復(fù)變函數(shù)與積分變換留數(shù)測(cè)驗(yàn)題與答案

復(fù)變函數(shù)測(cè)驗(yàn)題復(fù)變函數(shù)測(cè)驗(yàn)題PAGEPAGE6第五章 留數(shù)一、選擇題：cotz2z3

在zi2內(nèi)的奇點(diǎn)個(gè)數(shù)為( )（A）1 （B）2 （C）3 （D）4f(z)g(zza為本性奇點(diǎn)與mzaf(z)g(z)的( )（A）可去奇點(diǎn) （B）本性奇點(diǎn)（C）m級(jí)極點(diǎn) （D）小于m級(jí)的極點(diǎn)1ex2z0

z4sin

的m級(jí)極點(diǎn)，那么m( )（A）5 （B）4 (C)3 （D）21z1是函數(shù)(z

z

的( )可去奇點(diǎn) （B）一級(jí)極點(diǎn)（C）一級(jí)零點(diǎn) 本性奇點(diǎn)32zz 是函數(shù) 的( )z2可去奇點(diǎn) （B）一級(jí)極點(diǎn)（C）二級(jí)極點(diǎn) 本性奇點(diǎn) f(z)設(shè)f(z

n0

aznzRk為正整數(shù)，那么Ren zk

,0]( )（A）a （B）k!a （C）a （D）(k1)!ak k k1 k1f(z)zaf(z)m級(jí)零點(diǎn)，那么Re

f(z)

,a]( )(A)m （B）m （C）m1 （D）(m1)在下列函數(shù)中，Ref(z),0]0的是（ ）ez1 sinz 1（A） f(z) （B）f(z) z2 z zsinzcosz 1 1（C）f(z)

(D)f(z)z e

1 z下列命題中，正確的( )f(z)(zz)m(z(z)zzf(zm級(jí)0 0 0極點(diǎn)．如果無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)f(z的可去奇點(diǎn)，那么Ref(z0z0f(z的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則Refz),00若 f(z)dz0，則f(z)在c內(nèi)無(wú)奇點(diǎn)c2i10．Res[z3cos ,] 2iz（A）2

2（B）

2i （D）2i3 3 3 31Res[z2ezi,i] ( )（A）

1i （B）5i （C）1i （D）5i6 6 6 6下列命題中，不正確的( )z(f(z的可去奇點(diǎn)或解析點(diǎn)，則Ref(zz00 0P(z)

P(z)P(z與Q(zz0

解析，z0

為Q(z)的一級(jí)零點(diǎn)，則Res[

,z]Q(z) 0

Q(z)00（C）若0

z 為f(z) 的m 級(jí)極點(diǎn)，nm 為自然數(shù)，則0Ref(z),z0

]1limdnxx0dzn

[(zz0

)n1f(z)]1（D）如果無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，則z0為f( )的一級(jí)極點(diǎn)，并且zRef(z),]limzf(1)1z0 z1n1

zz2

1dz( )(A)0 （B）i （C）i （D）2nin積分z32

z9 dz( )z101（A）0 （B）i （C）10 （D）i5

z1

z2sin dz( )1z1（A）0 （B）

1 （C）i

i6 3二、填空題1z0z

sinz3的m級(jí)零點(diǎn)，那么m ．12．函數(shù)f(z) 11cosz

在其孤立奇點(diǎn)zk

1k2

(k0,1,2,)處的留數(shù)Ref(z),z] ．k1f(z)exp{z2

}，則Res[f(z),0]z2設(shè)za為函數(shù)f(z)的m級(jí)極點(diǎn)，那么Ref(z),a] ．f(z)雙曲正切函數(shù)tanhz在其孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)為 ．6．設(shè)f(z) 2z ，則Ref(z),] ．1z2設(shè)f(z

1cosz5

，則Ref(z),0] ．

1z3ezdz ．z1

z1

1dz ．sinz積分xeix dx ．1x2三、計(jì)算積分

zsinz(ez1z)21z4

dz．四、利用留數(shù)計(jì)算積分0

da2sin2

(a0)五、利用留數(shù)計(jì)算積分

x2x2dxx4

10x29六、利用留數(shù)計(jì)算下列積分：１．

xsinxcos2xdx

２．cos(x)dx0 x21 x21七、設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，m為正整數(shù)，試證a為f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是lim(za)mf(z)b，其中b0為有限數(shù)．za八、設(shè)a為f(z)的孤立奇點(diǎn)，試證：若f(z)是奇函數(shù)，則Res[f(z),a]Res[f(z),a]；若f(z)是偶函數(shù)，則Res[f(z),a]Res[f(z),a]．f(z)A九、設(shè)f(z)以a為簡(jiǎn)單極點(diǎn)，且在a處的留數(shù)為A，證明lim 1f(z)Aza1f(z)2十、若函數(shù)(zz1z(z取實(shí)數(shù)而且(0)0fx,y)表示(xiy)的虛部，試證明2 tsin0 12tcost

f(cos,sin)d(t)

(1t1)答案第五章 留數(shù)一、1（D）2（一、1（D）2（B）3（C）D）５（B）６（C）７（）８（D）９C）1（A）11（B）12（）13（A）1（B）1（C