三角函數(shù)圖像和性質(zhì)

知識結(jié)

第五章三角函數(shù)的性質(zhì)與圖 基本要求yAsin(x（A0,0）重點問題yAsin(x（A0,0）方法與能三角函數(shù)的性質(zhì)與圖像（一（一知識梳正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)（kZysinytanRRxxk 2 值R最當x2k 時2ymin當x2k 時2ymax當x2k 時yminx2kymax無周最小正周期T最小正周期T最小正周期T間遞增[2k,2k [2k,2k(2k,2k 遞減[2k,2k3 [2k,2k無軸xk2x無(k,(k,2(k,2圖典型例【例1】求函數(shù)的定義域tan(x2sinx（1）2sinxsin

y

ylg(2cosx[思路分析]：結(jié)合一般函數(shù)求解定義域的方法，注意做到分式中分母不等于零、偶次根

k （1）

xxk且xk4kZ sinx 由sinx

x2kx2k5，kZ1 11由cosx x2k2x2k2，kZ1 【例2】求函數(shù)值域或最值（1）y（2）y

3sinxcosxsinx；sinx

y2sin2xsinxcosxcos2（3）ycos2xcosx2

ycos2xsinx，x

2

（最值[思路分析]：yAsin(x型、二次函數(shù)型、分式函數(shù)型（反（1） 6

y2,2y1sin2x3cos2x1

10sin(2x)

y

10,

10

3yy（2）sin3yy

3y32

y12y2,1y

2(3)y(cosx1)2 令tcosx,t y(t1)2 y9 ysin2xsinx1(sinx1)23,x[0,]sinx 當x0,時， 1；當x時， 【3（1）y

2(2x

13ysinxcosx2，則1sin函數(shù)y 1sinx1sinysin(x為偶函數(shù)，則 解（1）2

（2）

（3）奇函 （4）k

，k2【例4】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間ysin2xycos(2x在[023y3

2xy4

2x)在區(qū) [思路分析]：結(jié)合最簡三角函數(shù)的單調(diào)性，注意復(fù)合函數(shù)的變化（1）

（2）2及75 4

3 3（3）k5k11，k （4）kk3，kZ 12 83【備用1（1）f(x)asinxbcosx,f()33ab

（2）f(x2a

]，值域2[5,1]a、b（1）

a2b23 3

a33

ora

3ab2,ab13

a b2

b

b

（2）f(x)2asin(2x

)2a6

2x

sin(2x

)6

2a0

a2ab

a22a2ab 2a2aba02a2ab

aba【備用題2】已知平a

2x),1)，b

3cos2xf(xab（1）f(x的單調(diào)遞減區(qū)間；

n n gx n n

f(xyg(x)坐標解：(1)f(x)

3sin(2x)cos2x2sin(2x

)6單調(diào)遞減區(qū)間為[kk2](kZ 12（2）g(x),(x 2當0x時，解2sin(2x)1，得x 當x時，解2sin(2x

當x2時，解2sin(2x)0，得x17 所以交點坐標為：(,1)， ,0) 鞏固練ylg(12cosx2（1）y

2sinx1sin2x（2）y sin y

（1） （2）y

1tan2；1tan2（3）ysin(x)sin(x)（0 ytan(x

)的單 區(qū)間4ycos(2x

3y2sin(2x

6f(x)3sin(2xysin(2xcos(2x為奇函數(shù)，則最小正數(shù)f(x)cos(xsin3xf(x2周期為f(x1)f

f(xx4

f(x)在4

]上是減函數(shù)，其中正確結(jié)論的個數(shù)為 ylog2cos(2x3y2sinxtcosx(t0).當t1時,求yyabsin2x已知0xycos2x2acosx212

f(x)sin(xa)

3cos(xa),其中0a,x,f(x)f(x求af(x三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)（二知識梳yAsin(xB的性質(zhì)典型例【例1】作出下列函數(shù)的圖像ycosx

y2sin(3x 4[思路分析]：五點法作圖以及作出圖像的變【2（1）y3sin(2x1ysinx3ycos(2xysin2x6yAsin(xB（1）6

31（2）（3）y2

x)【3（1）ysinxcosx（2）acosxsinxbcosx,3cosx),02,f(x)ab，如f(xx，求6[思路分析]：yAsin(xysinx（1）

，k4（2）f(x)abcosxcosxsinx3 3sin2x1cos2x1sin(2x) 02,【例4f(xsin2ax

3sinaxcosax(a0ym切點之間的距離為。2求mA(x0y0y（1）

f(x

]A21cos2ax

3sin2axsin(2ax)1 mf(xm1或m （2）f(x,a21f(x)sin(4x) 令sin(4x)0，得4x k(k1 xk

(kZ)，由0 (kZ)，得k1或k 5 11因此點A的坐標為 ,)或 ,24 【備用1y米與時間t（t024，單位：時）t（時0369y（米建立時間t與深度y的直角坐標系，根據(jù)數(shù)據(jù)t,y描繪各點，然后觀察其變化趨勢y

f(ty

f(t55（船舶?？繒r，船底只需不碰即可，某船吃水深度（船底離水面的距離）6.5米，（1）當t0y10k10。當t3ymax13，當t9ymin7，A3周期T126y

f(t)

t6（2）y6.55

t106.55，化簡得3sin

t0.5，

t 1t5可知船在1,5或1317內(nèi)可以安全進出港，故船在港內(nèi)至多停留17-1=16時【備用題2】已知定義在[,y2

f(x的圖像關(guān)于直線x對稱，當4（1）4

（2）

f(x（3）如果關(guān)于xf(x)aMa求Maa[思路分析]：由題設(shè)，f x)4（1）

f(x),即f(x)42；

f(xf(x2 sinx，x[, （2）y 2a

a1

2a

2,

3a[0,

2), 鞏固練f(x2sinπxπ的圖象經(jīng)過點(01) 2 最小正周期T和初相分別為 T6，6

T6，3

T6π，6

T6π，3ysinx的圖像上的每一點都沿著向量(1

24所得到的軌跡方程為

y1cos

y1cos

y1cos

y1cos函數(shù)ysin(2x)的對稱軸方程 ；函數(shù)ysinxcosx的對稱中4為f(x)sin2xacos2xx8

對稱，則實數(shù)aycosxm

3sinxm(m0)y方程80sinxxf(x)Asin(xkA0,0,|f(xf(x)

2f(x)asinxbcosx的圖象經(jīng)過點(,0)

a、b的值；x[0f(xx的值2y2sinycos(x4f(x2cos2x-2sinxcosxf(x10在(0)x1，x2x1x2y=f(x)m(m＞0)個單位使所得函數(shù)的圖象關(guān)于點(0，2)對稱m的最小值．已知mcosxsinxncosx,3cosx,設(shè)函數(shù)f(x)mnf(x的最小正周期是2f(xf(xx6

02f(x的周期和值域f(x)sin2x

3cos2x

(x（2）

f(xa2xa

三角函數(shù)綜合應(yīng)知識梳典型例【1f(x2asinxcosx2b

x，f(0)8，f(f(（1）求實數(shù)a、b（2）f(xx

4f(xx（1）

f(0)

2b

a33f(6)

a bb12

b（2）f(x)8sin(2x

4xk6

，kZ6（3）f(x)8sin[2(x)]44y8sinf(x)8sin(2x

40得交點為

【2ayf(x)

3sin3x,ybmcos3xm)mR，且ab0.f(xf(x在

,2M的坐標9x[0

]f(xt9x1恒成立，求實數(shù)t的范圍93sin3xm（1）ab0，即ycos3xm0my

3sin3xcos3x f(x

3sin3xcos3x2sin(3x )，6x[

9

3x6

3

]，sin(3x

)[

f(x的最小值為1x9f(xM的坐標是29（2）f(xt9x1,即2sin(3x

)9xt6x[0

]時 函數(shù)f(x)2sin(3x9

y9x6y2sin(3x

9x在[0

9y2sin(3x

9x6為要2sin(3x

9xt1恒成立，只要t11，所以t064

OB于點M，試求△POMP解：設(shè)POMPM M在△POM中

4

sin4

,OM

2PO 4 1OPOMsin 2R2sin()sin 0 2R2SIN(2)1R 當2

,時,

21

答:PAB

214θ θ【例4】如圖：某污水處理廠要在一個矩形污水處池(ABCD)的池底水平鋪設(shè)污水凈化管 (RtFHEH是直角頂點）來處理污水，管道越F長，污水凈化效果越好.設(shè)計要求管道的H是AB的中點，E,F分別落段BC,AD上.已知3AB20米，AD 米，記BHE3L表示為的函數(shù)并寫出定義域 2若sincos ，求此時管道的長度L2（1） ，F(xiàn)H

3333EF

sin

由于BE10tan

，AF

3tan33

3，

]L6

10

2sin2

，

6

sincos

sincos1L222

（3）

sincos sin

sint2設(shè)sincos

則sincos2由于

，所以tsincos

2sin()

31,6 t 在

31,22于是當t

31 時

, L的最大值

3 33答：當 或 時所鋪設(shè)的管道最短，為 3 【備用題1】設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，且存在常數(shù)a〉0，使f(a)=1, f(xxf(x1f(x2)（1）f(x 1f(x1)f(x2（2）f(x [思路分析]：f(xx)f(x1f(x2 1f(x1)f(x2為此函數(shù)ytanx，從而不難它符合所有題設(shè)條件。然后，對照這個特定解（1）f(xtanxf(x的定義域為{x|xk}2求，且存在常數(shù)a4

，使得f(a)tan4

1，又由兩角差的正切公式知 f(xx)f(x1f(x2)f(x)tanx 1f(x1)f(x2）（2（1）中實例，tanx的最小正周期為T4a，可猜測4a是f(x)的一周期）f(xa)

f(x)f1f(x)f

f(x11ff(x2a)

f[(xa)a]

f(x)11f(xa)11f 1f(x

1f(x)11f

ff(x4a)

f[(x2a)2a]

f(x

1f

ff(x4af(x鞏固練1．某種商品一年內(nèi)每件出廠價在 千元的基礎(chǔ)上，按月f(x)Asin(x)B(A0,0,

的模型波動（x為月份32到最高價9千元7月份價格最低為5千元根據(jù)以上條件可以確定f(x)的解析式 f(x)2sin(x)7(1x12,xN) f(x)9sin(x)7(1x12,xN) f(x)

2sinx7(1x12,xN)4f(x)2sin(x)7(1x12,xN) （1π（23（3）6

上是增函數(shù)，則f(x)的解析式可以 ysin(2

)

ycos(2x3ysin(2x6

ycos(2x6f(x)

sinx

121

(a0310為偶函數(shù)，則a的最小值為310 f(xAcos2x1(A0,0的最大值為3,f(xy的交點坐標為

(0,

,其相鄰兩條對稱軸間的距離為2,f(1)f(2) f(2010) 5．設(shè)f(xasin(xbcos(x7，其中ab,均為非零實數(shù)，若f(20096f(2010f(x)sinxtanx.27的等差數(shù)列

滿足

，且 22差d0.若f(a1)f(a2)f(a27)0，則當k 是，f(ak)0f(x)

x

AA(n,f(n（nN

n是向量a與向ni(1,0)的夾角，anA0A1A1A2A2A3 An1AnnSntan1tan2tan

，則limS nnf(xAsinxBcosx（A、B、0）2x1f(x3（1）f(x（2）在閉區(qū)間2123f(x 已知f(x)2cos2x xRf(x

x0,f(x4a 2在（2）f(x1x,xf(x)cos2xmsinxm1x6

mO2，A為半圓直徑延長線上一點，OA2，B為半圓上任意一點，ABABCBOACB的面積最大？DfDgy

f(x)yg(xfh(xf

當xDf且xg(x)

f(x，其中是常數(shù)，且0,，請設(shè)計一個定義域為R的函數(shù)yf(x)，及一個的值，使得h(x)cos4x反三角函知識梳ysinx,x, 22ycosx,x0,ytanx,x, 22 yarcsinR值[,2[0,(,2最當x1時 minx1ymaxx1yminx1ymax無圖sin(arcsinx)arcsin(x)arcsinarcsin(sinx)x[,2cos(arccosx)arccos(cosx)x[0,tan(arctanx)（xRarctan(x)arctan（xRarctan(tanx)x(,2典型例【例1】判斷下列各式是否成立？說明理

3

arcsin arcsin12k

,k

) 22sin(arcsin2) （6）cos(arccos )0 ) arctan()

)

2 arccos(

)（1（4（9）【2（1）x2y30的傾斜角是arctan2（2）已知cosx

1,x0x=arccos 【3】計

2)

（2 【4（1）ylg(1

2)arcsin3x2

y2arcsin(cosx的定義域為[2] [思路分析]：結(jié)合初等函數(shù)的性質(zhì)及定義域和值域的求法14x2 1解（1）13x11x3x2 （2）x[,2],tcosx[1,1],arcsint[,]y[, 6 【備用題1】求下列函數(shù)的定義域和值域（1）y

（2）yarcsin(xx2[思路分析]：解決復(fù)合函數(shù)有關(guān)問題時，注意構(gòu)造幾個簡單的函數(shù)解（1）D=1,00,1y,22

51

51，y,arcsin122 22

412【備用2x2mxn0有兩實根x12

,arctanx1,arctan

m33n4時,求（2）msinncos(0)時,求[思路分析]：依題設(shè)，tanx1,tanx2,可以考慮求tan()，運用兩角和的正 定理，即求出tan()的值，而后從判別x1,x2的符號，確定33

x21

x12x xx21

x1

x2

2

23（2）x1x2sin,x1x2tan()tantan

x1

sin cot

tan(1tantan

1x1

1 00 0sin0x1x20x1x2至少有一個正值 x10,02,222 鞏固練函數(shù)yarcsin(x2)的定義域 ，值域函數(shù)y 2y2arcsin(x2的值域是[,]341）1sin(2arctan)4

5)]4

4arccos(

ysinx(xRysinx在3,2yxysin(arcsinx若tsinx，x 6

，則arccostf(xarcsin(2x1)，x[10]f1(6x（2）3yarccos(x2x求下列函數(shù)的反函數(shù)f1(x)，并反函數(shù)的定義域和值（1）f(x)arccosx；（2）f(x)3arctan2x arccos(xarccosxx若角P(4a3a)(a0分別用反正弦、反余弦、反正切表示角若角的終邊繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)arcsin4的終邊，Q5OQ10，求點Q簡單三角方知識梳sinxaa1，則解集為xxk1)karcsina，kcosxaa1，則解集為xx2karccosa，ktanxa，則解集為xxkarctana，kasinxbcosxc二次方程型（asin2xbsinxc0（asin2xbsinxcosxccos2x0cosx或cos2典型例【例1】解下列方程sin(2x

) sinx3cosx2sin2x5cosx1sin2x5sinxcosx6cos2xsin2xsinxcosx1[思路分析]：以上方程最終均可轉(zhuǎn)化為關(guān)于三角比的一元方程加以解（1）2

,k（2）x2kx2k

,k6,k3xk(1)k4

,k4【2（1）方程cos2xcosx10在0,2上的解集方程3sinxcosx1在,（1）

2233 2233 3【3】若方程cos2x2sinxm10m[思路分析]：msin2x2sinx解：msin2x2sinxsinx1)2【4x的方程sinxcosxk0在區(qū)間[0,上有兩個不同的解，求k的取值[思路分析]：ysinxcosxx[0,yk解：sinxcosxysinxcosxx[0,ykk[1,【備用1x的方程2cos2x4sinxm20在[2解：當m1或m8m(0,811解；m(10)2解【備用2x的方程cos2xsinxa，x[2當a0a（1） 6

,鞏固練方程2cosx10滿足ta