山東某大學829量子力學歷年考研真題匯編

目錄2014年山東大學829量子力學考研真題2015年山東大學829量子力學考研真題2016年山東大學829量子力學考研真題2017年山東大學829量子力學考研真題2018年山東大學829量子力學考研真題2014年山東大學829量子力學考研真題第1頁共2頁山東大學二。一四年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題科目代碼829 科目名稱量子力學 （答案必須寫在答卷紙上，寫在試題上無效）一、證明題（共25分）對一個系統(tǒng)，物理易克符］與方不對易，t有木價值為4%,相應(yīng)的本征態(tài)為這甲〃「%為力的本征函數(shù),相應(yīng)的本征值為&與&，若系統(tǒng)的初態(tài)為4（/=°）,證明彳在/時刻的平均值為（小婦”+忙&os西斗二、計算（共25分）?個質(zhì)量為"的粒子在某勢場r3）的約束卜作網(wǎng)同（周K為L）運動，如果還存在6函數(shù)勢義仍=a6（R（（p-萬）），請求出系統(tǒng)所有能級和相應(yīng)的歸-化波函數(shù).三、計算（共25分）粒（?處于狀態(tài)W）二（5）4缶言）式中？為常殳，求粒了?的動R'F均值，并計算測不準關(guān)系畫.麗=?備用公式：

㈠―察I/四、計算（共25分）考慮處于長為O.lnm的“一維盒子”中的一個電化⑴求前4個波函數(shù)并給草圖（將波函數(shù)歸一化儲⑵計算對應(yīng)的4個能級并I廁出能級圖⑶在1=0時,粒子處于〃=1的態(tài)此時突然加上個匕=T0'e匕寬度為iff%一,中心在%的方勢阱,保持5xW4后撤去.在這個微擾移掉后,體系被發(fā)現(xiàn)處了〃=2,〃=3,"=4態(tài)的概率是多少（勢阱的高度和寬度對于巾子與電子相l(xiāng)L作用是特征性的）？注意可用所畫的圖幫助估計有關(guān)的綽陣元。五、計算題（共25分）兩個門旋為1/2的任合同粒子體系.以卜）卜）分別代表自旋向匕卜兩個呈f冶一體系的哈密頓&為在/「0時體系波函數(shù)為M（o?=；|++）+；|+-）， ia體系的哈密頓&為。=勿&+@& （1）求/時刻波函數(shù)；（2）求,時刻的平均值：4%）與（％）.六'計算題（共25分）設(shè)有?個質(zhì)量為m,能易為E的粒了々球?qū)ΨQ勢劭,（一句卜散射，其中8和。都是常數(shù).⑴在散射能量很高的情況F,用Born近似計算微分散射截面.⑵在甚低能散時的情形，?。，微分散射截面為何?2015年山東大學829量子力學考研真題第1頁共2頁山東大學二0一五年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題科目代碼829 科目名稱代子力學(答案必須寫在答卷紙上，寫在試題上無效)一、論述(共25分)討論以下波函數(shù)的歸一化問題：(1)粒子在寬為a的一維無限深勢阱中運動，設(shè)態(tài)函數(shù)為：u/(.r)=Jsin—(0<.V<a) ―?,一a ，求A使波函數(shù)歸-.u/(x)=/lexp| |(2)設(shè) I2 J,。為己知常數(shù)，求歸一化常數(shù)A.(3)設(shè)必x)=exp(ih),粒子的位置概率分布如何？能否歸一?(4)設(shè)必*)=次丫)，粒子的位置概率分布如何？能否歸一？二、計算(共25分)一個質(zhì)量為m的粒子在一維無限深勢阱(0^.r<a)中運動，/=0時刻的初態(tài)波函(1)在后來某一時刻/。的波函數(shù)是什么?(2)體系在鼻。和，=/。時的平均能量是多少?

第2頁共2頁三、證明題（共25分）質(zhì)量為"的粒子在球勢阱/（r）=-?（r-a）（八。＞0）中運動，求該粒子存在束縛態(tài)的條件。四、計算（共25分）設(shè)在H0表象中，=4丁』 力為實數(shù)）!用微擾論求能量修正最（到二級近似），嚴格求解與微擾論計算值比較。五、計算題（共25分）一具有磁矩自旋;粒子放于沿X軸方向的一常磁場中。在￡=0時，發(fā)現(xiàn)粒子具有S=1 c_+15?求在以后任意時刻發(fā)現(xiàn)具有,--2粒子的概率.六、計算題（共25分）質(zhì)量為加無自旋的粒子受到中心力勢/（r）=-￡-^一的散射，其中amacosh（r/a）是常數(shù)。已知方程也*+/加勸+二-陽八有解ax coshx刈=/心（tanhxpK）。在低能下,求粒子能量為￡時，s分波的散射截面及其角分布。2016年山東大學829量子力學考研真題山東大學二。一六年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題科目代碼 829 科目名稱t子力學（答案必須寫在答卷紙上，寫在試題上無效）一、計算（25分）計。入射粒子在一維階躍資、（0,x<0

x>0其中％>0,（I）當E>/時的反射率R與透射率T,（2）=E<%時的反射率R與透射率兀二、計算（25分）一個質(zhì)粒為4的粒入處于勢阱Kx）= =0時，由H.化波函數(shù)為微。=［（IT嶗）卜喏）求：⑴在t=0時可測量的能吊值及其幾率：（2）在t>0時刻的波函數(shù)W（x,t）；（3）在t>0時刻的能量平均值<H>.三、計算（25分）?個冊員為m,不計自旋的帶電粒子在靜磁場中的哈普頓敞可表為：2mc其中P為粒子的動也A為磁場的矢勢。設(shè)磁場沿z方向的曲做場B”其矢勢可表示為:力=-%.i憶e,表x方向的單位矢量.（1）證明:該粒子動員的x,Z方向的分量p.、P,為守恒員.（2）求該系統(tǒng)的單子化能級。四、計算（25分）粒f?在中心力場了⑺中運動，本征方程為用加）=E，［〃加）?若在尢上依次附加R=a（￡+g），j*產(chǎn)應(yīng);（a/均為正實數(shù)，且-?a）。求（1）力=用+R的本征函數(shù)與本征值，及能級簡并度；（2）對”=31=1,。=h+自+自的本征值至一級近似，并求出零級近似波兩收，五、計算題（共25分）⑴對于電子門旋態(tài)九（凡=1），求/的可能價及相應(yīng)的概率：⑵對于久力的門旋態(tài)，求“各分量的可能值及相應(yīng)概率,以及。的平均（鼠六、計算題（共25分）兩個白旋S=1的質(zhì)星m的粒子組成?個體系，兩粒f之間的II"『.作用勢2『=12-］云尸角中a是正實數(shù).耳，耳是粒了1,2的自旋,r是它們之間的即離.（I）在版心系中寫出體系的哈密頓量,證明體系總自旋M與S：是守恒量。（2）令體系波函數(shù)“；,、,，*）="1）%?（品,為S與S；的共同本征波函數(shù).給出風力滿足的方程，分別在SO,S=l的情況下求出體系的能品（3）設(shè)兩粒子非全同,求體系的基態(tài)能量，并給出簡并度.（4）設(shè)兩粒f是全同的,求體系的基態(tài)能飲,并給出簡并度，2017年山東大學829量子力學考研真題山東大學二。一七年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題科目代碼 829 科目名稱■子力學（答案必須寫在答卷紙上，寫在試題上無效）一、計算及證明（25分）由基本對易關(guān)系氏司=淅計算出/？以及的表達式，其中n為整數(shù)；試證明[pj（x）]=-ih^f（x）IxJ網(wǎng)=*/（?）二,計算（25分）已知束縛態(tài)波函數(shù)為收工）,求動員p與動能丁=3的幾率分布函數(shù)的表示式.對一維諧振子基態(tài)，波函數(shù)可以表示為風."=護2a書算出動量p與動能7的幾率分布函數(shù)，并算出動能平均值. ”三、計算（25分）處于場強為B的均勻強磁場中的氫燃子，不計自旋，其哈密頓量H可近似記為：A尸 eB?//=—+K（r）+—/..2〃 2〃cz,其中u為氫原子質(zhì)量，p為其動量，e為電子電隊c為光速，為氫原子軌道角動量。求該級原子的能級，并說明該磁場產(chǎn)生的物理效應(yīng).四'計算(25分)一個質(zhì)量為拼的粒子在三維勢場V--k(x2+y2+z2+Xxy)中運動，式中￡是正的常數(shù)，,足小量。(1)寫出2=0時，該勢場下對應(yīng)的本征態(tài)函數(shù)和本征能露并指出各能級的簡并%(2)用微擾論求基態(tài)能量至二級修正；(3)用救擾論求第一激發(fā)態(tài)的能級的一級修正值.五,計算題(共25分)(1)考慮門旋為1/2的系統(tǒng)。試在表象中求算符戊+8工的本征值及歸?化的本征態(tài)，其中，.金是自旋角動量算符，而4,8為實常數(shù)；(2)假定此系統(tǒng)處于以上算符的,個本征態(tài)上，求測證用闈到結(jié)果為加2的幾率，六、計算題(共25分)考慮兩個電子組成的系統(tǒng).它們空間部分波函數(shù)在交換電子空間部分坐標時可以是對稱的或是反對稱的.由于電子是費米子，整體披函數(shù)在交換全部坐標變量(包拈空間部分和自旋部分)時必須是反對稱的.1)假設(shè)空間部分波函數(shù)是反對稱的，求對應(yīng)自旋部分波函數(shù).總自旋算符定義為：§=1+求：不和亂的本征值：2)假設(shè)兩電廣系統(tǒng)哈密頓量為：H=Rs；,求系統(tǒng)的能量。2018年山東大學829量子力學考研真題山東大學二0一八年招收攻讀碩士學位研究生入學考試試題科目代碼829 科目名稱一子力學(答案必須寫在答卷紙上，寫在試題上無效)一、計算(25分)已知一維運動的粒子在態(tài)W(x)中坐標X和動量P的平均值分別為X。和Po，求在態(tài)3(x)=J牛W(x+的)中x和戶的平均值二、計算(25分)一維無限深方勢阱，質(zhì)量為4的粒子在一維無限深方勢阱中運動，勢阱可表示為y(X)-|"*6(0,a)

x?(0,a)(1)求解能量本征值品和歸一化的本征函數(shù)人(行；⑵若已知t=0時，該粒子態(tài)為帕,0)=專的心)+灰㈤)，求t時刻該粒子的波函數(shù):(3)求t時測量到粒子的能量分別為瓦和E2的幾率；⑷求t時粒子的平均位置和平均能量(￡)?三、證明(25分)AAA定義角動量升降算符4=4必.(1)證明算符)上與‘上的厄密性，并求出它們的本征態(tài)與本征值；(2)若力學量算符戶滿足對易關(guān)系伊J/=℃=x,),z),試證：戶在其1共同本征態(tài)上的平均值與微量子數(shù)無關(guān).四、計算（25分）粒子束縛在一維勢場V（x）中運動，能級為匕°,（n=l,2,3…本征波函數(shù)為1n>,受2D到微擾一］'的作用，其中口是粒子質(zhì)量，人是常數(shù)，P,為粒子動量，.TBn<n\p,|?>=^（￡；-￡；）<n|x|?>TOC\o"1-5"\h\z1）證明： A2（片-硝2k W=%0I方"0>\o"CurrentDocument"2）由此推導：? 4Z?-￡：）k〃|x|八2=（3）證明：? 2〃E匚F產(chǎn)4）在二級近似下,證明第n個能級能量表示為：'.l不（提示：尻即=生4）五、計算題（共25分）假設(shè)兩自旋系統(tǒng)的哈密頓量為。=8佃：+凡）+后伉.指標1表示自旋1,指標2表示自旋2.兩自旋波函數(shù)可表示為自旋1與自旋2直積的形式：就=1刑通=加通=|+）卜）必明|+）?（1）求在