初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識

初中數(shù)學(xué)求線段和差最值知識初中階段我們學(xué)過三種路徑最值問題，一是兩點之間線段最短；二是將軍飲馬問題；三是直線外一點與直線上一點的連線中，垂線段最短。一、直接利用公理（定理）求最值1、公理：兩點直接線段最短2、定理：三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊（由上面公理證明而得）3、定理：直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短。（簡稱垂線段最短）所有的線段和差問題都是直接利用或者轉(zhuǎn)化為第1點或第3點來求最值，這是咱們思考這類問題的由發(fā)點，大家要死死記住。二、結(jié)合圖形三大變換求最值1、應(yīng)用平移變換、軸對稱變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理（定理）求最值（將軍飲馬問題）2、應(yīng)用旋轉(zhuǎn)變換將線段和差轉(zhuǎn)化為可以利用公理（定理）求最值（費(fèi)馬點問題）【將軍飲馬問題】【費(fèi)馬點問題】三.例題.如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向AB兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M,使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求生總費(fèi)用是多少？作點B關(guān)于直線CD的對稱點B',連接AB',交CD于點M則AM+BM=AM+B'M=AB',水廠建在M點時,費(fèi)用最小如右圖，在直角△AB'E中，AE=AC+CE=10+30=40EB'=30所以：AB'=50總費(fèi)用為：50×3=150萬.如圖，C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接ACEC已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x.(1)用含x的代數(shù)式表示AC+CE勺長;(2)請問點C滿足什么條件時，AC+CE勺值最小？(3)根據(jù)(2)中的規(guī)律和結(jié)論，請構(gòu)圖求生代數(shù)式的最小值.兩條公路OAOB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設(shè)為點P,如在兩條公路上各設(shè)置一個加油站，，請你設(shè)計一個方案，把兩個加油站設(shè)在何處，可使運(yùn)油車從油庫由發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短.分析這是一個實際問題，我們需要把它轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過分析，我們知道此題是求運(yùn)油車所走路程最短，OA與OB相交，點P在∠AOB內(nèi)部，通常我們會想到軸對稱，分別做點P關(guān)于直線OA和OB的對稱點P1、P2,連結(jié)P1P2分別交OAOB于C、D,C、D兩點就是使運(yùn)油車所走路程最短，而建加油站的地點，那么是不是最短的呢？我們可以用三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行說明.解：分別做點P關(guān)于直線OA和OB的對稱點P1、P2,連結(jié)P1P2分別交OAOB于C、D,則C、D就是建加油站的位置.若取異于C、D兩點的點，則由三角形的三邊關(guān)系，可知在C、D兩點建加油站運(yùn)油車所走的路程最短.點評：在這里沒有詳細(xì)說明為什么在C、D兩點建加油站運(yùn)油車所走的路程最短，請同學(xué)們思考弄明白。.如圖∠AOB=45°,P是∠AOB內(nèi)一點，PO=10,QP分別是OAOB上的動點，求^PQR周長的最小值.分別作點P關(guān)于OAOB的對稱點P1、P2,連接P1P2,交OAOB于點QR,連接OP1,OPZ貝UOP=OP1=OP2=10且∠P1OP2=90°由勾股定理得P1P2=10.如圖，等腰Rt^ABC的直角邊長為2,E是斜邊AB的中點，P是AC邊上的一動點，則PB+PE勺最小值為即在AC上作一點P,使PB+PE1小作點B關(guān)于AC的對稱點B',連接B'E,交AC于點P,貝UB'E=PB'+PE=PB+PEB'E的長就是PB+PE的最/」、值在直角△B'EF中，EF=1,B'F=3根據(jù)勾股定理，B'E=.等腰△ABC中，∠A=20°,AB=AC=20,MN分別是ARAC上的點，求BN+MN+MC最小值分別作點C、B關(guān)于ARAC的對稱點C’、B’,連接C’B’交ARAC于點MN,貝UBN+MN+MC=B’N+MN+MC’=B’C’,BN+MN+MC的最小值就是B’C’的值「∠BAC’=∠BAC,∠CAB’=∠CAB∴∠B’AC’=60°「AC’=AC,AB’=AB,AC=AB∴AC’=AB’∴△AB’C&