非線性控制系統(tǒng)分析課件

第七章非線性控制系統(tǒng)分析自動控制原理中國民航大學(xué)

航空自動化學(xué)院第七章非線性控制系統(tǒng)分析自動控制原理中國民航大學(xué)

航空自動化第7章非線性控制系統(tǒng)分析7-1非線性控制系統(tǒng)概述基本內(nèi)容7-2常見非線性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)運(yùn)動的影響7-3描述函數(shù)法7-4相平面法第7章非線性控制系統(tǒng)分析7-1非線性控制系統(tǒng)概述基本要求

1.明確非線性系統(tǒng)動態(tài)過程的本質(zhì)特征。掌握系統(tǒng)中非線性部分、線性部分結(jié)構(gòu)歸化的方法。2.正確理解諧波線性化的條件及描述函數(shù)的概念。3.了解描述函數(shù)建立的一般方法，明確幾種典型非線性特性負(fù)倒描述函數(shù)曲線的特點(diǎn)。4.熟練掌握運(yùn)用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)中是否有周期運(yùn)動,判斷周期運(yùn)動的穩(wěn)定性?；疽?.明確非線性系統(tǒng)動態(tài)過程的本質(zhì)特征。掌握系簡介非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理，因此非線性系統(tǒng)也可以理解為不滿足疊加原理的系統(tǒng)。本章將介紹工程上常用的相平面法和描述函數(shù)法，并通過這兩種方法揭示非線性系統(tǒng)的一些區(qū)別于線性系統(tǒng)的現(xiàn)象。簡介非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。本前面研究的線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性；嚴(yán)格地說，由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以實(shí)際的自動控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)；一些系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來分析：①系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)。②某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條件下，可進(jìn)行線性化處理；但當(dāng)系統(tǒng)的非線性特征明顯且不能進(jìn)行線性化處理時，就必須采用非線性系統(tǒng)理論來分析。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。如果一個控制系統(tǒng)包含一個或一個以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié),則此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)。7.1非線性控制系統(tǒng)概述前面研究的線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性；如果一個控制系一.實(shí)際系統(tǒng)中的非線性因素圖7-1一些常見的非線性特性一.實(shí)際系統(tǒng)中的非線性因素圖7-1一些常見的非線性特性除上述實(shí)際系統(tǒng)中部件的不可避免的非線性因素外，有時為了改善系統(tǒng)的性能或者簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，人們還常常在系統(tǒng)中引入非線性部件或者更復(fù)雜的非線性控制器。通常，在自動控制系統(tǒng)中采用的非線性部件，最簡單和最普遍的就是繼電器。除上述實(shí)際系統(tǒng)中部件的不可避免的非線性因素外，有時為了改善系圖7-2電磁繼電器的工作原理和輸入-輸出特性圖7-2電磁繼電器的工作原理和輸入-輸出特性二、本質(zhì)非線性系統(tǒng)有以下特點(diǎn)：1）初始條件與輸入量對非線性系統(tǒng)的影響

非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，如圖所示。

線性系統(tǒng)如果某系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式。二、本質(zhì)非線性系統(tǒng)有以下特點(diǎn)：非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條初始條件不同時非線性系統(tǒng)不同的響應(yīng)特性

初始條件不同時非線性系統(tǒng)不同的響應(yīng)特性2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性也與輸入信號的大小、初始條件有關(guān)

（1）當(dāng)初始條件xo＜1時,1－xo＞0,上式具有負(fù)的特征根,其暫態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律衰減,該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當(dāng)xo=1時,1-xo=0,上式的特征根為零,其暫態(tài)過程為一常量。（3）當(dāng)xo＞1時,1-xo＜0,上式的特征根為正值,系統(tǒng)暫態(tài)過程指數(shù)規(guī)律發(fā)散,系統(tǒng)不穩(wěn)定。2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性也與輸入信號的大小、初（1）當(dāng)初始條件x線性系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號及初始條件無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號及初始條件有關(guān)。即可能在某個初始條件下穩(wěn)定，而在另一個初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號及初始3）非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩：在沒有外作用時,有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過程物理上可實(shí)現(xiàn)并可保持,通常將其稱為自持振蕩或自振蕩；線性系統(tǒng)只有兩種工作模式：要么發(fā)散，要么收斂；非線性系統(tǒng)有收斂、發(fā)散和自持振蕩三種狀態(tài)。3）非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩：4）當(dāng)非線性輸入的信號為正弦作用時，由于非線性其輸出將不再是正弦信號，而包含有各種諧波分量，發(fā)生非線性畸變。

線性系統(tǒng)中，當(dāng)輸入量是正弦信號時，輸出穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，可以引入頻率特性的概念并用它來表示系統(tǒng)固有的動態(tài)特性。4）當(dāng)非線性輸入的信號為正弦作用時，由于非線性其輸出將不再是三、非線性系統(tǒng)分析方法：1）非線性系統(tǒng)的運(yùn)動比線性系統(tǒng)復(fù)雜得多；2）分析線性系統(tǒng)的分析方法不能用于分析非線性系統(tǒng)；3）非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程；但至今為止非線性微分方程沒有成熟的解法；4）描述函數(shù)法、相平面法和李亞譜諾夫第二方法是分析非線性系統(tǒng)的三種方法。三、非線性系統(tǒng)分析方法：7.2常見非線性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)

運(yùn)動的影響一.不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)又叫死區(qū)，系統(tǒng)中的死區(qū)是由測量元件的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)所造成的。死區(qū)特性7.2常見非線性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)

運(yùn)動的影響一.不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式中死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式中包含死區(qū)的非線性系統(tǒng)在實(shí)際系統(tǒng)中死區(qū)可由眾多原因引起，它對系統(tǒng)可產(chǎn)生不同的影響：一方面它使降低了開環(huán)增益，控制精度降低，單相對穩(wěn)定性提高；另一方面有時人們又人為的引入死區(qū)特性，使系統(tǒng)具有抗干擾能力。

包含死區(qū)的非線性系統(tǒng)在實(shí)際系統(tǒng)中死區(qū)可由眾多原因引起，它對系二、飽和圖7-9部件的飽和現(xiàn)象飽和特性也是系統(tǒng)中最常見的一種非線性特性。二、飽和圖7-9部件的飽和現(xiàn)象飽和特性也是系統(tǒng)中最常見理想化后的飽和特性典型數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中：a是線性范圍，K為線性范圍內(nèi)的傳遞系數(shù)（對于放大元件，也稱增益）。理想化后的飽和特性典型數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中：粗略地看，飽和特性的存在相當(dāng)于大信號作用時，增益下降。圖7-10飽和特性圖7-11飽和特性的等效增益粗略地看，飽和特性的存在相當(dāng)于大信號作用時，增益下降。圖7-圖7-13圖7-12系統(tǒng)的響應(yīng)隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—12所示。當(dāng)系統(tǒng)輸入端加上一個幅值較大的階躍信號時，若放大器無飽和限制，系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線1；放大器有飽和限制時的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線2。圖7-12非線性系統(tǒng)圖7-13圖7-12系統(tǒng)的響應(yīng)隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—1若隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—15所示。圖7-14根軌跡圖圖7-15非線性系統(tǒng)根軌跡分析：若隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—15所示。圖7-14根軌跡圖圖7圖7-16系統(tǒng)的時間響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)中不存在飽和特性的限制，系統(tǒng)是振蕩發(fā)散的；若系統(tǒng)中存在飽和特性的限制，則系統(tǒng)不再發(fā)散，而是出現(xiàn)穩(wěn)定的等幅振蕩，如圖7-16中的曲線2。圖7-16系統(tǒng)的時間響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)中不存在飽和特性的限制，系統(tǒng)是三、間隙(非單值特性)圖7—17齒輪傳動中的間隙傳動機(jī)構(gòu)(如齒輪傳動、桿系傳動)的間隙也是控制系統(tǒng)中的一種常見的非線性因素。三、間隙(非單值特性)圖7—17齒輪傳動中的間隙傳動機(jī)構(gòu)間隙特性的典型形式如圖7-18所示數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖7—18間隙非線性特性間隙特性的典型形式如圖7-18所示數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖7—18間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般說來，它會增大系統(tǒng)的靜差，使系統(tǒng)波形失真，過渡過程的振蕩加劇。圖7-19間隙特性的輸入-輸出波形間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般說來，它會增大系統(tǒng)的靜差，四、繼電器特性繼電器非線性會使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且使穩(wěn)態(tài)誤差加大。四、繼電器特性繼電器非線性會使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至?xí)?dǎo)致系7.3描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念當(dāng)非線性元件輸入一個正弦信號輸出是一個含有高次諧波的周期函數(shù)：7.3描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非線性元件的靜特性不是時間t的函數(shù),即為非儲能元件；如果滿足下列條件：系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波特性——濾去高次諧波。系統(tǒng)的輸入為0，非線性元件的輸入為正弦信號：非線性元件的特性是奇對稱的，即有——直流分量為0；非線性元件的靜特性不是時間t的函數(shù),如果滿足下列條件：系滿足上面條件,可以用基波信號代替整個輸出的信號；這個過程實(shí)際上是一個線性化過程，經(jīng)過線性化輸出的信號與輸入信號同頻率，只是在幅值和相位上有差異；滿足上面條件,可以用基波信號代替整個輸出的信號；這個過程一般情況下，描述函數(shù)為入幅值的函數(shù)，而與頻率無關(guān)。當(dāng)非線性特性為單值時，相應(yīng)的描述函數(shù)為一實(shí)數(shù)，表示輸入與輸出是同相的。被稱為非線性特性的描述函數(shù)。經(jīng)過線性化之后的輸入輸出關(guān)系一般情況下，描述函數(shù)為入幅值被稱為非例若非線性特性為

其特性曲線如圖7-58，求其描述函數(shù)。例若非線性特性為其特性曲線如圖7-58，求其描述函數(shù)。令則有解：令例題的輸入-輸出特性描述函數(shù)例題的輸入-輸出特性二、典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)非線性二、典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)非線性死區(qū)特性的描述函數(shù)為：

死區(qū)特性的描述函數(shù)為：2.飽和特性2.飽和特性3.間隙特性3.間隙特性三、組合非線性特性

1.非線性特性的并聯(lián)等效

三、組合非線性特性1.非線性特性的并聯(lián)等效2.非線性特性的串聯(lián)等效

2.非線性特性的串聯(lián)等效四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

非線性控制系統(tǒng)可化為下列結(jié)構(gòu)形式圖7-64非線性控制系統(tǒng)四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

非線性控制系統(tǒng)可化為下列結(jié)構(gòu)形式用描述分析非線性系統(tǒng)時兩個基本假設(shè)：系統(tǒng)的線性部分G(jω)具有很好的低通濾波性。系統(tǒng)若發(fā)生自激振蕩（穩(wěn)定的周期運(yùn)動），假定非線性環(huán)節(jié)N的輸入端的振蕩為正弦波。用描述分析非線性系統(tǒng)時兩個基本假設(shè)：1、特征方程的解法圖7－64所示系統(tǒng)的特征方程為（7-90）如果對于某一個和，式（7－90）成立，

那么非線性環(huán)節(jié)N輸入端將有的周期運(yùn)動。此時相當(dāng)于將整個曲線當(dāng)作臨界點(diǎn)。

1、特征方程的解法圖7－64所示系統(tǒng)的特征方程為（7-90）因此可以類似的得到當(dāng)線性系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時的非線性系統(tǒng)的乃氏判據(jù)。上述情況與線性系統(tǒng)中的乃氏曲線穿越點(diǎn)相類似利用描述函數(shù)判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒特性相當(dāng)于線性系統(tǒng)的點(diǎn)；如非線性部分的負(fù)倒特性沒有被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果非線性部分的負(fù)倒特性被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。

如非線性部分的負(fù)倒特性沒有被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果非線性部分的負(fù)倒特性被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。因此可以類似的得到當(dāng)線性系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時的非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性

a)不順時針包圍b)順時針包圍c)順時針部分包圍

描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性a)如果與曲線相交，則可能產(chǎn)生自持振蕩。嚴(yán)格地講，自持振蕩不是正弦的，但可以用正弦來近似。自持振蕩的幅值是由交點(diǎn)處曲線上的A值決定的，而頻率是由交點(diǎn)處曲線上的頻率決定的。2、非線性系統(tǒng)自持振蕩分析如果與曲線相交，則可能產(chǎn)生自持振自持振蕩分析自持振蕩分析【例1】判斷圖中各自振蕩點(diǎn)穩(wěn)定與否?

3、實(shí)例分析【例1】判斷圖中各自振蕩點(diǎn)穩(wěn)定與否?3、實(shí)例分析【例2】確定圖中非線性系統(tǒng)的自振蕩振幅和頻率。圖7-22非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：理想繼電特性的描述函數(shù)為【例2】確定圖中非線性系統(tǒng)的自振蕩振幅和頻率。圖7-22由于

故的軌跡為沿整個負(fù)實(shí)軸的直線

線性部分的頻率特性

由于故的軌跡為沿整個負(fù)實(shí)軸的直線線根據(jù)產(chǎn)生自持振蕩的條件得

解之得

將之代入

得

由

得

根據(jù)產(chǎn)生自持振蕩的條件得解之得將之代入得由得例7－1

已知某位置隨動系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖7-22所示，其中飽和非線性是積分環(huán)節(jié)達(dá)到限幅時形成的。試計(jì)算：①系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍；②時在初始狀態(tài)作用下系統(tǒng)自振的振幅和頻率。解例7－1已知某位置隨動系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖7時，，恰是負(fù)倒描述函數(shù)特性的起點(diǎn)。時，開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)倒描述函數(shù)特性曲線不相交，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；時兩曲線相交，交點(diǎn)為自振點(diǎn)，自振的頻率為；時的實(shí)頻值為，負(fù)倒描述函數(shù)的振幅值滿足解得自振的振幅為。時，，恰是負(fù)倒描述函數(shù)特性的起【例3】研究如下圖所示非線性系統(tǒng)。試判斷系統(tǒng)是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和頻率。【例3】研究如下圖所示非線性系統(tǒng)。試判斷系統(tǒng)是否存在自振；解：

描述函數(shù)為解：描述函數(shù)為計(jì)算數(shù)據(jù)表-2-1.64-1.57-1.6410.90.80.6-1.81-2.14-2.74-4.18-7.890.50.40.30.20.1

計(jì)算數(shù)據(jù)表-2-1.64-1.57-1.6410.90.800.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.90.197

0.388

0.579

0.920

1.132

1.593

2.351

400300250200180150120非線性控制系統(tǒng)分析課件圖7-69圖7-68系統(tǒng)的曲線圖7-69圖7-68系統(tǒng)的曲線系統(tǒng)穩(wěn)定性分析圖7-72非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性分析圖7-72非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)有不同于線性系統(tǒng)的特性；描述函數(shù)是對非線性系統(tǒng)特性的諧波線性化處理后的近似線性系統(tǒng)的頻率特性；描述函數(shù)法應(yīng)用必須滿足四個條件；描述函數(shù)法只能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。非線性系統(tǒng)有不同于線性系統(tǒng)的特性；7.4相平面法相平面法是一種求解二階常微分方程的圖解方法。設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述（7-17）（7-18）7.4相平面法相平面法是一種求解二階常微分方程的圖相平面:描繪相平面上的點(diǎn)隨時間變化的曲線叫相軌跡。

通常把方程（7－17）稱為相軌跡微分方程式，簡稱相軌跡方程。將（7－18）式的積分結(jié)果稱為相軌跡表達(dá)式。相軌跡:把具有直角坐標(biāo)的平面叫做相平面。相平面:通常把方程（7－17）稱為相軌跡微分方程式，簡稱一、等傾線法繪制線性系統(tǒng)的相軌跡

一、等傾線法繪制線性系統(tǒng)的相軌跡r(t)=0時相軌跡的初始相點(diǎn)對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，相軌跡也對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，而時間函數(shù)對稱于橫軸。r(t)=0時相軌跡的初始相點(diǎn)對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，相軌跡也對稱于例子微分方程或等傾線是直線，它的方程為：例子微分方程或等傾線是直線，它的方程為：取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示該等傾線斜率值的小線段，這些小線段表示相軌跡通過等傾線時的方向，從相軌跡的起點(diǎn)按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡。取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，二、相軌跡的特征1.相軌跡不相交相軌跡上每一個點(diǎn)都有確定的斜率二、相軌跡的特征1.相軌跡不相交2相軌跡的奇點(diǎn)在奇點(diǎn)處，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，又稱為平衡點(diǎn)。由于，奇點(diǎn)只能出現(xiàn)在橫軸上。滿足的點(diǎn)稱為相軌跡奇點(diǎn)。該點(diǎn)處相軌跡的斜率為一個不確定值，因此有無數(shù)多條相軌跡通過該點(diǎn)，他們的斜率各不相同。2相軌跡的奇點(diǎn)在奇點(diǎn)處，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，又稱為平衡點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)（7-12）的特征方程為

上述特征方程的根為

式（7-21）所表示的自由運(yùn)動，其性質(zhì)由特征方程根的分布特點(diǎn)所決定。（7-21）設(shè)系統(tǒng)的微分方程為系統(tǒng)（7-12）的特征方程為取相坐標(biāo)、，式（7-21）可化為：或（7-22）取相坐標(biāo)、，式（7-21）可化為：或（7-22（1）欠阻尼運(yùn)動相軌跡如圖所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不管初始狀態(tài)如何，它經(jīng)過衰減振蕩，最后趨向于平衡狀態(tài)。坐標(biāo)原點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，它附近的相軌跡是收斂于它的對數(shù)螺旋線，這種奇點(diǎn)稱為

穩(wěn)定的焦點(diǎn)。系統(tǒng)欠阻尼運(yùn)動時的相軌跡（1）欠阻尼運(yùn)動相軌跡如圖所示。從圖中可以看出，欠阻尼系統(tǒng)不（2）負(fù)阻尼運(yùn)動相軌跡圖如圖7－28所示，此時相軌跡仍是對數(shù)螺旋線，但相軌跡的運(yùn)動方向與上圖不同，隨著t的增長，運(yùn)動過程是振蕩發(fā)散的。這種奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的焦點(diǎn)。圖7-28（2）負(fù)阻尼運(yùn)動相軌跡圖如圖7－28所示，此時相軌跡仍是對過阻尼時的相軌跡坐標(biāo)原點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。（3）過阻尼運(yùn)動

過阻尼時的相軌跡坐標(biāo)原點(diǎn)是一個奇點(diǎn)，（3）過阻尼運(yùn)動系統(tǒng)的相軌跡圖如圖所示，奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)。（4）負(fù)阻尼系統(tǒng)的相軌跡圖如圖所示，奇點(diǎn)稱為（4）負(fù)阻尼系統(tǒng)無阻尼運(yùn)動時的相軌跡相軌跡的方向如圖中箭頭所示。相軌跡垂直穿過橫軸。圖中的奇點(diǎn)(0,0)通常稱為中心

（5）無阻尼運(yùn)動系統(tǒng)無阻尼運(yùn)動時的相軌跡相軌跡的方向如圖中箭頭所示。圖中的奇此時相軌跡如圖所示。奇點(diǎn)稱為

鞍點(diǎn)

該奇點(diǎn)是不穩(wěn)定的。（6）鞍點(diǎn)此時相軌跡如圖（6）鞍點(diǎn)

（1）穩(wěn)定極限環(huán)

（2）不穩(wěn)定極限環(huán)。（3）半穩(wěn)定極限環(huán)。極線環(huán)也是奇線，是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心的環(huán)狀相軌跡。

3.奇線將相平面劃分成幾個不同的區(qū)域，各區(qū)域的相軌跡只能在自己區(qū)域內(nèi)運(yùn)動，不能互相穿越。這類特殊相軌跡稱為奇線.（1）穩(wěn)定極限環(huán)（2）不穩(wěn)定極限環(huán)。（3）三、由相軌跡求時域響應(yīng)1.增量法三、由相軌跡求時域響應(yīng)1.增量法

2.圓弧法2.圓弧法四、相平面法分析非線性控制系統(tǒng)

1.飽和非線性控制系統(tǒng)分析

非線性特性比較環(huán)節(jié)由誤差函數(shù)描述的各線性段微分方程四、相平面法分析非線性控制系統(tǒng)1.飽和非線性控制系（1）階躍響應(yīng)

設(shè)輸入量，。將參數(shù)

代入上式得

e>1e<-1（1）階躍響應(yīng)設(shè)輸入量

（2）斜坡響應(yīng)等傾線方程斜率將代入（2）斜坡響應(yīng)等傾線方程斜率將代入

1）

的情形。輸入量作用前系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，輸入量作用瞬間輸出狀態(tài)不躍變1）2）

的情形。

輸入量作用前系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，輸入量作用瞬間輸出狀態(tài)不躍變2）的情形。輸入量作用前系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，(3)

的情形。(3)的情形。2.帶微分負(fù)反饋的非線性系統(tǒng)分析（1）階躍響應(yīng)

2.帶微分負(fù)反饋的非線性系統(tǒng)分析（1）階躍響應(yīng)（2）斜坡響應(yīng)

（2）斜坡響應(yīng)本章主要知識點(diǎn)與主要線索作圖開關(guān)線計(jì)算查表非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)乃氏曲線線性部分分段線性的非線性系統(tǒng)分段相跡方程奇點(diǎn)類型相跡方程等傾線法穩(wěn)定性,自振,求自振參數(shù)求時間相跡時間響應(yīng)本章主要知識點(diǎn)與主要線索作圖開關(guān)線計(jì)算非線性系統(tǒng)典型結(jié)構(gòu)乃第七章非線性控制系統(tǒng)分析自動控制原理中國民航大學(xué)

航空自動化學(xué)院第七章非線性控制系統(tǒng)分析自動控制原理中國民航大學(xué)

航空自動化第7章非線性控制系統(tǒng)分析7-1非線性控制系統(tǒng)概述基本內(nèi)容7-2常見非線性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)運(yùn)動的影響7-3描述函數(shù)法7-4相平面法第7章非線性控制系統(tǒng)分析7-1非線性控制系統(tǒng)概述基本要求

1.明確非線性系統(tǒng)動態(tài)過程的本質(zhì)特征。掌握系統(tǒng)中非線性部分、線性部分結(jié)構(gòu)歸化的方法。2.正確理解諧波線性化的條件及描述函數(shù)的概念。3.了解描述函數(shù)建立的一般方法，明確幾種典型非線性特性負(fù)倒描述函數(shù)曲線的特點(diǎn)。4.熟練掌握運(yùn)用描述函數(shù)法分析系統(tǒng)中是否有周期運(yùn)動,判斷周期運(yùn)動的穩(wěn)定性?；疽?.明確非線性系統(tǒng)動態(tài)過程的本質(zhì)特征。掌握系簡介非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。線性系統(tǒng)的本質(zhì)特征是疊加原理，因此非線性系統(tǒng)也可以理解為不滿足疊加原理的系統(tǒng)。本章將介紹工程上常用的相平面法和描述函數(shù)法，并通過這兩種方法揭示非線性系統(tǒng)的一些區(qū)別于線性系統(tǒng)的現(xiàn)象。簡介非線性系統(tǒng)一般理解為非線性微分方程所描述的系統(tǒng)。本前面研究的線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性；嚴(yán)格地說，由于控制元件或多或少地帶有非線性特性，所以實(shí)際的自動控制系統(tǒng)都是非線性系統(tǒng)；一些系統(tǒng)作為線性系統(tǒng)來分析：①系統(tǒng)的非線性不明顯，可近似為線性系統(tǒng)。②某些系統(tǒng)的非線性特性雖然較明顯，但在某些條件下，可進(jìn)行線性化處理；但當(dāng)系統(tǒng)的非線性特征明顯且不能進(jìn)行線性化處理時，就必須采用非線性系統(tǒng)理論來分析。這類非線性稱為本質(zhì)非線性。如果一個控制系統(tǒng)包含一個或一個以上具有非線性特性的元件或環(huán)節(jié),則此系統(tǒng)即為非線性系統(tǒng)。7.1非線性控制系統(tǒng)概述前面研究的線性系統(tǒng)滿足疊加性和齊次性；如果一個控制系一.實(shí)際系統(tǒng)中的非線性因素圖7-1一些常見的非線性特性一.實(shí)際系統(tǒng)中的非線性因素圖7-1一些常見的非線性特性除上述實(shí)際系統(tǒng)中部件的不可避免的非線性因素外，有時為了改善系統(tǒng)的性能或者簡化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，人們還常常在系統(tǒng)中引入非線性部件或者更復(fù)雜的非線性控制器。通常，在自動控制系統(tǒng)中采用的非線性部件，最簡單和最普遍的就是繼電器。除上述實(shí)際系統(tǒng)中部件的不可避免的非線性因素外，有時為了改善系圖7-2電磁繼電器的工作原理和輸入-輸出特性圖7-2電磁繼電器的工作原理和輸入-輸出特性二、本質(zhì)非線性系統(tǒng)有以下特點(diǎn)：1）初始條件與輸入量對非線性系統(tǒng)的影響

非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，如圖所示。

線性系統(tǒng)如果某系統(tǒng)在某初始條件下的響應(yīng)過程為衰減振蕩，則其在任何輸入信號及初始條件下該系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)均為衰減振蕩形式。二、本質(zhì)非線性系統(tǒng)有以下特點(diǎn)：非線性系統(tǒng)可能會出現(xiàn)某一初始條初始條件不同時非線性系統(tǒng)不同的響應(yīng)特性

初始條件不同時非線性系統(tǒng)不同的響應(yīng)特性2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性也與輸入信號的大小、初始條件有關(guān)

（1）當(dāng)初始條件xo＜1時,1－xo＞0,上式具有負(fù)的特征根,其暫態(tài)過程按指數(shù)規(guī)律衰減,該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當(dāng)xo=1時,1-xo=0,上式的特征根為零,其暫態(tài)過程為一常量。（3）當(dāng)xo＞1時,1-xo＜0,上式的特征根為正值,系統(tǒng)暫態(tài)過程指數(shù)規(guī)律發(fā)散,系統(tǒng)不穩(wěn)定。2）系統(tǒng)的穩(wěn)定性也與輸入信號的大小、初（1）當(dāng)初始條件x線性系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號及初始條件無關(guān)。但非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號及初始條件有關(guān)。即可能在某個初始條件下穩(wěn)定，而在另一個初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。線性系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性只取決于系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入信號及初始3）非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩：在沒有外作用時,有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過程物理上可實(shí)現(xiàn)并可保持,通常將其稱為自持振蕩或自振蕩；線性系統(tǒng)只有兩種工作模式：要么發(fā)散，要么收斂；非線性系統(tǒng)有收斂、發(fā)散和自持振蕩三種狀態(tài)。3）非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩：4）當(dāng)非線性輸入的信號為正弦作用時，由于非線性其輸出將不再是正弦信號，而包含有各種諧波分量，發(fā)生非線性畸變。

線性系統(tǒng)中，當(dāng)輸入量是正弦信號時，輸出穩(wěn)態(tài)分量也是同頻率的正弦函數(shù)，可以引入頻率特性的概念并用它來表示系統(tǒng)固有的動態(tài)特性。4）當(dāng)非線性輸入的信號為正弦作用時，由于非線性其輸出將不再是三、非線性系統(tǒng)分析方法：1）非線性系統(tǒng)的運(yùn)動比線性系統(tǒng)復(fù)雜得多；2）分析線性系統(tǒng)的分析方法不能用于分析非線性系統(tǒng)；3）非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程；但至今為止非線性微分方程沒有成熟的解法；4）描述函數(shù)法、相平面法和李亞譜諾夫第二方法是分析非線性系統(tǒng)的三種方法。三、非線性系統(tǒng)分析方法：7.2常見非線性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)

運(yùn)動的影響一.不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)又叫死區(qū)，系統(tǒng)中的死區(qū)是由測量元件的死區(qū)、放大器的死區(qū)以及執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)所造成的。死區(qū)特性7.2常見非線性環(huán)節(jié)對系統(tǒng)

運(yùn)動的影響一.不靈敏區(qū)不靈敏區(qū)死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式中死區(qū)非線性特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：式中包含死區(qū)的非線性系統(tǒng)在實(shí)際系統(tǒng)中死區(qū)可由眾多原因引起，它對系統(tǒng)可產(chǎn)生不同的影響：一方面它使降低了開環(huán)增益，控制精度降低，單相對穩(wěn)定性提高；另一方面有時人們又人為的引入死區(qū)特性，使系統(tǒng)具有抗干擾能力。

包含死區(qū)的非線性系統(tǒng)在實(shí)際系統(tǒng)中死區(qū)可由眾多原因引起，它對系二、飽和圖7-9部件的飽和現(xiàn)象飽和特性也是系統(tǒng)中最常見的一種非線性特性。二、飽和圖7-9部件的飽和現(xiàn)象飽和特性也是系統(tǒng)中最常見理想化后的飽和特性典型數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中：a是線性范圍，K為線性范圍內(nèi)的傳遞系數(shù)（對于放大元件，也稱增益）。理想化后的飽和特性典型數(shù)學(xué)表達(dá)式為：式中：粗略地看，飽和特性的存在相當(dāng)于大信號作用時，增益下降。圖7-10飽和特性圖7-11飽和特性的等效增益粗略地看，飽和特性的存在相當(dāng)于大信號作用時，增益下降。圖7-圖7-13圖7-12系統(tǒng)的響應(yīng)隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—12所示。當(dāng)系統(tǒng)輸入端加上一個幅值較大的階躍信號時，若放大器無飽和限制，系統(tǒng)的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線1；放大器有飽和限制時的時間響應(yīng)曲線如圖7-13中的曲線2。圖7-12非線性系統(tǒng)圖7-13圖7-12系統(tǒng)的響應(yīng)隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—1若隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—15所示。圖7-14根軌跡圖圖7-15非線性系統(tǒng)根軌跡分析：若隨動系統(tǒng)的方塊圖如圖7—15所示。圖7-14根軌跡圖圖7圖7-16系統(tǒng)的時間響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)中不存在飽和特性的限制，系統(tǒng)是振蕩發(fā)散的；若系統(tǒng)中存在飽和特性的限制，則系統(tǒng)不再發(fā)散，而是出現(xiàn)穩(wěn)定的等幅振蕩，如圖7-16中的曲線2。圖7-16系統(tǒng)的時間響應(yīng)當(dāng)系統(tǒng)中不存在飽和特性的限制，系統(tǒng)是三、間隙(非單值特性)圖7—17齒輪傳動中的間隙傳動機(jī)構(gòu)(如齒輪傳動、桿系傳動)的間隙也是控制系統(tǒng)中的一種常見的非線性因素。三、間隙(非單值特性)圖7—17齒輪傳動中的間隙傳動機(jī)構(gòu)間隙特性的典型形式如圖7-18所示數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖7—18間隙非線性特性間隙特性的典型形式如圖7-18所示數(shù)學(xué)表達(dá)式為圖7—18間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般說來，它會增大系統(tǒng)的靜差，使系統(tǒng)波形失真，過渡過程的振蕩加劇。圖7-19間隙特性的輸入-輸出波形間隙對系統(tǒng)性能的影響也很復(fù)雜，一般說來，它會增大系統(tǒng)的靜差，四、繼電器特性繼電器非線性會使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至?xí)?dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定，并且使穩(wěn)態(tài)誤差加大。四、繼電器特性繼電器非線性會使系統(tǒng)產(chǎn)生自持振蕩，甚至?xí)?dǎo)致系7.3描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念當(dāng)非線性元件輸入一個正弦信號輸出是一個含有高次諧波的周期函數(shù)：7.3描述函數(shù)法一、描述函數(shù)的基本概念非線性元件的靜特性不是時間t的函數(shù),即為非儲能元件；如果滿足下列條件：系統(tǒng)的線性部分具有較好的低通濾波特性——濾去高次諧波。系統(tǒng)的輸入為0，非線性元件的輸入為正弦信號：非線性元件的特性是奇對稱的，即有——直流分量為0；非線性元件的靜特性不是時間t的函數(shù),如果滿足下列條件：系滿足上面條件,可以用基波信號代替整個輸出的信號；這個過程實(shí)際上是一個線性化過程，經(jīng)過線性化輸出的信號與輸入信號同頻率，只是在幅值和相位上有差異；滿足上面條件,可以用基波信號代替整個輸出的信號；這個過程一般情況下，描述函數(shù)為入幅值的函數(shù)，而與頻率無關(guān)。當(dāng)非線性特性為單值時，相應(yīng)的描述函數(shù)為一實(shí)數(shù)，表示輸入與輸出是同相的。被稱為非線性特性的描述函數(shù)。經(jīng)過線性化之后的輸入輸出關(guān)系一般情況下，描述函數(shù)為入幅值被稱為非例若非線性特性為

其特性曲線如圖7-58，求其描述函數(shù)。例若非線性特性為其特性曲線如圖7-58，求其描述函數(shù)。令則有解：令例題的輸入-輸出特性描述函數(shù)例題的輸入-輸出特性二、典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)非線性二、典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)1.死區(qū)非線性死區(qū)特性的描述函數(shù)為：

死區(qū)特性的描述函數(shù)為：2.飽和特性2.飽和特性3.間隙特性3.間隙特性三、組合非線性特性

1.非線性特性的并聯(lián)等效

三、組合非線性特性1.非線性特性的并聯(lián)等效2.非線性特性的串聯(lián)等效

2.非線性特性的串聯(lián)等效四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

非線性控制系統(tǒng)可化為下列結(jié)構(gòu)形式圖7-64非線性控制系統(tǒng)四、非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

非線性控制系統(tǒng)可化為下列結(jié)構(gòu)形式用描述分析非線性系統(tǒng)時兩個基本假設(shè)：系統(tǒng)的線性部分G(jω)具有很好的低通濾波性。系統(tǒng)若發(fā)生自激振蕩（穩(wěn)定的周期運(yùn)動），假定非線性環(huán)節(jié)N的輸入端的振蕩為正弦波。用描述分析非線性系統(tǒng)時兩個基本假設(shè)：1、特征方程的解法圖7－64所示系統(tǒng)的特征方程為（7-90）如果對于某一個和，式（7－90）成立，

那么非線性環(huán)節(jié)N輸入端將有的周期運(yùn)動。此時相當(dāng)于將整個曲線當(dāng)作臨界點(diǎn)。

1、特征方程的解法圖7－64所示系統(tǒng)的特征方程為（7-90）因此可以類似的得到當(dāng)線性系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時的非線性系統(tǒng)的乃氏判據(jù)。上述情況與線性系統(tǒng)中的乃氏曲線穿越點(diǎn)相類似利用描述函數(shù)判斷非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性時，非線性環(huán)節(jié)的負(fù)倒特性相當(dāng)于線性系統(tǒng)的點(diǎn)；如非線性部分的負(fù)倒特性沒有被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果非線性部分的負(fù)倒特性被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。

如非線性部分的負(fù)倒特性沒有被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果非線性部分的負(fù)倒特性被線性部分的乃氏曲線包圍，則系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。因此可以類似的得到當(dāng)線性系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)時的非線性系統(tǒng)描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性

a)不順時針包圍b)順時針包圍c)順時針部分包圍

描述函數(shù)法分析非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性a)如果與曲線相交，則可能產(chǎn)生自持振蕩。嚴(yán)格地講，自持振蕩不是正弦的，但可以用正弦來近似。自持振蕩的幅值是由交點(diǎn)處曲線上的A值決定的，而頻率是由交點(diǎn)處曲線上的頻率決定的。2、非線性系統(tǒng)自持振蕩分析如果與曲線相交，則可能產(chǎn)生自持振自持振蕩分析自持振蕩分析【例1】判斷圖中各自振蕩點(diǎn)穩(wěn)定與否?

3、實(shí)例分析【例1】判斷圖中各自振蕩點(diǎn)穩(wěn)定與否?3、實(shí)例分析【例2】確定圖中非線性系統(tǒng)的自振蕩振幅和頻率。圖7-22非線性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖解：理想繼電特性的描述函數(shù)為【例2】確定圖中非線性系統(tǒng)的自振蕩振幅和頻率。圖7-22由于

故的軌跡為沿整個負(fù)實(shí)軸的直線

線性部分的頻率特性

由于故的軌跡為沿整個負(fù)實(shí)軸的直線線根據(jù)產(chǎn)生自持振蕩的條件得

解之得

將之代入

得

由

得

根據(jù)產(chǎn)生自持振蕩的條件得解之得將之代入得由得例7－1

已知某位置隨動系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖7-22所示，其中飽和非線性是積分環(huán)節(jié)達(dá)到限幅時形成的。試計(jì)算：①系統(tǒng)穩(wěn)定時K的取值范圍；②時在初始狀態(tài)作用下系統(tǒng)自振的振幅和頻率。解例7－1已知某位置隨動系統(tǒng)的動態(tài)結(jié)構(gòu)圖如圖7時，，恰是負(fù)倒描述函數(shù)特性的起點(diǎn)。時，開環(huán)幅相頻率特性與負(fù)倒描述函數(shù)特性曲線不相交，非線性系統(tǒng)穩(wěn)定；時兩曲線相交，交點(diǎn)為自振點(diǎn)，自振的頻率為；時的實(shí)頻值為，負(fù)倒描述函數(shù)的振幅值滿足解得自振的振幅為。時，，恰是負(fù)倒描述函數(shù)特性的起【例3】研究如下圖所示非線性系統(tǒng)。試判斷系統(tǒng)是否存在自振；若有自振，求出自振的振幅和頻率。【例3】研究如下圖所示非線性系統(tǒng)。試判斷系統(tǒng)是否存在自振；解：

描述函數(shù)為解：描述函數(shù)為計(jì)算數(shù)據(jù)表-2-1.64-1.57-1.6410.90.80.6-1.81-2.14-2.74-4.18-7.890.50.40.30.20.1

計(jì)算數(shù)據(jù)表-2-1.64-1.57-1.6410.90.800.4780.9421.4062.2342.7493.8675.708-211-198.4-190.2-180-175.2-166.9-156.90.197

0.388

0.579

0.920

1.132

1.593

2.351

400300250200180150120非線性控制系統(tǒng)分析課件圖7-69圖7-68系統(tǒng)的曲線圖7-69圖7-68系統(tǒng)的曲線系統(tǒng)穩(wěn)定性分析圖7-72非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)穩(wěn)定性分析圖7-72非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析非線性系統(tǒng)有不同于線性系統(tǒng)的特性；描述函數(shù)是對非線性系統(tǒng)特性的諧波線性化處理后的近似線性系統(tǒng)的頻率特性；描述函數(shù)法應(yīng)用必須滿足四個條件；描述函數(shù)法只能分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性和自持振蕩。非線性系統(tǒng)有不同于線性系統(tǒng)的特性；7.4相平面法相平面法是一種求解二階常微分方程的圖解方法。設(shè)一個二階系統(tǒng)可以用下列常微分方程描述（7-17）（7-18）7.4相平面法相平面法是一種求解二階常微分方程的圖相平面:描繪相平面上的點(diǎn)隨時間變化的曲線叫相軌跡。

通常把方程（7－17）稱為相軌跡微分方程式，簡稱相軌跡方程。將（7－18）式的積分結(jié)果稱為相軌跡表達(dá)式。相軌跡:把具有直角坐標(biāo)的平面叫做相平面。相平面:通常把方程（7－17）稱為相軌跡微分方程式，簡稱一、等傾線法繪制線性系統(tǒng)的相軌跡

一、等傾線法繪制線性系統(tǒng)的相軌跡r(t)=0時相軌跡的初始相點(diǎn)對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，相軌跡也對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，而時間函數(shù)對稱于橫軸。r(t)=0時相軌跡的初始相點(diǎn)對稱于坐標(biāo)原點(diǎn)，相軌跡也對稱于例子微分方程或等傾線是直線，它的方程為：例子微分方程或等傾線是直線，它的方程為：取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，在每條等傾線上畫出表示該等傾線斜率值的小線段，這些小線段表示相軌跡通過等傾線時的方向，從相軌跡的起點(diǎn)按順序?qū)⒏餍【€段連接起來，就得到了所求的相軌跡。取不同值時，可在相平面上畫出若干不同的等傾線，二、相軌跡的特征1.相軌跡不相交相軌跡上每一個點(diǎn)都有確定的斜率二、相軌跡的特征1.相軌跡不相交2相軌跡的奇點(diǎn)在奇點(diǎn)處，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，又稱為平衡點(diǎn)。由于，奇點(diǎn)只能出