河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)理科試題（含答案解析）

試卷第=page44頁，共=sectionpages44頁試卷第=page33頁，共=sectionpages44頁河南省洛陽市2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)理科試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．直線在y軸上的截距是（

）A．5 B．－5 C．10 D．－102．已知，，則線段AB的長為（

）A．39 B．7 C．5 D．3．已知直線：與：垂直，則實(shí)數(shù)a的值為（

）A．0或3 B．0或-3 C．-3 D．04．若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量可以構(gòu)成空間另一個(gè)基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，5．已知直線l：和圓C：交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB所對(duì)的圓心角的大小為（

）A． B． C． D．6．已知四面體，分別是的中點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．7．已知，當(dāng)變化時(shí)，直線過定點(diǎn)（

）A． B． C． D．8．已知直線AB的方向向量為，平面的法向量為，給出下列命題：①若則直線．②若，則直線．③記直線AB與平面所成角的為，則．④若，，則點(diǎn)C到平面的距離．其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．4 B．3 C．2 D．19．圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（

）A． B．C． D．10．已知點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足，則：的最小值為（

）A． B． C．1 D．211．在四面體中，平面平面DBC，且，，則直線BC與平面ABD所成角的余弦值為（

）A． B．C． D．12．若圓上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線l：的距離為，則直線l的傾斜角的取值范圍是（

）A． B．C． D．二、填空題13．已知是直線l的方向向量，是平面的法向量．若，則______．14．已知，兩點(diǎn)到直線l：的距離相等，則______．15．在棱長為的正方體中，是底面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，且平面，當(dāng)最大時(shí)，三棱錐的體積為______．16．若點(diǎn)P在直線上移動(dòng)，過P作圓的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則的最小值為______．三、解答題17．已知的三個(gè)頂點(diǎn)是，，．(1)求邊的垂直平分線的方程；(2)求經(jīng)過兩邊中點(diǎn)的直線的方程．18．如圖，平行六面體的底面是菱形，且，．(1)求的長；(2)求異面直線與所成的角．19．已知平面直角坐標(biāo)系中有，，，四點(diǎn)．(1)判斷這四點(diǎn)是否共圓？若共圓，求出該圓的方程；若不共圓，說明理由；(2)一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)過x軸反射后與的外接圓相切．求反射光線所在直線的方程．20．在直角梯形ABCD中，，，，如圖（1）把沿BD翻折，使得平面平面BCD，如圖（2）．(1)求證：；(2)若M為線段BC的中點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面ACD的距離．21．已知兩定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，直線．(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；(2)記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E，把曲線E向右平移1個(gè)單位長度，向上平移1個(gè)單位長度后得到曲線，求直線被曲線截得的最短的弦長；(3)已知點(diǎn)M的坐標(biāo)為，點(diǎn)N在曲線上運(yùn)動(dòng)，求線段MN的中點(diǎn)H的軌跡方程．22．如圖，長方體中，，點(diǎn)E在棱上且平面．(1)求的值；(2)求平面與平面夾角的余弦值．答案第=page1414頁，共=sectionpages1414頁答案第=page1313頁，共=sectionpages1414頁參考答案：1．D【分析】根據(jù)截距的概念結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)橹本€，令，可得，所以直線在y軸上的截距是.故選：D.2．B【分析】根據(jù)空間兩點(diǎn)間距離公式即得.【詳解】因?yàn)椋?，所?故選：B.3．B【分析】利用兩直線垂直的充要條件，列式計(jì)算作答.【詳解】因直線：與：垂直，則，解得或，所以實(shí)數(shù)a的值為0或-3.故選：B4．C【分析】根據(jù)空間向量共面定理可知ABD選項(xiàng)中的向量共面，無法作為一組基底；假設(shè)C中向量共面，可知不存在滿足條件的實(shí)數(shù)，由此知假設(shè)錯(cuò)誤，則C中向量可以作為基底.【詳解】對(duì)于A，，共面，不能作為空間一組基底，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，共面，不能作為空間一組基底，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，假設(shè)共面，則可設(shè)，方程組無解，不共面，可以作為空間一組基底，C正確；對(duì)于D，，共面，不能作為空間一組基底，D錯(cuò)誤.故選：C.5．C【分析】根據(jù)弦長公式可得弦長，根據(jù)的邊長關(guān)系，確定圓心角的大小.【詳解】由圓C：，可得，圓心，半徑為，又直線l：，所以，又，所以，圓心角，即弦AB所對(duì)的圓心角的大小為.故選：C.6．A【分析】利用向量加減和數(shù)乘運(yùn)算直接求解即可.【詳解】分別為中點(diǎn)，.故選：A.7．A【分析】將直線方程整理為，由此可得方程組，解方程組即可求得定點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由得：，由得：，直線恒過定點(diǎn).故選：A.8．C【分析】根據(jù)空間向量證明線面位置關(guān)系，空間向量法表示線面夾角正弦值公式以及空間向量計(jì)算點(diǎn)到平面的距離公式即可判斷.【詳解】對(duì)A選項(xiàng)，若，有可能直線平面內(nèi)，故錯(cuò)誤，對(duì)B選項(xiàng)，符合利用空間向量判定線面垂直關(guān)系，由線線平行推出線面垂直，故B正確，對(duì)C選項(xiàng)，因?yàn)榭赡転樨?fù)值，而，故錯(cuò)誤，其正確形式應(yīng)為，故C錯(cuò)誤，對(duì)D選項(xiàng)，根據(jù)C選項(xiàng)公式，故，故D正確.故真命題有2個(gè)，故選：C.9．B【分析】由圓的方程可確定圓心和半徑，利用點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱點(diǎn)的求法可求得對(duì)稱圓的圓心，由兩圓半徑相同可得圓的方程.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑；設(shè)圓心關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，所求對(duì)稱圓的圓心為，半徑為，所求對(duì)稱圓的方程為：.故選：B.10．A【分析】根據(jù)空間向量共面可得，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】因?yàn)?，所以，又點(diǎn)D在確定的平面內(nèi)，所以，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，的有最小值.故選：A.11．D【分析】由已知條件可得與為正三角形，且互相垂直，則可以建立空間直角坐標(biāo)系，求平面ABD的法向量，代入余弦公式即可.【詳解】因?yàn)?，且，所以均為正三角形，因?yàn)槠矫嫫矫鍰BC，平面平面，取的中點(diǎn)，則，所以平面，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，，，則，令，，.設(shè)直線BC與平面ABD所成角為，則，所以.故選：D12．B【分析】求出圓心和半徑，由題可得圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，進(jìn)而可得的取值范圍，然后根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，即得．【詳解】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心為，半徑為，因?yàn)閳A上至少有三個(gè)不同的點(diǎn)到直線的距離為，則圓心到直線的距離應(yīng)小于等于，∴，整理得，解得，設(shè)直線的傾斜角為，即，又由，，即，所以直線l的傾斜角的取值范圍是.故選：B．13．27【分析】根據(jù)線面垂直的概念，結(jié)合法向量的性質(zhì)可得，進(jìn)而求得，即得.【詳解】∵，∴，∴，故，解得，∴．故答案為：.14．1或【分析】利用點(diǎn)到直線的距離公式列方程求解可得.【詳解】由題意得，即，所以或，解得或．故答案為：1或.15．【分析】根據(jù)面面平行的判定可證得平面平面，由此可得點(diǎn)軌跡為線段；根據(jù)，可知當(dāng)時(shí)，最大；利用體積橋，結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果.【詳解】，平面，平面，平面，同理可得：平面，又，平面，平面平面，平面平面，點(diǎn)軌跡為線段，平面，平面，，，則當(dāng)最小時(shí)，最大；四邊形為正方形，當(dāng)，即為中點(diǎn)時(shí)，最??；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，最大，平面，平面，

，，平面，平面，，，.故答案為：.16．##【分析】設(shè)，根據(jù)圓的性質(zhì)可得，然后根據(jù)點(diǎn)到直線的距離結(jié)合條件即得.【詳解】由，可知圓心，半徑為，則，設(shè)，則為的中點(diǎn)，且，所以，所以，又點(diǎn)到直線的距離為，所以，，即的最小值為.故答案為：.17．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)斜率公式可求得，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得中點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)垂直關(guān)系可確定所求直線斜率為，根據(jù)直線點(diǎn)斜式方程可求得結(jié)果；（2）利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式可求得中點(diǎn)坐標(biāo)，由直線兩點(diǎn)式方程可求得結(jié)果.【詳解】（1），中點(diǎn)為，邊的垂直平分線方程為：，即.（2）中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，經(jīng)過兩邊中點(diǎn)的直線方程為：，即.18．(1)(2)90°．【分析】(1)因?yàn)槿M不共線，則可以作為一組基底，用基底表示向量，平方即求得模長.(2)求出兩條直線與的方向向量，用向量夾角余弦公式即可.【詳解】（1）設(shè)，，，構(gòu)成空間的一個(gè)基底．因?yàn)椋裕裕?）又，，所以∴∴異面直線與所成的角為90°．19．(1)A，B，C，D四點(diǎn)共圓，；(2)或．【分析】（1）利用待定系數(shù)法可得經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后判斷是否在圓上，進(jìn)而即得；（2）由題可得點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，過向圓所作的兩條切線所在直線即為所求，然后利用點(diǎn)到直線的距離公式即得.【詳解】（1）設(shè)經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，將A，B，D三點(diǎn)坐標(biāo)分別代入，得，∴，所以經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，將代入上面方程左邊得，所以點(diǎn)C在經(jīng)過A，B，D三點(diǎn)的圓上，即A，B，C，D四點(diǎn)共圓，過A，B，C，D四點(diǎn)的圓的方程為；（2）根據(jù)光的反射原理，作與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)，從M點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)x軸反射后，反射光線所在直線就是由向圓所作的兩條切線所在直線，由題可知：，則切線的斜率一定存在，設(shè)切線方程為，即，所以，解得或，所以反射光線所在直線的方程為或，即或．20．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得平面ABD，然后利用線面垂直的性質(zhì)即得；（2）利用坐標(biāo)法，求出平面ACD的法向量，然后利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法即得.【詳解】（1）在直角梯形ABCD中，，，，所以，，∴，∴，∵平面平面BCD，平面平面，平面BCD，∴平面ABD，又∵平面ABD，∴；（2）由題知，如圖以D為原點(diǎn)，DB，DC所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由條件可得，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量，則，，∴，即，令，可得平面ACD的一個(gè)法向量為），又，∴點(diǎn)M到平面ACD的距離為．21．(1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是，軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓；(2)；(3)．【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由題可得，進(jìn)而即得；（2）由題可得圓：，然后根據(jù)圓的性質(zhì)及弦長公式即得；（3）設(shè)，，根據(jù)坐標(biāo)關(guān)系可得，代入曲線的方程進(jìn)而即得.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由得，化簡得，∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是，軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓；（2）∵曲線E的方程為，∴曲線的方程為，圓心為在，半徑為2，又∵直線可化為，由，可得，∴直線恒過定點(diǎn)，由平面幾何知識(shí)可知，當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得的弦長最短，∵，半徑為2，∴最短弦長為；（3）設(shè)，，又點(diǎn)M的坐標(biāo)為，所以，∴，∵點(diǎn)N在圓：上運(yùn)