概率論第十二章課件

12/23/20221第十二章隨機過程及其統(tǒng)計描述

隨時間演變的隨機現象

由一族（無限多個）隨機變量來描述12/20/20221第十二章隨機過程及其統(tǒng)計描述

2考慮正弦信號

X(t)=cos(wt+Q),t(-,),其中w是正常數,Q是在(0,2p)上服從均勻分布的隨機變量.對(0,2p)內任意一個隨機數qi,相應的正弦信號記為：

t0x(t)x1(t),q1=0x2(t),q2=3p/2

xi(t)=cos(wt+qi)，qi(0,2p).§1隨機過程的概念對于任意一個固定的時刻t=t1,X(t1)=cos(wt1+Q)是一個定義在Q={qi(0,2p)}上的隨機變量.對于所有可能的參數t的取值tT，這里T=(-,)

，可以得到一族（無限多個）隨機變量的集合{X(t),tT},稱為一個隨機過程.對于給定的qi,稱xi(t1)=cos(wt1+qi)為t1時刻隨機過程的一個狀態(tài).對于一切qi(0,2p)以及

tT,X(t)所有可能的取值的全體稱為隨機過程的狀態(tài)空間.在上例中，X(t)的狀態(tài)空間為[-1，1]對于給定的qi，稱xi(t)=cos(wt+qi)為隨機過程的一個樣本函數.隨機相位正弦波.t12考慮正弦信號X(t)=cos(wt+Q),t(3熱噪聲電壓:

電子元件或器件由于內部微觀粒子(如電子)的隨機熱騷動所引起的端電壓

電壓-時間函數:

對元件兩端的熱噪聲電壓進行多次長期測量,記錄每次測量結果記為vk(t),t>0,k=1,2,3….,如下圖

tv1(t)tvk(t)tjtv2(t){V(t),t>0}是一個隨機過程；

對每一個tjT,V(tj)是一隨機變量；

v1(tj)

、v2(tj)

、...稱為tj時刻隨機過程V(t)的狀態(tài)；

對隨機過程的某一次測量vk(t)，稱為隨機過程的一次實現或一個樣本函數；3熱噪聲電壓:電子元件或器件由于內部微觀粒子(如電子)的4例1拋擲一枚硬幣試驗,樣本空間是S={H,T},

現藉此定義tt1t2Ox(t)x=tx=cosptP(H)=P(T)=1/2.

對任意給定的t,X(t)是一定義在S上的隨機變量;{X(t),t(-,+)}是一族隨機變量,即它是隨機過程.一族樣本函數：{cospt,t}.

若出現H：x1(t)=cospt;

若出現T：x2(t)=t.

狀態(tài)空間：(-,+).4例1拋擲一枚硬幣試驗,樣本空間是S={H,T},現藉5其它隨機過程的例子：

例2在測量運動目標的距離時存在隨機誤差,若以e(t)表示在時刻t的測量誤差,則它是一個隨機變量.當目標隨時間t按一定規(guī)律運動時,測量誤差e(t)也隨時間t而變化,換句話說,e(t)是依賴于時間t的一族隨機變量,亦即{e(t),t0}是一隨機過程.且它們的狀態(tài)空間是(-,+).例3設某城市的120急救電話臺遲早會接到用戶的呼叫,以X(t)表示時間間隔(0,t]內接到的呼叫次數,它是一個隨機變量,且對于不同的t0,X(t)是不同的隨機變量.于是,{X(t),t0}是一隨機過程.且它的狀態(tài)空間是{0,1,2,...}.例4考慮拋擲一顆骰子的試驗.(i)

設Xn是第n次(n1)拋擲的點數,對于n=1,2,...的不同值,Xn是不同的隨機變量,因而{Xn,n1}構成一隨機過程,稱為伯努利過程或伯努利隨機序列.(ii)設Xn是前n次拋擲中出現的最大點數,{Xn,n1}也是一隨機過程.它們的狀態(tài)空間都是{1,2,3,4,5,6}.5其它隨機過程的例子：

例2在測量運動目標的距離時存在隨機6隨機過程分類：依其在任一時刻的狀態(tài)是連續(xù)型或離散型隨機變量而分為連續(xù)型隨機過程:隨機相位正弦波，熱噪聲電壓,例2離散型隨機過程:例1,例3和例4依其時間（參數）是連續(xù)或離散變量而分為

連續(xù)參數隨機過程:

當時間集T是有限或無限區(qū)間時,稱{X(t),tT}為連續(xù)參數隨機過程(以下如無特別指明,“隨機過程”總是指連續(xù)參數而言的).

離散參數隨機過程或隨機序列:

T是離散集合,例如={0,1,2,...},如例4.6隨機過程分類：依其時間（參數）是連續(xù)或離散變量而分為

連續(xù)7§2隨機過程的統(tǒng)計描述(一)隨機過程的分布函數族給定隨機過程{X(t),tT}，其中，對不同的tT,隨機變量X(t)的分布函數一般與t有關。給定t1T，稱FX(x,t1)=P{X(t1)x},xR

為隨機過程{X(t),tT}的一維分布函數

對所有tT,

稱{FX(x,t),tT

}為該隨機過程的一維分布函數族對于固定的n,稱{FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn),tiT}為隨機過程{X(t),tT}的n維分布函數族當n充分大時,n維分布函數族能夠近似地描述隨機過程的統(tǒng)計特性.n越大,則n維分布函數族描述隨機過程的特性也越趨完善.

科爾莫戈羅夫定律:有限維分布函數族,即{FX(x1,x2,...,xn,n=1,2,...,t1,t2,...,tn),tiT}完全地確定了隨機過程的統(tǒng)計特性.7§2隨機過程的統(tǒng)計描述(一)隨機過程的分布函數族給定隨機8(二)隨機過程的數字特征給定隨機過程{X(t),tT},

對于一特定的tT,X(t)是一隨機變量,它的均值一般與t有關,記為

mX(t)=E[X(t)]

（2.1）------- 均值函數注意：mX(t)是隨機過程的所有樣本函數在時刻t的函數值的平均值,通常稱這種平均為集平均或統(tǒng)計平均.把隨機變量X(t)的二階原點矩和二階中心矩分別記作分別稱為均方值函數和方差函數.標準差函數：它表示隨機過程X(t)在時刻t對于均值mX(t)的平均偏離程度.（2.2）（2.3）8(二)隨機過程的數字特征給定隨機過程{X(t),tT9tX(t)mX(t)mX(t)-sX(t)mX(t)+sX(t)x1(t)x2(t)xi(t)均值函數mX(t)表示了隨機過程X(t)在各個時刻的擺動中心.標準差函數

表示隨機過程X(t)在時刻t對于均值mX(t)的平均偏離程度.9tX(t)mX(t)mX(t)-sX(t)mX(t)+sX10設任意t1,t2T,

隨機變量X(t1)和X(t2)的二階原點混合矩

RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]

稱為隨機過程{X(t),tT}的自相關函數,簡稱相關函數.

RXX(t1,t2)

也簡記為RX(t1,t2).

X(t1)和X(t2)的二階混合中心矩

CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)]=E{[X(t1)-mX(t1)][X(t2)-mX(t2)]}稱為隨機過程{X(t),tT}的自協(xié)方差函數,簡稱協(xié)方差函數.CXX(t1,t2)也常簡記為CX(t1,t2).

由上式可得CX(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2).

隨機變量的各個數字特征中最重要的是均值函數和自相關函數.當t1=t2=t時，有當t1=t2=t時,有10設任意t1,t2T,隨機變量X(t1)和X(t2)的11二階矩過程的相關函數總存在.事實上,由于E[X2(t1)],E[X2(t2)]存在,根據柯西-施瓦茲不等式（第四章習題37題，P117）有

{E[X(t1)X(t2)]}2E[X2(t1)]E[X2(t2)],t1,t2T.

即知RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在正態(tài)過程：

如果隨機過程的每一個有限維分布都是正態(tài)分布,亦即對任意整數n1及任意t1,t2,...,tnT,(X(t1),X(t2),...,X(tn))服從n維正態(tài)分布，稱它為正態(tài)過程。由第四章的結論知,正態(tài)過程的全部統(tǒng)計特性完全由它的均值函數和自協(xié)方差函數(或自相關函數)所確定.正態(tài)過程是一個二階矩過程二階矩過程：隨機過程{X(t),tT},如果對每一個tT,二階矩E[X2(t)]都存在,則稱它為二階矩過程11二階矩過程的相關函數總存在.事實上,由于E[X2(t12例1設隨機變量A~N(0,1),B~U(0,2),A、B相互獨立,求隨機過程X(t)=At+B,tT=(-,)的均值函數mX(t)和自相關函數RX(t1,t2).解：由題意E(A)=0,E(A2)=1,E(B)=1,E(B2)=4/3mX(t)=E[X(t)]=E[At+B]=tE[A]+E[B]=1

RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(At1+B)(At2+B)]

=t1t2E[A2]+(t1+t2)E[AB]+E[B2]=t1t2+4/3,t1,t2T.12例1設隨機變量A~N(0,1),B~U(0,2),13例2對隨機相位正弦波X(t)=acos(wt+Q),t(-,),其中a,w是正常數,Q是在(0,2p)上服從均勻分布，求其均值函數、方差函數和自相關函數.于是,由定義解Q的概率密度為自相關函數式中t=t2-t1.特別,令t1=t2=t,

即得方差函數為13例2對隨機相位正弦波X(t)=acos(wt+Q),14例3設X(t)=Acoswt+Bsinwt,tT=(-,+),

其中A,B是相互獨立,且都服從正態(tài)分布N(0,s2)的隨機變量,w是實常數.試證明X(t)是正態(tài)過程,并求它的均值函數和自相關函數.解由于A,B是相互獨立的正態(tài)變量,對任意一組實數t1,t2,...,tnT,

X(ti)=Acoswti+Bsinwti, i=1,2,...,n

都是A,B的線性組合,因此X(ti)仍然是正態(tài)變量。故(X(t1),X(t2),...,X(tn))是n維正態(tài)變量.因為n,ti是任意的,因此X(t)是正態(tài)過程.另外，由于E(A)=E(B)=E(AB)=0,E(A2)=E(B2)=s2,由此可算得X(t)的均值函數為:

mX(t)=E(Acoswt+Bsinwt)=0,

從而自協(xié)方差函數等于自相關函數：

CX(t1,t2)=RX(t1,t2)=E[(Acoswt1+Bsinwt1)(Acoswt2+Bsinwt2)]

=s2(coswt1coswt2+sinwt1sinwt2)=s2cosw(t2-t1).14例3設X(t)=Acoswt+Bsinwt,tT15二維隨機過程：{(X(t),Y(t)),tT}

其中X(t),Y(t)是依賴于同一參數t的隨機過程,對于不同的tT,(X(t),Y(t))是不同的二維隨機變量n+m維聯(lián)合分布函數：給定二維隨機過程{(X(t),Y(t)),tT},t1,t2,...,tn;t'1,t'2,...,t'm是T中任意兩組實數,稱n+m維隨機變量

(X(t1),X(t2),...,X(tn);Y(t'1),Y(t'2),...Y(t'm))

的分布函數

F(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn:y1,y2,...,ym;t'1,t'2,...,t'm),

xi,yjR,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m為這個二維隨機過程的n+m維分布函數,或隨機過程X(t)與Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(三)二維隨機過程的分布函數和數字特征15二維隨機過程：{(X(t),Y(t)),tT}

其16隨機過程X(t)和Y(t)是相互獨立的

CXY(t1,t2)=E{[X(t1)-mX(t1)][Y(t2)-mY(t2)]}

=RXY(t1,t2)-mX(t1)mY(t2),t1,t2TX(t)和Y(t)的二階混合原點矩,記作

RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)],t1,t2T

若對任意的正整數n、m,任意的數組t1,t2,...,tnT,t'1,t'2,...,t'mT,n維隨機變量(X(t1),X(t2),...,X(tn))與m維隨機變量Y(t'1),Y(t'2),...Y(t'm)相互獨立，則稱隨機過程X(t)和Y(t)是相互獨立的隨機過程X(t)和Y(t)的互相關函數隨機過程X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數隨機過程X(t)和Y(t)

是不相關的對任意t1,t2T，恒有

CXY(t1,t2)=016隨機過程X(t)和Y(t)是相互獨立的CX17多個隨機過程之和的數字特征

對三個隨機過程X(t),Y(t)和Z(t)，令

W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t),

顯然,均值函數

mW(t)=mX(t)+mY(t)+mZ(t).而W(t)的自相關函數可以根據均值運算規(guī)則和相關函數的定義得到:

RWW(t1,t2)=E[W(t1)W(t2)]=RXX(t1,t2)+RXY(t1,t2)+RXZ(t1,t2)

+RYX(t1,t2)+RYY(t1,t2)+RYZ(t1,t2)

+RZX(t1,t2)+RZY(t1,t2)+RZZ(t1,t2).幾個隨機過程之和的自相關函數可以表示為各個隨機過程的自相關函數以及各對隨機過程的互相關函數之和.若X(t),Y(t)和Z(t)兩兩不相關,且各自的均值函數都為零,則各個互相關函數均為零,W(t)的自相關函數等于各個過程的自相關函數之和,即

RWW(t1,t2)=RXX(t1,t2)+RYY(t1,t2)+RZZ(t1,t2)

令t1=t2=t,

由上式可得W(t)的方差函數(此處即為均方值函數)為17多個隨機過程之和的數字特征

對三個隨機過程X(t),18§3泊松過程及維納過程獨立增量過程給定二階矩過程{X(t),t0},稱隨機變量X(t)-X(s),0s<t為隨機過程在區(qū)間(s,t]上的增量.如果對任意選定的正整數n和任意選定的0t0<t1<t2...<tn,n個增量

X(t1)-X(t0),X(t2)-X(t1),...,X(tn)-X(tn-1)

相互獨立,則稱{X(t),t0}為獨立增量過程.若對任意的實數h和0s+h<t+h,X(t+h)-X(s+h)與X(t)-X(s)具有相同的分布，則稱增量具有平穩(wěn)性。

此時，增量X(t)-X(s)的分布函數只依賴于時間差t-s,與t或s本身無關。當增量具有平穩(wěn)性時,稱相應的獨立增量過程是齊次的或時齊的.18§3泊松過程及維納過程獨立增量過程若對任意的實數h和019獨立增量過程的性質：19獨立增量過程的性質：20等間隔的不等間隔的計數過程例如：120急救臺接收到求救電話數量的分布情況網站某個廣告收到訪問點擊數量的分布情況等等654321(一)泊松過程20等間隔的不等間隔的計數過程例如：6(一)泊松過程21212222232324242525262627定理一：強度為λ的泊松流(泊松過程)的點間間距是相互獨立的隨機變量，且服從同一指數分布定理二：如果任意相繼出現的兩個質點的點間間距是相互獨立，且服從同一個指數分布：

這兩個定理刻畫出了泊松過程的特征，定理二告訴我們，要確定一個計數過程是不是泊松過程，只要用統(tǒng)計方法檢驗點間間距是否獨立，且服從同一個指數分布。則質點流構成強度為λ的泊松過程27定理一：強度為λ的泊松流(泊松過程)的點間間距是相互獨28(二)維納過程維納過程是布朗運動的數學模型以W(t)表示運動中一微粒從時刻t=0到時刻t>0的位移的橫坐標，且設W(0)=0。由于微粒的運動是受到大量隨機的、相互獨立的分子碰撞的結果，于是:(1)粒子在時段(s,t]上的位移可看作是許多微小位移的 和，根據中心極限定理，假設位移W(t)-W(s)服從正 態(tài)分布是合理的。(2)由于粒子的運動完全由液體分子不規(guī)則碰撞而引起的，這樣，在不相重疊的時間間隔內，碰撞的次數、大小和方向可假設相互獨立，即W(t)具有獨立增量，同時W(t)的增量具有平穩(wěn)性。28(二)維納過程維納過程是布朗運動的數學模型292930303131本章作業(yè)：P3173、6、8隨機過程的概念隨機過程的數字特征本章作業(yè)：隨機過程的概念12/23/202233第十二章隨機過程及其統(tǒng)計描述

隨時間演變的隨機現象

由一族（無限多個）隨機變量來描述12/20/20221第十二章隨機過程及其統(tǒng)計描述

34考慮正弦信號

X(t)=cos(wt+Q),t(-,),其中w是正常數,Q是在(0,2p)上服從均勻分布的隨機變量.對(0,2p)內任意一個隨機數qi,相應的正弦信號記為：

t0x(t)x1(t),q1=0x2(t),q2=3p/2

xi(t)=cos(wt+qi)，qi(0,2p).§1隨機過程的概念對于任意一個固定的時刻t=t1,X(t1)=cos(wt1+Q)是一個定義在Q={qi(0,2p)}上的隨機變量.對于所有可能的參數t的取值tT，這里T=(-,)

，可以得到一族（無限多個）隨機變量的集合{X(t),tT},稱為一個隨機過程.對于給定的qi,稱xi(t1)=cos(wt1+qi)為t1時刻隨機過程的一個狀態(tài).對于一切qi(0,2p)以及

tT,X(t)所有可能的取值的全體稱為隨機過程的狀態(tài)空間.在上例中，X(t)的狀態(tài)空間為[-1，1]對于給定的qi，稱xi(t)=cos(wt+qi)為隨機過程的一個樣本函數.隨機相位正弦波.t12考慮正弦信號X(t)=cos(wt+Q),t(35熱噪聲電壓:

電子元件或器件由于內部微觀粒子(如電子)的隨機熱騷動所引起的端電壓

電壓-時間函數:

對元件兩端的熱噪聲電壓進行多次長期測量,記錄每次測量結果記為vk(t),t>0,k=1,2,3….,如下圖

tv1(t)tvk(t)tjtv2(t){V(t),t>0}是一個隨機過程；

對每一個tjT,V(tj)是一隨機變量；

v1(tj)

、v2(tj)

、...稱為tj時刻隨機過程V(t)的狀態(tài)；

對隨機過程的某一次測量vk(t)，稱為隨機過程的一次實現或一個樣本函數；3熱噪聲電壓:電子元件或器件由于內部微觀粒子(如電子)的36例1拋擲一枚硬幣試驗,樣本空間是S={H,T},

現藉此定義tt1t2Ox(t)x=tx=cosptP(H)=P(T)=1/2.

對任意給定的t,X(t)是一定義在S上的隨機變量;{X(t),t(-,+)}是一族隨機變量,即它是隨機過程.一族樣本函數：{cospt,t}.

若出現H：x1(t)=cospt;

若出現T：x2(t)=t.

狀態(tài)空間：(-,+).4例1拋擲一枚硬幣試驗,樣本空間是S={H,T},現藉37其它隨機過程的例子：

例2在測量運動目標的距離時存在隨機誤差,若以e(t)表示在時刻t的測量誤差,則它是一個隨機變量.當目標隨時間t按一定規(guī)律運動時,測量誤差e(t)也隨時間t而變化,換句話說,e(t)是依賴于時間t的一族隨機變量,亦即{e(t),t0}是一隨機過程.且它們的狀態(tài)空間是(-,+).例3設某城市的120急救電話臺遲早會接到用戶的呼叫,以X(t)表示時間間隔(0,t]內接到的呼叫次數,它是一個隨機變量,且對于不同的t0,X(t)是不同的隨機變量.于是,{X(t),t0}是一隨機過程.且它的狀態(tài)空間是{0,1,2,...}.例4考慮拋擲一顆骰子的試驗.(i)

設Xn是第n次(n1)拋擲的點數,對于n=1,2,...的不同值,Xn是不同的隨機變量,因而{Xn,n1}構成一隨機過程,稱為伯努利過程或伯努利隨機序列.(ii)設Xn是前n次拋擲中出現的最大點數,{Xn,n1}也是一隨機過程.它們的狀態(tài)空間都是{1,2,3,4,5,6}.5其它隨機過程的例子：

例2在測量運動目標的距離時存在隨機38隨機過程分類：依其在任一時刻的狀態(tài)是連續(xù)型或離散型隨機變量而分為連續(xù)型隨機過程:隨機相位正弦波，熱噪聲電壓,例2離散型隨機過程:例1,例3和例4依其時間（參數）是連續(xù)或離散變量而分為

連續(xù)參數隨機過程:

當時間集T是有限或無限區(qū)間時,稱{X(t),tT}為連續(xù)參數隨機過程(以下如無特別指明,“隨機過程”總是指連續(xù)參數而言的).

離散參數隨機過程或隨機序列:

T是離散集合,例如={0,1,2,...},如例4.6隨機過程分類：依其時間（參數）是連續(xù)或離散變量而分為

連續(xù)39§2隨機過程的統(tǒng)計描述(一)隨機過程的分布函數族給定隨機過程{X(t),tT}，其中，對不同的tT,隨機變量X(t)的分布函數一般與t有關。給定t1T，稱FX(x,t1)=P{X(t1)x},xR

為隨機過程{X(t),tT}的一維分布函數

對所有tT,

稱{FX(x,t),tT

}為該隨機過程的一維分布函數族對于固定的n,稱{FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn),tiT}為隨機過程{X(t),tT}的n維分布函數族當n充分大時,n維分布函數族能夠近似地描述隨機過程的統(tǒng)計特性.n越大,則n維分布函數族描述隨機過程的特性也越趨完善.

科爾莫戈羅夫定律:有限維分布函數族,即{FX(x1,x2,...,xn,n=1,2,...,t1,t2,...,tn),tiT}完全地確定了隨機過程的統(tǒng)計特性.7§2隨機過程的統(tǒng)計描述(一)隨機過程的分布函數族給定隨機40(二)隨機過程的數字特征給定隨機過程{X(t),tT},

對于一特定的tT,X(t)是一隨機變量,它的均值一般與t有關,記為

mX(t)=E[X(t)]

（2.1）------- 均值函數注意：mX(t)是隨機過程的所有樣本函數在時刻t的函數值的平均值,通常稱這種平均為集平均或統(tǒng)計平均.把隨機變量X(t)的二階原點矩和二階中心矩分別記作分別稱為均方值函數和方差函數.標準差函數：它表示隨機過程X(t)在時刻t對于均值mX(t)的平均偏離程度.（2.2）（2.3）8(二)隨機過程的數字特征給定隨機過程{X(t),tT41tX(t)mX(t)mX(t)-sX(t)mX(t)+sX(t)x1(t)x2(t)xi(t)均值函數mX(t)表示了隨機過程X(t)在各個時刻的擺動中心.標準差函數

表示隨機過程X(t)在時刻t對于均值mX(t)的平均偏離程度.9tX(t)mX(t)mX(t)-sX(t)mX(t)+sX42設任意t1,t2T,

隨機變量X(t1)和X(t2)的二階原點混合矩

RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]

稱為隨機過程{X(t),tT}的自相關函數,簡稱相關函數.

RXX(t1,t2)

也簡記為RX(t1,t2).

X(t1)和X(t2)的二階混合中心矩

CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)]=E{[X(t1)-mX(t1)][X(t2)-mX(t2)]}稱為隨機過程{X(t),tT}的自協(xié)方差函數,簡稱協(xié)方差函數.CXX(t1,t2)也常簡記為CX(t1,t2).

由上式可得CX(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2).

隨機變量的各個數字特征中最重要的是均值函數和自相關函數.當t1=t2=t時，有當t1=t2=t時,有10設任意t1,t2T,隨機變量X(t1)和X(t2)的43二階矩過程的相關函數總存在.事實上,由于E[X2(t1)],E[X2(t2)]存在,根據柯西-施瓦茲不等式（第四章習題37題，P117）有

{E[X(t1)X(t2)]}2E[X2(t1)]E[X2(t2)],t1,t2T.

即知RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在正態(tài)過程：

如果隨機過程的每一個有限維分布都是正態(tài)分布,亦即對任意整數n1及任意t1,t2,...,tnT,(X(t1),X(t2),...,X(tn))服從n維正態(tài)分布，稱它為正態(tài)過程。由第四章的結論知,正態(tài)過程的全部統(tǒng)計特性完全由它的均值函數和自協(xié)方差函數(或自相關函數)所確定.正態(tài)過程是一個二階矩過程二階矩過程：隨機過程{X(t),tT},如果對每一個tT,二階矩E[X2(t)]都存在,則稱它為二階矩過程11二階矩過程的相關函數總存在.事實上,由于E[X2(t44例1設隨機變量A~N(0,1),B~U(0,2),A、B相互獨立,求隨機過程X(t)=At+B,tT=(-,)的均值函數mX(t)和自相關函數RX(t1,t2).解：由題意E(A)=0,E(A2)=1,E(B)=1,E(B2)=4/3mX(t)=E[X(t)]=E[At+B]=tE[A]+E[B]=1

RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(At1+B)(At2+B)]

=t1t2E[A2]+(t1+t2)E[AB]+E[B2]=t1t2+4/3,t1,t2T.12例1設隨機變量A~N(0,1),B~U(0,2),45例2對隨機相位正弦波X(t)=acos(wt+Q),t(-,),其中a,w是正常數,Q是在(0,2p)上服從均勻分布，求其均值函數、方差函數和自相關函數.于是,由定義解Q的概率密度為自相關函數式中t=t2-t1.特別,令t1=t2=t,

即得方差函數為13例2對隨機相位正弦波X(t)=acos(wt+Q),46例3設X(t)=Acoswt+Bsinwt,tT=(-,+),

其中A,B是相互獨立,且都服從正態(tài)分布N(0,s2)的隨機變量,w是實常數.試證明X(t)是正態(tài)過程,并求它的均值函數和自相關函數.解由于A,B是相互獨立的正態(tài)變量,對任意一組實數t1,t2,...,tnT,

X(ti)=Acoswti+Bsinwti, i=1,2,...,n

都是A,B的線性組合,因此X(ti)仍然是正態(tài)變量。故(X(t1),X(t2),...,X(tn))是n維正態(tài)變量.因為n,ti是任意的,因此X(t)是正態(tài)過程.另外，由于E(A)=E(B)=E(AB)=0,E(A2)=E(B2)=s2,由此可算得X(t)的均值函數為:

mX(t)=E(Acoswt+Bsinwt)=0,

從而自協(xié)方差函數等于自相關函數：

CX(t1,t2)=RX(t1,t2)=E[(Acoswt1+Bsinwt1)(Acoswt2+Bsinwt2)]

=s2(coswt1coswt2+sinwt1sinwt2)=s2cosw(t2-t1).14例3設X(t)=Acoswt+Bsinwt,tT47二維隨機過程：{(X(t),Y(t)),tT}

其中X(t),Y(t)是依賴于同一參數t的隨機過程,對于不同的tT,(X(t),Y(t))是不同的二維隨機變量n+m維聯(lián)合分布函數：給定二維隨機過程{(X(t),Y(t)),tT},t1,t2,...,tn;t'1,t'2,...,t'm是T中任意兩組實數,稱n+m維隨機變量

(X(t1),X(t2),...,X(tn);Y(t'1),Y(t'2),...Y(t'm))

的分布函數

F(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn:y1,y2,...,ym;t'1,t'2,...,t'm),

xi,yjR,i=1,2,...,n,j=1,2,...,m為這個二維隨機過程的n+m維分布函數,或隨機過程X(t)與Y(t)的n+m維聯(lián)合分布函數(三)二維隨機過程的分布函數和數字特征15二維隨機過程：{(X(t),Y(t)),tT}

其48隨機過程X(t)和Y(t)是相互獨立的

CXY(t1,t2)=E{[X(t1)-mX(t1)][Y(t2)-mY(t2)]}

=RXY(t1,t2)-mX(t1)mY(t2),t1,t2TX(t)和Y(t)的二階混合原點矩,記作

RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)],t1,t2T

若對任意的正整數n、m,任意的數組t1,t2,...,tnT,t'1,t'2,...,t'mT,n維隨機變量(X(t1),X(t2),...,X(tn))與m維隨機變量Y(t'1),Y(t'2),...Y(t'm)相互獨立，則稱隨機過程X(t)和Y(t)是相互獨立的隨機過程X(t)和Y(t)的互相關函數隨機過程X(t)和Y(t)的互協(xié)方差函數隨機過程X(t)和Y(t)

是不相關的對任意t1,t2T，恒有

CXY(t1,t2)=016隨機過程X(t)和Y(t)是相互獨立的CX49多個隨機過程之和的數字特征

對三個隨機過程X(t),Y(t)和Z(t)，令

W(t)=X(t)+Y(t)+Z(t),

顯然,均值函數

mW(t)=mX(t)+mY(t)+m