線性代數(shù)法建模課件

§2.8線性代數(shù)法建模一、常染色體遺傳模型隨著人類的進化，科學(xué)家為了揭示生命的奧秘，越來越重視遺傳學(xué)的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，引起人們極大關(guān)注.事實上，無論是人，還是動、植物，都會將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因為后代繼承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)?而基因?qū)Υ_定了后代所表現(xiàn)的特征.試就常染色體遺傳問題，根據(jù)親體基因遺傳給后代的方式，建立遺傳數(shù)學(xué)模型，求出逐代總體的基因型的概率分布，特別是極限分布.§2.8線性代數(shù)法建模一、常染色體遺傳模型隨著人類的進化，1

親體基因遺傳方式與問題遺傳方式在常染色體遺傳中，后代是從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)σ卜Q基因型.如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和a控制的，那么就有三種可能的基因?qū)Γ謩e記為AA，Aa與aa基因型A,AA,aa,a魚腥草花的顏色紅花粉紅色花白花人類的眼睛棕色棕色藍(lán)色例如親體基因遺傳方式與問題遺傳方式在常染色體遺傳中，后代是從每2

后代基因發(fā)生的概率由于后代均可以從Aa型中等可能地得到基因A與a，于是由概率的“加法、乘法公式”得：一般地，利用簡單的概率計算，可得雙親體基因型的結(jié)合及后代基因型的概率分別表.后代基因發(fā)生的概率由于后代均可以從Aa型中等可能地得到基因3

后代(第n代)基因型父體——母體（第n-1代）基因型AA,AAAA，AaAA，aaAa，AaAa，aaAa，aaAAAaaa011/201/201001/41/21/401/2011/20問題某農(nóng)科所計劃采用aa型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代，求經(jīng)過若干年后，這種植物任一后代的三種基因型AA,Aa,aa的概率分布.后代(第n父體——母體（第n-1代）基因型AA,AAAA，4

模型假設(shè)②第n-1代與第n代的基因型分別關(guān)系由上表確定.模型建立由假設(shè)及雙親體基因型結(jié)合及其后代基因型概率分布表，運用全概率公式，得：模型假設(shè)②第n-1代與第n代的基因型分別關(guān)系由上表確定.模5

aa,AAaa,Aaaa,aaAA000Aa11/20aa01/21aa,AAaa,Aaaa,aaAA000Aa11/20aa6

把上述關(guān)系整理為方程組的形式：他表明歷代基因型分布可由初始分布和矩陣M確定.把上述關(guān)系整理為方程組的形式：他表明歷代基因型分布可由初始7

模型求解為了計算Mn,需先將M對角化.模型求解為了計算Mn,需先將M對角化.8

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即在極限的情況下，培育的后代都是aa型.即在極限的情況下，培育的后代都是aa型.12

模型討論在上述問題中，若是具有相同基因型植物結(jié)合，后代的概率分布又如何呢？后代基因型父體——母體基因型AA——AAAa——Aaaa——aaAA11/40Aa01/20aa01/41相同基因型結(jié)合之后代基因型的概率分布模型討論在上述問題中，若是具有相同基因型植物結(jié)合，后代的概13

類似地，通過計算可求得相應(yīng)的特征向量：類似地，通過計算可求得相應(yīng)的特征向量：14

結(jié)果表明，如果用相同基因型植物培育后代，在極限情況下，后代僅有基因AA型和aa型.結(jié)果表明，如果用相同基因型植物培育后代，在極限情況下，后代15

二、投入產(chǎn)出模型背景介紹投入產(chǎn)出分析是線性代數(shù)理論與方法在經(jīng)濟分析與管理中的一個重要應(yīng)用，它從數(shù)量上考慮經(jīng)濟系統(tǒng)內(nèi)部各部門間生產(chǎn)和分配的線性關(guān)系.投入產(chǎn)出分析方法也稱為投入產(chǎn)出法或投入產(chǎn)出技術(shù)，這一方法是美國經(jīng)濟學(xué)家、哈佛大學(xué)行政管理學(xué)院列昂節(jié)夫教授于20世紀(jì)30年代首先提出的.列昂節(jié)夫也因提出此方法獲得了1973年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎.投入產(chǎn)出分析是研究一個經(jīng)濟系統(tǒng)（企業(yè)、地區(qū)、國家等）中各部門之間“投入”與“產(chǎn)出”的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.這種數(shù)學(xué)模型可以用于分析中觀或宏觀經(jīng)濟部門之間的聯(lián)系，也可用于分析中觀或微觀的經(jīng)濟系統(tǒng)，并進行預(yù)測.二、投入產(chǎn)出模型背景介紹投入產(chǎn)出分析是線性代數(shù)理論與方法在16

一般的投入包括（1）從其他部門購進原料、能源、半成品、輔助材料等；（2）購進適當(dāng)?shù)臋C器設(shè)備及生產(chǎn)工具等；（3）投入一定數(shù)量具有一定技能的勞動力。這三部分的總和稱為經(jīng)濟活動中的投入。一般產(chǎn)出包括：在一定投入條件下，從事某種經(jīng)濟活動時所產(chǎn)生的一定數(shù)量的成果。投入產(chǎn)出按計量單位不同，可分為：價值型和實物型。在價值型中，各部門的投入、產(chǎn)出以貨幣單位表示；在實物型中，則以產(chǎn)品的事物單位表示（如米、公斤、量、臺等）。一般的投入包括17

投入產(chǎn)出綜合平衡模型設(shè)某地區(qū)經(jīng)濟系統(tǒng)僅由農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)三個部門構(gòu)成，已知基于某年它們之間生產(chǎn)分配功效的體積數(shù)據(jù)如下表所示：消耗部門最終需求yi總產(chǎn)出xi農(nóng)業(yè)工業(yè)服務(wù)業(yè)生產(chǎn)部門農(nóng)業(yè)27442120193工業(yè)58110101821371624966服務(wù)業(yè)232841539601420新創(chuàng)造價值zi85136281083總投入xi193249661420部門間投入產(chǎn)出表（單位：萬元）試就投入產(chǎn)出綜合平衡建立數(shù)學(xué)模型，并對下一年的經(jīng)濟發(fā)展進行預(yù)測和分析.投入產(chǎn)出綜合平衡模型設(shè)某地區(qū)經(jīng)濟系統(tǒng)僅由農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)18

表中所研究的農(nóng)業(yè)、工業(yè)、服務(wù)業(yè)三個部門都具有雙重身份：生產(chǎn)部門和消耗部門。第一行數(shù)字：27+44+2+120=193表示農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出為193萬元，其中27萬元用于農(nóng)業(yè)本身，44萬元用于工業(yè)，2萬元用于服務(wù)業(yè)，剩下的120萬元用來滿足最終需求（包括消費、積累、出口等）第一列數(shù)字：27+58+23+85=193表示農(nóng)業(yè)對農(nóng)業(yè)的投入為27萬元，工業(yè)對農(nóng)業(yè)的投入為58萬元，服務(wù)業(yè)對農(nóng)業(yè)的投入為23萬元，85萬元是農(nóng)業(yè)新創(chuàng)造的價值（包括工資、稅收等）表格分析表格分析19

1）每個生產(chǎn)部門只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，不同部門的產(chǎn)品不能互相代替；2）每個部門在生產(chǎn)過程中至少要消耗另一個部門的產(chǎn)品（也稱為另一部門對該部門的投入），所消耗的各部門產(chǎn)品的投入量與該部門的總產(chǎn)量成正比。以下標(biāo)1，2，3分別表示農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)；模型假設(shè)模型建立模型假設(shè)模型建立20

產(chǎn)品分析平衡方程組

部門j對部門i的直接消耗系數(shù)或投入系數(shù)：例2.xls直接消耗系數(shù)矩陣:產(chǎn)品分析平衡方程組

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這里a12=0.0018表示生產(chǎn)1個單位產(chǎn)值的工業(yè)產(chǎn)品需消耗0.0018個單位產(chǎn)值的農(nóng)產(chǎn)品；a31=0.1192表示生產(chǎn)1個單位產(chǎn)值的農(nóng)產(chǎn)品需消耗0.1192個單位的服務(wù)業(yè)產(chǎn)值.利用直接消耗系數(shù)矩陣，可將產(chǎn)品分配平衡方程組表示成矩陣形式.這里a12=0.0018表示生產(chǎn)1個單位產(chǎn)值的工業(yè)產(chǎn)品需消22

其中I為三階單位方陣其中I為三階單位方陣23

若考慮新創(chuàng)造價值，記zj為部門j的新創(chuàng)造價值，則得產(chǎn)值構(gòu)成平衡方程組：這就是（靜態(tài)）投入產(chǎn)出分析的基本數(shù)學(xué)模型之二.若考慮新創(chuàng)造價值，記zj為部門j的新創(chuàng)造價值，則得產(chǎn)值構(gòu)成24

模型求解利用投入產(chǎn)出分析的基本數(shù)學(xué)模型，可以進行更為深入的經(jīng)濟分析.為此，首先討論直接消耗系數(shù)矩陣的性質(zhì).模型求解利用投入產(chǎn)出分析的基本數(shù)學(xué)模型，可以進行更為深入的25

模型應(yīng)用對于本例，有模型應(yīng)用對于本例，有26

如果給定下一年計劃的最終需求量：Y=（135，13820，1023）T如果給定下一年計劃的最終需求量：27

消耗部門最終需求yi總產(chǎn)出xi農(nóng)業(yè)工業(yè)服務(wù)業(yè)生產(chǎn)部門農(nóng)業(yè)29.745.32.1135212.1工業(yè)63.511103.2191.31382025178.0服務(wù)業(yè)25.37.0161.110231496.4新創(chuàng)造價值zi93.613742.51141.9總投入xi212.125178.01496.4計劃期部門間投入產(chǎn)出表（單位：百萬元）消耗部門最終總產(chǎn)農(nóng)業(yè)工業(yè)服務(wù)業(yè)生農(nóng)業(yè)29.745.32.128

本內(nèi)容要求①會熟練計算直接消耗系數(shù)（矩陣）；②給定最終需求量Y，會編制計劃期投入產(chǎn)出表.本內(nèi)容要求①會熟練計算直接消耗系數(shù)（矩陣）；29§2.8線性代數(shù)法建模一、常染色體遺傳模型隨著人類的進化，科學(xué)家為了揭示生命的奧秘，越來越重視遺傳學(xué)的研究，特別是遺傳特征的逐代傳播，引起人們極大關(guān)注.事實上，無論是人，還是動、植物，都會將本身的特征遺傳給下一代，這主要是因為后代繼承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)?而基因?qū)Υ_定了后代所表現(xiàn)的特征.試就常染色體遺傳問題，根據(jù)親體基因遺傳給后代的方式，建立遺傳數(shù)學(xué)模型，求出逐代總體的基因型的概率分布，特別是極限分布.§2.8線性代數(shù)法建模一、常染色體遺傳模型隨著人類的進化，30

親體基因遺傳方式與問題遺傳方式在常染色體遺傳中，后代是從每個親體的基因?qū)χ懈骼^承一個基因，形成自己的基因?qū)?，基因?qū)σ卜Q基因型.如果所考慮的遺傳特征是由兩個基因A和a控制的，那么就有三種可能的基因?qū)?，分別記為AA，Aa與aa基因型A,AA,aa,a魚腥草花的顏色紅花粉紅色花白花人類的眼睛棕色棕色藍(lán)色例如親體基因遺傳方式與問題遺傳方式在常染色體遺傳中，后代是從每31

后代基因發(fā)生的概率由于后代均可以從Aa型中等可能地得到基因A與a，于是由概率的“加法、乘法公式”得：一般地，利用簡單的概率計算，可得雙親體基因型的結(jié)合及后代基因型的概率分別表.后代基因發(fā)生的概率由于后代均可以從Aa型中等可能地得到基因32

后代(第n代)基因型父體——母體（第n-1代）基因型AA,AAAA，AaAA，aaAa，AaAa，aaAa，aaAAAaaa011/201/201001/41/21/401/2011/20問題某農(nóng)科所計劃采用aa型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代，求經(jīng)過若干年后，這種植物任一后代的三種基因型AA,Aa,aa的概率分布.后代(第n父體——母體（第n-1代）基因型AA,AAAA，33

模型假設(shè)②第n-1代與第n代的基因型分別關(guān)系由上表確定.模型建立由假設(shè)及雙親體基因型結(jié)合及其后代基因型概率分布表，運用全概率公式，得：模型假設(shè)②第n-1代與第n代的基因型分別關(guān)系由上表確定.模34

aa,AAaa,Aaaa,aaAA000Aa11/20aa01/21aa,AAaa,Aaaa,aaAA000Aa11/20aa35

把上述關(guān)系整理為方程組的形式：他表明歷代基因型分布可由初始分布和矩陣M確定.把上述關(guān)系整理為方程組的形式：他表明歷代基因型分布可由初始36

模型求解為了計算Mn,需先將M對角化.模型求解為了計算Mn,需先將M對角化.37

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即在極限的情況下，培育的后代都是aa型.即在極限的情況下，培育的后代都是aa型.41

模型討論在上述問題中，若是具有相同基因型植物結(jié)合，后代的概率分布又如何呢？后代基因型父體——母體基因型AA——AAAa——Aaaa——aaAA11/40Aa01/20aa01/41相同基因型結(jié)合之后代基因型的概率分布模型討論在上述問題中，若是具有相同基因型植物結(jié)合，后代的概42

類似地，通過計算可求得相應(yīng)的特征向量：類似地，通過計算可求得相應(yīng)的特征向量：43

結(jié)果表明，如果用相同基因型植物培育后代，在極限情況下，后代僅有基因AA型和aa型.結(jié)果表明，如果用相同基因型植物培育后代，在極限情況下，后代44

二、投入產(chǎn)出模型背景介紹投入產(chǎn)出分析是線性代數(shù)理論與方法在經(jīng)濟分析與管理中的一個重要應(yīng)用，它從數(shù)量上考慮經(jīng)濟系統(tǒng)內(nèi)部各部門間生產(chǎn)和分配的線性關(guān)系.投入產(chǎn)出分析方法也稱為投入產(chǎn)出法或投入產(chǎn)出技術(shù)，這一方法是美國經(jīng)濟學(xué)家、哈佛大學(xué)行政管理學(xué)院列昂節(jié)夫教授于20世紀(jì)30年代首先提出的.列昂節(jié)夫也因提出此方法獲得了1973年的諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎.投入產(chǎn)出分析是研究一個經(jīng)濟系統(tǒng)（企業(yè)、地區(qū)、國家等）中各部門之間“投入”與“產(chǎn)出”的數(shù)量關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.這種數(shù)學(xué)模型可以用于分析中觀或宏觀經(jīng)濟部門之間的聯(lián)系，也可用于分析中觀或微觀的經(jīng)濟系統(tǒng)，并進行預(yù)測.二、投入產(chǎn)出模型背景介紹投入產(chǎn)出分析是線性代數(shù)理論與方法在45

一般的投入包括（1）從其他部門購進原料、能源、半成品、輔助材料等；（2）購進適當(dāng)?shù)臋C器設(shè)備及生產(chǎn)工具等；（3）投入一定數(shù)量具有一定技能的勞動力。這三部分的總和稱為經(jīng)濟活動中的投入。一般產(chǎn)出包括：在一定投入條件下，從事某種經(jīng)濟活動時所產(chǎn)生的一定數(shù)量的成果。投入產(chǎn)出按計量單位不同，可分為：價值型和實物型。在價值型中，各部門的投入、產(chǎn)出以貨幣單位表示；在實物型中，則以產(chǎn)品的事物單位表示（如米、公斤、量、臺等）。一般的投入包括46

投入產(chǎn)出綜合平衡模型設(shè)某地區(qū)經(jīng)濟系統(tǒng)僅由農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)三個部門構(gòu)成，已知基于某年它們之間生產(chǎn)分配功效的體積數(shù)據(jù)如下表所示：消耗部門最終需求yi總產(chǎn)出xi農(nóng)業(yè)工業(yè)服務(wù)業(yè)生產(chǎn)部門農(nóng)業(yè)27442120193工業(yè)58110101821371624966服務(wù)業(yè)232841539601420新創(chuàng)造價值zi85136281083總投入xi193249661420部門間投入產(chǎn)出表（單位：萬元）試就投入產(chǎn)出綜合平衡建立數(shù)學(xué)模型，并對下一年的經(jīng)濟發(fā)展進行預(yù)測和分析.投入產(chǎn)出綜合平衡模型設(shè)某地區(qū)經(jīng)濟系統(tǒng)僅由農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)47

表中所研究的農(nóng)業(yè)、工業(yè)、服務(wù)業(yè)三個部門都具有雙重身份：生產(chǎn)部門和消耗部門。第一行數(shù)字：27+44+2+120=193表示農(nóng)業(yè)總產(chǎn)出為193萬元，其中27萬元用于農(nóng)業(yè)本身，44萬元用于工業(yè)，2萬元用于服務(wù)業(yè)，剩下的120萬元用來滿足最終需求（包括消費、積累、出口等）第一列數(shù)字：27+58+23+85=193表示農(nóng)業(yè)對農(nóng)業(yè)的投入為27萬元，工業(yè)對農(nóng)業(yè)的投入為58萬元，服務(wù)業(yè)對農(nóng)業(yè)的投入為23萬元，85萬元是農(nóng)業(yè)新創(chuàng)造的價值（包括工資、稅收等）表格分析表格分析48

1）每個生產(chǎn)部門只生產(chǎn)一種產(chǎn)品，不同部門的產(chǎn)品不能互相代替；2）每個部門在生產(chǎn)過程中至少要消耗另一個部門的產(chǎn)品（也稱為另一部門對該部門的投入），所消耗的各部門產(chǎn)品的投入量與該部門的總產(chǎn)量成正比。以下標(biāo)1，2，3分別表示農(nóng)業(yè)、工業(yè)和服務(wù)業(yè)；模型假設(shè)模型建立模型假設(shè)模型建立49

產(chǎn)品分析平衡方程組

部門j對部門i的直接消耗系數(shù)或投入系數(shù)：例2.xls直接消耗系數(shù)矩陣:產(chǎn)品分析平衡方程組

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這里a12=0.0018表示生產(chǎn)1個單位產(chǎn)值的工業(yè)產(chǎn)品需消耗0.0018個單位產(chǎn)值的農(nóng)產(chǎn)品；a31=0.1192表示生產(chǎn)1個單位產(chǎn)值的農(nóng)產(chǎn)品需消耗0.