圓錐曲線中離心率及其范圍的求解專題教師版

所有：中華資源庫.ziyuanku..z圓錐曲線中離心率及其圍的求解專題【高考要求】1．熟練掌握三種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)，并靈活運(yùn)用它們解決相關(guān)的問題。2．掌握解析幾何中有關(guān)離心率及其圍等問題的求解策略；3．靈活運(yùn)用教學(xué)中的一些重要的思想方法〔如數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)和方程的思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想學(xué)〕解決問題。【熱點(diǎn)透析】與圓錐曲線離心率及其圍有關(guān)的問題的討論常用以下方法解決：〔1〕結(jié)合定義利用圖形中幾何量之間的大小關(guān)系；〔2〕不等式〔組〕求解法：利用題意結(jié)合圖形〔如點(diǎn)在曲線等〕列出所討論的離心率〔a,b,c〕適合的不等式〔組〕，通過解不等式組得出離心率的變化圍；〔3〕函數(shù)值域求解法：把所討論的離心率作為一個(gè)函數(shù)、一個(gè)適當(dāng)?shù)膮?shù)作為自變量來表示這個(gè)函數(shù)，通過討論函數(shù)的值域來求離心率的變化圍。〔4〕利用代數(shù)根本不等式。代數(shù)根本不等式的應(yīng)用，往往需要?jiǎng)?chuàng)造條件，并進(jìn)展巧妙的構(gòu)思；〔5〕結(jié)合參數(shù)方程，利用三角函數(shù)的有界性。直線、圓或橢圓的參數(shù)方程，它們的一個(gè)共同特點(diǎn)是均含有三角式。因此，它們的應(yīng)用價(jià)值在于：①通過參數(shù)θ簡明地表示曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)；②利用三角函數(shù)的有界性及其變形公式來幫助求解圍等問題；〔6〕構(gòu)造一個(gè)二次方程，利用判別式0。2.解題時(shí)所使用的數(shù)學(xué)思想方法。〔1〕數(shù)形結(jié)合的思想方法。一是要注意畫圖，草圖雖不要求準(zhǔn)確，但必須正確，特別是其中各種量之間的大小和位置關(guān)系不能倒置；二是要會(huì)把幾何圖形的特征用代數(shù)方法表示出來，反之應(yīng)由代數(shù)量確定幾何特征，三要注意用幾何方法直觀解題?！?〕轉(zhuǎn)化的思想方漢。如方程與圖形間的轉(zhuǎn)化、求曲線交點(diǎn)問題與解方程組之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)際問題向數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)化，動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)間的轉(zhuǎn)化。〔3〕函數(shù)與方程的思想，如解二元二次方程組、方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系、求最值中的一元二次函數(shù)知識(shí)等?！?〕分類討論的思想方法，如對(duì)橢圓、雙曲線定義的討論、對(duì)三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的討論等?！绢}型分析】1.雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為、，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線與雙曲線的左準(zhǔn)線重合，假設(shè)雙曲線與拋物線的交點(diǎn)滿足，則雙曲線的離心率為〔〕A． B． C． D．解：由可得拋物線的準(zhǔn)線為直線，∴方程為；由雙曲線可知，∴，∴，∴，．2．橢圓〔〕的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，以、為邊作正三角形，假設(shè)橢圓恰好平分三角形的另兩邊，則橢圓的離心率為〔B〕A．B．C．D．解析：設(shè)點(diǎn)為橢圓上且平分正三角形一邊的點(diǎn)，如圖，由平面幾何知識(shí)可得，所以由橢圓的定義及得：，應(yīng)選B．變式提醒：如果將橢圓改為雙曲線，其它條件不變，不難得出離心率．3.〔09理〕過雙曲線的右頂點(diǎn)作斜率為的直線，該直線與雙曲線的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為．假設(shè)，則雙曲線的離心率是()A．B．C．D．【解析】對(duì)于，則直線方程為，直線與兩漸近線的交點(diǎn)為B，C，，，因此．答案：C4.〔09理〕過橢圓()的左焦點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，假設(shè)，則橢圓的離心率為〔〕A．B．C．D．【解析】因?yàn)?，再由有從而可得，?yīng)選B5.〔08理〕雙曲線〔，〕的左、右焦點(diǎn)分別是，過作傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn)，假設(shè)垂直于軸，則雙曲線的離心率為〔B〕A． B． C． D．6.〔08理〕假設(shè)雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)到一條準(zhǔn)線的距離之比為3：2,則雙曲線的離心率是〔D〕〔A〕3〔B〕5〔C〕〔D〕7.〔08全國一理〕在中，，．假設(shè)以為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)，則該橢圓的離心率．8.〔10文〕設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，則此雙曲線的離心率為〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：選D.不妨設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)其方程為：，則一個(gè)焦點(diǎn)為一條漸近線斜率為：，直線的斜率為：，，，解得.9.〔10全國卷1理〕F是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，B是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，線段BF的延長線交C于點(diǎn)D，且＝2，則C的離心率為________．解析：答案：eq\f(\r(3),3)如圖，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)不妨設(shè)B為上頂點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，設(shè)D(*，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(*－c，y)，即，解得，D(，－)．由D在橢圓上得：＝1，∴＝，∴e＝＝.【解析1】如圖，,作軸于點(diǎn)D1,則由，得,所以,即,由橢圓的第二定義得又由,得【解析2】設(shè)橢圓方程為第一標(biāo)準(zhǔn)形式，設(shè)，F(xiàn)分BD所成的比為2，，代入，10.〔07全國2理〕設(shè)分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)雙曲線上存在點(diǎn)，使且，則雙曲線的離心率為〔B〕A．B． C． D．解11.橢圓的左焦點(diǎn)為F，假設(shè)過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)且F分向量BA的比為2/3，橢圓的離心率e為:。此題通法是設(shè)直線方程，將其與橢圓方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的比。思路簡單，運(yùn)算繁瑣。下面介紹兩種簡單解法。解法〔一〕：設(shè)點(diǎn)A，B，由焦半徑公式可得，則，變形，所以因?yàn)橹本€傾斜角為，所以有，所以提示：本解法主要運(yùn)用了圓錐曲線焦半徑公式，借助焦半徑公式將向量比轉(zhuǎn)化為橫坐標(biāo)的關(guān)系。焦半徑是圓錐曲線中的重要線段，巧妙地運(yùn)用它解題，可以化繁為簡，提高解題效率。一般來說，如果題目中涉及的弦如果為焦點(diǎn)弦，應(yīng)優(yōu)先考慮焦半徑公式。解法〔二〕：12.〔10理〕(20)〔本小題總分值12分〕設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60o,.橢圓C的離心率；解：設(shè)，由題意知＜0，＞0.〔Ⅰ〕直線l的方程為，其中.聯(lián)立得解得因?yàn)椋?即得離心率.……6分13.A是橢圓長軸的一個(gè)端點(diǎn)，O是橢圓的中心，假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)P，使∠OPA=,則橢圓離心率的圍是_________.解析：設(shè)橢圓方程為=1(a＞b＞0),以O(shè)A為直徑的圓：*2－a*+y2=0,兩式聯(lián)立消y得*2－a*+b2=0.即e2*2－a*+b2=0,該方程有一解*2,一解為a,由韋達(dá)定理*2=－a,0＜*2＜a，即0＜－a＜a＜e＜1.答案：＜e＜114.在橢圓上有一點(diǎn)M，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，假設(shè)，橢圓的離心率的取值圍是;解析:由橢圓的定義，可得又，所以是方程的兩根，由，可得，即所以，所以橢圓離心率的取值圍是15.〔08〕假設(shè)雙曲線〔a＞0,b＞0〕上橫坐標(biāo)為的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離大于它到左準(zhǔn)線的距離，則雙曲線離心率的取值圍是A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D.(5,+) 解析由題意可知即解得應(yīng)選B.16.〔07〕橢圓的焦點(diǎn)為，，兩條準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)分別為，假設(shè)，則該橢圓離心率的取值圍是〔〕Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．解析由題意得∴應(yīng)選D.17.〔07〕設(shè)分別是橢圓〔〕的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值圍是〔〕A． B． C． D.分析通過題設(shè)條件可得，求離心率的取值圍需建立不等關(guān)系，如何建立.解析：∵線段的中垂線過點(diǎn)，∴，又點(diǎn)P在右準(zhǔn)線上，∴即∴∴，應(yīng)選D.點(diǎn)評(píng)建立不等關(guān)系是解決問題的難點(diǎn)，而借助平面幾何知識(shí)相對(duì)來說比擬簡便.18.〔08理〕雙曲線〔a＞0,b＞0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,假設(shè)P為其上一點(diǎn)，且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值圍為〔B〕A.(1,3) B. C.(3,+) D.分析求雙曲線離心率的取值圍需建立不等關(guān)系，題設(shè)是雙曲線一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)之間關(guān)系應(yīng)想到用雙曲線第一定義.如何找不等關(guān)系呢.利用第二定義及焦半徑判斷解析：∵|PF1|=2|PF2|,∴|PF1||PF2|=|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，應(yīng)選B.解2如圖2所示，設(shè)，，.當(dāng)點(diǎn)P在右頂點(diǎn)處有.∵，∴.選B.小結(jié)此題通過設(shè)角和利用余弦定理，將雙曲線的離心率用三角函數(shù)的形式表示出來，通過求角的余弦值的圍，從而求得離心率的圍.點(diǎn)評(píng)：此題建立不等關(guān)系是難點(diǎn)，如果記住一些雙曲線重要結(jié)論〔雙曲線上任一點(diǎn)到其對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)的距離不小于〕則可建立不等關(guān)系使問題迎刃而解.19.〔08理〕、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，滿足的點(diǎn)總在橢圓部，則橢圓離心率的取值圍是〔C〕A．B．C．D．解據(jù)題意可知，∠M是直角，則垂足M的軌跡是以焦距為直徑的圓.所以.又，所以.選C.小結(jié)此題是最常見的求離心率圍的問題，其方法就是根據(jù)條件，直接列出關(guān)于a，b，c間的不等量關(guān)系，然后利用a，b，c間的平方關(guān)系化為關(guān)于a，c的齊次不等式，除以即為關(guān)于離心率e的一元二次不等式，解不等式，再結(jié)合橢圓或雙曲線的離心率的圍，就得到了離心率的取值圍.20.〔04〕雙曲線的左，右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)P在雙曲線的右支上，且,則此雙曲線的離心率e的最大值為：()ABCD∵|PF1|=4PF2|,∴|PF1||PF2|=3|PF2|=，|PF2|即∴所以雙曲線離心率的取值圍為，應(yīng)選B.21.，分別為的左、右焦點(diǎn)，P為雙曲線右支上任一點(diǎn)，假設(shè)的最小值為，則該雙曲線的離心率的取值圍是〔〕ABCD解析，欲使最小值為，需右支上存在一點(diǎn)P，使，而即所以.22.橢圓右頂為A,點(diǎn)P在橢圓上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且OP垂直于PA，橢圓的離心率e的取值圍是;。解：設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為〔〕,則有消去得假設(shè)利用求根公式求運(yùn)算復(fù)雜，應(yīng)注意到方程的一個(gè)根為a,由根與系數(shù)關(guān)系知由得23.橢圓：的兩焦點(diǎn)為，橢圓上存在點(diǎn)使.求橢圓離心率的取值圍；解析設(shè)……①將代入①得求得.點(diǎn)評(píng)：中，是橢圓中建立不等關(guān)系的重要依據(jù)，在求解參數(shù)圍問題中經(jīng)常使用，應(yīng)給予重視.24.〔06〕雙曲線的右焦點(diǎn)為F，假設(shè)過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線離心率的取值圍是 〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析欲使過點(diǎn)F且傾斜角為的直線與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則該直線的斜率的絕對(duì)值小于等于漸近線的斜率，∴≥，即即∴即應(yīng)選C.25.〔04全國Ⅰ〕設(shè)雙曲線C：相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B.求雙曲線C的離心率e的取值圍：解析由C與相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)，故知方程組有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消去y并整理得〔1－a2〕*2+2a2*－2a2所以解得雙曲線的離心率：∴所以雙曲線的離心率取值圍是總結(jié)：在求解圓錐曲線離心率取值圍時(shí)，一定要認(rèn)真分析題設(shè)條件，合理建立不等關(guān)系，把握好圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)，記住一些常見結(jié)論、不等關(guān)系，在做題時(shí)不斷總結(jié)，擇優(yōu)解題.尤其運(yùn)用數(shù)形結(jié)合時(shí)要注意焦點(diǎn)的位置等.26．設(shè)分別是橢圓〔〕的左、右焦點(diǎn)，假設(shè)在其右準(zhǔn)線上存在使線段的中垂線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值圍是〔D〕A． B． C．D．27.〔09卷文〕橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，假設(shè)橢圓上存在一點(diǎn)使，則該橢圓的離心率的取值圍為．【答案】.解法1，因?yàn)樵谥?，由正弦定理得則由，得，即設(shè)點(diǎn)由焦點(diǎn)半徑公式，得則記得由橢圓的幾何性質(zhì)知，整理得解得，故橢圓的離心率28.〔10理〕橢圓的右焦點(diǎn)，其右準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值圍是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn)，即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等而|FA|＝，|PF|∈[a－c,a＋c]，于是∈[a－c,a＋c]即ac－c2≤b2≤ac＋c2∴又e∈(0,1)故e∈答案：D29．梯形ABCD中，|AB|=2|CD|，點(diǎn)E滿足，雙曲線過C、D、E三點(diǎn)，且以A、B為焦點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，雙曲線離心率e的取值圍是：。分析：顯然，我們只要找到e與的關(guān)系，然后利用解不等式或求函數(shù)的值域即可求出e的圍。解：如圖4，建立坐標(biāo)系，這時(shí)CD⊥y軸，因?yàn)殡p曲線經(jīng)過點(diǎn)C、D，且以A、B為焦點(diǎn)，由雙曲線的對(duì)稱性知C、D關(guān)于y軸對(duì)稱。依題意，記A(-C,0)，C(h)，E(*0,y0),其中c=為雙曲線的半焦距，h是梯形的高。AOB*DCyE圖4由,即(*0+c,y0)=(-*0,h-y0)得:*0=.設(shè)雙曲線的方程為,則離心率e=。由點(diǎn)C、E在雙曲線上,將點(diǎn)C、E的坐標(biāo)和e=代入雙曲線的方程得AOB*DCyE圖4將〔1〕式代入〔2〕式,整理得(4-4)=1+2,故=1.依題設(shè)得,解得.所以雙曲線的離心率的取值圍是.30．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，假設(shè)在雙曲線的右支上存在一點(diǎn)，使得，則雙曲線的離心率的取值圍為．〔答案：〕解析：方法一：由及雙曲線第一定義式，得：，，又