2020年安徽宿州高考數(shù)學(xué)一模試卷理科含答案解析

2020年安徽省宿州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)TOC\o"1-5"\h\z1.設(shè)集合A={x|y=ln(x+1)},B={-2,-1,0,1},貝U(?rA)AB=()A.{-2}B,{-2,-1}C,{-2,-1,0}D.{-2,-1,0,1}2.復(fù)數(shù)A.1+2iB,1-2iC.2+iD.2-i223.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點與雙曲線2-二1的右焦點重合，則p的值為（97A.2B.2血C.8D,/4.運行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）A.3B.2C.TD.-2.設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,3是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（）A.若a13,m?a,n?3,則m，nB.若m，a,m//n,n//&則a13C.若m,n,m?a,n?&則a,Q.若a//3,m?a,n?3,則m//n.從｛1,2,3,4,5｝中隨機選取一個數(shù)a,從｛1,2,3｝中隨機選取一個數(shù)b,則關(guān)于x的方程x2+2ax+b2=0有兩個不相等的實根的概率是（）7.若實數(shù)x,y滿足條件A.16B.12C.11D.9"2k-y-l402iiy+l>0Ly<x+1,則z=x+3y的最大值為(8.函數(shù)f(x)=sin(cox+4)(其中7T~Z)的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)=coscox的圖象,只需把y=f(x)的圖象(A.向右平移C.向右平移兀7-個單位長度B.&JU丁式單位長度D.向左平移向左平移兀12個單位長度個單位長度9.7.若實數(shù)x,y滿足條件A.16B.12C.11D.9"2k-y-l402iiy+l>0Ly<x+1,則z=x+3y的最大值為(8.函數(shù)f(x)=sin(cox+4)(其中7T~Z)的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)=coscox的圖象,只需把y=f(x)的圖象(A.向右平移C.向右平移兀7-個單位長度B.&JU丁式單位長度D.向左平移向左平移兀12個單位長度個單位長度9.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f'(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f"(x),若在區(qū)間(a,b)上f"(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上值范圍是(A.[2,+oo)已知f(x)=-112x4吟工,e?之在(1'3)上為凹函數(shù)”，則實數(shù)m的取)31B-[T,5]C.(2,+oo)D.(31丁+o°)m),若■A.(-8,,JB.(-8,C.(一0°,p]D,(—8,2p]11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積是(ii丁震用A.2087tB.128ttC.64tD.32兀12.已知函數(shù)f(x)=x2—2(a+m)x+a2,g(x)=-x2+2(a—m)x-a2+2m2,(a,定義Hi(x)=max{f(x),g(x)},p、q中較大值，min{p,q}表示p、q大值為B,則A-B=()A.-4m2B.4m2C.a2-2a-4m2D.H2(x)=min{f(x),g(x)}(其中max{p,q}表示中的較小值)記Hi(x)的最小值為A,H2(x)的最a2-2a+4m210.已知點P為拋物線C:x2=2py(p>0)上任意一點，O為坐標原點，點M(0,|PM|斗OM|恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為(二、填空題(共4小題，每小題5分，滿分20分).寫出命題存在xC(0,+8),使得lnx>x-1”的否定:.寫出(x一7=)5的展開式中常數(shù)項：-.已知平面內(nèi)A,B兩點的坐標分別為(2,2),(0,-2),O為坐標原點，動點P滿足Ibpi=i,貝u|而十而|的最小值是..AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=C且4a2+b2+c2=4\/l,則^ABC面積的最大值為.三、解答題(共5小題，滿分60分)「一1.已知數(shù)列｛an｝的前n項和是Sn,且Sn+刁an=1.(1)求數(shù)列｛an｝的通項公式；皂1(2)記bn=log_L上，求數(shù)列｛MT｝的前n項和Tn.32brLhn+2.一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量(單位：克)，重量分組區(qū)間為[5,15],(15,25],(25,35],(35,45],由此得到樣本的重量頻率分布直方圖(如圖)，(1)求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；(2)從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在[5,15]內(nèi)的小球個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率).在直三棱錐ABC-A1B1C1中，AAi=AB=AC=2,E,F分別是CC1,BC的中點，AE，AiBi,D為棱AiBi上的點.(1)證明：DFLAE;(2)是否存在一點D,使得平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為?若存在，說明點D的位置，若不存在，說明理由.20.已知橢圓Ci:D的位置，若不存在，說明理由.20.已知橢圓Ci:巨鼻‘/1和橢圓C2：--4-y2=1的離心率相同,1)在橢圓C1上.(1)求橢圓Cl的方程；(2)設(shè)P為橢圓C2上一動點，過點P作直線交橢圓Ci于A、C兩點，且P恰為弦AC的中點.試判斷4AOC的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由.21.已知函數(shù)f(x)=.(1)求函數(shù)f(X)的單調(diào)區(qū)間和最大值；(2)若兩不等正數(shù)m,n滿足mn=nm,函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),求證：「(毛口)<0.［選彳4-1:幾何證明選講］.已知PQ與圓O相切于點A,直線PBC交圓于B、C兩點，D是圓上一點，且AB//DC,求QD.求QD.DC的延長線交PQ于點Q.(1)求證：AC2=CQ?AB；［選彳4-4:坐標系與參數(shù)方程］.在直角坐標系xOy中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知某圓的極坐標方程為：p2-4pcos0+2=0(1)將極坐標方程化為普通方程(2)若點P(x,y)在該圓上，求x+y的最大值和最小值.［選修：4-5:不等式選講］.已知函數(shù)f(x)=|2x+1|+|2x-1|(1)求不等式f(x)9的解集；(2)若關(guān)于x的不等式f(x)>log2(a2-3a)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.2020年安徽省宿州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題(共12小題，每小題5分，滿分60分)1.設(shè)集合A={x|y=ln(x+1)},B={-2,-1,0,1},貝^(?RA)AB=()A.{-2}B.{-2,T}C.{-2,-1,0}D.{-2,T,0,1}【考點】交、并、補集的混合運算.【分析】利用對數(shù)函數(shù)性質(zhì)和補集定義求解.【解答】解：.,集合A={x|y=ln(x+1)}={x|x+1>0}={x|x>T},B={-2,-1,0,1},(?RA)nB={x|xW-1}n{-2,-1,0,1}={-2,-1}.故選：B.A.1+2iB.1-2iC.2+iD.27【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.將分子和分母同時乘以分母的共軻復(fù)數(shù)，再利用兩個向量的乘法法則化簡.解：復(fù)數(shù)3-i(g-1)(141)4+21l-i=(l解：復(fù)數(shù)TOC\o"1-5"\h\z22.若拋物線y2=2px（p>0）的焦點與雙曲線上一一J二i的右焦點重合，則p的值為（）97A.2B.2\/2C.8D,8^【考點】雙曲線的簡單性質(zhì).【分析】求得雙曲線的a,b,c,可得右焦點，求出拋物線的焦點，解方程可得p=8.[22【解答】解：雙曲線三二1的a=3,b=-J7,c=J&+7=4,g7可得右焦點為（4,0）,拋物線y2=2px（p>0）的焦點為（二，0）,由題意可得-^-=4,解得p=8,故選：C..運行如圖所示的程序框圖，則輸出S的值為（）

A.3B,2C.-1D.-2【考點】程序框圖.【分析】由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結(jié)構(gòu)計算并輸出變量模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案.【解答】解：由題意，模擬執(zhí)行程序，可得n=1,S=1,滿足條件

滿足條件滿足條件

滿足條件

滿足條件

滿足條件

滿足條件n^5,n^5,n^5,n^5,n^5,S=2,n=3S=-1,n=4S=3,n=5S=-2,n=6不滿足條件n4,退出循環(huán)，輸出S的值為-2.故選：B..設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,3是兩個不同的平面，下列命題中正確的是（A.若也&m?a,n?3,則m，nB.若m，a,m//n,n//&則a±3C.若m,n,m?a,n?&則a,Q.若a//3,m?a,n?￡則m//n【考點】空間中直線與平面之間的位置關(guān)系.【分析】由已知條件，利用直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系，【解答］解：若3,m?匹n?3,則m與n相交、平行或異面，故A錯誤;,,m±a,m"n,/.n±a,又nil3,a±3,故B正確；若m±n,m?a,n?3,則a13或a與3相交，故C錯誤；若a//&m?a,n?3,則m//n或m,n異面，故D錯誤.S的值,能求出結(jié)果.故選：B.S的值,能求出結(jié)果..從｛1,2,3,4,5｝中隨機選取一個數(shù)a,從｛1,2,3｝中隨機選取一個數(shù)b,則關(guān)于x的方程x2+2ax+b2=0有兩個不相等的實根的概率是(C.【考點】【分析】有實根,率公式,【解答】古典概型及其概率計算公式.根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理可得a、b的情況數(shù)目，進而分析可彳#若方程【考點】【分析】有實根,率公式,【解答】古典概型及其概率計算公式.根據(jù)題意，由分步計數(shù)原理可得a、b的情況數(shù)目，進而分析可彳#若方程x2+2ax+b2=0則△=(2a)2-4b2涮，即a2力2,列舉可得a2率2的情況數(shù)目，由等可能事件的概計算可得答案.解：根據(jù)題意，a是從集合｛1,2,b是從集合｛1,2,3｝中隨機抽取的一個數(shù)，種情況，若方程x2+2ax+b2=0有實根，則△=(2a)23,4,5｝中隨機抽取的一個數(shù)，a有5種情況，b有3種情況，貝U方程x2+2ax+b2=0有3>5=15-4b2>0,即a>b,此時有a=5b-2z=x+3y得:1y=-3z=x+3y得:1y=-3,顯然直線過A(2,3)時，z最大，求出z的最大值即可.【解答】解：畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：共9種情況;則方程x2+2ax+b2=0有實根的概率Ph^"-二lbb故選C21廠1<0.若實數(shù)x,y滿足條件，2Hy+l>0,則z=x+3y的最大值為()Ly<x+1A.16B.12C.11D.9【考點】簡單線性規(guī)劃.【分析】畫出滿足條件的平面區(qū)域，求出角點的坐標，而由而由z=x+3y得：y=-二x+二,33顯然直線過Az的最大值是：故選：C.(2,3)時，z最大,11,8.函數(shù)f(x)=sin(wx+j)(其中兀而由z=x+3y得：y=-二x+二,33顯然直線過Az的最大值是：故選：C.(2,3)時，z最大,11,8.函數(shù)f(x)=sin(wx+j)(其中兀~Z)的圖象如圖所示，為了得到y(tǒng)=coscox的圖象,只需把y=f(x)的圖象(A.向右平移冗C.向右平移丁個單位長度B.向左平移57U丁產(chǎn)單位長度D.向左平移個單位長度JT12個單位長度【考點】函數(shù)y=Asin(wx+彷的圖象變換.【分析】利用圖象的最低點確定A的值，利用周期確定以再根據(jù)圖象過點(?定4的值，即可求函數(shù)f(x)的解析式，由y=cos2x=sin[2(x+-一+——&12)],根據(jù)圖象的變換規(guī)律即可得解.解:???T=4X(12)二兀,=sin???圖象過點(，0),「.sin(2xr^_+()))=。,1.f(x)=sin(2x+7Cy解:???T=4X(12)二兀,=sin???圖象過點(，0),「.sin(2xr^_+()))=。,1.f(x)=sin(2x+7CyJI)=sin[2(x+—)]；--y=cos2x=sin(2x+TT~2)=sin[2(x+7T)]=sin[2(x+-+了)]；，函數(shù)f(x)，函數(shù)f(x)的圖象向左平移個單位長度，可以得到函數(shù)y=sin2x的圖象.9.設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),f'(x)在區(qū)間(a,b)上的導(dǎo)函數(shù)為f"(x),若在區(qū)間(a,b)上f"(x)>0恒成立，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)上

值范圍是（A.[2,+OO)已知f(x)=-)31B.%值范圍是（A.[2,+OO)已知f(x)=-)31B.%112，5]C.(2,,吟在（1,3）上為凹函數(shù)”，則實數(shù)m的取+oo)D.(31+OO)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)的運算.利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可得f（x）,f〃（x）.由于函數(shù)f（x）在區(qū)間（1,3）上為凹函數(shù)”，可得：在區(qū)間（1,3）上f〃（x）>0恒成立，解得即可.【解答】解：一（x）112【解答】解：一（x）112，f'(x)—x3+-7x2+3x,??f"(x)=-x2+mx+3,由題意得：-x2+mx+3>0在(1,3)恒成立,即m>x——在（1,3）恒成立,令g(x)=x-令g(x)=x-—,g'(x)=1+r^>0,??g(x)在(1,3)遞增，g(x)max<g(3)=2,故m里,故選：A.10.已知點P為拋物線C：x2=2py（p>0）上任意一點，O為坐標原點，點M（0,m）,若|PM|汗OMHI成立，則實數(shù)m的取值范圍為（A.（一巴十]b.（一巴-【考點】拋物線的簡單性質(zhì).C.(一0°,p]D,(—8,2p]）,利用條件分類討論，最后【解答】解：設(shè)拋物線C:x2=2py(p>0)上任意一點P點M（0,m）,|PM|，OM|①m4，顯然適合；②若m>0,點M②若m>0,點M(0,m),|PM|汗OM|,即m2蟲2+(2

K_

疥2—m)2,即mwp七三一??m的取值范圍是（-0°,p].故選：C.11.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積是（

128ttC.64tD.128ttC.64tD.32兀【考點】球的體積和表面積；球內(nèi)接多面體.【分析】幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球半徑，代入求得表面積公式計算.【解答】解：由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為4,底面為等腰三角形，底邊長為6,高為炳.???△ABC為等邊三角形，外接圓的半徑r=2娟,幾何體的外接球的半徑R=~V16+4S=4,???外接球的表面積S=4兀16=64兀.故選：C..已知函數(shù)f(x)=x2—2(a+m)x+a2,g(x)=-x2+2(a—m)x-a2+2m2,(a,mCR),定義Hi(x)=max{f(x),g(x)},H2(x)=min{f(x),g(x)}(其中max{p,q}表示p、q中較大值，min{p,q}表示p、q中的較小值)記Hi(x)的最小值為A,H2(x)的最大值為B,則A-B=()A.-4m2B.4m2C.a-2a-4m2D.a-2a+4m2【考點】函數(shù)的最值及其幾何意義.【分析】先作差，得到h(x)=f(x)-g(x)=2(x-a)2-2m2.分別解出h(x)=0,h(x)>0,h(x)<0,利用新定義即可得出Hi(x),H2(x).進而得出A,B即可.【解答】解：令h(x)=f(x)-g(x)=x2-2(a+m)x+a2-[-x2+2(a—m)x-a2+2m2]=2x2-4ax+2a2-2m2=2(x-a)2-2m2.(設(shè)m>0),①由2(x—a)2-2m2=0,解得x=a如，此時f(x)=g(x)；②由h(x)>0,解得x>a+m,或x<a-m,此時f(x)>g(x)；③由h(x)<0,解得a-mvxva+m,此時f(x)<g(x).綜上可知：(1)當xQ—m時，貝UH1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x-(a+m)]2-2am-m2H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=-[x-(a—m)]2-2am+3m2,(2)當a-m球q+m時，Hi(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x);(3)當x4+m時，則H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x),故A=g(a+m)=-[(a+m)-(a-m)]2-2am+3m2=—2am-m2,B=g(a-m)=-2am+3m2,/.A-B=-2am-m2-(-2am+3m2)=-4m2.故選：A.二、填空題（共4小題，每小題5分，滿分20分）.寫出命題存在xC（0,+°°）,使得|nx>x-1”的否定：對任意xC（0、+°°）,都有inx^x-1..

【考點】命題的否定.存在x存在x€(0,+2),使得inx>【解答】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題X-1”的否定：對任意x€(0,+8),都有inx寂-1.故答案為：對任意xC(0,+8),都有inxa-1.的展開式中常數(shù)項:14.寫出(【考點】二項式定理的應(yīng)用.的展開式中常數(shù)項:14.寫出(【考點】二項式定理的應(yīng)用.【分析】在二項展開式的通項公式中，令x的哥指數(shù)等于0,求出r的值，即可求得展開式中常數(shù)項.【解答】解：(x6妙亍)5的展開式的通項公式為Tr+1=Cg?3。一亭■,令30-二^=0,r=4,故展開式中常數(shù)項C,=5,.已知平面內(nèi)A,B兩點的坐標分別為(2,2),(0,-2),O為坐標原點，動點P滿足Ibpi=1,貝uI5S+5?|的最小值是1.【考點】平面向量數(shù)量積的運算.【分析】找到P的軌跡，設(shè)出P點坐標(cosa,-2+Sina),則(0A4-0P)2可化為關(guān)于a的函數(shù)，求出此函數(shù)的最小值，開方即可.【解答】解：?.?|而|=1,，P的軌跡是以B(0,-2)為圓心，以1為半徑的圓，設(shè)P(cos%—2+Sina),則QA+0P=(2+cosa,sina),IOA+OP|2=(2+cosa)2+sin2a=4cosa+5..當cosa=-1時，|0A+-0P|2取得最小值1,.?.I血+5?i的最小值是1.故答案為1..AABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若B=C且4a2+b2+c2=4jl,則4ABC面積的最大值為二臺.【考點】余弦定理.【分析】由/B=/C得b=c,代入4a2+b2+c2=4\/3化簡，根據(jù)余弦定理求出cosC,由平方關(guān)系求出sinC,代入三角形面積公式求出表達式，由基本不等式即可求出三角形ABC面積的最大值.【解答］解：由B=C得b=c,代入4a2+b2+c2=46得，4a2+2b2=4-73,即b2=2\/3-2a2,2,k2.2|a由余弦定理得，cosC=f一-——:一=--,2ab2b所以2―小u%棄,

則4ABC的面積S—absinC=^-ab22則4ABC的面積S—absinC=^-ab22：--abx:2b二=二.-,,,,-=當且僅當9a2=8門-9a2取等號，此時a2：所以△ABC的面積的最大值為返3故答案為:三、解答題（共5小題，滿分60分）17.已知數(shù)列｛an｝的前n項和是Sn,且an=1.（1）求數(shù)列｛an｝17.已知數(shù)列｛an｝的前n項和是Sn,且an=1.（1）求數(shù)列｛an｝的通項公式;(2)記1anbn=log-,求數(shù)列｛32｝的前n項和Tn.數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.一，、…、“一-，——21^（1）分類討論n=1與n或，從而求得數(shù)列｛an｝是以一為首項，Q為公比的等比數(shù)列,JJ從而解得;前n項和.=n,從而利用裂項化簡【解答】解：（1）當n=1時，S1+^a1=1,-2斛得，a1=--；J、“、…「11當n或時，由Sn+.an=1,Sn-1+工an-1=1,兩式作差得:-1,）,從而求一2一1故數(shù)列｛an｝是以片■為首項，W為公比的等比數(shù)列,其通項公式為a其通項公式為an=升3口-1故Tn=r,1[(1—-)一)+??+n-11+n)])+■工(J-工(J-義

2v2l+n12哄42（什1）〔門+2）18.一個盒子中裝有大量形狀大小一樣但重量不盡相同的小球，從中隨機抽取50個作為樣本，稱出它們的重量（單位：克），重量分組區(qū)間為[5,15],（15,25],（25,35],（35,45],由此得到樣本的重量頻率分布直方圖（如圖），（1）求a的值，并根據(jù)樣本數(shù)據(jù)，試估計盒子中小球重量的眾數(shù)與平均值；（2）從盒子中隨機抽取3個小球，其中重量在[5,15]內(nèi)的小球個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.（以直方圖中的頻率作為概率）【考點】離散型隨機變量及其分布列；離散型隨機變量的期望與方差.【分析】（1）求解得a=0.03,由最高矩形中點的橫坐標為20,可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20根據(jù)平均數(shù)值公式求解即可.根據(jù)二項分布求解P(X=0),P(X=1),根據(jù)二項分布求解P(X=0),P(X=1),P(X=2)=Cj,P(X=3),列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望即可.【解答】解：（1）由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）列出分布列，求解數(shù)學(xué)期望即可.【解答】解：（1）由題意得，（0.02+0.032+a+0.018）解得a=0.03;又由最高矩形中點的橫坐標為20,可估計盒子中小球重量的眾數(shù)約為20,而50個樣本小球重量的平均值為：Y=0.2M0+0.32>20+0.3X30+0.18>40=24.6（克）故估計盒子中小球重量的平均值約為24.6克.XI0=1（2）利用樣本估計總體，該盒子中小球的重量在[5,15]內(nèi)的0.2；則X?B（3,家X=0,1,2,3；P(X=1)P(X=2)P(X=0)3='：ia3X(圖)2??--￥P(X=1)P(X=2)P(X=0)3='：ia3X(圖)2??--￥"125;='：3X(同)12P(X=3)=C")X的分布列為：3=1P(X=3)=C")X的分布列為：3=1=7L25XP即E(X)016448125125=0昌+1*里+八12=0":「<2121253112519.在直三棱錐ABC-AlBlCl中，AAi=AB=AC=2,E,F分別是CCl,BC的中點，AE，AiBi,D為棱A1B1上的點.(1)證明：DFXAE；(2)是否存在一點D,使得平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為曲士？若存在，說明點14D的位置，若不存在，說明理由.D的位置，若不存在，說明理由.【考點】二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系.【分析】(1)建立空間坐標系，求出直線對應(yīng)的向量，利用向量法進行證明垂直問題(2)求出平面的法向量，利用向量法建立方程關(guān)系進行求解判斷即可.【解答】解：(1)證明：.AEXA1B1,A1B1//AB,???AEXAB,又?AA1，AB,AA1HAE=A.-.AB±±面A1ACC1.又「AC?面A1ACC1,1?ABXAC,以A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則有A(0,0,0),E(0,2,1),F(1,1,0),A1(0,0,2),B1(2,0,2),…設(shè)D(x,y,z),7C^=圾B且入C[0,1],即(x,y,z-2)=入(2,0,0),則D(2%0,_2),則而=(1-2A1,-2),AE=(0,2,1),S??AE=2-2=0,所以DFXAE;…(2)存在一點D且D為A1B1的中點，使平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為唔…理由如下：由題可知面ABC的法向量彌=(0,0,1)_,T?fn-FE-0設(shè)面DEF的法向重為口=(x,y,z),則《一_,,

f-工則，i（1-2F2工二C令x=3,貝Uy=1+2入z=2（1—X）,貝（］三=（3,1+2入2（1-入））???平面DEF與平面ABC夾角的余弦值為岑1412（1-九）|_./14人12（1-九）|_./14人產(chǎn)+4（1-入）2-可解得狂■^或狂一（舍），所以當D為ABA1B1中點時滿足要求.2&20.已知橢圓22C1:20.已知橢圓22C1:二1（a>b>。）和橢圓整b2=1的離心率相同,且點（k/2,1）在橢圓C1上.（1）求橢圓5的方程；（2）設(shè)P為橢圓C2上一動點，過點P作直線交橢圓C1于A、C兩點，且P恰為弦AC的中點.試判斷4AOC的面積是否為定值？若是，求出此定值；若不是，說明理由.【考點】橢圓的簡單性質(zhì).【分析】（1）運用橢圓的離心率公式和點滿足橢圓方程，解方程可得a,b,進而得到橢圓方程；（2）討論直線的斜率是否存在，設(shè)出直線方程，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，以及點到直線的距離公式，由三角形的面積公式，化簡整理，即可得到所求定值.【解答】解：（1）由題意可得，號+^=1且:』a2-b2=c2,即a2=4,b2=2,22橢圓C1的方程為力一+?=1；（2）當直線AC的斜率不存在時，必有P（V2,0）,此時|AC|=2，SAAOC='/2；當直線AC的斜率存在時，設(shè)其斜率為k、點P(X0,y0),則AC:y-yo=k(x-xo),與橢圓Ci聯(lián)立，得(1+2k2)x2+4k(yo-kxo)x+2(yo-kxo)2-4=0,X斗K設(shè)A(xi,yi),C(x2,y2),則x0=_J__22工+2k2即xo=-2kyo,又xo2+2y02=2,yo2工+2k2Saaoc=;-?(y0-kz0)2-4(H2k2)[2(ya-ky0)2-2l+2kJ|y0-日|也(1+23)一仇一kK爐21+21(1+2k2)Iy0|m(1+2小)一(1十2〃)l+2k^=x/2|y0|?Vl+21c￡W2.綜上，無論P怎樣變化，AAOC的面積為常數(shù)點.21.已知函數(shù)f(x)二一一..(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和最大值；(2)若兩不等正數(shù)m,n滿足mn=nm,函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),求證：f’(吟)<0.【考點】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值.【分析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最大值；_..,,.__一Lnmln(2e-m)(2)先求出f(m)=f(n),只要證n>2e-m即可，問題轉(zhuǎn)化為即只要證-<,mie-id構(gòu)造函數(shù)g(x)=(2e-x)Inx-xln(2e-x),根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可.1-Inn【解答】解：(1)易知f'(x)=2，當0〈xve,f'(x)>0,；當x>e,f'(x)<0；x故函數(shù)f(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，?一，一?1f(x)的取大值為f(e)晨.…(2)不妨設(shè)0vmvn,mn=nm,?.有nlnm=mlnn,目n11I'll」ri1-|r/、C/\即=,即f(m)=f(n).inn

由（1）知函數(shù)f（x）在（0,e）上單調(diào)遞增，在（e,+00）上單調(diào)遞減,所以要證f'（幽1）<0,只要證史也〉e,即只要證m+n>2e.…22.0vmvn,則易知Ivmvevn...只要證n>2e-m.1<m<e,2e-m>e,又n>e,f(x)在(e,+8)上單調(diào)遞減，「?只要證f(n)vf(2e-m),又f(m)=f(n),???只要證f(m)vf(2e-m)即可.即只要證v,rn2e-m只要證(2e-m)Inmvmln(2e-m),只要證(2e-m)Inm-mln(2e-m)<0,令g(x)=(2e—x)Inx-xln(2e—x),(1vxve),即只要證當1<*<3時9(x)V0恒成立即可.2e一宣k2e—wy又g'(x)=-lnx+—In(2e—x)+r=+rInx(2e—x),1<x<e,>2,又x(2e—x)vx%—xXZe-k1<x<e,>2,又x(2e—x)v=e2,1?lnx(2e-x)v2,g'(x)>0,g(x)在(1,e)上單調(diào)遞增,1.g(x)<g(e)=0,，有g(shù)(x)<0恒成立，此題得證.…［選彳4-1:幾何證明選講］22.已知PQ與圓O相切于點A,直線PBC交圓于B、C兩點，D是圓上一點，且AB//DC,DC的延長線交PQ于點Q.（1）求證：AC2=CQ?AB；（2）若AQ=2AP,AB=V2,BP=2,求QD.口5口5【考點】與圓有關(guān)的比例線段.【分析】（1）證明^