五年級上冊奧數專題系列-長方體和正方體的體積與表面積 滬教版 （含答案）

課程主題：長方體和正方體的體積與表面積課前熱身：如右圖，長方體共有六個面(每個面都是長方形)，八個頂點，十二條棱．①在六個面中，兩個對面是全等的，即三組對面兩兩全等．(疊放在一起能夠完全重合的兩個圖形稱為全等圖形．)②長方體的表面積和體積的計算公式是：長方體的表面積：；長方體的體積：．③正方體是各棱相等的長方體，它是長方體的特例，它的六個面都是正方形．如果它的棱長為，那么：，．知識精講：長方體與正方體的表面積：右圖中共有多少個面？多少條棱？【考點】長方體與正方體【難度】1星【題型】解答如右圖所示，可以分前、后、左、右、上、下六個方向看這個立體圖形．前、后看各有1個面，左面看有1個面，右面看有2個面，上面看有2個面，下面看有1個面．所以共有(個)面．前后方向的棱有6條，左右方向的棱有6條，上下方向的棱也有6條，所以共有棱(條)．【答案】8個面，18條棱如右圖，在一個棱長為10的立方體上截取一個長為8，寬為3，高為2的小長方體，那么新的幾何體的表面積是多少？【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答我們從三個方向(前后、左右、上下)考慮，新幾何體的表面積仍為原立方體的表面積：10106600．【答案】600如右圖，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5，3，2的長方體，那么它的表面積減少了多少?【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答原來正方體的表面積為556150．現在立體圖形的表面積減少了前后兩個面中的部分面，它們的面積為(32)212，所以減少的面積就是12．【答案】12如圖，有一個邊長是5的立方體，如果它的左上方截去一個邊分別是5，3，2的長方體，那么它的表面積減少了百分之幾?【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答【關鍵詞】1993年，奧林匹克，初賽，10題原來正方體的表面積為5×5×6=150，現在立體圖形的表面積截了兩個面向我們的側面，它們的面積為(3×2)×2=12，12÷150=0.08=8％．即表面積減少了百分之八．【答案】百分之八右圖是一個邊長為4厘米的正方體，分別在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個邊長l厘米的正方體，做成一種玩具．它的表面積是多少平方厘米?（圖中只畫出了前面、右面、上面挖去的正方體）【考點】長方體與正方體【難度】2星【題型】解答原正方體的表面積是44696(平方厘米)．每一個面被挖去一個邊長是1厘米的正方形，同時又增加了5個邊長是1厘米的正方體作為玩具的表面積的組成部分．總的來看，每一個面都增加了4個邊長是1厘米的正方形．從而，它的表面積是：9646120平方厘米．【答案】120從一個棱長為10厘米的正方形木塊中挖去一個長10厘米、寬2厘米、高2厘米的小長方體，剩下部分的表面積是多少？(寫出符合要求的全部答案)【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答【關鍵詞】小學生數學報按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米；按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米；按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米；按圖4所示挖通兩個對面，為672平方厘米．圖1 圖2 圖3 圖4【答案】按圖1所示沿一條棱挖，為592平方厘米；按圖2所示在某一面上挖，為632平方厘米；按圖3所示在某面上斜著挖，為648平方厘米；按圖4所示挖通兩個對面，為672平方厘米．從一個長8厘米、寬7厘米、高6厘米的長方體中截下一個最大的正方體(如下圖)，剩下部分的表面積之和是平方厘米．【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空可以將這個圖形看作一個八棱柱，表面積和為：(平方厘米)．也可以這樣想：由于截去后原來的長方體的表面少了3個的正方形，而新圖形凹進去的部分恰好是3個的正方形，所以新圖形的表面積與原圖形的表面積相等，為(平方厘米)．【答案】292右圖是一個表面被涂上紅色的棱長為10厘米的正方體木塊，如果把它沿虛線切成8個正方體，這些小正方體中沒有被涂上紅色的所有表面的面積和是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答10106600(平方厘米)．【答案】600由六個棱長為1的小正方體拼成如圖所示立體，它的表面積是．【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2006年，第四屆，走美杯，4年級，決賽，第3題，8分三視圖法：表面積為：【答案】26將個棱長為的正方體堆放在桌子上，噴上紅色后再將它們分開。涂上紅色的部分，面積是（）平方厘米【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2010年，第8屆，走美杯，3年級，初賽，第12題注意底面放在桌子上，不能被染到。從上向下看有10個：從左向右看有6個；從前向后看有7個。因此被染色的面有個面【答案】36用6塊右圖所示(單位：cm)的長方體木塊拼成一個大長方體，有許多種拼法，其中表面積最小的是多少平方厘米？最大是多少平方厘米？【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】解答要使表面積最小，需重疊的面積最大，如圖=1\*GB2⑴的拼接方式新的長方體長為，寬為，高為，所以表面積為；要使表面積最大需重疊的面積最小，如圖=2\*GB2⑵所示，長為，寬為2，高為，所以最大的表面積為【答案】112要把12件同樣的長a、寬b、高h的長方體物品拼裝成一件大的長方體，使打包后表面積最小，該如何打包？=1\*GB2⑴當b2h時，如何打包？=2\*GB2⑵當b2h時，如何打包？=3\*GB2⑶當b2h時，如何打包？【考點】長方體與正方體【難度】5星【題型】解答圖2和圖3正面的面積相同，側面面積正面周長長方體長，所以正面的周長愈大表面積越大，圖2的正面周長是8h6b，圖3的周長是12h4b.兩者的周長之差為2（b2h）.當b2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包；當b2h時，按圖2打包；當b2h時，按圖3打包.【答案】當b2h時，圖2和圖3周長相等，可隨意打包；當b2h時，按圖2打包；當b2h時，按圖3打包.如圖，把正方體用兩個與它的底面平行的平面切開，分成三個長方體，這三個長方體的表面積比是3：4：5時，用最簡單的整數比表示這三個長方體的體積比：：：?！究键c】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】2007年，第五屆，走美杯，初賽，六年級，第11題體積比為【答案】有30個邊長為1米的正方體，在地面上擺成右上圖的形式，然后把露出的表面涂成紅色．求被涂成紅色的表面積．【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答(平方米)．【答案】56如圖，這是一個用若干塊體積相同的小正方體粘成的模型．把這個模型的表面(包括底面)都涂成紅色，那么，把這個模型拆開以后，有三面涂上紅色的小正方體比有兩面涂上紅色的小正方體多______塊．【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空三面涂上紅色的小正方體有：個，兩面涂上紅色的小正方體有：個，所以三面涂紅色的比兩面涂紅色的多塊．【答案】12小明用若干個大小相同的正方體木塊堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如圖1所示，從上面看如圖2，那么這個幾何體至少用了塊木塊．【考點】長方體與正方體【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】2007年，迎春杯，中年級，復賽，9題這道題很多同學認為答案是26塊．這是受思維定勢的影響,認為圖2中每一格都要至少放一塊．其實,有些格不放,看起來也是這樣的．如下圖，帶陰影的3塊不放時，小正方體塊數最少，為23塊．【答案】23塊右圖是正方體，如果將其表面涂成紅色，那么其中一面、二面、三面被涂成紅色的小正方體各有多少塊？【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答三面涂紅色的只有8個頂點處的8個立方體；兩面涂紅色的在棱長處，共塊；一面涂紅的表面中間部分：塊．【答案】52如右圖，一個邊長為3a厘米的正方體，分別在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一個截口是邊長為a厘米的正方形的長方體（都和對面打通）．如果這個鏤空的物體的表面積為2592平方厘米，試求正方形截口a的邊長．【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】解答原來正方體的表面積為：63a3a69a2（平方厘米），六個邊長為a的小正方形的面積為（減少部分）：6aa6a2（平方厘米）；挖成的每個長方體空洞增加的側面積為：aa428a2（平方厘米）；根據題意可得：54a26a238a22592，解得a236（平方厘米），故a6厘米．【答案】6大正方體的棱長是小正方體棱長的4倍，那么它的表面積是小正方體表面積的______倍．【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2008年，迎春杯，六年級，初賽．【答案】如圖所示，有大小不同的兩個正方體，大正方體的棱長是小正方體棱長的6倍．將大正方體的6個面都染上紅色，將小正方體的6個面都染上黃色，再將兩個正方體粘合在一起．那么這個立體圖形表面上紅色面積是黃色面積的倍．【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2010年，迎春杯，高年級復賽，3題假設小正方體棱長是1，大正方體棱長就是6，大正方體露在外面的表面積是，小正方體露在外面的表面積是5，所以有倍．【答案】43如圖，棱長分別為1厘米、2厘米、3厘米的三個正方體緊貼在一起，則所得到的立體圖形的表面積是平方厘米?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2009年，學而思杯，6年級，第3題把頂面往下補，把最下面的這個正方體補全了，上面兩個正方體各剩4個側面，表面積一共是：=54+16+4=74【答案】74一個表面積為56cm2的長方體如圖切成27個小長方體，這27個小長方體表面積的和是______cm2．【考點】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2008年，第六屆，走美杯，六年級，初賽，第2題每一刀增加兩個切面，增加的表面積等于與切面平行的兩個表面積,所以每個方向切兩刀后，表面積增加到原來的3倍，即表面積的和為168cm2.【答案】168圖是一個正方體木塊。M是AB的中點，N是AD的中點。用一把鋒利的鋸，過M、N、G三個點將木塊鋸成兩塊，使截面是平的，這個截面是______邊形?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2003年，第一屆，希望杯，4年級，初賽，23題應該是過M、N、G三點，那樣的話截面是一個五邊形，還會過BF、DH中點。【答案】五邊形課后作業(yè)：作業(yè)1、有l(wèi)25個同樣大小的正方體木塊，木塊的每個面的面積均為1平方厘米，其中63個表面涂上白色，還有62個表面涂上藍色。將這l25個正方體木塊粘在一起，形成一個棱長為5厘米大正方體木塊。這個大正方體木塊的表面上，藍色的面積最多是平方厘米?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2008年，迎春杯，三年級，初賽，第10題8個頂點上的正方體木塊表面積是3平方厘米，棱上的正方體木塊表面積是2平方厘米，面上的正方體木塊表面積是1平方厘米，所以要先在頂點和棱上放藍色的正方體木塊，剩下的放在面上，不放在內部，藍色的面積最多是3×8+2×（5-2）×12+1×（62-8-36）=114平方厘米.【答案】114作業(yè)2、有l(wèi)00個棱長為l厘米的正方體木塊，表面均為白色，還有25個棱長為l厘米的正方體木塊，表面均為藍色。將這125個正方體木塊粘在一起，形成一個大正方體。大正方體的表面為白色的面積至少是平方厘米?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2008年，迎春杯，四年級，初賽，8題將藍色正方體盡量依次往角上、棱上放，因為這三個位置上的正方體的裸露表面有3、2塊。這二個位置上的正方體依次有8、（5-1-1）×12=36個.所以25個正方體在角上放8個，棱上放17個，那么所占的表面積有8×3+17×2=58塊.白色面積為150-58=92塊，即92平方厘米.【答案】92作業(yè)3、64個同樣大小的小正方體，其中34個為白色的，30個為黑色的?，F將它們拼成一個4×4×4的大正方體，在大正方體的表面上白色部分的面積與黑色部分的面積之比最大為?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2004年，第二屆，走美杯，6年級，決賽，第6題，10分沒有露在表面的小正方體有(4-2)=8(個)，用黑色的。在面上但不在邊上的小正方體有(4-2)×6=24(個)，其中22個用黑色。這樣，在表面的4×4×6=96(個)小正方形中，22個是黑色，96-22=74(個)是白色，白色與黑色的面積比為74:2237:ll?！敬鸢浮孔鳂I(yè)4、將16個相同的小正方形拼成一個體積為16平方厘米的長方體，將表面涂漆，然后分開，結果，其中2面涂漆的小正方體有8個，那么3面涂漆的小正方體有__________個，4面涂漆的小正方體有__________個?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2007年，希望杯，第五屆，四年級，復賽，第12題，5分16=1×1×16=1×2×8=1×4×4=2×2×4，其中只有2×2×4的長方體有8個小正方體2面涂漆，它的3面小正方體有8個（8個角），沒有4面都涂漆的.【答案】三面涂漆的有8個，無四面涂漆的作業(yè)5、由27個棱長為1的小正方體組成一個棱長為3的大正方體，若自上而下去掉中間的3個小正方體，如圖所示，則剩下的幾何體的表面積是?！究键c】長方體與正方體【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】2006年，希望杯，第四屆，五年級，初賽，第15題，5分64，沒去掉3個小正方體之前的表面積為3×3×6=54，去掉之后增加了3×1×4-1×1×2=