2022年4月湘鄂渝大聯(lián)考雅禮十六校2022屆高三下學(xué)期4月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題及答案

秘密★啟用前2022年4月湘鄂渝大聯(lián)考雅禮十六校2022屆高三下學(xué)期4月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題★?？荚図樌?含答案)總分:150分時量：120分鐘一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A二｛｛0｝，0｝,下列選項中均為A的元素的是⑴田｝⑵｛｛0｝滋0⑷㈣0｝TOC\o"1-5"\h\z⑴(2)B.⑴(3)C.⑵⑶D.⑵⑷2?某圓錐高為1,底面半徑為亡，則過該圓錐頂點的平面截此圓錐所得截面面積的最大值為2B..=C..ID.13?有一個非常有趣的數(shù)列叫做調(diào)和數(shù)列，此數(shù)列的前n項和已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒有得到它的求和公式，只是得到它的近似公式：當(dāng)n很大時，11」，其中丫稱為歐拉-馬歇羅尼常數(shù)，〒化山577215￡64學(xué)01…，至今為止都1-a；Inn+v'22Tl1還不確定丫是有理數(shù)還是無理數(shù)■由于上式在n很大時才成立，故當(dāng)n較小時計算出的結(jié)果與實際值之間是存在一定誤差的，已知ln2匕0.693，lnlOu2.303■用上式估算出的ln5與實際的ln5的誤差絕對值近似為()A.0.003B.0.096C.0.121D.0.2164.在正三角形ABC中，M為BC中點,P為三角形內(nèi)一動點，且滿足PA=2PM，則三最小值為PBA.1B..7C.-D?丁TTT5.已知「二二；-匕：-'<：-二，二的一條切線廠二上-'與二有且僅有一個交點，則A.k=-3,b=3B.k=-3,b=-3C.k=3,b=3D.k=3，b=-3A.k=-3,b=3B.k=-3,b=-3C.k=3,b=3D.k=3，b=-36?從正360邊形的頂點中取若干個，依次連接，構(gòu)成的正多邊形的個數(shù)為A.360B.630C.1170D.A.360B.630C.1170D.8407.已知數(shù)列"滿足三r.—則:二WC口才1A.123rA.123r5B.D.的點，且滿足P、Q、R是等腰直角三角形ABC（厶二二）內(nèi)的點，且滿足ZAPS=zBPC=ZCPA.2ACQ=^CBQ=zSAQ.sinARA-FsinSRB+siaCRC=3，則下歹U說法正確的是A.壬壬、頁巨:::三丐C.三FT:：；N壬::；二頁D.三M：；衣頁::;壬可二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分■在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求?全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.下列說法正確的有一組數(shù)據(jù)按大小順序排列，位于最中間的一個數(shù)據(jù)就是中位數(shù)分層抽樣為保證每個個體等可能入樣，需在各層中進行簡單隨機抽樣若AQB為不可能事件，AUB為必然事件，則事件A與事件B互為對立事件線性回歸分析中，L的值越小，說明殘差平方和越小，則模型擬合效果越好已知曲線C：/+y：+x>T，焦點為F「F2,0（0,0），HA（0,2）的直線1與C交于M、

N兩點，則下列說法正確的有A.x+y=O是C的一條對稱軸C的離心率為仝對C上任意一點P皆有壬巨5；二最大值為二勒洛四面體是一個非常神奇的“四面體”，它能在兩個平行平面間自由轉(zhuǎn)動，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來回滾動?勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心,以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分，如圖所示，若正四面體ABCD的棱長為a,則（）A.能夠容納勒洛四面體的正方體的棱長的最小值為aB■勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為1-歲aI4丿C.勒洛四面體的截面面積的最大值為-Cn-爲(wèi)）a24D■勒洛四面體的體積Va3,導(dǎo)as'1128丿下列不等式正確的有A.D.C.tanl>-

A.D.C.tanl>-三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.已知復(fù)數(shù)—二_亍i，二二二二一:，則三二設(shè)函數(shù)參數(shù)m>0，H點（0,1）作曲線C；y=f（x）的切線（斜率存在），則切線斜率為已知雙曲線二十-三二二：：3>::::泊勺左右焦點分別為F,^,若C與直線y=x有交點，且雙曲線上存在不是頂點的P,使得一茁:匚二S-rF_F：，則雙曲線離心率取值范圍范圍為坐標(biāo)平面上有一環(huán)狀區(qū)域由圓:::-二'的外部與圓二=的內(nèi)部交集而成。某同yx始白學(xué)欲用一支長度為1的筆直掃描棒來掃描此環(huán)狀區(qū)域的軸上方的某區(qū)域二。他設(shè)計掃描棒黑、白兩端分別在半yx始白：：=2（飛:）、。丁-「：二=（飛上移動。開時掃描棒黑端在點.-T：，白端在二的點B。接著黑、兩端各沿著二、二逆時針移動，直至白端碰到二的點:-二便停止掃描，則B坐標(biāo)；掃描棒掃過的區(qū)域【的面積為四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或驗算步驟.△ABC中，A,B,C的對邊分別為a,b,c.若二二二-：二'-=:二二二二三，S^ABC=:,求C的最小值.已知數(shù)列二滿足：二-求證：數(shù)列〔二為遞增數(shù)列;求證：：;:.“不關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對學(xué)生的今天不負責(zé)；只關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對學(xué)生的未來不負責(zé)。為鍛煉學(xué)生的綜合實踐能力，長沙市某中學(xué)組織學(xué)生對雨花區(qū)一家奶茶店的營業(yè)情況進行調(diào)查統(tǒng)計，得到的數(shù)據(jù)如下：月份X24681012凈利潤(萬元)y0.92.04.23.95.25.1⑴設(shè)=二二』「=一匸。試建立y關(guān)于x的非線性回歸方程一-':和「二：二-::-:：(保留2位有效數(shù)字);凈利潤(保留1位小數(shù)).工(x—凈利潤(保留1位小數(shù)).工(x—x)(y—y)附：①相關(guān)系數(shù)r二—i，回歸直線y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估計公J工(x-x人憶(y-y)2i4i二1藝(x-x)(y-y)式分別為b=i=i廠,a=y—b.藝(x-x)2ii=1②參考數(shù)據(jù):::丁上汀:::二匚.7：=：.:■v'TS瞬3,2」畑弓占』呀3,7.,V3322思\4507偌67,1-類比于二維平面中的余弦定理，有三維空間中的三面角余弦定理；如圖1,由射線二，三,卞構(gòu)成的三面角F-工［，—三人=：.，三=、，_三三二，二面角二-三的大小為「貝IJcosy=cosacos(1)當(dāng)-.、._時，證明以上三面角余弦定理；卩噸)⑵如圖2,四棱柱二三二中，平面―平面W二，二f公二二="，求—二的余弦值；在直線CC上是否存在點F，使壬平面DAC?若存在，求出點F的位置；若不存在，說明理由.21?已知曲線C：咅二—「:，「，二分別為〔的左i右焦點，過］作直線l與C交于A，B兩點，滿足工二，且［住「二二站.設(shè)［為C的離心率.求亍;若，且￡=爲(wèi)過點P(4,1)的直線l與C交于E,F兩點，l上存在一點T使11三—于三，求T的軌跡方程.22?已知函數(shù)：：：且正數(shù)a，b滿足壬i-門.(1)討論二的單調(diào)性;⑵若「二=二二-二-:::-7的零點為二_，:,且m,n滿足二二二,：一二：：：：°求證:￡:：;-：：:<:u.（其中l(wèi)「二二，?是自然對數(shù)的底數(shù)）秘密★啟用前2022年4月湘鄂渝大聯(lián)考雅禮十六校2022屆高三下學(xué)期4月第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題參考答案123456789101112BABDABCCBCABDABDAD13.一14.meT15.17.由siti(2B+C)二￡in(A—B)二sinAcosB—cosAsinB=(3—4cosA)sinSTOC\o"1-5"\h\z得二二二：二三二X二三_-::j-■1分由正弦定理:：：■==:-■:-二二由余弦定理?十—一十?整理得］=?72-::3分???由余弦定理-----=7-7T?4分又:=------二一？,得竺:二=一5分又-二---二【丄二1C□尸產(chǎn)1nnTOC\o"1-5"\h\z整理得［丁—亍1_［_=二-7分由丄金：得「金----9分???：的最小值為?廠10分18.(1)取倒數(shù)得】一亡二二一三2分整理得亠—二二二一一:::--4分F十】cra^cn*故數(shù)列｛土｝為遞增數(shù)列?5分(2)Cn+1-lrL-l10分1210分12分:::--，即J::-TOC\o"1-5"\h\z19.(1)代入數(shù)據(jù)計算，得到?2分b電3.55—2.5x1.8=—0.9S.?.模型1：「二：二上二-->:3分gjlE代入數(shù)據(jù)計算，得到工二三::二］5分nns3.55—2.2X2,55ss—2.1.??模型2：「二二〉三一二-6分(2)代入數(shù)據(jù)計算，得到二：：歲：：賈門8分代入數(shù)據(jù)計算，得到二二代入數(shù)據(jù)計算，得到二二10分代入數(shù)據(jù)計算，得到二二代入數(shù)據(jù)計算，得到二二10分???模型1擬合效果更好貝y次年2月凈利潤二門二::三疋12分20.(1)證明：如圖，過射線PC上一點H作HM丄PC交PA于M點,作HN丄PC交pb于N點，連接，MNTOC\o"1-5"\h\z則ZMHN是二面角A-PC-B的平面角.2分在ENP中和△MNH中分別用余弦定理，得MN2=MP2+NP2-2MP-NP-cosy，MN2=MH2+NH2—2MH?NH?cos9，兩式相減得MP2-MH2+NP2-NH2-2MP?NP?cosy+2MH?NH?cos9=0，5分???2MP?NP?cosy=2PH2+2MH?NH?cos9，兩邊同除以2MP?NP，得cosy=cosacos卩+sinasin卩cos9.6分(2)①由平面AACC丄平面ABCD,知9=9廳，ii?:由(1)得cosZAAB=cosZAAC?cosZCAB，8分iicosZAAC=60。，cosZBAC=45°，1.,..c1逅運C八…cosZA“AB=—x=.9分1224②在直線CC上存在點p，使BP/平面DAC.111連結(jié)BC，延長CC至p，使CP=CC，連結(jié)BP，111在棱柱ABCD-ABCD中，AB〃AB，AB//CD，???AB//DC???AB//DC,??.四邊形ABCD為平行四邊形,1111?AD//BC.10分11在四邊形BBPC中，B1B//CP，?四邊形BBPC為平行四邊形,11=1?BC//BP，1即即1.??AD//BP,11分1又ADu平面DAC,BPg平面DAC,11111.BP//平面DAC.11???當(dāng)點P在cc的延長線上，且使CP=CC時，BP//平面DAC.12分111121.(1)由題l21.(1)由題l斜率存在且不為0,令與--聯(lián)立得?-電仝-聯(lián)得壬_三「則，'Vi十兀二—堪歸=!匚：7；-1n坨y皿=一5魅=kv7=+^得臚4da得臚4da5r2—4bs不妨設(shè)二::::則一如一)胡伸滬圈―紅送二_Tyi_―e—_e整理得到U一U-二二：一二=1(舍)解得(舍)&3(2)由題知C：..1_T+T=1若t斜率不存在，則與c無交點，不合題意若l］斜率存在，設(shè)l］：y=k(x—4)+1，與才b聯(lián)立1=1得:-1:-二:-二—二：-!■>-：二:設(shè)—，得―士①，」=土』由":二-■-_1＞：--_「得呵于■誓)設(shè)-二：由題知：1J14-JCplTOC\o"1-5"\h\z代入①0得=-：「二-8分2kl4右4_召_7，則_3k+^r_-&k+49分￡k+4X°—ac+4^0—2k+4消去K得到-2--.--=:10分若4—Xq-一丁'則_3k+23._9k.+411分2k+4X°—21l44'"(J—2ic+4消去K得到-2-IE=:12分綜上，T的軌跡方程為土—-二二：或土--工工：22.令J=：-？，則由題知三三|*亍三■■--即］「一「一］：；—「一［=:-i:1「一J；—「：一=—］三］.?.:二「即二二■;-2分令廠：二7「-二-匚，貝呃：二-「：-:，且對稱軸二二新-而*-—易知當(dāng)—「時［二在二^-：：單調(diào)遞減，在三產(chǎn)單調(diào)遞增當(dāng)時f00在（6+m）單調(diào)遞減.4分-J-(2)1n=(2)1n=s-hm一“4】一nuts+eh+m>0且n三知卩（刃在（―m,字）單調(diào)遞増，在（詈,+?））單調(diào)遞減又F(1—m)=e—n(