微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用本章內(nèi)容是上一章的延續(xù)，主要是利用導(dǎo)數(shù)與微分這一方法來分析和研究函數(shù)的性質(zhì)及其圖形和各種形態(tài)，這一切的理論基礎(chǔ)即為在微分學(xué)中占有重要地位的幾個微分中值定理。在分析、論證過程中，中值定理有著廣泛的應(yīng)用。一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求〔一〕知識記住羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的條件和結(jié)論；記住泰勒公式及其拉格朗日余項的表達(dá)式；記住ex,sin(x),cos(x),ln(1+x),1/1+x的N階麥克勞林公式；知道極限的末定式及其常見的幾種類型的求法；知道函數(shù)的極值點、駐點的定義以及它們之間的關(guān)系；知道曲線的凹凸性與拐點的定義；知道弧微分的定義與弧微分公式；知道光滑曲線、曲率和曲率半徑的定義；知道求方程的近似解的基本方法?！捕愁I(lǐng)會領(lǐng)會羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，領(lǐng)會羅爾定理、拉格朗日中值定理的幾何意義；領(lǐng)會羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理之間的聯(lián)系；領(lǐng)會洛必達(dá)法則；領(lǐng)會函數(shù)的單調(diào)性與一階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系；領(lǐng)會函數(shù)的極值與一、二階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系；領(lǐng)會函數(shù)的極值和最值的定義以及它們之間的區(qū)別和聯(lián)系；領(lǐng)會曲線的凹凸性與二階導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系?！踩尺\用會用中值定理證明等式和不等式；會用洛必達(dá)法則求末定式的極限；會求一些函數(shù)的泰勒公式和利用泰勒公式求函數(shù)的極限及一些函數(shù)的近似值；會用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；會用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式；會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形的凹凸性和拐點；會求曲線的水平漸近線和鉛直漸近線，會描繪函數(shù)的圖形；會求一些最值應(yīng)用問題；會求曲率和曲率半徑；會用二分法和切線法求一些方程實根的近似值。〔四〕分析綜合綜合運用中值定理、介值定理和函數(shù)的單調(diào)性等證明方程實根的存在性和惟一性；綜合運用中值定理、函數(shù)的最〔極〕值和凹凸性等方面的知識及構(gòu)造性方法證明等式和不等式；g―*M弟二章綜合運用洛必達(dá)法則，泰勒公式和其他方法求末定式的極限；綜合運用函數(shù)的連續(xù)性、單調(diào)性、凹凸性和極值等方面的知識描繪函數(shù)的圖形。二：教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配第一節(jié)微分中值定理2-3學(xué)時第二節(jié)第一節(jié)微分中值定理2-3學(xué)時第二節(jié)洛必達(dá)法則2學(xué)時第三節(jié)泰勒公式2學(xué)時第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性2學(xué)時第五節(jié)函數(shù)的極值與最大值最小值2-3學(xué)時第六節(jié)函數(shù)圖形的描述2學(xué)時第七節(jié)曲率1學(xué)時第八節(jié)方程的近似解1學(xué)時〔選講〕三：本章重點及難點1、三個中值定理及泰勒公式2、洛必達(dá)法則3、函數(shù)的單調(diào)性，曲線的凹凸性與拐點4、函數(shù)的極值概念及求法5、函數(shù)的最值問題6、函數(shù)圖形的描繪7、弧微分、曲率的概念及計算、曲率半徑四：本章教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬柯西中值定理的幾何意義以及運用洛必達(dá)法則函數(shù)極值在實踐中的運用五：教學(xué)方法及注意事項本章的內(nèi)容比較多，要學(xué)好它，大家一定要抓住其中心內(nèi)容和主要特點，對本章中的思想方法要融會貫穿，加深理解。首先要掌握中值定理的條件和結(jié)論，它是本章內(nèi)容的理論基礎(chǔ)，它建立了導(dǎo)數(shù)通向應(yīng)用的橋梁。中值定理無論是在理論研究中還是在實際應(yīng)用中都具有十分重要的作用。其次要掌握中值定理證明的思想方法構(gòu)造性證明方法。此方法是一個十分常用的數(shù)學(xué)思想方法，它不僅在中值定理的證明中，而且在不等式的證明，方程根的存在性及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中都具有廣泛的應(yīng)用，它為我們提供了求未定型的極限的一種重要方法，大家一定要將前面所介紹過的求極限的方法與洛必達(dá)法則結(jié)合起來，融會貫穿，真正掌握和靈活使用洛必達(dá)法則。第四要熟悉和掌握導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，最值，曲線的凹凸性和拐點等，對它們的研究，最基本的方法是用它們的定義和判定定理，這是很重要的。要注意所研究的問題與導(dǎo)數(shù)之間的聯(lián)系，并加以比較。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用問題的求法比較標(biāo)準(zhǔn)，步驟明確，簡單易懂，但在求解過程中要特別注意列表法的使用。7注意^<點：羅爾定理、拉格朗日定理、柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點與不同點，并且知道它們之間的關(guān)系；羅爾定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西中值定理的特例。注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值定理的中值點是開區(qū)間內(nèi)的某一點，而非區(qū)間內(nèi)的任意點或指定一點，換言之，這三個中值定理都僅“定性”地指出了中值點的存在性，而非“定量”地指明的具體數(shù)值。結(jié)合這三個中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用以及在以后各章節(jié)的應(yīng)用，反復(fù)體會這些定理在微積分學(xué)的意義與作用。六：思考題和習(xí)題第一節(jié)習(xí)題3—12，7，8，11，12，14第二節(jié)習(xí)題3—21，4第二節(jié)習(xí)題3—31，3，4，10第四節(jié)習(xí)題3—41，3，4，7，8，9第五節(jié)習(xí)題3—51，2，4，5，8，9，10第六節(jié)習(xí)題3—61，2，3第七節(jié)習(xí)題3—71，3，5七、教學(xué)方式〔手段)本章主要采用講授新課的方式。第一節(jié)微分中值定理一：內(nèi)容要點1.費馬引理：f(x)在x。可導(dǎo)，且在某個領(lǐng)域U(x0)內(nèi)+...+1fS)(。)xn+o(xn)f(x)<f(x0)(或f(x)>f(x0))nfXx0)=0.中值定理：羅爾中值定理：fgC[a,b]cD(a,b)且f(a)=f(b),n*e(a,b),使得f'(&)=0.拉格朗日中值定理：fgC[a,b]cD(a,b)n*g(a,b)，使得f(a)-f(b)*).b-a柯西中值定理：f,ggC[a,b]c(a,b)且g'(x)豐0n毛g(a,b),使得f(b)-f(a)=等.g(b)—g(a)g(&)3.推論f'(x)=0(xgI)nf(x)=C(xgI)二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點教學(xué)要求：理解費爾馬引理和拉格朗日中值定理并了解柯西中值定理。會用中值定理證明簡單的不等式和證明方程解的存在性。學(xué)習(xí)注意點：要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的條件與結(jié)論中的共同點與不同點，并且知道它們之間的關(guān)系：羅爾定理是拉格朗日定理的特例；拉格朗日定理又是柯西定理的特例。要注意羅爾、拉格朗日、柯西中值定理的中值點E是開區(qū)間〔a,b〕內(nèi)的某一點，而非區(qū)間內(nèi)的任意點或指定一點。換言之，這三個

中值定理都僅“定性“地指出了中值點E的存在性，而非”定量“地指明E的具體數(shù)值。要結(jié)合這三個中值定理在本節(jié)中的應(yīng)用以及在以后章節(jié)中的應(yīng)用，反復(fù)體會這些定理在微積分學(xué)中意義與作用。一：內(nèi)容要點：1.泰勒中值定理第二節(jié)泰勒公式如果函數(shù)KW在含x0的某個開區(qū)間〔a,b)內(nèi)具有直到(n+1)階導(dǎo)數(shù)，即fEDn+1(a,b),那么對于x^(a,b)，有相應(yīng)的泰勒公式,1?f(x)=f(X0)+f(xo)(x-X0)+2f(Xo)(X-X0)21一：內(nèi)容要點：1.泰勒中值定理+...+—!f(n)(x)(x-X)n+R(x)，其中R(x)=f(n+1)(^)(x-x)(n+i)，&是X。與x之間n(n+1)!o0的某個值。當(dāng)X0=0時，〔1〕式稱為帶有拉格朗日余項的麥克勞林1公式，即f(x)=f(0)+f'(0)(x)+-f〃(0)(x)21f(n+1)(&)+...+—f(n)(0)Xn+Xn+1n!(n+1)!帶有佩亞諾余項的泰勒公式如果函數(shù)f(x)在含有x0的開區(qū)間〔a,b〕內(nèi)有連續(xù)的n階導(dǎo)數(shù)，則對于xU(a,b)，有1f(x)=f(X0)+f(x°)(x-X。)+2f(x°)(x-X0)21+...+——!f(n)(x)(X-X)n+o((X-X)n)，當(dāng)x0=0時，〔2〕式稱為帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式，即1f(X)=f(0)+f'(0)(x)+-f〃(0)(x)21+...+f(n)(0)Xn+0(Xn)n!二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點教學(xué)要求：理解泰勒中值定理。了解ex,sinx,cosx,ln(1+x)等函數(shù)的麥克勞林公式，會用定理證明一些相關(guān)的命題。學(xué)習(xí)注意點：〔1〕要懂得泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的進(jìn)一步的推廣，即拉格朗日中值定理是泰勒中值定理當(dāng)n=0時的特例；并懂得函數(shù)在一點x0附近?的近似表達(dá)式，比起函數(shù)的依次近似，高階泰勒多項式有更好的近似精度。〔2〕記住基本初等函數(shù)的帶有佩亞諾余項的麥克勞林公式：第三節(jié)洛必達(dá)法則一：內(nèi)容要點在求0/0型或8/8型未定式極限時，在一定的條件下可以用洛必達(dá)法則?！?/0型〕：Limit(f(x)/g(x))=lim(f(x)/g，(x))(x^x0)〔8/8型〕：Limit(f(x)/g(x))=lim(f(x)/g，(x))(x^x0)以上x^x0的極限過程改為xfx0+0,x^x0—0,xf8,xf+8,或xf—8時，公式仍然成立。二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點教學(xué)要求：會用洛必達(dá)法則求各種類型的未定式極限，基本類型是？和？，而對0*8，8±8型未定式，可通過取倒數(shù)、通分等恒等變形化為0/0型或8/8型。對00，18,80等幕指型未定式，可取對數(shù)化為0*8型，然后化為0/0型或8/8型。學(xué)習(xí)注意點：要懂得洛必達(dá)法則是求0/0型與8/8型未定式極限的一種比較有效的方法，但也有一定的使用范圍：只有滿足條件一lim(f(x)/g，(x))(xfx0)存在或為8〔這時我們稱lim(f(x)/g，(x))(xfx0)有確定意義〕，用洛必達(dá)法則求的的極限Limit(f(x)/g(x))才是正確的，洛必達(dá)法則的條件是未定式存在極限的充分而非必要條件，換言之，當(dāng)lim(f(x)/g，(x))(xfx0)不存在或也不為8時，Limit(f(x)/g(x))仍然可能是確定的。應(yīng)注意洛必達(dá)法則不是求0/0型或與8/8型未定式的唯一方法。讀者在計算時應(yīng)該結(jié)合使用等價無窮小的替換、帶有佩亞諾余項的泰勒公式等方法，以使計算簡便、準(zhǔn)確。在每一次使用洛必達(dá)法則前，都要驗證以下所求極限是否為0/0或8/8型未定式，否則就會出錯。第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與曲線的凹凸性一：內(nèi)容要點1.函數(shù)單調(diào)性的判別法2.函數(shù)的凸性極其判別法〔1〕定義〔2〕判別法1。判別法2。〔3〕通常用f(x)=0的點〔函數(shù)的駐點〕和導(dǎo)數(shù)不存在的點來劃分并討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；用f〃(x)=0的點和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點來劃分并討論函數(shù)的凹凸區(qū)間。二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點教學(xué)要求：掌握用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性的方法。會用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的凹凸性。會利用函數(shù)單調(diào)性與凹凸性證明某些不等式。學(xué)習(xí)注意點：在討論函數(shù)形態(tài)〔單調(diào)性與凹凸性〕時，要注意一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)各自所起的作用，并進(jìn)行比較以加深理解。第四節(jié)函數(shù)的極值與最大值、最小值一：內(nèi)容要點函數(shù)的極值極其判別法函數(shù)的極值與極值點的定義函數(shù)極值的判別法必要條件假設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)且除了某些點外處處可導(dǎo)，則可疑極值點為駐點與不可導(dǎo)點。第一充分條件第二充分條件最大值與最小值(1)某些優(yōu)先問題可歸結(jié)為求函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的最大值與最小值，求連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間［a,b］上最大〔小〕值的一般步驟是：(］)求出f(x)在(a,b)內(nèi)的全部的駐點與不可導(dǎo)點x1x2xn；Y計算出函數(shù)值f(x1),f(x2)，…f(x以及f(a)與f(b);°°°；比較上述值的大小.(3)(2有關(guān)最大〔小〕值的應(yīng)用問題，其關(guān)鍵是建立目標(biāo)函數(shù)。該函數(shù)的實際意義下的定義域稱為約束集或可行域。假設(shè)f(x)在約束I內(nèi)的駐點唯一，又根據(jù)問題的實際意義知f(x)的最大〔小〕值存在，則該駐點即為最大〔小〕值點，不必另行判定。二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點教學(xué)要求：理解函數(shù)的極值概念，掌握求函數(shù)極值的方法。根據(jù)實際問題，會建立目標(biāo)函數(shù)與約束集，從而解決有關(guān)的優(yōu)化問題。學(xué)習(xí)注意點：要將極大〔極小〕值與最大〔最小〕值混為一談，要懂得它們的區(qū)別和聯(lián)系。不要將極值點與駐點混為一談，要清楚駐點是對可導(dǎo)函數(shù)而言的，二極值點對不可導(dǎo)函數(shù)、甚至對不連續(xù)函數(shù)也是有意義的，只有可導(dǎo)函數(shù)的極值點才是駐點；而可導(dǎo)函數(shù)的駐點僅是可疑極值點。要學(xué)會用極值判定條件來求函數(shù)的極值，但又要知道極值的判定條件是充分而不必要的。第六節(jié)函數(shù)圖形的描述一：內(nèi)容要點：函數(shù)的圖形為我們提供了函數(shù)的直觀的幾何形象，這對于研究函數(shù)很有幫助，以前作函數(shù)圖形的基本方法是描點法，這種方法的最大缺陷在于選點的盲目性，不能把握整個圖形的特點和趨勢。前面，我們應(yīng)用導(dǎo)數(shù)給出了一套研究函數(shù)性態(tài)的方法，將其應(yīng)用于函數(shù)作圖上，就可以得到一種遠(yuǎn)比秒點法更有效的作圖方法一一微分作圖法。應(yīng)用微分作圖法去作函數(shù)圖形，是前幾節(jié)所講知識的綜合性應(yīng)用，二：教學(xué)要求和學(xué)習(xí)注意點函數(shù)作圖的步驟如下：〔1〕確定函數(shù)的定義域，判斷函數(shù)是否有奇偶性，周期性；〔2〕求出y，v，并求出使f(x)=0；f〃(x)=0在定義域內(nèi)的所有點及y，y〃不存在點；〔3〕這些點將定義域分成假設(shè)干小區(qū)間，在各小區(qū)間內(nèi)確定y，y〃的符號，由此確定每個區(qū)間上函數(shù)圖像的單調(diào)性，凹凸性，極值點和拐點?！?〕確定函數(shù)的漸進(jìn)線；〔5〕求出極值點，拐點對應(yīng)的縱坐標(biāo)，必要時可再補(bǔ)充一些特殊點；〔6〕描點并根據(jù)上述結(jié)果繪出函數(shù)的圖形。第七節(jié)曲率一：內(nèi)容要點光滑曲線上一點M處的曲率的定義：圓的曲率為該圓半徑的倒數(shù)k=1/R；直線的曲率為0。曲率公式：曲率半徑、曲率圓與曲率中心曲率半徑：設(shè)曲線C在點M處的曲率半徑為P，在M處作法線，取C的凹向的一側(cè)的法線上一點D，滿足IDMI=P，則D是曲率中心；以D為中心，？為半徑的圓