大二課程-上復(fù)變函數(shù)

第二部分

積分變換傅里葉(Fourier)變換

信號與系統(tǒng)–幾個概念消息（Message）：在通信系統(tǒng)中，一般將語言、文字、圖像或數(shù)據(jù)統(tǒng)稱為消息。信號理論信號分析：研究信號的基本性能，如信號的描述、性質(zhì)等。信號傳輸信號處理：對信號進(jìn)行某種加工或變換信號（Signal）：指消息的表現(xiàn)形式與傳送載體。例如：鈴聲（聲信號）、紅綠燈（光信號）、電信號。信息（Information）：一般指消息中賦予人們的新知識、新概念(消息中有意義的內(nèi)容)。定義方法復(fù)雜。信號的分類方法很多，可以從不同的角度對信號進(jìn)行分類。按實際用途劃分：電視信號雷達(dá)信號控制信號通信信號廣播信號……按所具有的時間特性劃分

確定性信號

隨機(jī)信號

偽隨機(jī)信號

時限信號非時限信號

連續(xù)時間信號離散時間信號系統(tǒng)（system）：由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的，具有穩(wěn)定功能的整體。如手機(jī)、電視、太陽系、通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等。系統(tǒng)可以看作是變換器、處理器（系統(tǒng)的基本作用是對輸入信號進(jìn)行加工和處理，將其轉(zhuǎn)換為所需要的輸出信號）。電系統(tǒng)具有特殊的重要地位，某個電路的輸入、輸出是完成某種功能，如微分、積分、放大，也可以稱系統(tǒng)。在電子技術(shù)領(lǐng)域中，“系統(tǒng)”、“電路”、“網(wǎng)絡(luò)”三個名詞在一般情況下可以通用。系統(tǒng)理論系統(tǒng)分析：給定系統(tǒng)，研究系統(tǒng)對于輸入激勵所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)綜合：按照給定的需求設(shè)計（綜合）系統(tǒng)。第七章

Fourier變換本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1、了解傅里葉積分;2、理解傅里葉變換;3、掌握函數(shù)及傅里葉變換;4、熟悉傅里葉變換的性質(zhì).1.

積分變換H{}對于一般的線性系統(tǒng),它的輸入和輸出之間的關(guān)系可表成積分算子的形式,即.其中H表示由系統(tǒng)所確定的一種對應(yīng)關(guān)系,稱之為變換.很大一類物理現(xiàn)象可以歸結(jié)為：由一個系統(tǒng)H連接起來的輸入和輸出之間的關(guān)系,如圖.~~~~~~~~~~~~其中

稱為積分變換核.下面給出積分變換的定義:激勵響應(yīng)由若干相互作用和相互依賴的事物組合而成的，具有穩(wěn)定功能的整體。如太陽系、通信系統(tǒng)、控制系統(tǒng)、經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)、生態(tài)系統(tǒng)等?？煽醋魇亲儞Q器、處理器。系統(tǒng)理論

系統(tǒng)分析：給定系統(tǒng)，研究系統(tǒng)對于輸入激勵所產(chǎn)生的輸出響應(yīng)。系統(tǒng)綜合：按照給定的需求設(shè)計（綜合）系統(tǒng)。所謂積分變換,就是把某函數(shù)類中的函數(shù)(原像函數(shù)),利用上面的參變量積分,變成另一函數(shù)類中的函數(shù)(像函數(shù)).根據(jù)選取不同的積分核,可得到不同名稱的積分變換.數(shù)學(xué)定義H{}回顧：Fourier級數(shù)在高等數(shù)學(xué)中，研究周期函數(shù)只須研究它在一個周期內(nèi)的情況即可,通常研究在閉區(qū)間[-T/2,T/2]內(nèi)函數(shù)變化的情況.在理論上,并非所有的周期函數(shù)都可以用傅里葉級數(shù)逼近,而是要滿足狄利克雷(Dirichlet)條件,即在區(qū)間[-T/2,T/2]上1、

連續(xù)或只有有限個第一類間斷點2、

只有有限個極值點（不作無限次振動）注：這兩個條件實際上保證了函數(shù)是可積函數(shù).因此,任何滿足狄氏條件的周期函數(shù),可表示成三角級數(shù)的形式如下:下面從兩個方面(三角函數(shù)，指數(shù)函數(shù))對級數(shù)進(jìn)行研究：1）2）將周期函數(shù)展開成Fourier級數(shù)也成為諧波分析.(1)一種:周期信號物理意義:一個周期運動可看成是許多不同頻率的諧波振動的疊加而成.幾何意義:一個周期函數(shù)可用一系列以T為周期的余弦函數(shù)組成的級數(shù)來表示.利用Euler公式:可將Fourier級數(shù)寫成指數(shù)形式:(2)二種:令上面的兩個式子可合并成一個式子:可將Fourier級數(shù)寫成Fourier級數(shù)的指數(shù)形式(1)

復(fù)數(shù)的模與輻角,反映了第n次諧波的振幅和初位相.振幅被均分到正負(fù)頻率上注意:初位相兩個獨特性質(zhì):離散頻譜例1解:的離散頻譜和它的Fourier級數(shù)的指數(shù)形式.~~~~~~~~~~~離散振幅譜為離散相位譜為2.Fourier積分與Fourier變換作一周期為T的函數(shù)fT(t),使其在[-T/2,T/2]之內(nèi)等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整個數(shù)軸上.則T越大,fT(t)與f(t)相等的范圍也越大,這就說明當(dāng)T時,周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f(t),即有對任何一個非周期函數(shù)f(t)都可以看成是由某個周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時轉(zhuǎn)化而來的.動機(jī)作法如圖（下頁）~~~~~~~~~在工程應(yīng)用中有相當(dāng)廣泛的信號是非周期信號，對非周期信號應(yīng)該如何進(jìn)行分解，什么是非周期信號的頻譜表示，就是下面要解決的問題。思路Ott非周期函數(shù)周期函數(shù)公式推導(dǎo){O

w1w2

w3

wn-1wn{{{w如圖令周期函數(shù)非周期函數(shù)離散頻率連續(xù)頻率FFFourier積分公式定理2.1(Fourier積分存在定理)例1解的Fourier變換和積分表達(dá)式,其中.~~~~~~~~~~~~~~~~~~無線電技術(shù)中常見的一個函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)I1I2回顧：Jordan引理3.1~~~~~~~~~~~~~~~對于t>0情形:實部虛部對于t<0情形:實部虛部對于t=0情形:例2解(1)(3)信號處理中常見的一個函數(shù)

在矩形脈沖信號中，有幾個概念比較常用。（1）脈寬：即矩形脈沖的寬度(非零區(qū)間的寬度)，簡稱為脈寬。

（2）脈高：即矩形脈沖的高度，簡稱脈高。代表:衍射屏上的狹縫函數(shù)；電路中的開關(guān)；相機(jī)的快門。(2)3.函數(shù)在許多物理現(xiàn)象中,除了有連續(xù)分布的物理量外,還會有集中分布在一點的物理量（點源）,或者具有脈沖性質(zhì)的量.例如：（1）在電學(xué)中,研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后所

產(chǎn)生的電流；（2）在力學(xué)中,要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運動情況等.~~~~~~~~~~~~~~為了研究這類具有脈沖性質(zhì)的現(xiàn)象,人們才提出并研究了函數(shù).有了這種函數(shù),對于許多集中在一點或一瞬間的量,例如點電荷、點熱源、集中于一點的質(zhì)量以及脈沖技術(shù)中的非常狹窄的脈沖等,就能夠像處理連續(xù)分布的量那樣,用統(tǒng)一的方式來加以解決.下面以電路問題為例，我們引進(jìn)函數(shù).線性電路是指完全由線性元件、獨立源或線性受控源構(gòu)成的電路。線性就是指輸入和輸出之間關(guān)系可以用線性函數(shù)表示。{(1)(2)(1)非通常意義下的導(dǎo)數(shù)完全描述了電荷分布(2)t=0處破壞了普通函數(shù)的定義.(3)函數(shù)在零測度集上的函數(shù)值都不會影響函數(shù)的Lebesgue積分值.下面引入單位脈沖函數(shù)函數(shù)是一類物理背景十分明顯,應(yīng)用相當(dāng)廣泛,而又有別于普通函數(shù)的函數(shù)（它是一種廣義函數(shù)?。。。?代表了集中分布的物理量的密度的局部分布狀態(tài).代表了集中分布的物理量的密度的整體分布效應(yīng).1947年，英國物理學(xué)家Dirac首次進(jìn)入的1o反映了集中分布的物理量的物理特征（密度分布),是二者的結(jié)合.函數(shù)用長度為1的有向線段來表示;線段的長度表示函數(shù)的積分,叫做它的強(qiáng)度.曲線的“峰”無限高；但寬度無限“窄”，曲線下面的面積是有限值1.

弱極限和

函數(shù)的性質(zhì)定義1.~~~~~~~~~~~~~~~~~區(qū)間有限Or無限離散參量Or連續(xù)參量普通函數(shù)列由于它沒有通常意義下的“函數(shù)值”,所以不能用“值的對應(yīng)關(guān)系”來定義.工程上通常將它定義為某些通常函數(shù)列的極限（而這個極限應(yīng)該在積分意義下來理解）.定義2.~~~~~~~~~~~~~~~~~利用上面的兩個定義,我們有

函數(shù)的一個重要性質(zhì):篩選（抽樣）性積分中值定理弱極限定義一般化可做為函數(shù)的定義盡管函數(shù)是一個廣義函數(shù),但它與普通函數(shù)的乘積的無窮積分都有很明確的意義,這使得他在近代物理和工程技術(shù)上有廣泛的應(yīng)用.

函數(shù)的幾個基本性質(zhì)間斷函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用它可研究間斷函數(shù)的（廣義）導(dǎo)數(shù),意義重大?。。⌒盘柼幚碇谐Ｒ姷囊粋€函數(shù)函數(shù)的廣義Fourier變換為什么考慮這個問題？盡管傅氏變換在信號處理等領(lǐng)域中占據(jù)著重要的地位,但它對函數(shù)絕對可積的要求大大地制約了它的使用.甚至很多簡單函數(shù)也不滿足這個條件,例如:sint,cost以及線性函數(shù).因此,研究廣義函數(shù)及其廣義Fourier變換，從而,達(dá)到拓寬傅氏變換的適用范圍的目的.利用函數(shù)的篩選性質(zhì),可方便地求出它的傅氏變換.解決問題的途徑:不滿足第一類間斷點由于

=?可見,

?[]=1,?-1[1]=.

與常數(shù)1構(gòu)成了一個傅氏變換對,即與也構(gòu)成了一個傅氏變換對,即下面給出幾個例子：例0無線電技術(shù)中常見的一個函數(shù)---單位脈沖信號篩選性質(zhì)例1解：=?篩選性質(zhì)不滿足絕對可積單位直流信號復(fù)指數(shù)信號?可直接計算=?可直接計算?例2解=?下面討論積分：信號處理中常見的一個函數(shù)篩選性質(zhì)不滿足絕對可積開關(guān)信號另一種解法----逼近的思想解：?不滿足絕對可積單邊指數(shù)衰減函數(shù)??????例2??不滿足絕對可積解：??符號函數(shù)可以看作用來切換極性的開關(guān)函數(shù)雙邊指數(shù)衰減函數(shù)例3解不滿足：只有有限個極值點4.Fourier變換的性質(zhì)假定凡是需求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件.1線性性質(zhì)?=?設(shè)=?

?為常數(shù)則2平移性質(zhì)若=???像原函數(shù)像函數(shù)信號的變換時域延遲頻移性例1解=??=?=?=?=單邊指數(shù)衰減函數(shù)3伸縮性質(zhì)（相似性質(zhì)，或時域尺度變換）設(shè)=???證明：??若信號在時域上作尺度變換，其Fourier變換在頻域上作相反的尺度變換尺度伸縮4像原函數(shù)的微分性質(zhì)且

則若=??一般地,若?則???分部積分一個函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的傅氏變換等于這個函數(shù)的傅氏變換乘以一個因子iw時域微分像函數(shù)的微分性質(zhì)若=?則?一般地,有??一個函數(shù)的像函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)等于這個函數(shù)乘以一個因子-it的傅氏變換頻域微分5積分性質(zhì)????????需要條件??！一般地,??{n層積分一個函數(shù)積分后的傅氏變換等于這個函數(shù)的傅氏變換除以因子iw時域積分例2解??上式的Fourier逆變換,得6帕塞瓦爾(Parseval)等式平方可積函數(shù)在物理上就是能量有限的信號！???信號在時間域上的總能量信號在頻率域上的總能量能量積分物理意義：給出了兩種能量之間的正比關(guān)系！例3解???參見例2.2(P121)7卷積與卷積定理定義4.1例4解卷積定理???另外??時域卷積頻域卷積?Fourier逆變換定義積分換序Fourier變換定義卷積定義卷積的性質(zhì)例5解查表得到????傅立葉（Fourier）----法國數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家履歷:1768年~~1830年。9歲父母雙亡，被當(dāng)?shù)亟烫檬震B(yǎng)。12歲由一主教送入地方軍事學(xué)校讀書。17歲（1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué)，1794到巴黎，成為高等師范學(xué)校的首批學(xué)員，次年到巴黎綜合