定積分求和極限與區(qū)間

第五章定積分積分學中的另一個基本概念就是定積分。積分方法是解決許多實際應用問題的一個重要方法，本章將主要介紹定積分的基本概念、基本性質(zhì)和基本計算方法。第一節(jié)定積分概念一、概念引入的背景在引入定積分概念之前，我們先看兩個實例。例1曲邊梯形的面積問題設一平面圖形由直線x=a,x=b,y=0和曲線y=/(x)所圍，求該平面圖形的面積。我們通常把三邊為直邊另一邊為曲邊的幾何圖形(本例描述的圖形)稱為曲邊梯形。矩形的面積我們是如下定義的：面積=底x高但是我們要求面積的圖形不是矩形，這樣，我們就有兩個問題要解決，一是面積的定義，二是面積的求法。微積分對人類的巨大功績就是用干凈利落方式同時解決了這兩個問題。矩形的面積是有定義的，其它圖形的面積是沒有定義的，如何用有定義的“東西”，去取代無定義的“東西”，這就是我們解決問題的關鍵。具體做法如下：第一步：將［。，州區(qū)間任意分割成n個小區(qū)間，分別記為：［%,邛；［%,%］;……；[%，其中：x0=a,xn=5。并令△x,=x.-x.1(i=1,2,,n)這樣，我們就把整個圖形分割成了n個細長條，每個細長條都是小“曲邊梯形”，但是，它們都非常的細，細到每一條都可以看成“矩形”。形象的比喻，就把這一過程叫做“化整為‘零’”第二步：在每個小區(qū)間［x.1，x.］上任取一點&產(chǎn)％］，x.］作乘積f(&.)Axi0既然每一個小“曲邊梯形”都成了“矩形”其寬就是△%.，其高呢？那就在小區(qū).間［x.1，x.］上任取一點&.，以這一點的函數(shù)值作為高，于是，這個細長條的面積就近似的等于f(&.)^x。第三步：求和￡f(&)Axii.=1每個小“曲邊梯形”的面積求出來了，把它們累加起來，所有的小“曲邊梯形”的面積和，就是整個圖形的面積的近似值。第四步：令*皿心/?！O限型'/信冷,。無論怎么分細，和式￡f(&)Ax終究還是整個圖形面積的近似值。于是，人們ii=1就用一種終極狀態(tài)：當n無限增加，同時細長條都越來越細的時候，其極限值定義為該曲邊梯形的面積。為了確保所有小“曲邊梯形”最終退化成一條“線段”，不能令nT8取極限，只能令入=max{△x.}—0。例2變速直線運動的路程問題。設有一質(zhì)點作變速直線運動，已知該質(zhì)點在時刻t的瞬時速度為v=v(t)，求該質(zhì)點由時刻T0到時刻T1的運行路程。和前面的問題類似，質(zhì)點作勻速直線運動時，其運行路程定義為：運行路程=運行速度X運行時間但是，我們遇到的問題是變速直線運動，質(zhì)點運行的速度時刻都在變化著的，因此，我們不能直接應用上述公式。怎么辦呢？這又是一個要轉(zhuǎn)換矛盾的問題，為了能用上勻速直線運動的速度公式，我們只有把整個運行時間分成很多小段，使得時間間隔非常小，小到每一段時間內(nèi)，質(zhì)點運行的速度幾乎不發(fā)生變化，即為勻速的，于是，第一步：將時間段仃。，T1］任意分割成n個小時間段，并記為：［t,t］，［t,t］，，［t,t］0112n-1n其中：t=T，t=T。再令At=t-1(i=1;2;……;n)00n1iii-1時間間隔分小了，每段時間內(nèi)質(zhì)點又可以近似地看成作勻速運動了，那么速度如何？運行路程又如何呢？于是第二步：在每一個段時間［t「，t.］內(nèi)任意取定一個時間值&.E［t.「t.］作乘積i-1iii-1iV0)Ati。在［ti-1,tj內(nèi)任意取定一個時間值&i，就以此刻的速度V(&)為這段時間的運行速度，當然這段時間質(zhì)點的運行路程為：v(4)Ati。每一時間段的運行路程的近似值求出來了，把它們累加起來，于是，第三步：求和：8v(&)At。iii=1這樣算出來的畢竟還是近似值，接下來就要靠極限來實現(xiàn)轉(zhuǎn)換了，于是，第四步：令A=max{At.}-0，取極限，取極限lim工v(&.)At.。i=1上述兩個實例，從各自的具體意義來說是毫不相干的，一個是幾何學的面積問題，另一個是物理學的路程問題。但是，我們把它們的計算方法從具體意義中抽象出來的話，其描述過程與模式是完全一致的。我們把這樣一種從具體意義中抽象出來的計算方法用數(shù)學語言去描述它的話，就是我們將要介紹的定積分的概念。二、定積分的概念1.定積分定義定義1設/(x)在閉區(qū)間［?,b］上有界，如果：在閉區(qū)間［a,b］內(nèi)任意插入n-1個分點，a=x0<x1<x2<V”1<xn=b，將區(qū)間［a,b］分割成n個小區(qū)間，［x，x］；K，X］；；［x】，x］，并且令0112n-1nAx=x.-x.1；在每個小區(qū)間［x.-1，x.］上任取一點&.e［x.-1，x.］，作乘積/(&.)Ax.(i=1;

2;;n)；(3)求和￡f(&)Ax；iii=1(4)令人=max{Ax「Ax2;;Ax}，取極限lim￡f(&.)Ax.；人tO.=1如果極限lim￡f(&)Ax=I存在，并且極限值I與區(qū)間［a,b］的分割無關，還入項.IzzI=1與點&,在區(qū)間［xi-1，x.］上的選取無關，那么就稱f(x)在區(qū)間［a,b］上可積，并把極限值I稱為f(x)在區(qū)間［a,b］上的定積分，并記為：jbf(x)dxa其中，/3)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式和式￡f(g)Ax稱為積分和iii=1其中，/3)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達式(也稱為黎曼和)，』稱為積分號，a稱為積分下限，b稱為積分上限，x稱為積分變量，［a,b］稱為積分區(qū)間。由定積分的定義可知，前面我們講述的兩個例子實際上就是：曲邊梯形的面積為s=jbf(x)dxa質(zhì)點運行的路程為s=j71v(t)dtT02.定積分的幾何意義我們分析一下定積分jbf(x)dx的幾a何意義。(i)當f(x)30時，曲線j=f(x)位于上半平面，和式中的f(&.)30,于是￡f(&)Ax30，因此，jbf(x)dx30，iii=1a它所表示的是右圖(1)的面積值，這種面積值我們稱之為正面積;(ii)當f(x)^0時，曲線尸f(x)位于下半平面，和式中的f(&i)W0,于是￡f(&.)AxW0，iii=1因此，jbf(x)dxW0，它所表a示的是右圖(2)的面積值，這種面積值我們稱之為負面積；(iii)更一般地，f(&)有正有i負，在幾何上jbf(x)dx表示的就是：a上半平面圍成的圖形面積與下半平面圍成的圖形面積之差。3.積分存在定理給出了定積分的定義，我們關心的問題之一自然就是怎樣判斷積分是否存在?這也就是可積性問題。在這里我們不作深入地討論，只給出一個判定定理。定理1(1)若fx)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則fx)在區(qū)間［a,b］上可積；(2)若f(x)在區(qū)間［a,b］上有界，并且至多只有有限個間斷點，則fx)在區(qū)間［a,b］上可積。關于定積分，有一點是值得特別指出的：定積分jbf(x)dx的值只與被積函數(shù)fx)和積分區(qū)間［a,b］有關。在我們給出積分a和￡f(&)Ax的時候，只要不改變函數(shù)關系式，不改變區(qū)間［a,b］，和式中的變量iii=1用什么符號都行，也就是說，定積分jbf(x)dx的值與積分變量選擇無關，即:ajbf(x)dx=jbf(s)ds=jbf(t)dt=jbf(y)dyaaaa這一性質(zhì)在解決定積分許多有關問題時，占有相當重要的地位。下面我們來看一個用定積分定義求定積分的例子。

例3求j1x2dx0解(i)將［0,1］區(qū)間進行n等分，得到n個小區(qū)間，［0,-］；［-,2］；；［上,1］

nnnn，….、i一1ir,,(ii)在每個小區(qū)間［——，-］上取左端nn點八、、作乘積(iii)求和點八、、作乘積s(i=1三H—以E=n>nn3i=1(n—1)n(2n—1)6n3因為是n等分區(qū)間，最長的區(qū)間長度為1，n1八而一—0=n—8，所以，nj1x2dx=""2〃—1)=10n—86n33第二節(jié)定積分的性質(zhì)在這一節(jié)我們將給出定積分的一些基本性質(zhì)，并由定積分的定義作一些簡要的說明性的證明。性質(zhì)1若fx)、g(x)在區(qū)間［。，》］上可積，則f(x)±g(x)在區(qū)間［a,b］上仍可積，并且

jb^-f(x)土g(x)dx=jbf(x)dx±jbg(x)dx證明對于［a,b］的任意一個分割△，得相應的積分和8f(&)±g(&)］項，從而有iiii=1lim2f氣)±g氣)虹=lim2f氣)￥±lim2g氣)Ax.i=1i=1i=1

即fb^-f(^.)土g(&.)^dx=fbf(x)dx±fbg(x)dx。aaa，性質(zhì)2若fx)在區(qū)間［a,b］上可積，k是一個常數(shù)，則kf(x)在區(qū)間［a,b］上仍可積，并且fbkf(x)dx=kfbf(x)dx證明對于［a,b］的任意一個分割△，得相應的積分和￡kf(&)Ax，并且有iii=1lim8kf(&)Ax=limk^f(&)Ax=klim8f(g)Axi=1TOC\o"1-5"\h\z"0"0入i=1i=1i=1jbkf(x)dx=kfbf(x)dx。i=1性質(zhì)1與性質(zhì)2合起來稱為定積分的線性性質(zhì)，用一個式子表示的話就是:f偵(x)±Lg(x)］dx=Kfbf(x)dx±Lfbg(x)dx\o"CurrentDocument"aaa性質(zhì)3(積分區(qū)間的可加性)若fx)在區(qū)間［a,b］上可積，c是滿足不等式aVc<b任意一個實數(shù)，則fx)在區(qū)間［a,c］上可積，在區(qū)間［c,b］上也可積，并且fbf(x)dx=fcf(x)dx+fbf(x)dxaac證明略到現(xiàn)在為止，我們所討論的積分問題都是積分下限小于積分上限的，為了便于積分問題的討論，我們需要作如下約定：當積分下限等于積分上限時，積分值等于零。即faf(x)dx=0。afbf(x)dx=-faf(x)dx。也就是說，互換積分下限與積分上限的位置時，相ab應積分之改變一個符號。有了這些約定，今后我們遇到積分問題，就可以不需要考慮積分限的大小了。這樣一來，積分區(qū)間的可加性就有更加廣泛的意義，只要fbf(x)dx、fcf(x)dxaa和fbf(x)dx都存在，就有等式fbf(x)dx=fcf(x)dx+fbf(x)dx成立。caac性質(zhì)4(積分估值性)若f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，m、M分別是f(x)在區(qū)間［a,

》］上的最小值和最大值，則m(b~a)Wjbf(x)dxWM(b-a)a證明對于［a,b］的任意一個分割A，得相應的積分和￡f(割A，得相應的積分和￡f(&)Ax，iii=1并且有：m(b-a)=8mAxii=1W￡f(&.)Ax,iii=1xabW8MAx=M(b-a)ii=1所以m(b-a)Wlim^8f(&)AxWM(b-a),即m(b-a)Wjbf(x)dxWM(b-a)。X^0i1ai=1由上面的幾何圖形，不難得到“以最小值m為高，［a,b］區(qū)間為底的矩形面積”、“陰影部分曲邊梯形的面積”以及“以最大值M為高，［a,b］區(qū)間為底的矩形面積”三者之間的大小關系。這又從幾何上，進一步地說明了積分估值性的正確性。性質(zhì)5若fx)、g(x)在區(qū)間［a,b］上可積，并且在區(qū)間［a,b］上有f(x)Wg(x)，abxjbf(x)dxWjbg(x)dxabx證明對于［a,b］的任意一個分割A，得相應的積分和￡f(&)Ax、iii=1^g(&)Ax，由已知有：iii=1￡f(&.)Ax.W^g(&.)Ax.，iiiii=1i=1再由極限的保號性有:

lim8f(&)AxWlim工g(g)Ax。即Jbf(x)dxWjbg(x)dx。X^0Z'?0''aai=1i=1這個性質(zhì)的幾何解釋是十分明顯的，同底的曲邊梯形，曲邊位置高的圖形面積值自然不小。推論1若fx)在區(qū)間［a,b］上可積，并且在區(qū)間［a,b］上有f(x)30，則，jbf(x)dx30。a性質(zhì)6若fr)在區(qū)間［a,b］上可積，則』bf(x)dx性質(zhì)6若fr)在區(qū)間［a,b］上可積，則』bf(x)dxWjb\f(x)\dx證明因為在區(qū)間［a,b］上有不等式：-|f(x)|Wfx)W|f(x)，再由性質(zhì)5可得:-jb\f(x)|dxWjbf(x)dxWjb\f(x)dxaaaf(x)dxWjb\f(x)|dx。性質(zhì)7(積分中值定理)若f⑴在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則在［a,b］區(qū)間上至少存在一點&e［a,b］,使得：f(&)=1jbf(x)dx

b-aa證明因為f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］區(qū)間上必能取到最小值m和最大值M。由性質(zhì)4可得：mWJbf(x)dxWM。再由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)b-aa的介值性，至少有一點&￡［a,b］，使得f(&)=7^Jbf(x)dx。b-aa注：積分中值定理另一種表達形式是：f(x)f(&)(b~a)=Jbf(x)dx，af(x)它的幾何意義可解釋成:若f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，那么至少可以找到一點&￡［a,b］，使得以［a,b］為底，以f&)為高的矩形的面積，

正好等于由x=a,x=b,y=0以及y=f(x)所為的平面圖形的面積。從另一個角度來解釋的話，這就是：若f(x)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，至少可以找到一點&e［a,b］,使得f(&)為f(x)在區(qū)間［a,b］上平均值。例1估計積分值j1e-x2dx。-1解設f(x)=e-x2，則fr(x)=-2xe-x2，并且x>0時有ff(x)<0；xV0時有f(x)<0,所以，f(x)在x=0取最大值，在x=1和x=-1取最小值，最大值為f(0)=1,最小值為f(1)=f(T)=e-1，因此2e-iVj1e-x2dxV2。-1例2利用定積分性質(zhì)估計積分jxdx與jSinxdx的大小。00解由于當0<x<1時，有不等式sinx<x，根據(jù)性質(zhì)5，jbcdx>jsinxdx。00說明：對于定積分jbf(x)dx，當a<b，Vxe［a,b］有f(x)30，并且f(x)是a不恒為零的連續(xù)函數(shù)時，必定有jbf(x)dx>0。a第三節(jié)微積分學基本定理我們已經(jīng)給出了定積分的基本概念和基本性質(zhì)，接下來的問題就是解決定積分如何計算的問題。上一章我們學習了不定積分，已經(jīng)掌握了許多不定積分的計算方法，它們既然都叫積分，它們之間是否有某種聯(lián)系呢？回答是肯定的。這一節(jié)我們主要就是討論這兩者之間的聯(lián)系，進而引出微積分基本公式。一、變上限函數(shù)設fx)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，那么fx)在區(qū)間［a,b］上可積，并且積分值jbf(x)dxa只與a，b以及被積函數(shù)fx)有關。由于Vxe［a,b］，fx)在區(qū)間［a,x］上也連續(xù)，因此可積，并且積分值jxf(x)dx由上限x唯一確定，如果令：aF(x)=fxf(x)dx(aWxWb)a那么，F(xiàn)(x)是定義在［a,b］上的函數(shù)，這個函數(shù)我們稱它為變上限函數(shù)，也稱為積分上限函數(shù)。我們知道，定積分的值與積分變量選擇無關，為不引起概念上的混淆，我們將變上限函數(shù)記為：F(x)=fxf(t)dt(aWxWb)a下面我們討論變上限函數(shù)的一個基本性質(zhì)。定理1若f(x)在［a,b］上連續(xù)，則f(x)在［a,b］上的變上限函數(shù)F(x)=fxf(t)dta在［a,b］上可導，并且它的導數(shù)為：F'(x)=—fxf(t)dt=f(x)(aWxWb)dxa證明略這個定理給我們提供了一個非常重要的信息，就是：連續(xù)函數(shù)的積分上限函數(shù)是可導函數(shù)，并且它的導函數(shù)就等于被積函數(shù)，回想一下不定積分中的有關概念，不難得知：積分上限函數(shù)就是被積函數(shù)的一個原函數(shù)。因此有：定理2若f(x)在［a,b］上連續(xù)，則積分上限函數(shù)F(x)=fxf(t)dt是fx)在［a,b］a上的一個原函數(shù)。這個定理的重要意義就在于：［a,b］上的連續(xù)函數(shù)f(x)，在［a,b］上一定存在原函數(shù)，并且它的一個原函數(shù)就是F(x)=fxf(t)dt。a根據(jù)定積分的一個約定，f"f(x)dx=-faf(x)dx，我們同樣可以定義積分下限函數(shù)：G(x)=fbf(t)dt(aWxWb)x于是，G(x)在［a,b］上可導，且G'(x)=-f(x)。推論1如果f(x)在任何有限區(qū)間上連續(xù)，中(x)可導，那么F(x)=f憐)f(t)dt可a導，并且它的導數(shù)為Ff(x)=ftp(x)lp'(x)；另外G(x)=fbf(t)dt也是可導的，耿x)并且G'(x)=-fp(x)lp，(x)。

事實上，令F(u)=!uf(t)dt,u=g(x)，再由復合函數(shù)的求導法則，便可得到a推論的結(jié)論。有了這個推論，積分上(下)限函數(shù)就有了更加廣泛的應用。下面我們看幾個簡單的例子。例1設F(x)=jx(1+12cost-e-t2)dt，求F'(x)。1解由積分上限函數(shù)的性質(zhì)有：F'(x)=1+x2cosx-e-x2例2設F(x)=jcosx」-dt，求F'(x)。01+t4則F(x)是G(u)與u=cosx復合而成函數(shù)，由解令G(u)=則F(x)是G(u)與u=cosx復合而成函數(shù)，由1/.、一sinxF'(x)=G'(u)u(-sinx)=1+cos4x例3求極限lim[sin”出xF'(x)=G'(u)u解這是一個0型的極限問題，由洛必達法則有:TOC\o"1-5"\h\zsin12sinx21lim=lim=-xT0x3xT03x23二、牛頓一萊布尼滋公式科學發(fā)展的一個重要里程碑，就是發(fā)現(xiàn)了微分與積分的關系，這種關系非常簡潔、明了，互為逆過程，這就是微積分基本定理。微積分基本定理把原來獨立發(fā)展的微分學與積分學聯(lián)系成了一個整體，同時它為我們計算定積分提供了非常簡潔、適用的方法，它的重要形式不言而喻的了。定理3(微積分基本定理)若f(x)在［a,b］上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在［a,b］上的一個原函數(shù)，則：jbf(x)dx=F(b)一F(a)……(1)a公式(1)稱為牛頓一萊布尼滋公式。證明已知F(x)是fx)在［a,瓦上的一個原函數(shù)，又積分上限函數(shù)G(x)=fxf(t)dt也a是Rr)在［。，瓦上的一個原函數(shù)，根據(jù)原函數(shù)的性質(zhì)有:G(x)=fxf(t)dt=F(x)+Ca在(*)式中令x=a，有0=G(a)=faf(t)dt=F(a)+C，所以C=-F(a)，再令x=ba有:jbf(x)dx=F(b)-F(a)a有了公式(1)，定積分的計算問題就好解決多了，我們只需要設法找出被積函數(shù)的一個原函數(shù)F(x)，就能很快地求出定積分的值。這也就是說求定積分問題實際上就轉(zhuǎn)化為求不定積分了。即我們可以用不定積分的方法，求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，進而求出定積分的值。下面我們具體講述幾個用牛頓一萊布尼滋公式解決定積分計算的例子。例4計算定積分j1x2dx01解由于3x3是x2的一個原函數(shù)，由牛頓一萊布尼滋公式有:這個計算，相比于我們前面按定義計算11—.—030明顯簡單多了。例5計算定積分j31dx011+x2解由于arctanx是一-—的一個原函1+x2數(shù)，由牛頓一萊布尼滋公式有：j—dx—arctanx11+x2兀兀兀—arctan*'3-arctan1—

3412x—y2例6求由y=x2和x=y2所圍的平面圖形（右圖）的面積。解設所求面積為S,則所求面積等于以［0,1］區(qū)間為底，以x=y2為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e與以［0，1］區(qū)間為底，以y=x2為頂?shù)那吿菪蔚拿娣e之差。即11—一x3301211=———=—333例7求極限limxT0x41(1—12)dtcosxx4(1—cos2x)sinxsin3x1=lim=lim=—xr04x3xT04x34j解由洛必達法則得lim-2-x2,0<x<1例8設/(x11—一x3301(1—12)dtcosxx4(1—cos2x)sinxsin3x1=lim=lim=—xr04x3xT04x341「0一，1Vx<eLx解顯然fx）在［0,e］上連續(xù)，因此fx）在［0,e］上可積，由積分區(qū)間的可加性有:jef(x)dx=j1(1—x2)dx+je—dx=(x——x3)+lnx0010第四節(jié)定積分的基本積分法牛頓一萊布尼滋公式給出了定積分的一個非常簡潔的計算公式，只要我們能求出被積函數(shù)的一個原函數(shù)，定積分的計算問題就算基本解決了。雖然我們已經(jīng)掌握了不定積分的基本計算方法，當然可以用不定積分的方法先求被積函數(shù)的一個原函數(shù)，進而求出定積分的值。但是，這樣做有時會很繁瑣，在定積分的實際計算過程中，有時沒有必要原原本本地先求出原函數(shù)，只需要在計算過程中直接進行某些變換就可以了。下面我們就來介紹這些基本方法。一、定積分第一換元積分法

定理1設中(x)在［a,b］上可導，g(x)=fip(x)ip'(x)在［a,b］上連續(xù)，則jbg(x)dx=jbf{p(x)p'(x)dx=jbf{p(x)}dp(x)=F{p(x)|b=F{p(b)}-F{p(a)}aaaa其中：F'(u)=f(u)證明由于dFp(x))}=F%(x)p(x)=fh(x)b'(x)，所以F{p(x)}是g(x)的dx一個原函數(shù)，由牛頓一萊布尼滋公式得：jbg(x)dx=F{p(x)|b=Fb(b)}—F(a)}aa第一換元積分法也稱湊積分法。例1計算j』皿xdx。01+cos2x，兀兀、兀r=—()=一0'44201+cos2x解j兀Snxdx=j兀\d，兀兀、兀r=—()=一0'44201+cos2x例2計算j1xe-2dxx2x2—d解j1xe-2dx=j1—e2二、定積分的第二換元積分法定理2設fx)在區(qū)間［a,b］上連續(xù)，函數(shù)x=p(t)滿足下列條件：x=p(t)在區(qū)間［a,P］(或［P,a］)上有連續(xù)導函數(shù)，并且a<p(t)<b；p(a)=a,p(P)=b。則：jbf(x)dx=jpfh(t)p(t)dt證明設F(x)是fx)在區(qū)間［a,b］上的一個原函數(shù)，則』bf(x)dx=F(b)—F(a)。a另一方面，dFh(t)}=F{(t)p(t)=fh(t)p(t)，因此dtjPf{p(t)p(t)dt=F?(t)}p=F?(P)}—F?(a)}=F(b)—F(a)aa所以，jbf(x)dx=jpfh(t)p(t)dt。

例3計算j8——dx3VX+1—1解令\.T+1=t，即x=12-1，x=12-1在［2,3〕上可導，且單調(diào)遞增，當t=2時x=3；t=3時x=8，dx=2tdt。于是，由定積分第二換元積分法有:j8」dxj8」dx=j33\：x+1—12t—1—2tdt=2』dt+2』3上dt=2t|3+2ln|t—1||32't-13=2+ln42例4計算j2x-dx0\1—x2解令x解令x=sint，則dx=cost，x=sint在［0,x］上可導，并且單調(diào)遞增，6t=0有x=0；t=—有x=—。因此62d「sind「sin210V1—sin21costdt=j6sin2tdt=0fx1—cos2t6dt0兀v3—128兀v3—128——j6cos2td2t=———sin2t40124例5計算』兀^業(yè)土dx01+cos2x解令x=兀-1，則dx=-dt，當x由0單調(diào)遞增地變換到冗時，相應的t則單調(diào)遞減地由冗變換到0。于是：jxxsinxdx=j0（^—t）sin（X—t）（-dt）=jx兀&tdt-jxtsintdt01+cos2xx1+cos2（X—t）01+cos2t01+cos2t由于定積分與積分變量選擇無關，所以jxxsinxdx=1jx兀&xdx=X1

01+cos2x201+cos2x4注意：定積分與積分變量選擇無關，這個性質(zhì)在積分實際計算中有相當重要的作用，上面的例題就是一個典型的例子。例6若f(x)在區(qū)間［—a,a］上可積:

(1)如果f(x(1)如果f(x)是區(qū)間［-a,a］上的奇函數(shù)(2)如果f(x)是區(qū)間［-a,a］上的偶函數(shù)則jaf(x)dx=0—a則」“f(x)dx=2faf(x)dx—a0證明faf(x)dx=j0f(x)dx+faf(x)dx對于f0f(x)dx，令x=-t，則dx=-dt，并且x由-a單調(diào)遞增地變到0時，t則—a由a單調(diào)遞減地變換到0，于是f0f(x)dx=f0f(—t)(—dt)=faf(—t)dt=faf(—x)dx—aa00那么：f「f(x)dx=f0f(x)dx+f”(x)dx=f〃{f(x)+f(—x)}dx—a—a00若f(x)是區(qū)間［—a,a］上的奇函數(shù)，則f(x)+f(-x)=0，所以faf(x)dx=0；—a若f(x)是區(qū)間［—a,a］上的偶函數(shù)，則f(x)+f(-x)=2fx)，所以faf(x)dx=2faf(x)dx。—a0K正一..一例7設fx)在［0，1］上連續(xù)，證明J2f(sinx)dx=J2f(cosx)dx兀證明令x=1，2，兀兀證明令x=1，2=cost，dx=-dt，并且x由0單調(diào)遞增地變換12J——到-時，相應的t由-單調(diào)遞減地變換到0，于是f2f(sinx)dx=f0f(cost)(—dt)=f2f(cost)dtTOC\o"1-5"\h\z—

002由于定積分與積分變量選擇無關，所以上f(sinx)dx=f2f(cosx)dx。00在定積分的計算中，必須注意變換是否符合條件，不能不顧一切地進行變量代換，否則就會得出錯誤的結(jié)論。比如，計算f1—1—dx，如果令x河(t)=-，則dx=——dt，并且中(—1)=—1，—11+x2t12中⑴=1，將上述關系帶入原式得：

-j1—-—dt

-11+t2j—dx=j―-11+x2-11+t-2-j1—-—dt

-11+t2再根據(jù)定積分與積分變量選擇無關的性質(zhì)，有［11/j11,Jdx=-Jdx-11+x2-11+x2所以j11dx=0-11+x2上述的計算結(jié)果顯然是錯誤的，由定積分的性質(zhì)，我們可以明確地知道j11dx>0，那么問題錯在哪里呢？仔細分析一下不難發(fā)現(xiàn)，我們所作變更換-11+x21一x=s(t)=—已經(jīng)不是［-1，1］到［-1，1］的對應關系了，當作［-1，1］時，即使t尹0，其t相應得函數(shù)值已經(jīng)超出［-1,1］的范圍了。(這時s(t)修1)它根本就不滿足第二換元積分法的條件，自然就不能這樣進行了。三、定積分的分部積分法我們知道，不定積分的分部積分公式是：judv=uv-fvdu，它主要是來自于導數(shù)公式:(uvJ=uV+uv'也就是說，uv是uV+uv'的一個原函數(shù)。因此，當u(x)，v{x)在［a,b］上有連續(xù)導數(shù)時，由牛頓一萊布尼滋公式有：jb(ufv+uv'認=uv|a也就是:jbu(x)dv(x)=u(x)v(x)b-jbv(x)du(x)這就是定積分的分部積分公式。a下面我們看幾個簡單的示例。兀例8計算J2xsinxdx。工2L2cosxdx=sinx|2=1。0解j2xsinxdx=-j2xdcosx=-xcos工2L2cosxdx=sinx|2=1。例9計算j1x2exdx0

和不定積分一樣，當被積函數(shù)形如f(x)ex時，一般是先轉(zhuǎn)化成fbf(x)dex，然后a再用分部積分法。1-f1exdx2=1-f12xexdx=1-f12xdex0000解f1x2exdx=f1x2dex=x1-f1exdx2=1-f12xexdx=1-f12xdex00001=2e-2。0注：這個例子說明，有時用分部積分法求定積分時需要連續(xù)使用。例10計算fxarctanxdx0當被積函數(shù)是f(x)與一個反三角函數(shù)的乘積時，一般保留反三角函數(shù)在微分符號外面，而把f(x)設法放入dx內(nèi)(當然是在微分意義下)，使f(x)dx=dg(x)0解fxarctanxdx=f1arctanxd—=—arctanx11f1,-§x2darctanx00=—-11f1,-§x2darctanx00=—-1f1

82x2兀1dx=01+x282—111—arctanx22例11證明證明f2sinnxdx=f2cosnxdx，00令x=—-1代入得2并計算I—=J2sinnxdx0兀.2sinnxdx=0—2f0sinn—-1Qdt)=j—2cosntdt=0兀2cosnxdx；0I=f2sinnxdx=f2sinn-1xsinxdx=-f2sinn-1xdcosxnn000f2f2cosxdsinn-1x=f2cosx(n-1)sinn一2xcosxdx000I=-sinn-1xcosx2+=(n-1)f2sinn-2xcos2xdx=(n-1)f2sinn-2x1-sin200=(n-1)f2sinn一2xdx-(n-1)f2sinnxdx=(n-1)I-(n-1)I00n-2n因此I=^-11nnn-2這樣我們就得到了一個遞推公式。由此

n-1n-3n-1n-3n-5這樣TOC\o"1-5"\h\zI=1=1nnn-2n-4nn-2n-4n-6照此進行下去，如果n為奇數(shù)，則I=n-1n-1...ZInnn-231z五=12sinxdx=一cosX20所以，=(n-1)!!1=n!!如果n為偶數(shù)，則4210n-1n-3I=nnn-24210I=J2dx所以，總之，421(n-1)!!總之，421(n-1)!!兀0=n!!2(n-1)!!

n!!n為奇數(shù)(n-1)!!兀n!!2n為偶數(shù)第五節(jié)廣義積分前面我們介紹了定積分的概念，必須滿足兩個前提條件：其一，被積函數(shù)/'(0必須是有界函數(shù)；其二，積分區(qū)間必須是有限區(qū)間。如果打破了這兩個限制的話，就可以推廣出兩種類型的積分，一個是無窮區(qū)間上的積分，通常稱為無窮區(qū)間上的廣義積分，簡稱為無窮積分；另一個是有限區(qū)間上無界函數(shù)的積分，通常稱為無界函數(shù)的廣義積分，簡稱為瑕積分。一、無窮區(qū)間上的廣義積分定義1設f(x)在［a,+8)上有定義，如果Vb〉a函數(shù)f(x)在［a,b］上可積，那么極限式limjbf(x)dxb—+8a稱為f(x)在［a,+8)上的廣義積分，并記為：j+f(x)dx=limjbf(x)dxab^+8a當limjbf(x)dx存在時，稱廣義積分j+8f(x)dx是收斂的，否則稱廣義積分bf+8aaj+8f(x)dx發(fā)散。a同樣的，若f(x)在(-8,b］上有定義，并且Va<b函數(shù)f(x)在［a,b］上可積，那么極限式limjbf(x)dxaT-8a稱為f(x)在(-8,b］上的廣義積分，并記為：jbf(x)dx=limjbf(x)dx-8aT—8a當limjbf(x)dx存在時，稱廣義積分jbf(x)dx是收斂的，否則稱廣義積分aT-8a-8jbf(x)dx發(fā)散。-8更進一步地，f(x)在(-8,+8)上有定義，并且Vb〉a函數(shù)f(x)在［a,b］上可積，那么j+8f(x)dx=jaf(x)dx+j+8f(x)dx-8-8

稱為f(x在(-8,+8)上的廣義積分，只有當j+8f(x)dx與jaf(x)dx都收斂時，a-8才稱廣義積分j+8f(x)dx收斂，否則稱廣義積分j+8f(x)dx發(fā)散。-8-8-8注：若F(x)是f(x)的一個原函數(shù)，則：b=limF(b)-F(a)=F(+8)-F(a)b—+8ab—+8j+8b=limF(b)-F(a)=F(+8)-F(a)b—+8ab—+8bf+8bf+8af(x)f(x)dx=limjbf(x)dx=limF(x)|a—-8aa—-8f(x)dx=limlimjbf(x)=limlimF(x)\b=limF(b)-limF(a)b—+8a—-8ab—+8a—-8ab—+8a—-8b=F(b)一limF(a)=F(b)一F(-8)aaT—8-8j+8-8=F(+8)-F(一8)下面我們介紹廣義積分的基本性質(zhì):我們僅以j+8f(x)dx類型給出廣義積分的若干性質(zhì)。a(1)若j+8f(x)dx收斂，k為常數(shù)，則j+8f(x)dx也收斂，并且j+8kf(x)dx=kj+8f(x)dxa(2)(3)若j+8f(x)dx和j+8g(x)dx都收斂，則j+8f(x)土g(x)}dx也收斂，并且(2)(3)TOC\o"1-5"\h\zaaaj+8f(x)土g(x)}dx=j+8f(x)dx土j+8g(x)dxaaa若j+8f(x)dx和』+8g(x)dx都收斂，并且f(x)<g(x)，則aaj+8f(x)dx<j+8g(x)dx(4)對任意的b>a，j+8f(x)dx和』+8f(x)dx有完全相同的斂散性。當它們收斂ab的時候有:j+8f(x)dx=jbf(x)dx+j+f(x)dxaab注：廣義積分j+8f(x)dx的幾何意義與常義積分j"f(x)dx的幾何意義非常類似，當f(x)^0時，如果j+8f(x)dx收斂的話，j+8f(x)dx表示x=a；j=0和y=f(x)所為

的平面圖形的面積。（如右圖）例1討論廣義積分』*8—sin—dx的斂散性。1X2X解VA>1有fA1.1』fA.1JA——sin—dx=-JAsin—d—1A1「一一=cos—=cos一一cos1—1一cos1xA所以，f+^^sin-dx收斂，并且f+^^sin-dx=1-cos1。1x2x1x2x例2討論廣義積分f+cosxdx的斂散性。所以解由于VA>0有fAcosxdx=sinx|A=sinA，而limsinA不存在，00A^+8所以+8cosxdx發(fā)散。0例3討論廣義積分f+8—dx的斂散性。(a>0)axa解由于VA>a有jA^dx=jA^dx=]

axa1-axa-1aa=1lnA一Ina=〈1r11)a豐1―——1-akxa-1aa-1/a=1a豐1當a=1時，有l(wèi)imGnA—Ina)=+8，所以當a=1時，J+8^—dx發(fā)散;At+8axa當a>1當a>1時，有l(wèi)imAt+8—卜--—

aa-1ya—1aa-1所以當a>1時，』+8上dx

axa收斂，并且當a<1時，當a<1時，有l(wèi)im1At+81-akxa-1所以當a<1時，81dx發(fā)散?？傊?，當a<1時，「8土赤發(fā)散；當a〉1時，「"土dx收斂，并且"xd=_1__Lxaa-1aa-1例4討論廣義積分J*”一Ldx的斂散性。一31+X2解由于J*”1dx=limJx1dx=limarctanx="，所以j*”】dx01+x2xr+”01+x2xr+”201+x2收斂；0101兀0dx=lim0dx=lim(-arctanx)=一，所以j0一”1+x2xr—”x1+x2x——”21dx,j+”1dx收斂，并且一”1+x2一”1+x2j+”^^dx=jQdx+j+”^^dx=-+-=K一”1+x2一”1+x201+x222下面僅以j+”f(x)dx類型給出廣義積分的斂散性判別法。a定理1若f(x在［a,+”)上連續(xù)，且f(x)30，并且Vb>a有jbf(x)dx<M，a其中m是常數(shù)。^J+”f(x)dx收斂。a事實上，令F(x)=jxf(x)dx，則F(x)是單調(diào)遞增有上界函數(shù)，所以limF(x)存axT+”在，即j+”f(x)dx收斂。a定理2(比較判別法)若f(x)、g(x)在［a,+”)上連續(xù)，且0<f(x)<g(x)，那(1)(2)證明V(1)(2)證明Vx〉a，如果j+&(x)dx收斂，^0j+”f(x)dx也收斂。aa如果j+”f(x)dx發(fā)散，則j+&(x)dx也發(fā)散。僅證明(1)，用反證法就可以得到(2)由定積分的性質(zhì)有jxf(x)dx<jxg(x)dxaa又已知j+&(x)dx收斂，因此Ixg(x)dx<Ixg(x)dx+j+8g(x)dx=j+8g(x)dxaaxa再根據(jù)定理1，結(jié)論得證。則j+8f(x)dxa定理3(柯西判別法)設f(x)在［a,+8)上連續(xù)，且f(x)30，a>0，(1)如果存在正數(shù)"，使得在［。,+8)上有f(x)<K，且p>1，則j+8f(x)dxa(1)如果存在正數(shù)"，使得在［。,則』+8f(x)dxa(2)如果存在正數(shù)K,使得在［a,+8)上有f(x)>K，且pW1，

則』+8f(x)dxa發(fā)散。就可以得到本定理的證明。且f(x)30,就可以得到本定理的證明。且f(x)30,a>0,定理4設f(x)在［a,+8)上連續(xù)，(1)如果limxpf(x)=A，那么當0<A<+8，且p>1時，j+8f(x)dx收斂;TOC\o"1-5"\h\zxt+8a0<A<+8，且pW1時，j+8f(x)dx發(fā)散。a如果limxpf(x)=0，并且p>1，那么j+8f(x)dx收斂；\o"CurrentDocument"xr+8a如果limxpf(x)=+8，并且pW1，那么j+8f(x)dx發(fā)散。\o"CurrentDocument"xr+8a本定理是柯西定理的極限形式，利用極限的性質(zhì)以及上述的柯西定理，不難得到本定理的證明，這里就不再給出它的嚴格證明了。例5討論廣義積分j+8x"-xdx的斂散性。1xT+3ex解因為limx2(?ef)=lim=0，由定理4.(2)j+8xae-xdx收斂。xT+3exx—+8xT+8ex1這里需要指出一個問題：大家不難發(fā)現(xiàn)limx(網(wǎng)f)=0。出現(xiàn)了這樣的結(jié)果，xr+8廣義積分斂散性應當如何判定？也就是定理4中出現(xiàn)“取p=1，極限值為0”的情形時，廣義積分斂散性應當如何判定？這里的回答就是:“不可確定”。在這個定理里面，旦出現(xiàn)“l(fā)imxpf(x)=0，又pW1”時，我們不可以由此下任何結(jié)論。同樣，一xT+8旦出現(xiàn)“l(fā)imxpf(x)=+8，又p>1”時，我們同樣不可以由此下任何結(jié)論。xT+8例6判定廣義積分I+8e-x2dx的斂散性。解當X〉1時，有0<ef2<ef，由例5不難得知j+8e-xdx收斂。由廣義積分1比較判別法可得j心e-x2dx時收斂的。1二、無界函數(shù)的廣義積分定義2設f(x)在區(qū)間a,b)上有定義，如果f(x)在b的任意左鄰域內(nèi)無界，并且對Vs>0,f(x)在區(qū)間［a,b-s］上可積，那么稱極限式limjb-sf(x)dxST0+a為f(x)在區(qū)間［a,b］上的無界函數(shù)廣義積分(也稱瑕積分)。記為jbf(x)dx=limjb-sf(x)dxaST0+a當limjb-sf(x)dx存在時，稱廣義積分jbf(x)dx是收斂的，否則稱jbf(x)dx發(fā)ST0+aaa散。設f(x)在區(qū)間(a,b］上有定義，如果f(x)在a的任意右鄰域內(nèi)無界，并且Vs〉0有f(x)在區(qū)間［a+s,b］上可積，那么稱極限式limjbf(x)dxST0+a+s為f(x)在區(qū)間［a,b］上的無界函數(shù)廣義積分(也稱瑕積分)。記為jbf(x)dx=limjbf(x)dxaST0+a+sST0+a+s當limjbf(x)dx存在時，稱廣義積分jbf(x)dx是收斂的，否則稱jbf(x)dxaa發(fā)散。