土坡極限分析課件

極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所盧廷浩極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所1關(guān)于極限分析理論

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強(qiáng)度包線為直線且服從正交流動(dòng)規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值并保持不變時(shí)，土體會(huì)發(fā)生“無(wú)限”塑性流動(dòng)，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對(duì)應(yīng)的荷載稱為極限荷載。極限分析理論就是應(yīng)用彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。關(guān)于極限分析理論極限分析理論假定土體為2正交流動(dòng)規(guī)則

塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩種表達(dá)同正交流動(dòng)規(guī)則塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩3單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體4總能量耗散率材料總能量耗散率總能量耗散率材料總能量耗散率5能量耗散率計(jì)算薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率以對(duì)數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率（推導(dǎo)）能量耗散率計(jì)算薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率6薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率7以對(duì)數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率以對(duì)數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率8上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)

設(shè)有物體V，其表面A，面力和體力已知。若在此物體上，設(shè)定一組應(yīng)力場(chǎng)，滿足下列條件，則稱為靜力容許應(yīng)力場(chǎng)。①在體積V內(nèi)滿足平衡方程，即②在邊界上滿足邊界條件，即③在體積V內(nèi)不違反屈服條件，即

由定義可知，物體處于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)必定是靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)；但靜力容許應(yīng)力場(chǎng)不一定是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)。上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)9上、下限定理機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)

在物體V上，若設(shè)定一組位移速率場(chǎng)，滿足以下條件，為機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)。①在體積V內(nèi)滿足幾何方程，即

則稱②在邊界Su上滿足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的位移速率場(chǎng)必定是機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)；但機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)不一定是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的位移速率場(chǎng)。上、下限定理機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)在物體V上，若設(shè)定一組位10上、下限定理虛功方程與虛功率方程

虛功原理表明：對(duì)于一個(gè)連續(xù)的變形體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)和任意一組機(jī)動(dòng)容許位移場(chǎng)，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。

同理虛功率原理可表示為：對(duì)于任意一組靜力容許應(yīng)力場(chǎng)和任意一組機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)，外力的功率等于物體內(nèi)虛變形功率。

如果物體內(nèi)部存在速度間斷時(shí)，其虛功率方程可表示為：

以上幾個(gè)定理的證明可參考土力學(xué)有關(guān)書(shū)本，這里從略。根據(jù)虛功率方程可以證明極限分析中兩個(gè)重要的定理，即上下限定理。式中，S——速度間斷面；——速度間斷面兩側(cè)切向速度的變化。上、下限定理虛功方程與虛功率方程式中，S——速度間斷面；11上、下限定理下限定理：在所有與靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)滿足相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載最大。（證明）上、下限定理下限定理：12上、下限定理上限定理：

在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速率場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，外功功率等于物體內(nèi)能耗散率所對(duì)應(yīng)的極限荷載為最小。（證明）上、下限定理上限定理：13下限定理證明證：設(shè)為真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)i，為真實(shí)的位移速率場(chǎng)，由幾何方程求得真實(shí)應(yīng)變率為，真實(shí)速度場(chǎng)中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為[]；在Su上給定速度為，在ST上給定表面力為，給定的體力為Fi。

下限定理證明證：設(shè)為真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)14下限定理證明由虛功率方程得又設(shè)另一靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為，由虛功率方程得下限定理證明由虛功率方程得15下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由于C≥

同時(shí)≥0，即剪應(yīng)力做正功率知≥0，

得證。下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由16上限定理證明

上限定理：在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速率場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小。證：設(shè)為物體達(dá)到極限狀態(tài)的真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)，其對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)i，為真實(shí)位移速率場(chǎng)，由幾何方程求得的應(yīng)變率為，真實(shí)速度場(chǎng)中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為[]；體力為Fi。上限定理證明上限定理：在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速17上限定理證明另設(shè)一機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變率為，應(yīng)變速度場(chǎng)可能有間斷面，其上的切向速度為。虛功率方程得由于≥0上限定理證明另設(shè)一機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)，18上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立。上限定理得到證明。事實(shí)上，不妨設(shè)Fi,Ti就是真正的極限荷載，對(duì)應(yīng)的靜力許可應(yīng)力場(chǎng)滿足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿足外功功率＝能量耗散率塑性變形時(shí)的荷載最小。上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時(shí)，上19上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力下限解上限解上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力20上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度（無(wú)裂縫的垂直邊坡）已知上限解外功功率內(nèi)能消散率

上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度內(nèi)能消散率21垂直邊坡臨界高度根據(jù)根據(jù)求導(dǎo)有得上限解垂直邊坡臨界高度根據(jù)根據(jù)求導(dǎo)有得上限解22垂直邊坡臨界高度根據(jù)下限解垂直邊坡臨界高度根據(jù)下限解23有裂縫的垂直邊坡上限解有裂縫的垂直邊坡上限解24土坡穩(wěn)定應(yīng)用土坡穩(wěn)定應(yīng)用25土坡穩(wěn)定應(yīng)用外功率總扇形面積外功率OBAC空區(qū)土坡穩(wěn)定應(yīng)用外功率總扇形面積外功率26土坡穩(wěn)定應(yīng)用滑契體凈外功率滑面能量耗散率如前，令A(yù)=D，求極值土坡穩(wěn)定應(yīng)用滑契體凈外功率滑面能量耗散率如前，27土坡穩(wěn)定應(yīng)用求臨界高度H求Fs,可應(yīng)用強(qiáng)度折減法土坡穩(wěn)定應(yīng)用求臨界高度H28謝謝謝謝29極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所盧廷浩極限分析法與土坡穩(wěn)定河海大學(xué)巖土工程研究所30關(guān)于極限分析理論

極限分析理論假定土體為彈性－理想塑性體或剛塑性體，強(qiáng)度包線為直線且服從正交流動(dòng)規(guī)則的標(biāo)準(zhǔn)庫(kù)侖材料。當(dāng)作用于土體上的荷載達(dá)到某一數(shù)值并保持不變時(shí)，土體會(huì)發(fā)生“無(wú)限”塑性流動(dòng)，則認(rèn)為土體處于極限狀態(tài)，所對(duì)應(yīng)的荷載稱為極限荷載。極限分析理論就是應(yīng)用彈性－理想塑性體或剛塑性體的普遍定理－上限定理（求極限荷載的上限解）和下限定理（求極限荷載的下限解）求解極限荷載的一種分析方法，稱為極限分析法。關(guān)于極限分析理論極限分析理論假定土體為31正交流動(dòng)規(guī)則

塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩種表達(dá)同正交流動(dòng)規(guī)則塑性應(yīng)變率之間的關(guān)系（圖）或屈服函數(shù)屈服函數(shù)兩32單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體單剪中能量耗散率代入得單元體能量耗散率單元體33總能量耗散率材料總能量耗散率總能量耗散率材料總能量耗散率34能量耗散率計(jì)算薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率以對(duì)數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率（推導(dǎo)）能量耗散率計(jì)算薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率35薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率薄變形層上的剛體滑動(dòng)－能量耗散率36以對(duì)數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率以對(duì)數(shù)螺線為周界的變形鍥體的能量耗散率37上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)

設(shè)有物體V，其表面A，面力和體力已知。若在此物體上，設(shè)定一組應(yīng)力場(chǎng)，滿足下列條件，則稱為靜力容許應(yīng)力場(chǎng)。①在體積V內(nèi)滿足平衡方程，即②在邊界上滿足邊界條件，即③在體積V內(nèi)不違反屈服條件，即

由定義可知，物體處于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)必定是靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)；但靜力容許應(yīng)力場(chǎng)不一定是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)。上、下限定理靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)38上、下限定理機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)

在物體V上，若設(shè)定一組位移速率場(chǎng)，滿足以下條件，為機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)。①在體積V內(nèi)滿足幾何方程，即

則稱②在邊界Su上滿足位移邊界條件，或速度邊界條件，并使外力做正功。由上述定義可知，物體于極限狀態(tài)時(shí)，其真實(shí)的位移速率場(chǎng)必定是機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)；但機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)不一定是極限狀態(tài)時(shí)真實(shí)的位移速率場(chǎng)。上、下限定理機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)在物體V上，若設(shè)定一組位39上、下限定理虛功方程與虛功率方程

虛功原理表明：對(duì)于一個(gè)連續(xù)的變形體，任意一組靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)和任意一組機(jī)動(dòng)容許位移場(chǎng)，外力的虛功等于內(nèi)力的虛功。

同理虛功率原理可表示為：對(duì)于任意一組靜力容許應(yīng)力場(chǎng)和任意一組機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)，外力的功率等于物體內(nèi)虛變形功率。

如果物體內(nèi)部存在速度間斷時(shí)，其虛功率方程可表示為：

以上幾個(gè)定理的證明可參考土力學(xué)有關(guān)書(shū)本，這里從略。根據(jù)虛功率方程可以證明極限分析中兩個(gè)重要的定理，即上下限定理。式中，S——速度間斷面；——速度間斷面兩側(cè)切向速度的變化。上、下限定理虛功方程與虛功率方程式中，S——速度間斷面；40上、下限定理下限定理：在所有與靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)滿足相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載最大。（證明）上、下限定理下限定理：41上、下限定理上限定理：

在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速率場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，外功功率等于物體內(nèi)能耗散率所對(duì)應(yīng)的極限荷載為最小。（證明）上、下限定理上限定理：42下限定理證明證：設(shè)為真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)i，為真實(shí)的位移速率場(chǎng)，由幾何方程求得真實(shí)應(yīng)變率為，真實(shí)速度場(chǎng)中可能存在速度間斷面SL，其上的切向速度躍度為[]；在Su上給定速度為，在ST上給定表面力為，給定的體力為Fi。

下限定理證明證：設(shè)為真實(shí)的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)43下限定理證明由虛功率方程得又設(shè)另一靜力容許的應(yīng)力場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的表面力為，由虛功率方程得下限定理證明由虛功率方程得44下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由于C≥

同時(shí)≥0，即剪應(yīng)力做正功率知≥0，

得證。下限定理證明上述兩式相減得由Drucker公式得到≥0由45上限定理證明

上限定理：在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速率場(chǎng)相對(duì)應(yīng)的荷載中，極限荷載為最小。證：設(shè)為物體達(dá)到極限狀態(tài)的真實(shí)應(yīng)力場(chǎng)，其對(duì)應(yīng)的表面力為T(mén)i，為真實(shí)位移速率場(chǎng)，由幾何方程求得的應(yīng)變率為，真實(shí)速度場(chǎng)中可能有速度間斷面SL，其上的速度切向躍值為[]；體力為Fi。上限定理證明上限定理：在所有的機(jī)動(dòng)容許的塑性變形位移速46上限定理證明另設(shè)一機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)，對(duì)應(yīng)的應(yīng)變率為，應(yīng)變速度場(chǎng)可能有間斷面，其上的切向速度為。虛功率方程得由于≥0上限定理證明另設(shè)一機(jī)動(dòng)容許的位移速率場(chǎng)，47上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時(shí)，上式等號(hào)成立。上限定理得到證明。事實(shí)上，不妨設(shè)Fi,Ti就是真正的極限荷載，對(duì)應(yīng)的靜力許可應(yīng)力場(chǎng)滿足左邊是外功功率，右邊是能量耗散率，這就證明滿足外功功率＝能量耗散率塑性變形時(shí)的荷載最小。上限定理證明又≤C，則有后兩式代入第一式，有顯然只有當(dāng)時(shí)，上48上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力下限解上限解上、下限定理應(yīng)用舉例地基極限承載力49上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度（無(wú)裂縫的垂直邊坡）已知上限解外功功率內(nèi)能消散率

上、下限定理應(yīng)用舉例垂直邊坡臨界高度內(nèi)能消散率50垂直邊坡臨界高度根據(jù)根據(jù)求導(dǎo)有得