第三章-解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)-縮減版課件

§3.1復(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第三章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)2.分析方法:

記,則即復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以看作兩個(gè)一對(duì)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).一.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.定義：3.收斂:無(wú)窮多項(xiàng)之和趨于一個(gè)穩(wěn)定值.§3.1復(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第三章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展1二.復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3.絕對(duì)收斂若級(jí)數(shù)收斂,則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)必定收斂,但反之不真.*2.收斂與一致收斂1.定義逐點(diǎn)收斂：對(duì)，s.t.當(dāng)時(shí),有若，即N與點(diǎn)z無(wú)關(guān)。一致收斂：二.復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3.絕對(duì)收斂若級(jí)數(shù)收23.一致收斂的判定(不作要求)定理3.2(柯西一致收斂準(zhǔn)則)定理3.3(M判別法)定理3.4(函數(shù)乘積判別法)定理3.3(M判別法)設(shè)在點(diǎn)集E上有定義,且對(duì)有：其中an是與z無(wú)關(guān)的正數(shù)，則當(dāng)收斂時(shí)，在E上一致收斂且絕對(duì)收斂。稱(chēng)為的優(yōu)級(jí)數(shù).3.一致收斂的判定(不作要求)定理3.2(柯西一致收斂3二.冪級(jí)數(shù)以z0為中心的冪級(jí)數(shù):定理3.8(阿貝爾(Abel)定理)

若冪級(jí)數(shù)在收斂,則在圓盤(pán)內(nèi)絕對(duì)收斂.推論3.1若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)z1發(fā)散,則它在圓周的外面處處發(fā)散.二.冪級(jí)數(shù)以z0為中心的冪級(jí)數(shù):定理3.8(阿貝爾(4將R稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂半徑,稱(chēng)為收斂圓,稱(chēng)為收斂圓盤(pán).從阿貝爾定理及其推論可知,必存在以R為半徑的圓,在圓內(nèi),即時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂(在較小的閉圓內(nèi)一致收斂),而在圓外級(jí)數(shù)發(fā)散.冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑對(duì)級(jí)數(shù)將R稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂半徑,從阿貝爾定理及其推論可知,必5收斂半徑的計(jì)算比值法例3.1討論級(jí)數(shù)的斂散性在z=1時(shí),此級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù),發(fā)散.在z=-1時(shí),級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂1.求出收斂半徑2.討論收斂圓上的情況(2)根值法解：收斂半徑的計(jì)算比值法例3.1討論級(jí)數(shù)6令,則即時(shí),級(jí)數(shù)收斂.例3.2討論級(jí)數(shù)和的斂散性例3.*討論級(jí)數(shù)的斂散性因此:令,則即7即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂：對(duì)冪級(jí)數(shù)收斂半徑為：§3.2泰勒展開(kāi)利用此級(jí)數(shù),可以給出復(fù)變函數(shù)§3.2在解析圓盤(pán)內(nèi)的泰勒展開(kāi);§3.4在解析環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi).即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂：對(duì)冪級(jí)數(shù)收斂半徑為8例：將在的鄰域內(nèi)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)一般情形:將在z0為中心的鄰域展開(kāi)解:收斂半徑:收斂區(qū)域:收斂區(qū)域不包含奇點(diǎn)例：將在的鄰域內(nèi)展開(kāi)92.高級(jí)應(yīng)用:逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分a.逐項(xiàng)微分例：將在z=0泰勒展開(kāi)解：1.基本應(yīng)用:直接代公式例：將在處展開(kāi)Tips:確認(rèn)展開(kāi)中心z0；確認(rèn)變量

z

和奇點(diǎn)與z0點(diǎn)的位置關(guān)系。2.高級(jí)應(yīng)用:逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分a.逐項(xiàng)微分例：10b.逐項(xiàng)積分例:將Lnz的主值lnz在z=1泰勒展開(kāi).ln1=0解：又ln1=0C=0.所以lnz在z=1的泰勒展開(kāi)為:b.逐項(xiàng)積分例:將Lnz的主值lnz在z11*證：作圓c：

并且z點(diǎn)在圓c內(nèi)．由柯西積分公式得：當(dāng)時(shí),

定理3.10(泰勒定理)設(shè)f(z)在圓盤(pán)內(nèi)解析,則在U內(nèi)f(z)可唯一地展開(kāi)為下面的冪級(jí)數(shù)：..*證：作圓c：當(dāng)時(shí),12級(jí)數(shù)在c上關(guān)于一致收斂,又在c上解析,當(dāng)然有界.因此由定理3.4,一致收斂.由級(jí)數(shù)一致收斂的逐項(xiàng)可積性,得：級(jí)數(shù)在c上關(guān)于13定理得證.定理得證.14上式中,令,即得.故展式唯一.泰勒展開(kāi)的唯一性則在其收斂圓盤(pán)內(nèi),逐項(xiàng)求導(dǎo)任意n次：如果還有展開(kāi)式：上式中,令,即得15定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是它在D內(nèi)的任一點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可展為冪級(jí)數(shù).※解析函數(shù)可定義為能夠展成冪級(jí)數(shù)的函數(shù).如何展開(kāi)？1.直接用展開(kāi)定理.例：將①②在z=0展開(kāi).解：定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是※16例*：將secz在z=0泰勒展開(kāi).解：2.代入已知級(jí)數(shù)展開(kāi)式.3.逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分等高級(jí)應(yīng)用Tips:直接利用展開(kāi)定理,比較困難.例*：將secz在z=0泰勒展開(kāi).解：2.17§3.3唯一性定理和解析開(kāi)拓一.解析函數(shù)的零點(diǎn)—泰勒展開(kāi)的一個(gè)應(yīng)用若展開(kāi)序數(shù)從m開(kāi)始不為0(m

≥1),即令

f(z)可寫(xiě)為：,其中,在D內(nèi)解析,并且.則,z=z0時(shí),f(z)=0.稱(chēng)z0為f(z)的m階零點(diǎn)?！?.3唯一性定理和解析開(kāi)拓一.解析函數(shù)的零點(diǎn)—泰勒展18對(duì)f(z)求導(dǎo),得例如：z=0為二階零點(diǎn);其中,在z=0解析,且f(z)可記為:對(duì)f(z)求導(dǎo),得例如：z=0為二階零點(diǎn);19

定理3.14(解析函數(shù)的唯一性定理)設(shè)f(z)和g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,且在D內(nèi)一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)集E上的值相等,E至少有一個(gè)極限點(diǎn)在D內(nèi),則函數(shù)f(z)和g(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等.※

解析函數(shù)在其解析區(qū)域D

中:二.解析函數(shù)的唯一性定理某一點(diǎn)鄰域的取值完全決定了解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的值或,某一弧段上的值區(qū)域D定理3.14(解析函數(shù)的唯一性定理)設(shè)f20考慮復(fù)變函數(shù),當(dāng)時(shí),例如在解析.而在z=2發(fā)散.而此時(shí)級(jí)數(shù)不能收斂到一個(gè)確定值.三.解析開(kāi)拓對(duì)區(qū)域的點(diǎn),能否找到收斂的級(jí)數(shù)表示f(z)在該點(diǎn)的值？令即有：以z=0為中心,作泰勒展開(kāi)：考慮復(fù)變函數(shù),當(dāng)21函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)z0可展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)例：將在點(diǎn)作泰勒展開(kāi)f2(z)的收斂區(qū)域?yàn)椋航猓撼鲈瓉?lái)的收斂區(qū)域.函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)z0可展開(kāi)為22從一個(gè)函數(shù)元素出發(fā),可以沿所有可能的方向開(kāi)拓,直到不能開(kāi)拓為止;這時(shí)得到的解析函數(shù)稱(chēng)為完全解析函數(shù).其定義域叫做該函數(shù)的自然邊界.f1(z)和f2(z)互為解析開(kāi)拓.記(f1,D1)為解析函數(shù)f(z)的函數(shù)元素.

(f2,D2)

也是f(z)的函數(shù)元素.從一個(gè)函數(shù)元素出發(fā),可以沿所有可能的方向開(kāi)拓,直到不23Question:什么是解析開(kāi)拓?Answer:將特定區(qū)域里有定義的級(jí)數(shù)形式

或積分形式的函數(shù)擴(kuò)展到其它區(qū)域.例:積分形式的解析開(kāi)拓可開(kāi)拓至全平面,除去奇點(diǎn)易證:故常用Γ函數(shù)表示階乘.Question:什么是解析開(kāi)拓?Answer:24§3.4洛朗展開(kāi)例.在環(huán)域?qū)⒄归_(kāi).Tips:1.仍然套用公式2.仍然注意:展開(kāi)中心和奇點(diǎn)位置.一般情形:在z0為中心的環(huán)域可展開(kāi)為廣義冪級(jí)數(shù)解:此例中,展開(kāi)中心為z0

=0§3.4洛朗展開(kāi)例.在環(huán)域25第三章-解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)-縮減版課件26定理3.15(洛朗定理)如果函數(shù)f(z)在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)解析,則在D內(nèi)可以唯一的展開(kāi)成如下的收斂級(jí)數(shù)：展開(kāi)系數(shù)為：c為D內(nèi)包圍內(nèi)圓的任一圍線,積分沿逆時(shí)針?lè)较?定理3.15(洛朗定理)展開(kāi)系數(shù)為：27記D1的內(nèi)外邊界分別為l'和l.由復(fù)連通區(qū)域的柯西積分公式：證明：作出區(qū)域D1,并且..記D1的內(nèi)外邊界分別為證明：作出區(qū)域D1..28當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)相同,有其中，Tips:這里不能寫(xiě)成,因?yàn)閒(z)在l所包圍區(qū)域內(nèi)不完全解析.當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)相同,有其中，29當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)也相似.此時(shí)..當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)也相似...30由復(fù)連通區(qū)域的柯西積分定理,沿l和l'的積分轉(zhuǎn)化為c的積分;c為區(qū)域D中包圍內(nèi)圓的任一圍線.分別將在l和l'上的級(jí)數(shù)展開(kāi)代入由一致收斂性,作逐項(xiàng)積分:由復(fù)連通區(qū)域的柯西積分定理,分別將在31即有：其中：定理得證！洛朗展開(kāi)的唯一性（待定系數(shù)法求展開(kāi)系數(shù)）若f(z)還有展開(kāi)式：用乘以上式兩端,并逐項(xiàng)積分：證明：因此即有：定理得證！洛朗展開(kāi)的唯一性（待定系數(shù)法求展開(kāi)系數(shù)）若32例2.2若點(diǎn)

在圍線c的內(nèi)部,則有而洛朗展開(kāi)的系數(shù)為：因此,.證畢.因此,求和的各項(xiàng)中,僅n+k=-1的項(xiàng)不為0.即:例2.2若點(diǎn)在圍線c的內(nèi)部,則有而洛朗展開(kāi)的系數(shù)33如果f(z)在圓環(huán)D的內(nèi)境界線所圍的閉域,即圓盤(pán)內(nèi)解析,則對(duì)洛朗展開(kāi)的系數(shù)：當(dāng)n<0時(shí),在閉域內(nèi)解析.由柯西積分定理,此時(shí).即:洛朗級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為泰勒級(jí)數(shù).因此,洛朗級(jí)數(shù)可看作泰勒級(jí)數(shù)的推廣.洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系如果f(z)在圓環(huán)D的內(nèi)境界線所圍的閉域,當(dāng)n<034例3.9在環(huán)域?qū)⒄归_(kāi).例3.10在環(huán)域上將展開(kāi).例3.11在環(huán)域上將展開(kāi).Tips:在同一點(diǎn)上,同一函數(shù)可以有不同的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式：解析開(kāi)拓.例3.9在環(huán)域?qū)?5§3.5孤立奇點(diǎn)一.單值函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)及判定孤立奇點(diǎn)的定義:點(diǎn)z0是f(z)的奇點(diǎn),且f(z)在z0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)解析,則稱(chēng)z0是f(z)的孤立奇點(diǎn).在去心鄰域D內(nèi),f(z)可展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：展開(kāi)式中的負(fù)冪項(xiàng)稱(chēng)為洛朗展式的主要部分.其中：■§3.5孤立奇點(diǎn)一.單值函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)及判定孤立奇36例：判斷奇點(diǎn)類(lèi)型：a.

不含負(fù)冪項(xiàng)z0為f(z)的可去奇點(diǎn)；由洛朗展式中負(fù)冪項(xiàng)個(gè)數(shù),對(duì)孤立奇點(diǎn)分類(lèi)：■b.含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)z0為f(z)的極點(diǎn)；c.含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)z0為f(z)的本性奇點(diǎn).對(duì)極點(diǎn),若負(fù)冪項(xiàng)的最低冪次為－m

,則稱(chēng)z0為

f(z)的m階極點(diǎn).一階極點(diǎn)又稱(chēng)為單極點(diǎn).①②例：判斷奇點(diǎn)類(lèi)型：a.不含負(fù)冪項(xiàng)37定理3.16

z0是f(z)的可去奇點(diǎn)定理3.17

z0是f(z)的極點(diǎn)定理3.18

z0是f(z)的本性奇點(diǎn)必要性（）的證明：從洛朗級(jí)數(shù)出發(fā).二.單值函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域的性質(zhì)若z0是f(z)的孤立奇點(diǎn),則有以下定理定理3.16z0是f(z)的可去奇點(diǎn)定理3.1738定理3.16

z0是f(z)的可去奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn)證明：a.必要性(洛朗展開(kāi))b.充分性設(shè)去心鄰域內(nèi),有,則對(duì)洛朗展開(kāi)的系數(shù)：當(dāng)時(shí),.因此定理得證.定理3.16z0是f(z)的可去奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn)39定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是它在D內(nèi)的任一點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可展為冪級(jí)數(shù).若在D內(nèi)解析,并且,則在D內(nèi)也解析,且2.極點(diǎn)■證:在z0點(diǎn)作泰勒展開(kāi):對(duì)作多項(xiàng)式除法:定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是若40由定理3.11知,解析;由上式得,.得證!例:由定理3.11知,解析;由上式得,41其中,在D內(nèi)解析,并且.極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系若z0是f(z)的m階零點(diǎn),則z0是

的m階極點(diǎn)則：■證明:將f(z)在z0點(diǎn)作泰勒展開(kāi):其中,極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系若z0是f(z)的m階零點(diǎn)42的泰勒展開(kāi)為:因此,z0是F(z)=1/f(z)的m階極點(diǎn).得證!z0是f(z)的m階極點(diǎn)

z0是

的m階零點(diǎn).總之,由以上結(jié)論反推,也可得出命題的條件.的泰勒展開(kāi)為:因此,z0是F(z)43例：z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)，是g(z)的n階零點(diǎn)(m>n)，則判斷z0在以下表達(dá)式中的奇點(diǎn)類(lèi)型：例：z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)，是g(z)的n階零點(diǎn)44定理3.17

z0是f(z)的極點(diǎn)證明：a.必要性z0為f(z)的m階極點(diǎn),則f(z)的洛朗展開(kāi)式為：其中：定理3.17z0是f(z)的極點(diǎn)證明：a.必要45b.充分性由,則,使得在內(nèi),有F(z)解析,且考慮函數(shù)z0為F(z)的可去奇點(diǎn).定理3.16因此在去心鄰域G上,F(z)的洛朗展開(kāi)寫(xiě)為b.充分性由,46若定義,則f(z)在圓盤(pán)內(nèi)解析.其中又,故可設(shè)展開(kāi)系數(shù)中第m個(gè)系數(shù)不為零,F(z)可寫(xiě)為與前面極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系時(shí)的證明相同,可證z0是f(z)的m階極點(diǎn).定理證畢！若定義,則f(z)473.本性奇點(diǎn)證明:

利用定義,以及定理3.16,3.17,作反證法證明.定理3.19(維爾斯特拉斯定理)

f(z)的孤立奇點(diǎn)z0是本性奇點(diǎn)的充要條件是：對(duì)于任一有限或無(wú)窮的復(fù)數(shù)A,在內(nèi)一定有收斂于z0的序列,使得.※定理3.19說(shuō)明,f(z)可在z0的去心鄰域內(nèi),可無(wú)限接近任意一個(gè)復(fù)數(shù),包括∞.定理3.18

z0是f(z)的本性奇點(diǎn)3.本性奇點(diǎn)證明:利用定義,以及定理3.16,3.148ifz0是f(z)的可去奇點(diǎn)if

z0是f(z)的極點(diǎn)ifz0是f(z)的本性奇點(diǎn)總結(jié)：ifz0是f(z)的可去奇點(diǎn)ifz0是f49若f(z)在D內(nèi)解析,則為f(z)的孤立奇點(diǎn).三.函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)鄰域內(nèi)的性質(zhì)無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域?yàn)闉榕袛酂o(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)處的孤立奇點(diǎn)類(lèi)型,取,判斷在點(diǎn)處的奇點(diǎn)類(lèi)型.是的可去奇點(diǎn)是f(z)的可去奇點(diǎn)是的m階極點(diǎn)是f(z)的m階極點(diǎn)是的本性奇點(diǎn)是f(z)的本性奇點(diǎn)Tips：此區(qū)域也是以z=0

點(diǎn)為中心的環(huán)域。若f(z)在D內(nèi)解析,則為50f(z)在區(qū)域D內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為：則的洛朗展開(kāi)式為：即中的負(fù)冪項(xiàng),為f(z)中z的正冪項(xiàng).

定理3.20是f(z)的可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)、本性奇點(diǎn)的充要條件是f(z)在去心鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi)分別不含、含有限個(gè)、無(wú)窮個(gè)正冪項(xiàng).或者值分別為為有限、無(wú)窮、不定.f(z)在區(qū)域D內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為：定理3.20512.有無(wú)窮多個(gè)極點(diǎn).四.整函數(shù)和亞純函數(shù)的概念在復(fù)平面上處處解析的函數(shù)稱(chēng)為整函數(shù),又稱(chēng)為純函數(shù).無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)是整函數(shù)的唯一奇點(diǎn).(整函數(shù)為常數(shù)除外)在復(fù)平面上除了極點(diǎn)和可去奇點(diǎn)外,別無(wú)其他類(lèi)型奇點(diǎn)的解析函數(shù),稱(chēng)為亞純函數(shù)或半純函數(shù).例：1.有理分式函數(shù),有限個(gè)奇點(diǎn).2.有無(wú)窮多個(gè)極點(diǎn)52第三章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)1.冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂圓2.泰勒展開(kāi)定理3.解析開(kāi)拓的意義和方法4.洛朗展開(kāi)定理5.孤立奇點(diǎn)的類(lèi)型：A.有限遠(yuǎn)點(diǎn)B.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)不作要求！a.可去奇點(diǎn)b.極點(diǎn)c.本性奇點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)：第三章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)1.冪級(jí)數(shù)及其收斂半徑和收斂53基本方法：1.計(jì)算冪級(jí)數(shù)收斂半徑的比值法和根值法.2.將復(fù)變函數(shù)在解析圓盤(pán)展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).在解析環(huán)域展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù).a.常用展開(kāi)公式:b.逐項(xiàng)微分/逐項(xiàng)求導(dǎo)3.有限遠(yuǎn)孤立奇點(diǎn)的判定※極點(diǎn)的階數(shù)、極點(diǎn)與零點(diǎn)的關(guān)系基本方法：1.計(jì)算冪級(jí)數(shù)收斂半徑的比值法和根值法.2.將54第三章-解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)-縮減版課件55收斂區(qū)域?yàn)榻猓菏諗繀^(qū)域?yàn)榻猓?6§3.1復(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第三章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)2.分析方法:

記,則即復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)可以看作兩個(gè)一對(duì)實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).一.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1.定義：3.收斂:無(wú)窮多項(xiàng)之和趨于一個(gè)穩(wěn)定值.§3.1復(fù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)第三章解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展57二.復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3.絕對(duì)收斂若級(jí)數(shù)收斂,則稱(chēng)級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂,則級(jí)數(shù)必定收斂,但反之不真.*2.收斂與一致收斂1.定義逐點(diǎn)收斂：對(duì)，s.t.當(dāng)時(shí),有若，即N與點(diǎn)z無(wú)關(guān)。一致收斂：二.復(fù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)3.絕對(duì)收斂若級(jí)數(shù)收583.一致收斂的判定(不作要求)定理3.2(柯西一致收斂準(zhǔn)則)定理3.3(M判別法)定理3.4(函數(shù)乘積判別法)定理3.3(M判別法)設(shè)在點(diǎn)集E上有定義,且對(duì)有：其中an是與z無(wú)關(guān)的正數(shù)，則當(dāng)收斂時(shí)，在E上一致收斂且絕對(duì)收斂。稱(chēng)為的優(yōu)級(jí)數(shù).3.一致收斂的判定(不作要求)定理3.2(柯西一致收斂59二.冪級(jí)數(shù)以z0為中心的冪級(jí)數(shù):定理3.8(阿貝爾(Abel)定理)

若冪級(jí)數(shù)在收斂,則在圓盤(pán)內(nèi)絕對(duì)收斂.推論3.1若冪級(jí)數(shù)在某點(diǎn)z1發(fā)散,則它在圓周的外面處處發(fā)散.二.冪級(jí)數(shù)以z0為中心的冪級(jí)數(shù):定理3.8(阿貝爾(60將R稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂半徑,稱(chēng)為收斂圓,稱(chēng)為收斂圓盤(pán).從阿貝爾定理及其推論可知,必存在以R為半徑的圓,在圓內(nèi),即時(shí),級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂(在較小的閉圓內(nèi)一致收斂),而在圓外級(jí)數(shù)發(fā)散.冪級(jí)數(shù)的收斂圓與收斂半徑對(duì)級(jí)數(shù)將R稱(chēng)為級(jí)數(shù)的收斂半徑,從阿貝爾定理及其推論可知,必61收斂半徑的計(jì)算比值法例3.1討論級(jí)數(shù)的斂散性在z=1時(shí),此級(jí)數(shù)為調(diào)和級(jí)數(shù),發(fā)散.在z=-1時(shí),級(jí)數(shù)為交錯(cuò)級(jí)數(shù),收斂1.求出收斂半徑2.討論收斂圓上的情況(2)根值法解：收斂半徑的計(jì)算比值法例3.1討論級(jí)數(shù)62令,則即時(shí),級(jí)數(shù)收斂.例3.2討論級(jí)數(shù)和的斂散性例3.*討論級(jí)數(shù)的斂散性因此:令,則即63即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂：對(duì)冪級(jí)數(shù)收斂半徑為：§3.2泰勒展開(kāi)利用此級(jí)數(shù),可以給出復(fù)變函數(shù)§3.2在解析圓盤(pán)內(nèi)的泰勒展開(kāi);§3.4在解析環(huán)域內(nèi)的洛朗展開(kāi).即當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)收斂：對(duì)冪級(jí)數(shù)收斂半徑為64例：將在的鄰域內(nèi)展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)一般情形:將在z0為中心的鄰域展開(kāi)解:收斂半徑:收斂區(qū)域:收斂區(qū)域不包含奇點(diǎn)例：將在的鄰域內(nèi)展開(kāi)652.高級(jí)應(yīng)用:逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分a.逐項(xiàng)微分例：將在z=0泰勒展開(kāi)解：1.基本應(yīng)用:直接代公式例：將在處展開(kāi)Tips:確認(rèn)展開(kāi)中心z0；確認(rèn)變量

z

和奇點(diǎn)與z0點(diǎn)的位置關(guān)系。2.高級(jí)應(yīng)用:逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分a.逐項(xiàng)微分例：66b.逐項(xiàng)積分例:將Lnz的主值lnz在z=1泰勒展開(kāi).ln1=0解：又ln1=0C=0.所以lnz在z=1的泰勒展開(kāi)為:b.逐項(xiàng)積分例:將Lnz的主值lnz在z67*證：作圓c：

并且z點(diǎn)在圓c內(nèi)．由柯西積分公式得：當(dāng)時(shí),

定理3.10(泰勒定理)設(shè)f(z)在圓盤(pán)內(nèi)解析,則在U內(nèi)f(z)可唯一地展開(kāi)為下面的冪級(jí)數(shù)：..*證：作圓c：當(dāng)時(shí),68級(jí)數(shù)在c上關(guān)于一致收斂,又在c上解析,當(dāng)然有界.因此由定理3.4,一致收斂.由級(jí)數(shù)一致收斂的逐項(xiàng)可積性,得：級(jí)數(shù)在c上關(guān)于69定理得證.定理得證.70上式中,令,即得.故展式唯一.泰勒展開(kāi)的唯一性則在其收斂圓盤(pán)內(nèi),逐項(xiàng)求導(dǎo)任意n次：如果還有展開(kāi)式：上式中,令,即得71定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是它在D內(nèi)的任一點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可展為冪級(jí)數(shù).※解析函數(shù)可定義為能夠展成冪級(jí)數(shù)的函數(shù).如何展開(kāi)？1.直接用展開(kāi)定理.例：將①②在z=0展開(kāi).解：定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是※72例*：將secz在z=0泰勒展開(kāi).解：2.代入已知級(jí)數(shù)展開(kāi)式.3.逐項(xiàng)微分與逐項(xiàng)積分等高級(jí)應(yīng)用Tips:直接利用展開(kāi)定理,比較困難.例*：將secz在z=0泰勒展開(kāi).解：2.73§3.3唯一性定理和解析開(kāi)拓一.解析函數(shù)的零點(diǎn)—泰勒展開(kāi)的一個(gè)應(yīng)用若展開(kāi)序數(shù)從m開(kāi)始不為0(m

≥1),即令

f(z)可寫(xiě)為：,其中,在D內(nèi)解析,并且.則,z=z0時(shí),f(z)=0.稱(chēng)z0為f(z)的m階零點(diǎn)?！?.3唯一性定理和解析開(kāi)拓一.解析函數(shù)的零點(diǎn)—泰勒展74對(duì)f(z)求導(dǎo),得例如：z=0為二階零點(diǎn);其中,在z=0解析,且f(z)可記為:對(duì)f(z)求導(dǎo),得例如：z=0為二階零點(diǎn);75

定理3.14(解析函數(shù)的唯一性定理)設(shè)f(z)和g(z)在區(qū)域D內(nèi)解析,且在D內(nèi)一個(gè)無(wú)窮點(diǎn)集E上的值相等,E至少有一個(gè)極限點(diǎn)在D內(nèi),則函數(shù)f(z)和g(z)在區(qū)域D內(nèi)恒等.※

解析函數(shù)在其解析區(qū)域D

中:二.解析函數(shù)的唯一性定理某一點(diǎn)鄰域的取值完全決定了解析函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)的值或,某一弧段上的值區(qū)域D定理3.14(解析函數(shù)的唯一性定理)設(shè)f76考慮復(fù)變函數(shù),當(dāng)時(shí),例如在解析.而在z=2發(fā)散.而此時(shí)級(jí)數(shù)不能收斂到一個(gè)確定值.三.解析開(kāi)拓對(duì)區(qū)域的點(diǎn),能否找到收斂的級(jí)數(shù)表示f(z)在該點(diǎn)的值？令即有：以z=0為中心,作泰勒展開(kāi)：考慮復(fù)變函數(shù),當(dāng)77函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)z0可展開(kāi)為冪級(jí)數(shù)例：將在點(diǎn)作泰勒展開(kāi)f2(z)的收斂區(qū)域?yàn)椋航猓撼鲈瓉?lái)的收斂區(qū)域.函數(shù)f(z)在D內(nèi)解析f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)z0可展開(kāi)為78從一個(gè)函數(shù)元素出發(fā),可以沿所有可能的方向開(kāi)拓,直到不能開(kāi)拓為止;這時(shí)得到的解析函數(shù)稱(chēng)為完全解析函數(shù).其定義域叫做該函數(shù)的自然邊界.f1(z)和f2(z)互為解析開(kāi)拓.記(f1,D1)為解析函數(shù)f(z)的函數(shù)元素.

(f2,D2)

也是f(z)的函數(shù)元素.從一個(gè)函數(shù)元素出發(fā),可以沿所有可能的方向開(kāi)拓,直到不79Question:什么是解析開(kāi)拓?Answer:將特定區(qū)域里有定義的級(jí)數(shù)形式

或積分形式的函數(shù)擴(kuò)展到其它區(qū)域.例:積分形式的解析開(kāi)拓可開(kāi)拓至全平面,除去奇點(diǎn)易證:故常用Γ函數(shù)表示階乘.Question:什么是解析開(kāi)拓?Answer:80§3.4洛朗展開(kāi)例.在環(huán)域?qū)⒄归_(kāi).Tips:1.仍然套用公式2.仍然注意:展開(kāi)中心和奇點(diǎn)位置.一般情形:在z0為中心的環(huán)域可展開(kāi)為廣義冪級(jí)數(shù)解:此例中,展開(kāi)中心為z0

=0§3.4洛朗展開(kāi)例.在環(huán)域81第三章-解析函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi)-縮減版課件82定理3.15(洛朗定理)如果函數(shù)f(z)在圓環(huán)區(qū)域內(nèi)解析,則在D內(nèi)可以唯一的展開(kāi)成如下的收斂級(jí)數(shù)：展開(kāi)系數(shù)為：c為D內(nèi)包圍內(nèi)圓的任一圍線,積分沿逆時(shí)針?lè)较?定理3.15(洛朗定理)展開(kāi)系數(shù)為：83記D1的內(nèi)外邊界分別為l'和l.由復(fù)連通區(qū)域的柯西積分公式：證明：作出區(qū)域D1,并且..記D1的內(nèi)外邊界分別為證明：作出區(qū)域D1..84當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)相同,有其中，Tips:這里不能寫(xiě)成,因?yàn)閒(z)在l所包圍區(qū)域內(nèi)不完全解析.當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)相同,有其中，85當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)也相似.此時(shí)..當(dāng)時(shí),與泰勒定理中的推導(dǎo)也相似...86由復(fù)連通區(qū)域的柯西積分定理,沿l和l'的積分轉(zhuǎn)化為c的積分;c為區(qū)域D中包圍內(nèi)圓的任一圍線.分別將在l和l'上的級(jí)數(shù)展開(kāi)代入由一致收斂性,作逐項(xiàng)積分:由復(fù)連通區(qū)域的柯西積分定理,分別將在87即有：其中：定理得證！洛朗展開(kāi)的唯一性（待定系數(shù)法求展開(kāi)系數(shù)）若f(z)還有展開(kāi)式：用乘以上式兩端,并逐項(xiàng)積分：證明：因此即有：定理得證！洛朗展開(kāi)的唯一性（待定系數(shù)法求展開(kāi)系數(shù)）若88例2.2若點(diǎn)

在圍線c的內(nèi)部,則有而洛朗展開(kāi)的系數(shù)為：因此,.證畢.因此,求和的各項(xiàng)中,僅n+k=-1的項(xiàng)不為0.即:例2.2若點(diǎn)在圍線c的內(nèi)部,則有而洛朗展開(kāi)的系數(shù)89如果f(z)在圓環(huán)D的內(nèi)境界線所圍的閉域,即圓盤(pán)內(nèi)解析,則對(duì)洛朗展開(kāi)的系數(shù)：當(dāng)n<0時(shí),在閉域內(nèi)解析.由柯西積分定理,此時(shí).即:洛朗級(jí)數(shù)轉(zhuǎn)化為泰勒級(jí)數(shù).因此,洛朗級(jí)數(shù)可看作泰勒級(jí)數(shù)的推廣.洛朗級(jí)數(shù)與泰勒級(jí)數(shù)的關(guān)系如果f(z)在圓環(huán)D的內(nèi)境界線所圍的閉域,當(dāng)n<090例3.9在環(huán)域?qū)⒄归_(kāi).例3.10在環(huán)域上將展開(kāi).例3.11在環(huán)域上將展開(kāi).Tips:在同一點(diǎn)上,同一函數(shù)可以有不同的洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式：解析開(kāi)拓.例3.9在環(huán)域?qū)?1§3.5孤立奇點(diǎn)一.單值函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)及判定孤立奇點(diǎn)的定義:點(diǎn)z0是f(z)的奇點(diǎn),且f(z)在z0的一個(gè)去心鄰域內(nèi)解析,則稱(chēng)z0是f(z)的孤立奇點(diǎn).在去心鄰域D內(nèi),f(z)可展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)：展開(kāi)式中的負(fù)冪項(xiàng)稱(chēng)為洛朗展式的主要部分.其中：■§3.5孤立奇點(diǎn)一.單值函數(shù)孤立奇點(diǎn)的分類(lèi)及判定孤立奇92例：判斷奇點(diǎn)類(lèi)型：a.

不含負(fù)冪項(xiàng)z0為f(z)的可去奇點(diǎn)；由洛朗展式中負(fù)冪項(xiàng)個(gè)數(shù),對(duì)孤立奇點(diǎn)分類(lèi)：■b.含有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)z0為f(z)的極點(diǎn)；c.含無(wú)窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)z0為f(z)的本性奇點(diǎn).對(duì)極點(diǎn),若負(fù)冪項(xiàng)的最低冪次為－m

,則稱(chēng)z0為

f(z)的m階極點(diǎn).一階極點(diǎn)又稱(chēng)為單極點(diǎn).①②例：判斷奇點(diǎn)類(lèi)型：a.不含負(fù)冪項(xiàng)93定理3.16

z0是f(z)的可去奇點(diǎn)定理3.17

z0是f(z)的極點(diǎn)定理3.18

z0是f(z)的本性奇點(diǎn)必要性（）的證明：從洛朗級(jí)數(shù)出發(fā).二.單值函數(shù)在孤立奇點(diǎn)鄰域的性質(zhì)若z0是f(z)的孤立奇點(diǎn),則有以下定理定理3.16z0是f(z)的可去奇點(diǎn)定理3.1794定理3.16

z0是f(z)的可去奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn)證明：a.必要性(洛朗展開(kāi))b.充分性設(shè)去心鄰域內(nèi),有,則對(duì)洛朗展開(kāi)的系數(shù)：當(dāng)時(shí),.因此定理得證.定理3.16z0是f(z)的可去奇點(diǎn)1.可去奇點(diǎn)95定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是它在D內(nèi)的任一點(diǎn)z0的某個(gè)鄰域內(nèi)可展為冪級(jí)數(shù).若在D內(nèi)解析,并且,則在D內(nèi)也解析,且2.極點(diǎn)■證:在z0點(diǎn)作泰勒展開(kāi):對(duì)作多項(xiàng)式除法:定理3.11函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析的充要條件是若96由定理3.11知,解析;由上式得,.得證!例:由定理3.11知,解析;由上式得,97其中,在D內(nèi)解析,并且.極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系若z0是f(z)的m階零點(diǎn),則z0是

的m階極點(diǎn)則：■證明:將f(z)在z0點(diǎn)作泰勒展開(kāi):其中,極點(diǎn)和零點(diǎn)的關(guān)系若z0是f(z)的m階零點(diǎn)98的泰勒展開(kāi)為:因此,z0是F(z)=1/f(z)的m階極點(diǎn).得證!z0是f(z)的m階極點(diǎn)

z0是

的m階零點(diǎn).總之,由以上結(jié)論反推,也可得出命題的條件.的泰勒展開(kāi)為:因此,z0是F(z)99例：z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)，是g(z)的n階零點(diǎn)(m>n)，則判斷z0在以下表達(dá)式中的奇點(diǎn)類(lèi)型：例：z0是函數(shù)f(z)的m階極點(diǎn)，是g(z)的n階零點(diǎn)100定理3.17

z0是f(z)的極點(diǎn)證明：a.必要性z0為f(z)的m階極點(diǎn),則f(z)的洛朗展開(kāi)式為：其中：定理3.17z0是f(z)的極點(diǎn)證明：a.必要101b.充分性由,則,使得在內(nèi),有F(z)解析,且考慮函數(shù)