博弈論-不完全信息靜態(tài)博弈講義

3不完全信息靜態(tài)博弈簡介博弈論在1970年代之后逐漸進(jìn)入主流經(jīng)濟(jì)學(xué)體系，主要是由于它在不完全信息條件下的經(jīng)濟(jì)分析中表現(xiàn)出特別的優(yōu)勢。不完全信息指經(jīng)濟(jì)活動中一部分經(jīng)濟(jì)主體的某些特征對于其他主體來說是不清楚的。如在拍賣商品或工程招投標(biāo)中。信息不完全又稱為信息不對稱，即其他局中人沒有特定局中人清楚特定局中人自身的特征。不完全信息靜態(tài)博弈就是假定某些局中人具有其他局中人不清楚的某些特征的靜態(tài)博弈。但對于局中人本身來說，他自身的這些不為人所知的特征對于他自己來說是清楚的，因而稱這些特征為局中人自己擁有的“私人信息”(privateinformation)。在博弈論中，習(xí)慣地將局中人的“私人信息”集中表現(xiàn)為局中人的支付函數(shù)特征，也就是說，局中人的私人特征將完全通過其支付函數(shù)特征表征出來，而不完全信息就表現(xiàn)為一些局中人不清楚另一局中人的支付函數(shù)，當(dāng)然，每個局中人是完全清楚自己的支付函數(shù)的。理論：靜態(tài)貝葉斯博弈和貝葉斯納什均衡在假定局中人擁有私人信息的情況下，其他局中人對特定局中人的支付函數(shù)類型并不清楚，局中人不知道他在與誰博弈，在1967年前，博弈論專家認(rèn)為此時博弈的結(jié)構(gòu)特征是不確定的，無法進(jìn)行分析。Harsanyi(1967、1968)提出了一種處理不完全信息博弈的方法，即引入一個虛擬的局中人一一“自然N”。N首先行動，決定每個局中人的特征。每個局中人知道自己的特征，但不知道其他局中人特征。這種方法將不完全信息靜態(tài)博弈變成一個兩階段動態(tài)博弈，第一個階段是自然N的行動選擇，第二階段是除N外的局中人的靜態(tài)博弈。這種轉(zhuǎn)換被稱為“Harsanyi轉(zhuǎn)換”,它將不完全信息博弈轉(zhuǎn)換為完全但不完美信息博弈。局中人擁有的私人信息為他的“類型”，由其支付函數(shù)決定，故常將支付函數(shù)等同于類型。用機(jī)表示局中人i的一個特定類型，Hi表示局中人i所有可能類型的集合，即日不修，稱Hi為局中人i的類型空間，i=1,…,n。不完全信息靜態(tài)博弈中，局中人的類型存在多種可能，因而與局

中人相關(guān)的各種概念都隨其類型的不同而不同。局中人的行動空間A將隨類型a而變化，即A=Ai(e)。支付函數(shù)也是類型依存的，可將其I己:Ui—Ui(a1,,ai,,an總)i=1,,n。該式給出的是在其他局中人已選定行動aj,j=1,…，n,j￥i時，局中人選行動aaAi(ej獲得的支付。顯然給定aj時最大化Ui的為與4有關(guān)，即a；=a；(q),其中a；是給定aj時最大化川的a^用“類型依存”來描述包括最優(yōu)戰(zhàn)略在內(nèi)的相關(guān)概念與類型的對應(yīng)關(guān)系對局中人i,他不知道其他局中人的類型。當(dāng)他選擇行動為wA@）時，如果給定其他局中人類型與其最優(yōu)戰(zhàn)略aj的一個對應(yīng)組合a：（6j）,j*i,j=1,…，n,其支付為：Ui（a；（e1）…2；」@」）同通*書@書）…a；儲）,年）。假定局中人i認(rèn)為其他局中人的類型組合恰好為宜的概率為RD記事前的分布密度為Pi（3,…力…包），稱為“先驗概率”，即局中人在博弈之前掌握的知識使其對仇…仇…3的取值可能性判斷。顯然，P（e」?。┚褪且环N條件概率的I既念，即當(dāng)局中人i的類型為協(xié)時，他認(rèn)為打取值4的概率為P?」d）=.1,，）P（2）P（F戶」）一、PQ」,“）MH匚這是概率論中著名的貝葉斯公式（Bayesequitio。。因為i不知道日工，我們這里用von?NeumannMorganstern效用函數(shù)刻畫這種不確定下的支付函數(shù)，即i的期望支付為——*——工斗九⑸口信上日公㈤凡）顯然，最大化上式的ai就是i的最優(yōu)戰(zhàn)略a*,它與由有關(guān)，故a*=a*（9i）o當(dāng)存在一組“類型依存”的最優(yōu)戰(zhàn)略a*=（a*,…，a；［，a；）,滿足a*argmax'P｛乙四加缶二仁。?,“）i=1,,naiAO則稱a*是一個（純戰(zhàn)略）納什均衡，也稱為貝葉斯納什均衡（BayesNashequilibrium）oa*是類型依存的,即a；=a*（e）。為了減少復(fù)雜性，假定博弈開始之前各個局中人掌握的關(guān)于（日1,…,斗）的分布密度知識是相同的，即概率分布密度P。,…，g）是所有局中人的共同知識。這被稱為Harsanyi公理。這一公理表明所有局中人有關(guān)自然行動的信念（belief）是相同的。貝葉斯納什均衡（也簡稱貝葉斯均衡）是完全信息靜態(tài)博弈納什均衡概念在不完全信息靜態(tài)博弈上的擴(kuò)展。有時也稱不完全信息靜態(tài)博弈為靜態(tài)貝葉斯博弈或貝葉斯靜態(tài)博弈。n人靜態(tài)貝葉斯博弈的戰(zhàn)略式表述：局中人類型空間Hi,…，Hn；條件概率Pl,…，Pn；戰(zhàn)略空間A（8i），…，An（8n）；支付函數(shù)ui（ai,…，anfi）,…，Un（ai,…,an。）。i知道3。用G=（Ai…，An,8i…，&,兒…，Pn,Ui…，Un｝表示該博弈。博弈順序為：①自然N選8=（色，…a），日iwHi,局中人i觀察到9i，但局中人j￥i僅知道Pj（%|8j）,不能觀察到q。②n個局中人同時選行動（戰(zhàn)略）a=（a1，…，an）,ai=A^i）°③i得到支付打⑶,…，an，R）,i=i,…，n。該定義不排除局中人j可能擁有關(guān)于局中人i類型的某種信息，而當(dāng)所有局中人類型空間只有一個元素時，不完全信息靜態(tài)博弈就退化為完全信息靜態(tài)博弈。同時，這里假定人⑸）和口⑶仔上自）本身是共同知識，即盡管其他局中人不知道i的類型斗，但他們知道i的戰(zhàn)略空間和支付函數(shù)是如何依賴于他的類型的，即當(dāng)他們知道仇時，就必然知道A（）和u（）。n人不完全信息靜態(tài)博弈G=人，…，An?,…，必尸1,…，Pn,W,…，U」的純戰(zhàn)略貝葉斯納什均衡是一個類型依存戰(zhàn)略組合K（仇）心，滿足：*一、-一、,*?-、-、ai（0i）eargamaax）1口｛n|d）u（a」但」）?自）i=1，…，n有限博弈的不完全信息靜態(tài)博弈至少存在一個貝葉斯納什均衡。純戰(zhàn)略只是一個行動ai如何依類型Qi而變的規(guī)則，不是指一個具體的結(jié)果。例市場進(jìn)入博弈一個完全壟斷企業(yè)B正壟斷著一個行業(yè)的市場，另一個潛在的試圖進(jìn)入該行業(yè)的企業(yè)A,稱A為進(jìn)入者，B為在位者。A不知道B的成本特征，設(shè)B有兩種可能的成本，即高成本和低成本。兩種成本情況下的博弈矩陣見下表。市場進(jìn)入博弈B局成本低成本默認(rèn)斗爭默認(rèn)斗爭進(jìn)入A不進(jìn)入40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000,4000,400假定B知道進(jìn)入者A的成本為高成本，且與B為高成本時的成本相同。假若信息是完全的，則當(dāng)B為高成本時，唯一的精煉納什均衡為（進(jìn)入，默認(rèn)），另一納什均衡（不進(jìn)入，斗爭）是含有不可置信的威脅。當(dāng)B為低成本時，唯一的納什均衡為（不進(jìn)入，斗爭），即若A進(jìn)入行業(yè)，具有低成本優(yōu)勢的B將通過降低價格將A逐出市場。由于存在行業(yè)進(jìn)入成本，所以A被逐出市場后將有凈的10單位進(jìn)入成本的損失。當(dāng)A不知道B的成本情況時，他的選擇將依賴于他對B的成本類型的主觀概率或先驗概率密度。設(shè)A對B是高成本的先驗概率判斷為P,則A認(rèn)為B為低成本的概率為1—P。如果A進(jìn)入，其期望支付為P(40)(1-P)(-10)如果1不進(jìn)入，其期望支付為0。當(dāng)且僅當(dāng)P(40)+(1—P)(-10)“或pj時，A選擇進(jìn)入；反之，當(dāng)5P<1時，A不進(jìn)入。5于是，貝葉斯均衡為：(進(jìn)入，默認(rèn))，高成本，P>-；5(進(jìn)入，斗爭)，低成本，P>-；5(不進(jìn)入，*),pJ5其中*表示可以是斗爭，也可以是默認(rèn)。例不對稱信息(asymmetricinformationJT的古諾競爭市場中有兩個企業(yè)。市場需求：P(Q)=aQ,Q=qi+%.企業(yè)1成本：C1(q1)=cq.

企業(yè)2成本：以概率6取C2（q2）=Ohs，以概率1-e取C2(q2)=ci_q2企業(yè)2的產(chǎn)量依賴于成本：max[(a-qi*-%)-缶]%和max[(a-qi*-%)-CL]q2企業(yè)1選擇q1-q2*(Q))-c]qi2qi*=0max日[(a-qi-q2*(Ch))-c]q-q2*(Q))-c]qi2qi*=0一階條件(a-qi*-ch)2q2*(a)=o(a-qi*-Cl)-2%*(c_)=0「[(a-q2*(CH))-c]+(i-1)[(a-q2*(a))-c]}解出a-2cHc1-q2*(Ch)=+—(Ch-Cl)36a-2Clcq2*(Cl)=-3---(ch-cl)qiqi*=a-2cxH(1-?)cL33.3應(yīng)用3.3應(yīng)用例i信息不完全的性別戰(zhàn)歌劇2+tc,10,0克麗斯拳擊0,01,2+tp歌劇帕特拳擊類型空間：Tc=Tp=[0,x]tp和tc為[0,x]上的均勻分布.推斷(密度函數(shù))：pc(tp)=Pp(tc)=1/x直覺：分別存在臨界值c與p：當(dāng)tc>c時，克麗斯選擇歌劇，否則選擇拳擊.當(dāng)tp>p時，帕特選擇拳擊，否則選擇歌劇.克麗斯的期望收益看歌劇：p(2+tc)+(1-上)X0=衛(wèi)(2+tc)xxx看拳擊：Ex0+(1--p)=1上選擇歌劇最優(yōu)p(2+tc)>1--p即tc--3P因此臨界值c=--3P帕特的期望收益看拳擊：(1c)>0+-(2+tp)=-(2+tp)xxx看歌?。?1―)+2^0=1-cxxx由選擇拳擊最優(yōu)tp-!"3臨界值p=--3解得p=c和p2+3Px=0.克麗斯選擇歌劇的概率cx-c3-：/94x1--==1TOC\o"1-5"\h\zxx2x帕特選擇拳擊的概率1p_x-p_1-3.94xI-==Ixx2x當(dāng)X-0時，2x這正是完全信息下性別戰(zhàn)博弈的混合戰(zhàn)略納什均衡例2拍賣（anauction）拍賣方式最為流行的拍賣方式有4種：英式（增價公開）拍賣，荷蘭式（減價公開）拍賣，一級價格密封拍賣（first-pricesealedauction,二級價格密封拍賣（second-pricesealedauctiqn又稱Vickrey拍賣）。從形式上說前兩種是公開拍賣，后兩種是密封式拍賣；從實質(zhì)上來說，英式拍賣和二級價格拍賣是（第）二價拍賣，其余兩種是（第）一價拍賣。(1)英式拍賣：賣者以一個價格(可能很底)起拍，并逐步提高這個價格。如果一個投標(biāo)者放棄了，就不能在后面再參與拍賣。當(dāng)拍賣只有一個競拍者時，他就是獲勝者，并支付該時刻的價格。(2)荷蘭式拍賣：賣者以一個價格(高)起拍，并逐步降低這個價格，第一個應(yīng)拍的競拍者以該時刻的價格獲取拍賣品。(3)一級密封拍賣：每個競拍者拿出一個密封的競價交給出售者。出價最高者獲勝并支付這個最高的價格。(4)二級密封拍賣：與一級密封拍賣唯一不同的是，出價最高者獲勝但支付的第二高的競價。盡管英國式拍賣和第二價格拍賣看起來很不相同，但從它們?nèi)绾我龑?dǎo)參與人理性決策來說，效果是一樣的。因此，我們說這兩種拍賣在策略上是等價的，有些經(jīng)濟(jì)學(xué)家甚至借用數(shù)學(xué)語言說它們是“同構(gòu)”的。在這兩種拍賣中，參與人受到要“顯示私人真實評價”的激勵。在第二價格拍賣中，這是最明顯的，因為每個買主直接把他們對拍賣品的評價寫在密封的信封里。在英國式的拍賣中，買主則需要通過逐漸抬高出價來慢慢接近自己的評價?？紤]密封第二價格拍賣中的買主。他必須把他的出價寫下來，密封在信封里交給拍賣人。因為贏得交易的人只用付出第二高價格，所以在信封中寫下他愿意付出的最大價格將是符合買主利益的決策行動，而這時候的最大價格又等于他對拍賣品的評價。如果他贏得了拍賣，第二高的價格將比他對拍賣品的評價低，所以這時候買主還將獲得一些額外利潤或者說剩余。如果他寫下的出價低于他的估計，他就面臨著不能在一個他可以接受的價格水平上獲得拍賣品的風(fēng)險，但如果出價高于他的評價，他也要面臨必須以一個高于他的評價的價格水平購買拍賣品的風(fēng)險。因此，在這樣的拍賣制度下，按自己的評價出價依然是一個優(yōu)勢策略。對于一個處于英式拍賣制度下的買主，當(dāng)出價不斷地被抬高的時候，他必須要作出決策，決定是出比他的競爭對手更高的價，或者退出這場出價競爭。如果對手的出價實際低于他自己的評價，那么對他而言，繼續(xù)提出比對手更高的出價將是有利可圖的。如果對手的出價已經(jīng)高于買主的評價，該買主最好的做法就是退出競爭?？梢韵胂襁@樣的買主，在他的頭腦中有一個最高的出價，這個價格水平等于他對拍賣物品的評價。無論他的競爭對手怎么做，他的優(yōu)勢策略都將是：必要時一直出價，直到等于他對拍賣品的評價為止。用博弈論的話來說，在這兩種拍賣中，“講真話”是每個參與人的優(yōu)勢策略。由于“講真話”是每個參與人的優(yōu)勢策略，所以拍賣博弈的納什均衡具有下述性質(zhì)：(1)贏得交易的最高出價，來自對拍賣品評價最高的參與人。因此，這樣的配置是帕累托最優(yōu)的。獲得拍賣品的人，是可以從拍賣中獲得最多滿足的人。而如果拍賣品到了評價較低的買主的手中的話，那么就有進(jìn)一步發(fā)生這個人和對拍賣品評價最高的人之間的互惠交易的可能性和基礎(chǔ)。也就是說，只要拍賣品不是由評價最高(因而出價也最高）的參與人獲得，交易結(jié)果就不是帕累托最優(yōu)的。之所以說不是帕累托最優(yōu)，是因為仍然有改善的余地。（2）拍賣成交時實際付出的價格，等于第二高的出價。或者說在極限的意義上等于第二高的出價。對于密封第二價格拍賣，這兩個性質(zhì)是比較清楚的，因為每個參與人都實施優(yōu)勢策略，把他們的評價直接寫在密封的信封里，對拍賣品評價最高的人將贏得交易，他付出第二高的出價。在英國式的拍賣中，結(jié)果（1）的出現(xiàn)是因為評價最高的買主是最后一個從出價競爭中淘汰出局的人。結(jié)果（2）的出現(xiàn)，則是因為評價第二高的買主是倒數(shù)第二個從出價競爭中淘汰出局的。因為所有的參與人都講真話，第二高的出價，我們把它記作P,實際上代表了在參與人中對拍賣品第二高的評價。正是這個對于拍賣品的評價第二高的參與人，把出價提高到他對拍賣品的評價的高度上來。這時候,對拍賣品評價最高的參與人，只要比P提高一點點出價，就可以獲得這件拍賣品了。因此，至少在極限的意義上，英國式拍賣的成交價，等于第二高的出價。從理論上說，荷蘭式拍賣和第一價格拍賣在策略結(jié)構(gòu)上是等價的，或者說“同構(gòu)”的。這兩種拍賣制度雖然從外形上看很不同，但實質(zhì)上一樣。在荷蘭式拍賣中的參與人會在拍賣開始之前確定他自己對拍賣品的出價。如果拍賣師喊出的拍賣價格果真下降到這個水平，他就以這樣的出價應(yīng)叫，進(jìn)入拍賣并贏得交易。如果有其他的參與人在他之前已經(jīng)應(yīng)叫，這意味著那個人的出價比他高，他就不能贏得拍賣品?，F(xiàn)在的問題是，他的出價策略是什么呢？這是一個非常困難的選擇，因為出價越低，贏得拍賣品的機(jī)會就越小，但一旦贏得交易，他可以獲得的額外的利潤或剩余就越多。相反，他出價越高，他贏得拍賣品的機(jī)會越大，但是他可以獲得的額外利潤或剩余就越少，甚至帶來損失。在第一價格拍賣中，參與人必須作出一個和在荷蘭式的拍賣中的參與人一樣的決策：即選擇一個出價，并把它寫在密封的信封里。有關(guān)選擇合適的出價的策略問題也是相同的，如果他給出的價格越低，贏得交易的可能性越低，但一旦獲勝，可以獲得的利潤或剩余就越多；如果他給出的價格越高，贏得交易的可能性越大，但一旦贏得交易，可以獲得的利潤或剩余卻很少，甚至可能虧損。一級密封價格拍賣（First-price,sealed-bid這種拍賣方法是要求買主同時將自己的出價寫下來裝入一個信封并密封后交給拍賣人。拍賣人打開信封，決定將拍賣品賣給出價最高的買主，按他的出價支付價格。當(dāng)多位買主同時報出相同最高價格時，拍賣者通過擲骰子隨機(jī)地將拍賣品賣給其中的一位買主，按他們報出的最高價格支付價格。一級密封價格拍賣可以避免圍標(biāo)，因為每一個買主的報價對于其他買主來說是不可觀測的（當(dāng)然，要做到這樣，還要求成交后拍賣者要對買主的報價保密），因而每個買主的行為不受圍標(biāo)組織者的約束。一級密封價格拍賣盡管可以避免圍標(biāo)，但不能保證買主們會報出他們心目中的真實估價或最高價格。給出一個模型，假設(shè)有兩個投標(biāo)人，%是拍賣物品對投標(biāo)人i的價值。bi是投標(biāo)人i的出價。%只有投標(biāo)人i自己知道，因此，片是投標(biāo)人i的類型。雖然投標(biāo)人都不知道拍賣物品對對方的價值，但知道其分布為[0,1]上的均勻分布函數(shù)。類型空間：Ti=[0,1]收益VVibiifbi>bjUi(bi,b2；Vi,V2)='|(Vibi)/2ifbi=bj0ifb<bj戰(zhàn)略，即報價：n(v)貝葉斯納什均衡(bi(Vi),bj(Vj))滿足max(Vibi)Prob{bi>bj(Vj)}+1(Vibi)Prob{bi=bj(Vj)}.求線性戰(zhàn)略bi(V)=ai+CiVi,問題為max(Vibi)Prob{bi>司+CjVj}其中b-a；b-a；Prob{bi>旬+CjVj}=Prob{Vj<}=TOC\o"1-5"\h\zcjcj參與人i的最優(yōu)行動滿足bj-^a；v-b-——+=0cjccj即有b(M)=v~2a比較系數(shù)，得到司=0,Ci=1/2因此

bi(v)=Vi/2例3雙向拍賣(Adoubleauction)一個買者和一個賣者，分別提出價格Pb,法如果Pb之法,則以p=(Pb+0)/2交易；否則不交易.他們的估價為私人信息，％和Vs,獨立，為［0,1］上均勻分布.買者收益ifPb-PsifPb<PsifPb-PsifPb<PsifPb-psifPb<ps賣者收益Us=PVs=0戰(zhàn)略Pb(Vb),ps(Vs)貝葉斯納什均衡(Pb(Vb),Ps(Vs))滿足,PbE[Ps(Vs)|Pb一Ps(Vs)]、max(Vb)Prob{Pb-Ps(Vs)}Pbmmax(PsE[Pb(Vb)|Pb(Vb)-Ps]-Vs)Prob{Pb(Vb)-Ps}(1)單一價格均衡：以預(yù)先決定的x成交。如果Vb之x,Pb=x;否則Pb=0.如果Vs-x,ps=x;否則ps=1.如果Vb-Vs,交易就是有效率的，但不一定會進(jìn)行交易。(2)線性均衡假設(shè)賣者的戰(zhàn)略Ps(Vs)=as+CsVs,則聞Vs)是區(qū)間[as,as+cs]上的均勻分布，(區(qū)間［as,Pb］的中點)E[Ps(Vs)|Pb>p(區(qū)間［as,Pb］的中點)Prob{pbProb{pb-Ps(vs)}=Pb-asCs買方的問題1…1…，max[Vb-{pb+asPb}]Pb-as