)正整數(shù)〃足夠大時(shí),3+1)"2+(24-1-3")〃正2%+2)的值是負(fù)數(shù),(d+l)n2+(2Oj-l-3d)n-(2a,+2)>0不成立,從而只有d=-l,且《NT,4+〃的最小值為-2,D正確.故選：BD(2021.全國.高二單元測(cè)試)設(shè)數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為S.，若存在實(shí)數(shù)a,使得對(duì)于任意的都有|5」<A,則稱數(shù)列｛4｝為“T數(shù)列”.則以下數(shù)列｛4｝為“7數(shù)列”的是()A.｛4｝是等差數(shù)列,且q>0,公差d<0b.｛4｝是等比數(shù)列，且公比《滿足w<iJ“n(n+l)2n+lD.4=1,an+2+(-iy'a?=O【答案】BC【分析】求出數(shù)列的前〃項(xiàng)和5.，然后判斷對(duì)|S“|,有無正實(shí)數(shù)A,使得|S,,|<A成立.【詳解】A中，若｛4｝是等差數(shù)列，4>(),公差d<0,則S" ，是關(guān)于〃的二次函數(shù)，當(dāng)〃 時(shí)，聞T+oo,對(duì)于不存在實(shí)數(shù)A,使得國<A恒成立，所以數(shù)列｛%｝不是“7■數(shù)列”.B中，若｛aj是等比數(shù)列，且公比q滿足回<1,則國=q則國=\—q1-q所以數(shù)列｛4｝是“T數(shù)列n+2 _1 15"，C=“（〃+i）2"M=壽一（〃+1>2向，|l）|L：J，'S,,l=|lx2l_2x22+2x22-3x23+'"+n-2n-（n+l）-2"",=1-―!-1<1,2（n+l）-2n+l|2則數(shù)列｛a“｝是”7數(shù)列D中,在數(shù)列｛4｝中,4=1,―+（T）"4=0,當(dāng)”是奇數(shù)時(shí),4+2-”"=0,數(shù)列｛《,｝中奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成常數(shù)列，且各項(xiàng)均為1；當(dāng)〃是偶數(shù)時(shí)，a?t2+a?=0,即任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)和為0,則對(duì)于任意的”eN*,S4“=2〃，不存在實(shí)數(shù)A,使得|S,J<A恒成立.所以數(shù)列｛4｝不是“T數(shù)列”.故選：BC.（2021?全國?高二課時(shí)練習(xí)）記數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為5.，若存在實(shí)數(shù)”，使得對(duì)任意的〃eN*,都有|S，k”,則稱數(shù)列｛q｝為“和有界數(shù)列下列說法正確的是（ ）A.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，且公差"=0,則數(shù)列｛g｝是“和有界數(shù)列”B.若數(shù)列｛凡｝是等差數(shù)列，且數(shù)列｛q｝是“和有界數(shù)列“，則公差d=OC.若數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，且公比《滿足|a<1,則數(shù)列｛《,｝是”和有界數(shù)列“D.若數(shù)列｛叫是等比數(shù)列，且數(shù)列｛凡｝是“和有界數(shù)列”，則公比q滿足【答案】BC【分析】利用給定定義結(jié)合等差數(shù)列前〃項(xiàng)和對(duì)選項(xiàng)A,B并借助一次、二次函數(shù)性質(zhì)分析判斷：結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和對(duì)選項(xiàng)C并借助［g"|<1即可推理判斷，舉特例判斷選項(xiàng)D作答.【詳解】若數(shù)列｛q｝是公差為d的等差數(shù)列，則S?=叫+"（"”=+回_多〃，當(dāng)”=。時(shí)，若4W。，則S.=a「〃，S”是〃的?次函數(shù)，不存:在符合題意的“，A錯(cuò)誤；數(shù)列｛4｝是“和有界數(shù)列“，“id/0時(shí)，S.是"的二次函數(shù)，不存在符合題意的行d=0,q=o時(shí)，存在符合題意的，，B正確；若數(shù)列｛4｝是公比為4（4#1）的等比數(shù)列，則，=幺32,因夕滿足時(shí)<1,則1仃<1,即|1-如<2,l5nl=I^IH-9" 則存在符合題意的實(shí)數(shù)”，即數(shù)列｛《,｝是”和有界數(shù)列“，C正確：若:等比數(shù)列｛4｝是“和仃界數(shù)列“，當(dāng)4=-1時(shí)，若〃為偶數(shù)，則5“=0,若"為奇數(shù)，則S“=q,即|Sj=|q|,從而存在符合題意的實(shí)數(shù)"，D錯(cuò)誤.故選：BC（2021?廣東天河?高三月考）在數(shù)列｛q｝中，若M-向=P（n>2,ne/V\P為常數(shù)），則稱數(shù)列｛《,｝為“開方差數(shù)列“，則下列判斷正確的是（ ）A.｛32"｝是開方差數(shù)列B.若｛4｝是開方差數(shù)列，則｛4｝是等差數(shù)列C.若｛q｝是開方差數(shù)列，則｛%｝也是開方差數(shù)列（kN*,k為常數(shù)）D.若｛4｝既是開方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列【答案】CD【分析】根據(jù)開方差數(shù)列、等差數(shù)列的定義判斷J尹一存百、4-4t是否為常數(shù)即可判斷A、B止誤；C由 -Qa“_i=Qcin+i_ =...=（a2n-J%”_1=P，應(yīng)用累加法求得向，-^^=即,即可知正誤；口令《,-。"_|=機(jī)，"?為常數(shù)，易得m=P（瓦+揚(yáng)二"），結(jié)合開方差數(shù)列定義求證｛“"｝是否為常數(shù)列.【詳解】A：件7一，325T>=3"-3"T=2.3"T,故｛3"'｝不是開方差數(shù)列，錯(cuò)誤；B： =（瘋+向?）（瘋一北二"）=P（瘋+7^="）不一定為常數(shù)，錯(cuò)誤；c日一向7=向，日=向7->t=“=H-庖7=。，所以（五一阮）+（向丁>R）+（向\\/^二）+?“+（向一扃1=百一阮7=切為常數(shù)，即向一Mg）=3為開方差數(shù)列,正確；D：由題意，一夜二'=「且=機(jī)，，”為常數(shù)，則m=P（向'+日二'），所以見P*。時(shí)如+歷為常數(shù),則｛4｝為常數(shù)列，當(dāng)以P=。時(shí)，=??->，則｛4｝也為常數(shù)列,正確.故選：CD

17.（2021.江蘇.高二專題練習(xí)）在數(shù)列17.（2021.江蘇.高二專題練習(xí)）在數(shù)列｛4｝中，對(duì)任意〃eN*,都有數(shù)），則稱｛4“｝為”等差比數(shù)列下面對(duì)”等差比數(shù)列”的判斷正確的是（ ）=k(k為常=k(k為常B.等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列;C.等比數(shù)列一定是等差比數(shù)歹IJ；D.通項(xiàng)公式為q=。0+。（"0,30,1）的數(shù)列一定是等差比數(shù)列【答案】AD【分析】A選項(xiàng)利用反正法即可判斷，B、C選項(xiàng)舉出反例即可判斷，D選項(xiàng)按照新定義證明即可判斷.【詳解】A選項(xiàng)：若k=0,則數(shù)列｛““｝是常數(shù)列，所以分母為0,因?yàn)閗不可能為0,故A正確；B選項(xiàng)：當(dāng)?shù)炔顢?shù)列是常數(shù)列時(shí)，分母等于0,不成立，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：當(dāng)?shù)缺葦?shù)列是常數(shù)列時(shí)，分母等于0,不成立，故C錯(cuò)誤：D選項(xiàng)：因?yàn)椋?"力"+。（。片0,6m0,1）,abn+'(b-\)

ab"[b-\)="為常數(shù)，是等差比數(shù)列，故D「abn+'(b-\)

ab"[b-\)="為常數(shù)，是等差比數(shù)列，故D所'a-b"+'+c-(a-b"+c^ a-b"*'-a-b"正確,故選：AD.18.（2021?江蘇?高三專題練習(xí)）在數(shù)列｛““｝中，若4-43=。（〃22,〃€”,。為常數(shù)），則｛斯｝稱為“等方差數(shù)列”，下列對(duì)”等方差數(shù)列''的判斷，其中正確的為（ ）A.若｛為｝是等方差數(shù)列，貝ij｛a/｝是等差數(shù)列B.若｛斯｝是等方差數(shù)列，則是等方差數(shù)列C.｛（-1）"｝是等方差數(shù)列D.若｛a,,｝是等方差數(shù)列，貝（kGN*,k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列【答案】ACD【分析】利用等方差的定義和等差數(shù)列的定義逐個(gè)進(jìn)行演算，能夠推出B不正確，其余的都正確.【詳解】對(duì)于A中，數(shù)列｛3｝是等方差數(shù)列，可得。；一。3=。（〃22,〃€，/為常數(shù)），即有｛4｝是首項(xiàng)為不，公差為d的等差數(shù)列，故A正確；對(duì)于B中，例如：數(shù)列｛〃｝是等方差數(shù)列，但是數(shù)列｛〃｝不是等方差數(shù)列，所以8不正確;對(duì)于C中，數(shù)列｛(一1)"｝中，a；-a^=[(-I)"]【答案】；，0,(答案小唯一)【分析】(1)根據(jù)新定義直接寫出答案即可；(2)設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合新定義得到數(shù)列｛4｝【答案】；，0,(答案小唯一)【分析】(1)根據(jù)新定義直接寫出答案即可；(2)設(shè)出等差數(shù)列的公差，結(jié)合新定義得到數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式，然后求解由⑼即可.【詳解】a,+a?=0 i i i i i(1)寫出一個(gè)滿足條件1M-」I1的數(shù)列即可，如;，0,-;或I，-：，-7(答也|+網(wǎng)+電|=1 2 2 2 4 4案不唯一)；解法一：設(shè)等差數(shù)列外叼，4,…,%M(*l)為2八1階''期待數(shù)列"，公差為d(d>0),所以數(shù)列｛(-1)”｝是等方差數(shù)列，故C正確：對(duì)于。中，數(shù)列｛”“｝中的項(xiàng)列舉出來是：q,4,…，4,…,為I，…，數(shù)列｛為卜中的項(xiàng)列舉出來是《，生*，4，L，因?yàn)?a*+i2-a?)=(at+22-a*+r)=...=<12?-aur=p所以(at+12-a*2)+(at+z2-at+12)+...+(aa2-ait.12)=kp所以刖+J-a?“2=kp,所以，數(shù)列｛以?｝是等方差數(shù)列，故O正確.故選；ACD.【點(diǎn)睛】與數(shù)列的新定義有關(guān)的問題的求解策略：1、通過給出一個(gè)新的數(shù)列的定義，或約定一種新的運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)新問題的情景，要求在閱讀理解的基礎(chǔ)上，依據(jù)題目提供的信息，聯(lián)系所學(xué)的知識(shí)和方法，實(shí)心信息的遷移，達(dá)到靈活解題的目的；2,遇到新定義問題，應(yīng)耐心讀題，分析新定義的特點(diǎn)，弄清新定義的性質(zhì)，按新定義的要求，“照章辦事”，逐條分析、運(yùn)算、驗(yàn)證，使得問題得以解決.三、雙空題(2021?全國?模擬預(yù)測(cè))定義：記滿足下列兩個(gè)條件的有窮數(shù)列q,…,a”(〃=23,4,…)為〃階''期待數(shù)列''.①4+/+%+…+4=。；②同+同+|聞+…+㈤=1?試寫出一個(gè)3階“期待數(shù)列“；若2021階“期待數(shù)列”｛%｝是遞增的等差數(shù)列，51^2021=Va,+a,+<z3+???+a2I+l=0,二(2Z+l)q+ =0,at+kd=0,即％“=0,...%+2=d(等差數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用)，d>0,a*+i=。，，％+2+4+3+…+。2￡+1=3(根據(jù)數(shù)列遞增及4+1=。而得)，...5+女伏T)"=L即"=島^,2 2我6+1)由樂二°得《+冊(cè)=°,即《=一告’1 ,n1 n1「 = +(〃-1)-7 r=—7 r—一."it+1、 〃(4+1)火化+1)k，令兼+1=2021,解得k=1010,. n 1_ 2021 __1 2021-1011 1""a"~1010x1011-1010*以%-I010X10111010-1010x1011-WH解法二：設(shè)等差數(shù)列｛4｝的公差為"，則%+4+4+…+生⑼=2021a,+2。21；2020a=。，即q+1010d=0,即須”=0.由等差數(shù)列的性質(zhì)，得幺節(jié)以=生受亞=…=q?！?0.因?yàn)閿?shù)列｛4｝為遞增數(shù)列，聞+同+EI"1 bkaM=1,所以q+4+為■( ^^1010=—>TOC\o"1-5"\h\zB|J1010a,+l0l0xl009J=--,將q+1010d=0代入，解得d= 5 ,2 2 1011x1010所以W皿=即,“+(2021-1011)d=0+1010x ? =」一.2021 ,0"、 ' 1011x10101011故答案為：；，0,(答案不唯一)；—?/ 2 1011(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí))對(duì)于數(shù)列㈤｝,若任意肛〃gN*(〃〃)，都有今言(r為常數(shù))成立，則稱數(shù)列｛4｝具有性質(zhì)(1)若數(shù)列｛?！保耐?xiàng)公式為?！?3",且具有性質(zhì)。(r),貝打的最大值為；(2)若數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為a“=〃-?，且具有性質(zhì)。(9),則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.【答案】6 [16,飲)【分析】(1)設(shè)加＞〃，可得:TT/nN3"-僅對(duì)任意，％"wN”(加＞〃)恒成立，即。=3"一5是單調(diào)遞增數(shù)列，由心,-220恒成立可求；(2)由題得組二%=1+又-29恒成立，即可求出.tn-nmn【詳解】(1)由題可得對(duì)任意北〃恒成立.m-n不妨令m>〃,則3"'-3"2加-5，即3'"一5123"-仞對(duì)任意”?，〃62(加>〃)恒成立.令4=3"-例，貝I]bntl-bn=2x3"-t>0時(shí)任意〃eN.恒成立，.-.Z<(2x3n)=6,即，的最大值為6.a(a)(2)由題得冊(cè)-凡m(n),a、c對(duì)任意以〃eN(加工〃)恒成立，m—n m—n mnBPa>8/77/?>8x2x1=16,故。的取值范圍為[16,+oo).故答案為：6；[16,4^).(2021?湖北?漢陽一中模擬預(yù)測(cè))牛頓選代法又稱牛頓一拉夫遜方法，它是牛頓在17世紀(jì)提出的一種在實(shí)數(shù)集上近似求解方程根的一種方法.具體步驟如下：設(shè)>是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)零點(diǎn)，任意選取七作為『的初始近似值，過點(diǎn)&,/&))作曲線產(chǎn)/(力的切線乙，設(shè)4與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為為，并稱占為/■的1次近似值；過點(diǎn)(不，/(xj)作曲線y=/(x)的切線12,設(shè)4與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為稱％為八的2次近似值.一般的，過點(diǎn),))(〃eN)作曲線尸="x)的切線/向，記心與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為X"”，并稱X"+i為r的”+1次近似值.設(shè)/(司=/+X-1(X20)的零點(diǎn)為r,取Xo=O,則r的2次近似值為；設(shè)%= 尸:'"eN",數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)積為?；?若任意恒成立，則整數(shù)義的2x“+1最小值為.3【答案】4 24【分析】(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，依次求出切點(diǎn)、斜率、斜線方程，即可得出結(jié)果.(2)由(I)可得/+|=務(wù)士1,進(jìn)而可得勺4=；,即可得出結(jié)果.【詳解】f(x)=x3+x-l,f\x)=3x2+lx?=0,/(x0)=-1,/'(0)=1,所以4:y-(-l)=xny=x-l當(dāng)y=0=>X1=l,/(l)=l,/⑴=4,所以/?：yT=4(f=y=4x-33當(dāng)y=o=>W=4/(x?)=x?3+xn-l,/'(x?)=3xl,2+l、 2x3+4：y一(X二+x“-1)=(3x；+l)(x-x?)=>x“+|=-y-3x；+x 2x2+1 1'x“ 3x：+x“anx.+iX,,x3X,x,I+1因?yàn)棰?gt;°n；<x"+i<lnl<L<2所以，丸為整數(shù)，4in=23故答案為：:；24【點(diǎn)睛】or3J-1 3r3+r X1關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由天討=廣一和％=牛沖，觀察得出」曰=一是本題的關(guān)鍵.本題考查了3七+12xn+1 xnan運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，屬于一般題目.(2021?全國?高二課時(shí)練習(xí))數(shù)列｛q｝的前"項(xiàng)和為S"，定義｛凡｝的“優(yōu)值”為““=q+2/+…+2”4,現(xiàn)已知｛凡｝的“優(yōu)值”=2"，則/=S?=.n【答案】"+1 」——L2【分析】根據(jù)=2"列出等式，以〃-1代”得到另一個(gè)等式，兩式作差可求得〃22時(shí)的％,再瞼證〃=1即可:利用等差數(shù)列的前“項(xiàng)和公式求解出S.即可.【詳解】因?yàn)?,,=2",所以4+2%+…+2"%=2"，所以4+2/+…+2"-&=小2”,n當(dāng)〃22時(shí)，q+24?+ 1-2"'an_\=(/i—l)-2n1,兩式作差可得:2n-'an=(n+l)2"-1,所以4=〃+1,當(dāng)〃=1時(shí)，耳=牛=2,所以q=2,符合〃22的情況，所以=〃+1；因?yàn)?,=〃+1,所以｛%｝是首項(xiàng)為2,公差為1的等差數(shù)列，所以s.=史普=曾1，故答案為：〃+1：%型.2四、填空題（2020.江蘇.江陰市成化高級(jí)中學(xué)高二月考）對(duì)于數(shù)列｛%｝,規(guī)定｛△”,,｝為數(shù)列｛q｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中心“=4向-%（〃€%*）,對(duì)自然數(shù)4（422）,規(guī)定｛△%｝為數(shù)列｛4｝的左階差分?jǐn)?shù)列，其中△-。/△-。"「△"?”.若囚之，且^/一4^+4=二乂〃^^）,貝IJ數(shù)列｛??）的通項(xiàng)公式為%=.【答案】n-2"-'【分析】根據(jù)&階差分?jǐn)?shù)列的定義，結(jié)合已知條件等式可得$-券=1,寫出｛券｝的通項(xiàng)，進(jìn)而可得｛〃,,｝的通項(xiàng)公苴.【詳解】由題設(shè)，知：（M“+i-A?！保?△a“+i+an=2。n-。“+|=-2",二紫-券=1，即｛告｝為首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，二3=1+（〃-1）=",即a"=〃.2"T（〃wN）故答案為：〃.2"T.（2021.河南三門峽.高三月考（理））在數(shù)列｛外｝中，如果對(duì)任意〃22（〃wN）,都有---（k為常數(shù)），則稱數(shù)列｛2｝為比等差數(shù)列，出稱為比公差.則下列結(jié)論：①等PnPn-\比數(shù)列一定是比等差數(shù)列；②等差數(shù)列一定不是比等差數(shù)列：③若4=〃!，則｛4｝是比等差數(shù)列，且比公差為1;④若數(shù)列｛4｝是公差不為零的等差數(shù)列，｛〃,｝是等比數(shù)列，則數(shù)列｛/也,｝一定不是比等差數(shù)列.其中正確的有.（填序號(hào)）【答案】①@④【分析】根據(jù)數(shù)列的新定義，由比等差數(shù)列的定義：對(duì)任意〃22（〃eN*）,都有心-4=&（%為PnPn-\常數(shù))，對(duì)各個(gè)命題逐一分析判斷即可得出答案.【詳解】解：對(duì)于①，設(shè)等比數(shù)列｛凡｝的公比為9，#0,所以等比數(shù)列一定是比等差數(shù)列，故①正確；對(duì)于②，若4=1,則數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則乎-廣=°,則此等差數(shù)列為比等差數(shù)列，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，?！?〃!，則%L="+l，&=",an an-i所以幺*---=7?+l-n=l,anan-\所以｛《,｝是比等差數(shù)列，且比公差為1,故③正確；對(duì)于④，設(shè)數(shù)列｛(｝的公差為d,d#o,數(shù)列｛〃,｝的公比為q，qx。，則4=a｝+(〃-l)d也=L'，則。向也“_a“也=(4+〃d)g_'anbnan.\bn-\ q+(〃-2)d_a^+ndfl]+(?-))(/%+(n-l)Jq+(〃_2)d qd?-qd2因?yàn)槎二不是定俗.，所以數(shù)列｛%?〃｝?定不是比等差數(shù)列,故④正確.故答案為：①(③④.(2021?江蘇?高二單元測(cè)試)取出數(shù)列｛%｝,(〃24)的任意連續(xù)四項(xiàng)，若其中奇數(shù)項(xiàng)之和，偶數(shù)項(xiàng)之和均為同一個(gè)常數(shù)力(如連續(xù)四項(xiàng)4，%，?3，%,滿足4+4=4+4=〃)，則稱數(shù)列｛%｝,(〃24)為錯(cuò)位等和數(shù)列，其中常數(shù)〃是公和.若S"表示｛(｝的前"項(xiàng)和，有如下命題：(1)若一個(gè)等差數(shù)列是錯(cuò)位等和數(shù)列，則??=?.；(2)若一個(gè)等比數(shù)列是錯(cuò)位等和數(shù)列，則S“=日；(3)若則錯(cuò)位等和數(shù)列一定是最小正周期為4的周期數(shù)列;(4)在錯(cuò)位等和數(shù)列(4)在錯(cuò)位等和數(shù)列｛4｝中，力=5，且。233+“234=6,若〃是偶數(shù)，則S“=J10k-4,〃=軟-2110k,”=4%其中，真命題的序號(hào)是【答案】(I)(2)(3)(4)【分析】在(1)(2)中根據(jù)等差、等比數(shù)列的性質(zhì)即可知｛4｝為常數(shù)數(shù)列，即可判斷正誤；由?4?-3+?4?-1=?4n-2+?4n=?4?-1+?4n+lW?4?-2=?4n+21結(jié)合已知即可判斷正誤；由(3)的結(jié)論及已知得4+6=6、q+?2+4+%=1。即可得S”,進(jìn)而可知正誤.【詳解】(1)山。|+03=%+4=/7得d=。，即｛《,｝為常數(shù)數(shù)列，所以4=4正確；(2)由4+4=%+%=〃得q=1,所以｛4｝為常數(shù)數(shù)列，4=%所以S,,=與，正確；(3)任取四項(xiàng)，則a4?_3+*=*+%,=3且。4“-2+%”="+4"+i=〃，即有叫=，同理4-=為“+2,又a尸4,所以錯(cuò)位等和數(shù)列一定是最小正周期為4的周期數(shù)列，正確；(4)由(3)及。2013+。2014=6,得《+。2=6,又h=5,即q+4=4+4=5,所以4+4=4,且4+%+%+4=1。，而錯(cuò)位等和數(shù)列一定是最小正周期為4的周期數(shù)列，[10k—4,n=4k—2所以 4, ?[1。必,〃=4k故答案為:(1)(2)(3)(4)【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列新定義，綜合應(yīng)用了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，以及數(shù)列的周期性，屬于中檔題.(2021?廣東?東莞市光明中學(xué)高三開學(xué)考試)若有窮數(shù)列q,%,…，am(m為正整數(shù))滿足條件：4=4“，%=4—，…，冊(cè)=4，則稱其為‘'對(duì)稱”數(shù)列.例如，數(shù)列1,2,5,2,1與數(shù)列8,4,2,4,8都是“對(duì)稱”數(shù)列.已知在21項(xiàng)的“對(duì)稱”數(shù)例J｛c“｝中，c”，小，…，是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，則。2=.【答案】19【分析】根據(jù)"對(duì)稱''數(shù)列可知=，20,再利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解.【詳解】根據(jù)題意可得。2=。20,%,cl2 c?1是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以=4=1+(20-11)x2=19.故答案為：19【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、數(shù)列的新定義，考查了基本運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.五、解答題(2021?江蘇?高二單元測(cè)試)對(duì)于數(shù)列｛q｝,定義｛Va“｝為數(shù)列｛q｝的差分?jǐn)?shù)列，其中Aa?=??+l-??，neN*.如果對(duì)任意的”wN*,都有V4.DV4,則稱數(shù)列｛4｝為差分增數(shù)列.(1)己知數(shù)列1，2,4,x,16,24為差分增數(shù)列，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；(2)己知數(shù)列｛%｝為差分增數(shù)列,且4=%=1,%eN*.若q=2021,求非零自然數(shù)無的最大值；(3)已知項(xiàng)數(shù)為2A的數(shù)列｛log?4｝("=L2,3,L,2?)是差分增數(shù)列，且所有項(xiàng)的和等于k,證明：W“i<3.【答案】(I)8Vx<10；(2)65；(3)證明見解析.【分析】(1)利用差分增數(shù)列的定義可得關(guān)于》的不等式組，即可求解：(2)根據(jù)△?！?|>△%，at=a2=l,a?eN*,可得△%>△《=°.△/?」，△4-2,…，△ kwN*,從而可得2021.」+如二答二^,即可求解；(3)利用反證法推出矛盾，即可得證.【詳解】(1)數(shù)列1,2,4,X,16,24的差分?jǐn)?shù)列為1,2,x-4.16—X,8,'4+16>2x由題意可得<2+x>8,解得8<久<10，x+24>32故實(shí)數(shù)x的取值范圍是(8,10).(2)由題j意，△q=。，△““eN,因?yàn)閿?shù)列｛。,,｝為差分增數(shù)列，所以對(duì)任意的〃eN*,都有所以△%>△4=。，△叼?」,同理，△4-2,…，kwN*,所以當(dāng)A..2時(shí)，ak=4+△《+△/+…+△%t..1+1+2+…+(無-2)=1+所以2021..1+/-2)(2二1).,2解得鼠65,所以非零自然數(shù)人的最大值為65.(3)證明：假設(shè)。*%討.3,由題意知4,>0(〃=1,2,3,…，2k),因?yàn)轫?xiàng)數(shù)為2?的數(shù)列｛log4,,｝所有項(xiàng)的和等于所以log3《+log3a2+log3+...+log3a2k=k,即log3a｝a2a3…02k=k、所以4a2a3…。2A=3",因?yàn)閿?shù)列｛1叫必｝(〃=1，2,3,…，2k)是差分增數(shù)列，所以logs4+1-log?an<l°g34+2-logsa"+i，所以也<吐，因此竺<幺<4.<…<馬_,an?！?1 4a2。3 a2k-\所以對(duì)任意的肛，k-1,mcN*,都有乎〈竽1工，即分+外1.<4/3』，am所以aia2k>a2a2k-l>a3a2k-2>…> ?3)所以qa2a3…>3”與a｝a2a3...a2k=3/矛盾，故假設(shè)不成立，所以44“<3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：對(duì)于數(shù)列的新定義的題，解題的關(guān)鍵是理解清楚題意，熟練掌握數(shù)列中常見的解題方法.(2020?江蘇?模擬預(yù)測(cè))對(duì)數(shù)列｛斯｝,規(guī)定｛△%｝為數(shù)列｛斯｝的一階差分?jǐn)?shù)列，其中△斯=an+\-an(neM),規(guī)定為｛%｝的二階差分?jǐn)?shù)列，其中△2a〃=Z\a/I+i-AaB(〃CN*).(1)數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式。"=”2 試判斷｛△3｝,｛Z^^｝是否為等差數(shù)列，請(qǐng)說明理由？(2)數(shù)列仍,｝是公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列，且4與，對(duì)于任意的"GM,都存在znGN*,使得△2兒="“，求q所有可能的取值構(gòu)成的集合；(3)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列｛以｝的前〃項(xiàng)和為S”，且△ZglO,對(duì)滿足根+〃=2比機(jī)初的任意正整數(shù)m、n、k,都有c〃#C”,且不等式5+5”>6*恒成立，求實(shí)數(shù)r的最大值.【答案】(1)是，是；理由見解析；(2)｛2,止叵):(3)2.2【分析】(1)推導(dǎo)出M,=a“+[-。,=5+1)2-〃2=2〃+1,從而=2,由此得到｛△%｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，由得到是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列.(2)推導(dǎo)出"二人聞""，(q-1)2=qm~n,〃，-九.0,根據(jù)帆-〃=0,m-n=\?m-n..2,進(jìn)行分類討論，能求出q所有可能的取值構(gòu)成的集合.(3)推導(dǎo)出c“+2-c“+]=c“+1 ，從而｛%｝是等差數(shù)列，設(shè)｛c,J的公差為d,則c.=G+(〃-1)4,由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可得S.=g〃2+(C]-g)〃，從而2+5”,=((〃2+>)+(。-g)(m+〃)，推導(dǎo)出S“+S”,=T(n2+m2)+(q-g)(m+〃)>g?0〃；〃)+(q-d)(m+〃)=2sA，則當(dāng)4,2時(shí)，不等式S削+S“>0都成立；當(dāng)，>2時(shí)，令6=左+1,n=k-l,(keN*,k..2),則S“+S,=g(2公+2)+2k(q-g),$=鵑+(。-夫，進(jìn)而得到工+5“<電，由此推導(dǎo)出f的最大值為2【詳解】(1) a?=n2,：.Aa?=a?^-a?=(n+l)2-n2=2n+\,△4=2,?.?△q=3,.?.｛△4｝是首項(xiàng)為3,公差為2的等差數(shù)列，?.?△2a?=Aan+l-Aan=2,???｛△%,,｝是首項(xiàng)為2,公差為0的等差數(shù)列.?.?數(shù)列出)是公比為q的正項(xiàng)等比數(shù)列，.?.Z=M"T,4*1-△包=b“q-2+1-(￡+1-2)=4+2-?“+1+bn,且對(duì)任意的“wN”,都存在/neN,，使得如"*'-2&g"+如"'=如"'，(q-1)2=qm~", q--2,：.m-n..O,1°.若m-〃=0,則q2_2g+l=l,解得q=0(舍)，或q=2,即當(dāng)q=2時(shí)，對(duì)任意的〃e”，都有△也=,.2°.若機(jī)―〃=1,則/_3q+I=0,解得g=±2叵(舍)，或q=±L近，即當(dāng)4=檸叵時(shí)，對(duì)任意的〃wN*,都有△/.=%.3°.若則W>(g-l>,???對(duì)任意的〃eN”,不存在mwN*，使得綜上所述，q所有可能的取值構(gòu)成的集合為｛2,苧｝.⑶=0, △2c?=△￡?,-△<??=c?+2-C?u-(c?,-￡?)=c?t2-2c?tl+c?=0,二c*+2 =q“-q，,｛c“｝是等差數(shù)列,設(shè)｛c“｝的公差為d,則c.=q+("-l)d,■Jd=。，,?。=c”，d<0??,?當(dāng)n>1—J■時(shí)，%<0,a與數(shù)列｛g｝的各項(xiàng)均為正數(shù)矛盾，故d>0,由等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式可得s“=g〃2+(c「f〃,???S〃+S,“=^n2+(q— +g加2+(q-g)m=?(/+帆2)+(。-3)(帆+〃),eCd,2 2、/ d、, 、d(m+〃)~ / ... 、co..sit+Sm=-(n+//r)+(C|--)(/?+/1)>-._--+(j-d)(m+n)=2Sk,則當(dāng)k2時(shí)，不等式2+S.>0都成立,另一方面，當(dāng)，>2時(shí)，令m=女+1,n=k-T,(kwN*,k..2),則鼠+s”=3[(&+1)2+(k-l)21+(q-g)X2A=g(2二+2)+2如-g),St.=gk。+(q-g)A,則tSk-(5?,+S.)=g也2+g-^泯-g(2X+2)-2k(c「|),=(^t-d)(k2-k)+(t-2)ctk-d,k2-k..O,;.當(dāng)k> J時(shí),電-(S.+S”)>0,2 Q-2)j即Sn+S"<tSk,綜上，f的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的判斷，考查實(shí)數(shù)的取值范圍、實(shí)數(shù)的最大值求法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.(2020?黑龍江?哈師大附中高二開學(xué)考試(理))若數(shù)歹ij｛4｝滿足4向=4：，則稱數(shù)歹U｛A｝為“平方遞推數(shù)列已知數(shù)列｛〃"｝中，4=9,點(diǎn)(。,,,。田)在函數(shù)f(x)=/+2x的圖象上，其中〃為正整數(shù).(1)證明數(shù)列｛?！?1｝是“平方遞推數(shù)列“，且數(shù)列｛lg(q,+D｝為等比數(shù)列；(2)設(shè)(1)中“平方遞推數(shù)列''的前〃項(xiàng)積為「，即7；=(4+1)(/+1)…(4+1),求電卻IsT(3)在(2)的條件下，記么=］房：八，求數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和3,并求使S“>4026的”的最小值.【答案】(1)證明見解析；(2)lg7；=2B-l：(3)口=2014【解析】試題分析：(1)根據(jù)—=a：+2%,得到4“+1=&+1尸，即｛《,+1｝是“平方遞推數(shù)列進(jìn)一步對(duì)4+i+1=(4+1)2兩邊取對(duì)數(shù)得lg(a.+i+l)=21g(a“+l),利用等比數(shù)列的定義證明.(2)苜先得到1虱為+1)=2"-',應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式即得.(3)求通項(xiàng)〃=2-《尸、求和S”=2〃-2+擊，根據(jù)5“>4026,得到2”-2+$=>4026,〃+*>201