剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件

剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1剛體的基本概念剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律；剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理；動(dòng)量矩守恒剛體的基本概念2一.剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生形變的物體。剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型一.剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變3剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程bca4剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程bca5bcab剛體的平動(dòng)過程bcab剛體的平動(dòng)過程6bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程7bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程8bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程9bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程10bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程11bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程121.平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方向不變。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。

－－剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。

1.平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方132.轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。－－剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。2.轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸固定14轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能:剛體是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的總動(dòng)能:轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能:剛體是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的總動(dòng)能:15I=∑miri2I稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算①單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=mr2②質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=∑miri2I=òmr2dm③質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=∑miri2I稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算①單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的16質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布、、分別為質(zhì)量的17①轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg.m2*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論：④轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。③轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量分布有關(guān)。②轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，一個(gè)復(fù)雜形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體各個(gè)組成部分對(duì)同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。①轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg.m2*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論：④轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和18o′omr122I=o′oml1122I=o′omr142I=o′oml13I=2o′omr122I=o′oml1122I=o′omr1419[例]求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解:①若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。Rdm討論：②若圓環(huán)質(zhì)量分布不均勻，結(jié)果相同。[例]求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解:①若為薄20[例]求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。[例]求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)解：取半21[例]求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[例]求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的ABLXAB22平行軸定理：mR例：平行軸定理：mR例：23二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述角位置：1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述角位移：角速度：角加速度：二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述角位置：1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量242.角量和線量的關(guān)系矢量表示：

2.角量和線量的關(guān)系矢量表示：25對(duì)于勻加速轉(zhuǎn)動(dòng),有下面公式:對(duì)于勻加速轉(zhuǎn)動(dòng),有下面公式:26例題1

一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度＝at+bt3-ct4,式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。解：飛輪上某點(diǎn)角位置可用表示為＝at+bt3-ct4將此式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為角加速度是角速度對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，因此得由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。例題1一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度＝at+bt3-ct427例題2一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。（1）求角加速度a和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2）求制動(dòng)開始后t=25s時(shí)飛輪的加速度；（3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在

t=25s時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。0vanatarO解

（1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，例題2一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻28量值為0=21500/60=50rad/s，對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在t=50S時(shí)刻=0，代入方程=0+at得從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為量值為0=21500/60=50rad/s29（2）t=25s時(shí)飛輪的角速度為（2）t=25s時(shí)飛輪的角速度為30（3）t=25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度。的方向與0相同；的方向垂直于和構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為由（3）t=25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度。的方向與031邊緣上該點(diǎn)的加速度其中

的方向與的方向相反，的方向指向軸心，的大小為

的方向幾乎和

相同。邊緣上該點(diǎn)的加速度其中的方向32剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面如果有幾個(gè)外力矩作用在剛體上積分得力矩的大小等于力在作用點(diǎn)的切向分量與力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸Z的距離的乘積。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面如果有幾個(gè)外力矩作用332、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。表明剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。②m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，I反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性③力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變而產(chǎn)生角加速度的原因。*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)定律的討論：①M(fèi)＝I

與地位相當(dāng)2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。表明34

[例]如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2，m22T1Tm1滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,半徑為r

。①如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)的加速度a

及繩中的張力T1

與T2（設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)）；②如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a

及繩中的張力T1與T2。[例]如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2，m35fm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=βrNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm1解：①0N=gm2βIr=1T2Trfm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=βrN36+=r2+m2mgm1m2I()r2++m1m2I1T+=r2+m1mgm2m1I()r2++m1m2I2Tmr2++a=gm2mgm1m1m2I解得：gm1r2++m1m2Ia=+=r2gm1m2I()r2++m1m2I1T=gm2m1r2++m1m2I2T②m=0+=r2+m2mgm1m2I()r2++m1m2I1T+=r37三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能1.力矩的功力對(duì)P點(diǎn)作功：0‘0三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能1.力矩的功力對(duì)P點(diǎn)作功38因力矩作功：對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。0‘0因力矩作功：對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移392.力矩的功率2.力矩的功率40剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能

1．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能O圖26Z剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能1．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能O圖26Z412．剛體的重力勢(shì)能圖1642．剛體的重力勢(shì)能圖16442剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理43剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能定理和機(jī)械能守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能定理和機(jī)械能守恒定律44推廣：對(duì)含有剛體和質(zhì)點(diǎn)復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內(nèi)力都是保守力，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即推廣：對(duì)含有剛體和質(zhì)點(diǎn)復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內(nèi)力都是保守45圖163lAC圖163lAC46解：解：471.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)Oz軸的角動(dòng)量：剛體力學(xué)16xyzmdO角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)Oz軸的角動(dòng)量：剛體力學(xué)16xyz482.剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量O圖26Z2.剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量O圖26Z493.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律－－角動(dòng)量定理－－角動(dòng)量守恒定律3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律－－角動(dòng)504．物體系的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律4．物體系的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律51例題工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IB=20kgm2。開始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？AACBACB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律例題工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)52解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。按角動(dòng)量守恒定律可得為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，于是以各量的數(shù)值代入得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中53或共同轉(zhuǎn)速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律或共同轉(zhuǎn)速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不54m2m1圖133RMm2m1圖133RM55剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件56例題如圖，長為l，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以初速v0沿水平方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求（1）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度，（2）兩者一起上擺的最大角度

。Olm圖35例題如圖，長為l，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直57剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件58例題一長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0的子彈水平射入與軸相距為a處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮其中(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。因這一過程進(jìn)行得很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律例題一長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直59(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：由角動(dòng)量守恒，得：(1)勢(shì)能零點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)60由機(jī)械能守恒，E=E0,代入q=300，得：將上式與聯(lián)立，并代入I

值，得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律由機(jī)械能守恒，E=E0,代入q=300，得：將上式與61直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律直線運(yùn)動(dòng)與定軸轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律對(duì)照質(zhì)點(diǎn)的直線運(yùn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定軸轉(zhuǎn)62ammmRMh例題1.已知：M、R、m，繩質(zhì)量不計(jì)，求：物體由靜止開始下落h高度時(shí)的速度和滑輪的角速度。T1T2mgT1=T2=T

0+）ammmRMh例題1.已知：M、R、m，繩質(zhì)量不計(jì)，求：物63m1Rm2*例2.物體m1>m2，滑輪（R，m）。阻力矩Mf，繩子質(zhì)量忽略，不伸長、不打滑。求重物的加速度及繩中張力解：m1gT1T2m2ga1a2T2T1Mfm1Rm2*例2.物體m1>m2，滑輪（R，m）。阻力641.不計(jì)軸上摩擦Mf=01.不計(jì)軸上摩擦Mf=0653.不計(jì)軸上摩擦、不計(jì)滑輪質(zhì)量(Mf=0,m=0)2.不計(jì)滑輪質(zhì)量m=03.不計(jì)軸上摩擦、不計(jì)滑輪質(zhì)量(Mf=0,m=0)2.不計(jì)66例3*：圓盤（R，M），人（m）開始靜止，人走一周，求盤相對(duì)地轉(zhuǎn)動(dòng)的角度解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)軸角動(dòng)量守恒人—，盤—例3*：圓盤（R，M），人（m）開始靜止，人走一解：系統(tǒng)對(duì)轉(zhuǎn)67例題4*一勻質(zhì)細(xì)棒長為l，質(zhì)量為m，可繞通過其端點(diǎn)O的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖所示。當(dāng)棒從水平位置自由釋放后，它在豎直位置上與放在地面上的物體相撞。該物體的質(zhì)量也為m，它與地面的摩擦系數(shù)為。相撞后物體沿地面滑行一距離s而停止。求相撞后棒的質(zhì)心C離地面的最大高度h，并說明棒在碰撞后將向左擺或向右擺的條件。解：這個(gè)問題可分為三個(gè)階段進(jìn)行分析。第一階段是棒自由擺落的過程。這時(shí)除重力外，其余內(nèi)力與外力都不作功，所以機(jī)械能守恒。我們把棒在豎直位置時(shí)質(zhì)心所在處取為勢(shì)能CO定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律例題4*一勻質(zhì)細(xì)棒長為l，質(zhì)量為m，可繞通過其端點(diǎn)O的水68零點(diǎn)，用表示棒這時(shí)的角速度,則（1）第二階段是碰撞過程。因碰撞時(shí)間極短，自由的沖力極大，物體雖然受到地面的摩擦力，但可以忽略。這樣，棒與物體相撞時(shí)，它們組成的系統(tǒng)所受的對(duì)轉(zhuǎn)軸O的外力矩為零，所以，這個(gè)系統(tǒng)的對(duì)O軸的角動(dòng)量守恒。我們用v表示物體碰撞后的速度，則（2）式中棒在碰撞后的角速度，它可正可負(fù)。取正值，表示碰后棒向左擺；反之，表示向右擺。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律零點(diǎn)，用表示棒這時(shí)的角速度,則（1）第二階段是碰撞69第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度由牛頓第二定律求得為（3）由勻減速直線運(yùn)動(dòng)的公式得（4）亦即由式（1）、（2）與（4）聯(lián)合求解，即得（5）定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律第三階段是物體在碰撞后的滑行過程。物體作勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速70亦即l>6s；當(dāng)取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為亦即l<6s棒的質(zhì)心C上升的最大高度，與第一階段情況相似，也可由機(jī)械能守恒定律求得：把式（5）代入上式，所求結(jié)果為當(dāng)取正值，則棒向左擺，其條件為(6)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律亦即l>6s；當(dāng)取負(fù)值，則棒向右擺，其條件為亦即l71剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)72剛體的基本概念剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律；剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)規(guī)律：轉(zhuǎn)動(dòng)定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)量矩定理；動(dòng)量矩守恒剛體的基本概念73一.剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變的物體，即運(yùn)動(dòng)過程中不發(fā)生形變的物體。剛體是實(shí)際物體的一種理想的模型一.剛體內(nèi)部任意兩點(diǎn)的距離在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持不變74剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程bca75剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程bca76bcab剛體的平動(dòng)過程bcab剛體的平動(dòng)過程77bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程78bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程79bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程80bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程81bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程82bca剛體的平動(dòng)過程bca剛體的平動(dòng)過程831.平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方向不變。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的位移、速度和加速度。

－－剛體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律即代表剛體的平動(dòng)規(guī)律。

1.平動(dòng)：運(yùn)動(dòng)過程中剛體內(nèi)任意一條直線在運(yùn)動(dòng)過程中始終保持方842.轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸固定不變，則稱為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。特點(diǎn)：剛體內(nèi)所有點(diǎn)具有相同的角位移、角速度和角加速度。－－剛體上任一點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律即代表了剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律。2.轉(zhuǎn)動(dòng)：剛體上所有質(zhì)點(diǎn)都繞同一軸線作圓周運(yùn)動(dòng)。若轉(zhuǎn)軸固定85轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能:剛體是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的總動(dòng)能:轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能:質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能:剛體是有許多質(zhì)點(diǎn)組成的總動(dòng)能:86I=∑miri2I稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算①單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=mr2②質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=∑miri2I=òmr2dm③質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：I=∑miri2I稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算①單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的87質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布、、分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布才能用積分計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。只有對(duì)于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布、、分別為質(zhì)量的88①轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg.m2*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論：④轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同一個(gè)物體對(duì)不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是不同的。③轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和質(zhì)量分布有關(guān)。②轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有可加性，一個(gè)復(fù)雜形狀剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體各個(gè)組成部分對(duì)同一軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。①轉(zhuǎn)動(dòng)慣量單位：kg.m2*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的討論：④轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和89o′omr122I=o′oml1122I=o′omr142I=o′oml13I=2o′omr122I=o′oml1122I=o′omr1490[例]求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解:①若為薄圓筒（不計(jì)厚度）結(jié)果相同。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。Rdm討論：②若圓環(huán)質(zhì)量分布不均勻，結(jié)果相同。[例]求質(zhì)量為m、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解:①若為薄91[例]求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l

的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)解：取半徑為r寬為dr的薄圓環(huán),可見，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與l無關(guān)。所以，實(shí)心圓柱對(duì)其軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量也是mR2/2。慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。[例]求質(zhì)量為m、半徑為R、厚為l的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)解：取半92[例]求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。[例]求長為L、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對(duì)圖中不同軸的ABLXAB93平行軸定理：mR例：平行軸定理：mR例：94二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述角位置：1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量描述角位移：角速度：角加速度：二.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的描述角位置：1.定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角量952.角量和線量的關(guān)系矢量表示：

2.角量和線量的關(guān)系矢量表示：96對(duì)于勻加速轉(zhuǎn)動(dòng),有下面公式:對(duì)于勻加速轉(zhuǎn)動(dòng),有下面公式:97例題1

一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度＝at+bt3-ct4,式中a、b、c都是常量。求它的角加速度。解：飛輪上某點(diǎn)角位置可用表示為＝at+bt3-ct4將此式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，即得飛輪角速度的表達(dá)式為角加速度是角速度對(duì)t的導(dǎo)數(shù)，因此得由此可見飛輪作的是變加速轉(zhuǎn)動(dòng)。例題1一飛輪在時(shí)間t內(nèi)轉(zhuǎn)過角度＝at+bt3-ct498例題2一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻地減速，經(jīng)t=50s后靜止。（1）求角加速度a和飛輪從制動(dòng)開始到靜止所轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)N；（2）求制動(dòng)開始后t=25s時(shí)飛輪的加速度；（3）設(shè)飛輪的半徑r=1m，求在

t=25s時(shí)邊緣上一點(diǎn)的速度和加速度。0vanatarO解

（1）設(shè)初角度為0方向如圖所示，例題2一飛輪轉(zhuǎn)速n=1500r/min，受到制動(dòng)后均勻99量值為0=21500/60=50rad/s，對(duì)于勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)，可以應(yīng)用以角量表示的運(yùn)動(dòng)方程，在t=50S時(shí)刻=0，代入方程=0+at得從開始制動(dòng)到靜止，飛輪的角位移及轉(zhuǎn)數(shù)N分別為量值為0=21500/60=50rad/s100（2）t=25s時(shí)飛輪的角速度為（2）t=25s時(shí)飛輪的角速度為101（3）t=25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度。的方向與0相同；的方向垂直于和構(gòu)成的平面，如圖所示相應(yīng)的切向加速度和向心加速度分別為由（3）t=25s時(shí)飛輪邊緣上一點(diǎn)P的速度。的方向與0102邊緣上該點(diǎn)的加速度其中

的方向與的方向相反，的方向指向軸心，的大小為

的方向幾乎和

相同。邊緣上該點(diǎn)的加速度其中的方向103剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面如果有幾個(gè)外力矩作用在剛體上積分得力矩的大小等于力在作用點(diǎn)的切向分量與力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸Z的距離的乘積。剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律1、力對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩轉(zhuǎn)動(dòng)平面如果有幾個(gè)外力矩作用1042、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。表明剛體繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，它的角加速度與作用于剛體上的合外力矩成正比，與剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。②m反映質(zhì)點(diǎn)的平動(dòng)慣性，I反映剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣性③力矩是使剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變而產(chǎn)生角加速度的原因。*關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)定律的討論：①M(fèi)＝I

與地位相當(dāng)2、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。表明105

[例]如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2，m22T1Tm1滑輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J,半徑為r

。①如物體2與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，求系統(tǒng)的加速度a

及繩中的張力T1

與T2（設(shè)繩子與滑輪間無相對(duì)滑動(dòng)）；②如物體2與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a

及繩中的張力T1與T2。[例]如圖所示，兩物體1和2的質(zhì)量分別為m1與m2，m106fm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=βrNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm1解：①0N=gm2βIr=1T2Trfm=Ngm2m=1T=ma1gm12T=ma2fa=βrN107+=r2+m2mgm1m2I()r2++m1m2I1T+=r2+m1mgm2m1I()r2++m1m2I2Tmr2++a=gm2mgm1m1m2I解得：gm1r2++m1m2Ia=+=r2gm1m2I()r2++m1m2I1T=gm2m1r2++m1m2I2T②m=0+=r2+m2mgm1m2I()r2++m1m2I1T+=r108三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能1.力矩的功力對(duì)P點(diǎn)作功：0‘0三、剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功和能1.力矩的功力對(duì)P點(diǎn)作功109因力矩作功：對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移，任何一對(duì)內(nèi)力作功為零。0‘0因力矩作功：對(duì)于剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)情形，因質(zhì)點(diǎn)間無相對(duì)位移1102.力矩的功率2.力矩的功率111剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能

1．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能O圖26Z剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能與重力勢(shì)能1．剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能O圖26Z1122．剛體的重力勢(shì)能圖1642．剛體的重力勢(shì)能圖164113剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理114剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能定理和機(jī)械能守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的功能定理和機(jī)械能守恒定律115推廣：對(duì)含有剛體和質(zhì)點(diǎn)復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內(nèi)力都是保守力，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒，即推廣：對(duì)含有剛體和質(zhì)點(diǎn)復(fù)雜系統(tǒng)，若外力不做功，且內(nèi)力都是保守116圖163lAC圖163lAC117解：解：1181.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)Oz軸的角動(dòng)量：剛體力學(xué)16xyzmdO角動(dòng)量定理與角動(dòng)量守恒定律1.質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)對(duì)Oz軸的角動(dòng)量：剛體力學(xué)16xyz1192.剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量O圖26Z2.剛體對(duì)定軸的角動(dòng)量O圖26Z1203.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律－－角動(dòng)量定理－－角動(dòng)量守恒定律3.剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒定律－－角動(dòng)1214．物體系的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律4．物體系的角動(dòng)量定理角動(dòng)量守恒定律122例題工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)動(dòng)。如圖所示，A和B兩飛輪的軸桿在同一中心線上，A輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IA=10kgm2，B的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為IB=20kgm2。開始時(shí)A輪的轉(zhuǎn)速為600r/min，B輪靜止。C為摩擦嚙合器。求兩輪嚙合后的轉(zhuǎn)速；在嚙合過程中，兩輪的機(jī)械能有何變化？AACBACB定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律例題工程上，兩飛輪常用摩擦嚙合器使它們以相同的轉(zhuǎn)速一起轉(zhuǎn)123解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中，系統(tǒng)受到軸向的正壓力和嚙合器間的切向摩擦力，前者對(duì)轉(zhuǎn)軸的力矩為零，后者對(duì)轉(zhuǎn)軸有力矩，但為系統(tǒng)的內(nèi)力矩。系統(tǒng)沒有受到其他外力矩，所以系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒。按角動(dòng)量守恒定律可得為兩輪嚙合后共同轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度，于是以各量的數(shù)值代入得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律解以飛輪A、B和嚙合器C作為一系統(tǒng)來考慮，在嚙合過程中124或共同轉(zhuǎn)速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不守恒，部分機(jī)械能將轉(zhuǎn)化為熱量，損失的機(jī)械能為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律或共同轉(zhuǎn)速為在嚙合過程中，摩擦力矩作功，所以機(jī)械能不125m2m1圖133RMm2m1圖133RM126剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件127例題如圖，長為l，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)。一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)以初速v0沿水平方向運(yùn)動(dòng)，與靜止在豎直位置的細(xì)棒的末端發(fā)生完全非彈性碰撞，碰撞后兩者一起上擺。求（1）碰撞后瞬間兩者一起上擺的角速度，（2）兩者一起上擺的最大角度

。Olm圖35例題如圖，長為l，質(zhì)量為M的均勻細(xì)棒可饒過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)軸在豎直128剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)課件129例題一長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)。當(dāng)桿靜止時(shí)，一顆質(zhì)量為m0的子彈水平射入與軸相距為a處的桿內(nèi)，并留在桿中，使桿能偏轉(zhuǎn)到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個(gè)階段進(jìn)行考慮其中(1)子彈射入細(xì)桿,使細(xì)桿獲得初速度。因這一過程進(jìn)行得很快,細(xì)桿發(fā)生偏轉(zhuǎn)極小,可認(rèn)為桿仍處于豎直狀態(tài)。子彈和細(xì)桿組成待分析的系統(tǒng),無外力矩,滿足角動(dòng)量守恒條件。子彈射入細(xì)桿前、后的一瞬間,系統(tǒng)角動(dòng)量分別為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律例題一長為l、質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞光滑軸O在鉛直130(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)，只有保守內(nèi)力作功，機(jī)械能守恒。選取細(xì)桿處于豎直位置時(shí)子彈的位置為重力勢(shì)能零點(diǎn)，系統(tǒng)在始末狀態(tài)的機(jī)械能為：由角動(dòng)量守恒，得：(1)勢(shì)能零點(diǎn)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律(2)子彈隨桿一起繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)。以子彈、細(xì)桿及地球構(gòu)成一系統(tǒng)131由機(jī)械能守恒，E=E0,代入q=300，得：將上式與聯(lián)立，并代入I

值，得定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量守恒定律由機(jī)械能守恒，E=E0,代入q=300，得：將