華中師范大學(xué)2014-量子力學(xué)A卷-參考答案講解

華中師范大學(xué)20142015學(xué)年第一學(xué)期- 期末考試試卷------- 課程名稱量子力學(xué) 課程編號83810113 任課教師----：-：-號-- 題型填空題判斷題證明題簡答題計算題 總分號-學(xué) ---- 分值 20 10 16 20 34 100------ 得分----線：-：- 得分 評閱人-名 --姓 - 一、填空題共10題，每2分，共20）學(xué)生 -學(xué)---- 1. 若某種光的波長，則其光子的能量為hc/ ，動量大小為h/ 。---封- 2. 戴維遜—革末實(shí)驗(yàn)主要表現(xiàn)出電子具有波動性 。封-： - 3. x,txt2dxtxdx。-年級 -年-- ? ?

? ? ?- 4. F與GFG

，則它們的不確定性關(guān)系為- -----2- FGk 。-2---密 5. 厄米算符在自身表象是對角 矩陣。-：-業(yè) --專 - 6. 從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看，氫原子中核外電子的運(yùn)動不再是圓軌道上的運(yùn)動，而是電子云----- 的圖像，電子云是電子電荷在核外的概率分布 。------ 7. r,,--： -

2R3

(r)Y10

,)

5R3

(r)Y

(,)，求氫原子的角動量）-）-系--系-（ - z分量的平均值 5 /9 。院 --8. 證明電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)是鈉黃線的精細(xì)結(jié)構(gòu)/復(fù)雜塞曼效應(yīng)/蓋拉赫實(shí)驗(yàn)。j1

1,j2

1，它們耦合的總角動量的角量子數(shù)J23/2 或1/2 。twnm

2

F 2mn

E(0)m

E(0)n

。式中函數(shù)的物理意義是躍遷過程能量守恒。得分 評閱

二、判斷題共101分，共10）光電效應(yīng)證實(shí)了光的粒子性，康普頓效應(yīng)進(jìn)一步證實(shí)了光的粒子性。（√）2. 若1

, 2

, 是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加C1 1

C 2 2

C n n

（其中C,C1 2

, ,Cn

, 為復(fù)常數(shù)）也是體系的一個可能狀態(tài)。不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)。

（√）（×）因?yàn)樽鴺?biāo)與動量算符均是厄米算符，所以它們的乘積一定是厄米算符（×）若兩個力學(xué)量算符不對易，則它們一般沒有共同本征態(tài)。 （√）粒子在中心力場中運(yùn)動，若角動

（×）在一維勢場中運(yùn)動的粒子，勢能對原點(diǎn)對(x)U(x)，則粒子的束縛態(tài)波函一定具有確定的宇稱。 （√）??必須是交換對稱的。 （×）全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的對稱性，是來自于全同粒子的不可區(qū)）自由粒子所處的狀態(tài)只能是平面波。 （×）第1 共4)得分 評閱----

三、證明題共2816）-- 1.用狄拉克符號證明：------ 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)；-----）（8分）-----）設(shè)F?F，其本征值方程為-----F f---

f f ①n n線- 用本征矢的共軛矢量f線n-

左乘上式，得到f-F ff-nn-

f f f fn n n

f f f ②n n n對上式取共軛，得--f-F ff-n -

*f* ③n--利用厄米算符的定義f-封

F f * fn

F? fn

f F fn

，得出②式與③式相等，即fn-- *ffn-n--厄米算符的本征值方程記Fi f---

i 或F j fj

j，用ji-jFi j f---

i fi

ji ④-iF j i f-密 ④式取共軛得

j fj

i j ⑤--iF j f i j ⑥--i-⑤式與⑥式相減，左邊為零，得----(f--

f)i j 0j而-(f而-----------

f)0j

i j

，證畢。和3dra0

，4a0

和9a0

的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率（

nlm

(r,,)Rnl

(r)Ylm

(,)，其中R10

(r)

2 rea ，ea3/2 001 r

23/2

1 r2 rR (r)

2a0，R (r)

3a0分）21 (2a0

)3/2 a 0

32 a0

8115 a0證明rdr球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率（利用球函數(shù)的歸一性，徑向波函數(shù)是實(shí)函數(shù)）w (r)drdd (r,,)2r2sindrnl nlm0 0R (r)nl

r2dr

dYlm

(,)2sind0 0R2(r)r2drnl得1s態(tài)和3d態(tài)的徑向概率密度為4r2w (r)R10

2(r)r2

e2r/aa3 0w (r)

2(r)r

0r4 er/a21 w (r)R32

2(r)r

24a50 8r615a70

0e2r/3a0wnl

的極值由一階偏導(dǎo)數(shù)為零得出，即(r) 4 2 210 2r a30

re2r/a0

r2e2r/a0

(a)0

0 得ra；0w (r) 1 21 4r3er/

r4er/

(1)

0 得r4a； 0 0 r 24a5 a 00(r) 832

r5e2r/3a606

0r6e2r/3a0

( 2)

0 得r

。證畢。15a70

00第2 共4)得分 評閱---

四、簡答題共54分，共20）-1. 簡述玻爾的量子論，并對它進(jìn)行簡單的評價。---首先假設(shè)了不連續(xù)的定態(tài)--于定態(tài)的電子不輻射。定態(tài)由量子化條件決)還引進(jìn)了量子躍遷的概念。這一模型解決了上---述兩個困難，其定態(tài)的概念依然保留在近代量子論中，為人們認(rèn)識微觀世界和建立量子理論打下--了基礎(chǔ)。其缺點(diǎn)是，量子化條件是輸入，而不是輸出；保留了經(jīng)典的概念，如軌道，沒有成為一---個完整的量子理論體系。----2. 處于定態(tài)的體系具有哪些性質(zhì)。----））處于定態(tài)的系統(tǒng)，幾率分布與時間無關(guān)，幾率流密度--與時間無關(guān)）任何力學(xué)量（不顯含時間）的平均值不隨時間變化?？傊☉B(tài)是一種力學(xué)性--質(zhì)穩(wěn)定的狀態(tài)。-線3. 隧道效應(yīng)。---------體現(xiàn)。-----4. 封-------還要求兩能級的量子數(shù)滿ll'l1,mm'm0,1，這稱為選擇定則。其理-----2-論依據(jù)是，在電偶極近似下躍遷概率w rnm -

(mn

)。當(dāng)(mn

)0時，若r-r-密

20導(dǎo)致躍遷概率為零躍遷是禁戒的允許的躍遷要滿r mn

0，就得到選擇定則。----5. 分波法的基本思想。-----答：對于中心力場，角動量是守恒量。應(yīng)用角動量守恒，把受勢場作用前后的定態(tài)按分波----------的相位。------得分 評閱

五、計算題共3題，共34）的一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)0

(x)

ex222

，求粒子出10分）（積分公式：ex2dx（積分公式：

,1ex2dx0.7520 01解：諧振子的能量表達(dá)ET 2

2x2，因經(jīng)典粒子的動能必小于等于總能量，其轉(zhuǎn)折點(diǎn)（動能1 2E為零的點(diǎn)）滿E0

2A2，得x 。2 1

對于基態(tài)，E2

，轉(zhuǎn)折點(diǎn)x

和

。量子諧振子出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)的概率為

(x)2dx0

(x)2dx2 0

(x)2dx2 0

e2x2dx 1

1 1 1 0.752 e2d2

e2d e2d2 0.154 1 0

2 0。第3 共4 )- 2. 2和??和?的矩陣表示分別為z x y--- 010 0 i 0-- L 101 i 0 i L- x y x- 2010 20 i 0-- ----和L--

分）-- 010a-

a- 1 1的本征值方程為 101 a

久期方程的解 ,0, 將 ,0,解：x

2 2

2- 010a a3 -- 3 ----

1

2 1 線 1 1 1 分別帶入本征值方程，得歸一化本征 2，2 0 ，2 2。- 2 -- 1 2 1 ----- 0i 0b b-- 1 1同理的本征值方程為 i 0 i b b 久期方程的解 ,0, 歸一化y

2 2-- 2-

0 i

b b3 -- 3 -封- 1 2 1 - 1 1 1 -- -

0

。- 2 2 2 --- 1 -----

2 1 -- 為了將矩陣LxLy對角化，需要做表象變換，變到它們自身的表象，就對角化了。表象變---- - 1 2 1密 1

1 2 11 換的矩陣分別U 2 0 2

0 -- 1 2--- 1 2 ---

2 2 -- 1 0 0 1 0 0-- ，- L，

U?

(Lz

0 0

(L)y

?L(Lz

0 0 0 。- x x 1 x 1 y 2 y 2 - -- 0 0 1 0 0 1------------1 c 0 。3. 已知某表象中哈密頓算符的矩陣形Hc 3 0 。 0 0 c2 設(shè)c 1，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級近似；求精確解，并與上面的微擾論結(jié)果比12分）1 0 0 0 c 0解：c 1，可把哈密頓分解為HH H'0 3 0c 0 0 0 0 02 HH0

在自身表象的形式。所以，零級近似的能量和態(tài)矢為1 0 0 E(0)1,E(0)

3,E(0)2;

0,

1,

01 2

1 0 2 0 3 1 E

H'

, E(2)

H' nl

，得能量的一級修正為n nn n

E(0)E(0)ln n lE(1)H'

0, E(1)H' 0, E(1)H' c1 11

2 22

3|H

33|H|2

|H|2 1能量的二級修正為E(2)1

E(0)

1lE(0)

E(0)

12E(0)

E(0)

13E(0)

c22l1 l 1 2 1 3E(2)

|H|22l

|H|2 21

|H|2 23

c212 E(0)E(0) E(0)E(0) E(0)E(0) 21l2 2 l 2 1 2 3E(2)

|H|23l

|H|2 31

|H|2 32 03l31

E(0)3

E(0)l1

E(0)3

E(0)1

E(0)3

E(0)2得二級近似E1 c2,E 3 c2,E