土坡極限分析課件

極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所盧廷浩極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所1關(guān)于極限分析理論

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強度包線為直線且服從正交流動規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值并保持不變時，土體會發(fā)生“無限”塑性流動，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對應(yīng)的荷載稱為極限荷載。極限分析理論就是應(yīng)用彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。關(guān)于極限分析理論極限分析理論假定土體為2正交流動規(guī)則

塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩種表達(dá)同正交流動規(guī)則塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩3單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體4總能量耗散率材料總能量耗散率總能量耗散率材料總能量耗散率5能量耗散率計算薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率以對數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率（推導(dǎo)）能量耗散率計算薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率6薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率7以對數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率以對數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率8上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場

設(shè)有物體V，其表面A，面力和體力已知。若在此物體上，設(shè)定一組應(yīng)力場，滿足下列條件，則稱為靜力容許應(yīng)力場。①在體積V內(nèi)滿足平衡方程，即②在邊界上滿足邊界條件，即③在體積V內(nèi)不違反屈服條件，即

由定義可知，物體處于極限狀態(tài)時，其真實的應(yīng)力場必定是靜力容許的應(yīng)力場；但靜力容許應(yīng)力場不一定是極限狀態(tài)時真實的應(yīng)力場。上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場9上、下限定理機動容許的位移速率場

在物體V上，若設(shè)定一組位移速率場，滿足以下條件，為機動容許的位移速率場。①在體積V內(nèi)滿足幾何方程，即

則稱②在邊界Su上滿足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態(tài)時，其真實的位移速率場必定是機動容許的位移速率場；但機動容許的位移速率場不一定是極限狀態(tài)時真實的位移速率場。上、下限定理機動容許的位移速率場在物體V上，若設(shè)定一組位10上、下限定理虛功方程與虛功率方程

虛功原理表明：對于一個連續(xù)的變形體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場和任意一組機動容許位移場，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。

同理虛功率原理可表示為：對于任意一組靜力容許應(yīng)力場和任意一組機動容許的位移速率場，外力的功率等于物體內(nèi)虛變形功率。

如果物體內(nèi)部存在速度間斷時，其虛功率方程可表示為：

以上幾個定理的證明可參考土力學(xué)有關(guān)書本，這里從略。根據(jù)虛功率方程可以證明極限分析中兩個重要的定理，即上下限定理。式中，S——速度間斷面；——速度間斷面兩側(cè)切向速度的變化。上、下限定理虛功方程與虛功率方程式中，S——速度間斷面；11上、下限定理下限定理：在所有與靜力容許的應(yīng)力場滿足相對應(yīng)的荷載中，極限荷載最大。（證明）上、下限定理下限定理：12上、下限定理上限定理：

在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，外功功率等于物體內(nèi)能耗散率所對應(yīng)的極限荷載為最小。（證明）上、下限定理上限定理：13下限定理證明證：設(shè)為真實的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為Ti，為真實的位移速率場，由幾何方程求得真實應(yīng)變率為，真實速度場中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為[]；在Su上給定速度為，在ST上給定表面力為，給定的體力為Fi。

下限定理證明證：設(shè)為真實的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為T14下限定理證明由虛功率方程得又設(shè)另一靜力容許的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為，由虛功率方程得下限定理證明由虛功率方程得15下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由于C≥

同時≥0，即剪應(yīng)力做正功率知≥0，

得證。下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由16上限定理證明

上限定理：在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小。證：設(shè)為物體達(dá)到極限狀態(tài)的真實應(yīng)力場，其對應(yīng)的表面力為Ti，為真實位移速率場，由幾何方程求得的應(yīng)變率為，真實速度場中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為[]；體力為Fi。上限定理證明上限定理：在所有的機動容許的塑性變形位移速17上限定理證明另設(shè)一機動容許的位移速率場，對應(yīng)的應(yīng)變率為，應(yīng)變速度場可能有間斷面，其上的切向速度為。虛功率方程得由于≥0上限定理證明另設(shè)一機動容許的位移速率場，18上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時，上式等號成立。上限定理得到證明。事實上，不妨設(shè)Fi,Ti就是真正的極限荷載，對應(yīng)的靜力許可應(yīng)力場滿足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿足外功功率＝能量耗散率塑性變形時的荷載最小。上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時，上19上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力下限解上限解上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力20上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度（無裂縫的垂直邊坡）已知上限解外功功率內(nèi)能消散率

上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度內(nèi)能消散率21垂直邊坡臨界高度根據(jù)根據(jù)求導(dǎo)有得上限解垂直邊坡臨界高度根據(jù)根據(jù)求導(dǎo)有得上限解22垂直邊坡臨界高度根據(jù)下限解垂直邊坡臨界高度根據(jù)下限解23有裂縫的垂直邊坡上限解有裂縫的垂直邊坡上限解24土坡穩(wěn)定應(yīng)用土坡穩(wěn)定應(yīng)用25土坡穩(wěn)定應(yīng)用外功率總扇形面積外功率OBAC空區(qū)土坡穩(wěn)定應(yīng)用外功率總扇形面積外功率26土坡穩(wěn)定應(yīng)用滑契體凈外功率滑面能量耗散率如前，令A(yù)=D，求極值土坡穩(wěn)定應(yīng)用滑契體凈外功率滑面能量耗散率如前，27土坡穩(wěn)定應(yīng)用求臨界高度H求Fs,可應(yīng)用強度折減法土坡穩(wěn)定應(yīng)用求臨界高度H28謝謝謝謝29極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所盧廷浩極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所30關(guān)于極限分析理論

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強度包線為直線且服從正交流動規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值并保持不變時，土體會發(fā)生“無限”塑性流動，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對應(yīng)的荷載稱為極限荷載。極限分析理論就是應(yīng)用彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。關(guān)于極限分析理論極限分析理論假定土體為31正交流動規(guī)則

塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩種表達(dá)同正交流動規(guī)則塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩32單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體33總能量耗散率材料總能量耗散率總能量耗散率材料總能量耗散率34能量耗散率計算薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率以對數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率（推導(dǎo)）能量耗散率計算薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率35薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率薄變形層上的剛體滑動－能量耗散率36以對數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率以對數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率37上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場

設(shè)有物體V，其表面A，面力和體力已知。若在此物體上，設(shè)定一組應(yīng)力場，滿足下列條件，則稱為靜力容許應(yīng)力場。①在體積V內(nèi)滿足平衡方程，即②在邊界上滿足邊界條件，即③在體積V內(nèi)不違反屈服條件，即

由定義可知，物體處于極限狀態(tài)時，其真實的應(yīng)力場必定是靜力容許的應(yīng)力場；但靜力容許應(yīng)力場不一定是極限狀態(tài)時真實的應(yīng)力場。上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場38上、下限定理機動容許的位移速率場

在物體V上，若設(shè)定一組位移速率場，滿足以下條件，為機動容許的位移速率場。①在體積V內(nèi)滿足幾何方程，即

則稱②在邊界Su上滿足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態(tài)時，其真實的位移速率場必定是機動容許的位移速率場；但機動容許的位移速率場不一定是極限狀態(tài)時真實的位移速率場。上、下限定理機動容許的位移速率場在物體V上，若設(shè)定一組位39上、下限定理虛功方程與虛功率方程

虛功原理表明：對于一個連續(xù)的變形體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場和任意一組機動容許位移場，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。

同理虛功率原理可表示為：對于任意一組靜力容許應(yīng)力場和任意一組機動容許的位移速率場，外力的功率等于物體內(nèi)虛變形功率。

如果物體內(nèi)部存在速度間斷時，其虛功率方程可表示為：

以上幾個定理的證明可參考土力學(xué)有關(guān)書本，這里從略。根據(jù)虛功率方程可以證明極限分析中兩個重要的定理，即上下限定理。式中，S——速度間斷面；——速度間斷面兩側(cè)切向速度的變化。上、下限定理虛功方程與虛功率方程式中，S——速度間斷面；40上、下限定理下限定理：在所有與靜力容許的應(yīng)力場滿足相對應(yīng)的荷載中，極限荷載最大。（證明）上、下限定理下限定理：41上、下限定理上限定理：

在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，外功功率等于物體內(nèi)能耗散率所對應(yīng)的極限荷載為最小。（證明）上、下限定理上限定理：42下限定理證明證：設(shè)為真實的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為Ti，為真實的位移速率場，由幾何方程求得真實應(yīng)變率為，真實速度場中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為[]；在Su上給定速度為，在ST上給定表面力為，給定的體力為Fi。

下限定理證明證：設(shè)為真實的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為T43下限定理證明由虛功率方程得又設(shè)另一靜力容許的應(yīng)力場，對應(yīng)的表面力為，由虛功率方程得下限定理證明由虛功率方程得44下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由于C≥

同時≥0，即剪應(yīng)力做正功率知≥0，

得證。下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由45上限定理證明

上限定理：在所有的機動容許的塑性變形位移速率場相對應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小。證：設(shè)為物體達(dá)到極限狀態(tài)的真實應(yīng)力場，其對應(yīng)的表面力為Ti，為真實位移速率場，由幾何方程求得的應(yīng)變率為，真實速度場中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為[]；體力為Fi。上限定理證明上限定理：在所有的機動容許的塑性變形位移速46上限定理證明另設(shè)一機動容許的位移速率場，對應(yīng)的應(yīng)變率為，應(yīng)變速度場可能有間斷面，其上的切向速度為。虛功率方程得由于≥0上限定理證明另設(shè)一機動容許的位移速率場，47上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時，上式等號成立。上限定理得到證明。事實上，不妨設(shè)Fi,Ti就是真正的極限荷載，對應(yīng)的靜力許可應(yīng)力場滿足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿足外功功率＝能量耗散率塑性變形時的荷載最小。上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時，上48上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力下限解上限解上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力49上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度（無裂縫的垂直邊坡）已知上限解外功功率內(nèi)能消散率

上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度內(nèi)能消散率50垂直邊坡臨界高度根據(jù)根據(jù)求導(dǎo)有得