《自動控制原理》課件 5 頻率法

第五章頻率響應(yīng)法

5.1頻率特性

5.2典型環(huán)節(jié)的頻率特性

5.3控制系統(tǒng)的頻率特性

5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)

5.5穩(wěn)定裕量

5.6閉環(huán)頻率特性

5.7

頻率特性分析第五章頻率響應(yīng)法第五章頻率響應(yīng)法1頻率法的思路是：建立頻率特性→作為一種數(shù)模→相應(yīng)的系統(tǒng)分析方法→頻率指標(biāo)→利用與時(shí)域指標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系→轉(zhuǎn)換成時(shí)域指標(biāo)2頻率法的特點(diǎn)：(1)應(yīng)用奈氏穩(wěn)定判據(jù)，根據(jù)系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性研究閉環(huán)穩(wěn)定性，而不必解特征方程的根；(2)系統(tǒng)的頻率特性可用實(shí)驗(yàn)方法測出；(3)用頻率法設(shè)計(jì)系統(tǒng)，可使噪聲忽略或到達(dá)規(guī)定的程度；(4)頻率法可用某些非線性系統(tǒng)。5-1頻率特性

例：RC線性電路，當(dāng)輸入為正弦電壓r(t)=Asint時(shí)，c(t)的穩(wěn)態(tài)輸出為多少？

5.1.1頻率特性的根本概念解：RC電路的微分方程為

式中，T=RC。網(wǎng)絡(luò)的傳函為：RC

r(t)c(t)1頻率特性：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下穩(wěn)態(tài)輸出與輸入復(fù)數(shù)符號之比對頻率的關(guān)系特性用G(j)表示。物理意義：反映了系統(tǒng)對正弦信號的三大傳遞能力同頻，變幅，相移。2幅頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入振幅之比，用A()表示。

A()=G(j)3相頻特性：穩(wěn)態(tài)輸出與輸入相位差，用()表示。()=G(j)4實(shí)頻特性：G(j)

的實(shí)部，用Re()表示。

5虛頻特性：G(j)的虛部，用Im

()表示。5.1.2定義

特點(diǎn)是：把頻率看成參變量，當(dāng)從0時(shí)，將幅頻特性和相頻特性表示在同一個(gè)復(fù)數(shù)平面上。前面討論的RC電路的極坐標(biāo)圖。5.1.3幾何表示1.極坐標(biāo)圖〔幅相頻率特性曲線〕=1

=

=0ImRe02.伯德圖〔對數(shù)頻率特性曲線〕包括對數(shù)幅頻特性曲線和對數(shù)相頻特性曲線。橫坐標(biāo)表示頻率，按對數(shù)分度，單位是rad/s。G(j)10

lg

20.30130.47740.60250.69960.77870.84580.90390.954101橫軸按頻率的對數(shù)lg標(biāo)尺刻度，但標(biāo)出的是頻率本身的數(shù)值。因此，橫軸的刻度是不均勻的。橫軸壓縮了高頻段，擴(kuò)展了低頻段。在軸上，對應(yīng)于頻率每一倍變化，稱為一倍頻程，例如從1到2，2到4，3到6，10到20等的范圍都是一倍頻程；=1=1023456789每變化十倍，稱為十倍頻程〔dec)，例如從1到10，2到20，10到100等的范圍都是十倍頻程；所有的十倍頻程在軸上對應(yīng)的長度都相等。203040

對數(shù)幅頻特性曲線的縱坐標(biāo)表示對數(shù)幅頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是dB(分貝)。L()=20lgA()

相頻曲線的縱坐標(biāo)表示相頻特性的函數(shù)值，均勻分度，單位是度。()=∠G(j)

L()/dB()/(°)90°90°2020(rad/s)(rad/s)

123456102030100

123456102030100以下圖是RC網(wǎng)絡(luò)G(j)=1/(1+j)，T=0.5時(shí)對應(yīng)的伯德圖。L()/dB0202-20dB/dec-90°()/(°)0°-90°()/(°)0°5-2典型環(huán)節(jié)的頻率特性1.比例環(huán)節(jié)其傳遞函數(shù)為G(s)=K頻率特性為G(j)=K〔1〕極坐標(biāo)圖A()=K()=0〔2〕伯德圖L()=20lgK()=0ImRe0K20lgKL()/dB020()=

0〔2〕伯德圖

L()=20lgA()=20lg()=90ImRe0=0=〔1〕極坐標(biāo)圖

()=

9090°()/(°)0°20dB/decL()/dB0201102積分環(huán)節(jié)頻率特性3微分環(huán)節(jié)頻率特性G(j)=j〔1〕極坐標(biāo)圖A()=()=90〔2〕伯德圖

L()=20lgA()=20lg()=90

由于微分環(huán)節(jié)與積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，L()和

()

僅相差一個(gè)符號。因此，伯德圖是對稱于軸的。ImRe0=0=90°()/(°)0°L()/dB02010120dB/dec4慣性環(huán)節(jié)頻率特性為

〔1〕極坐標(biāo)圖實(shí)部與虛部表達(dá)式為：其模角表達(dá)式為：ImRe0

=

=01〔2〕伯德圖對數(shù)幅頻特性

因此，慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性曲線可用兩條直線近似表示，這兩條直線稱為漸近線。兩條直線交于T=1或

=1/T。頻率1/T稱為慣性環(huán)節(jié)的交接頻率或轉(zhuǎn)折頻率。1/TL()〔1〕當(dāng)

1/T時(shí)，L()

20lg1=020dB/dec〔2〕當(dāng)

1/T時(shí)，L()

20lgT用漸近線近似表示L()，必然存在誤差ΔL()ΔL()可按以下公式計(jì)算：ΔL()=L()La()式中，L()表示準(zhǔn)確值，La()表示近似值，有如圖可見，交接頻率的地方誤差最大，約3dB。0.1/T1/T2/T4/T8/T10/T0dB1dB2dB3dB4dB相頻特性為：()=arctanT

T=0()=0°T=0.3()=16.7°T=0.8()=38.7°

L()/dB0201/T20dB/dec90()/(°)0T=1()=45°T

()=90°5一階微分環(huán)節(jié)頻率特性G(j)=1+jT〔1〕極坐標(biāo)圖〔2)伯德圖幅頻特性相頻特性為

()=arctanT

幅頻特性為相頻特性()=arctanT

ImRe0=0=90°()/(°)0°L()/dB0201/T20dB/dec(1)極坐標(biāo)圖幅頻特性為相頻特性為

根據(jù)零-極點(diǎn)分布圖——繪制極坐標(biāo)圖

6振蕩環(huán)節(jié)頻率特性為1

A

BPj2

G(j0)=10G(jn)=1/290G(j)=0180

00ReIm1=0值小值大n可以看出：1〕>0.707，沒有峰值，A()單調(diào)衰減；2〕=0.707，Mr=1，r=0，這正是幅頻特性曲線的初始點(diǎn)；3〕<0.707，Mr>1，r>0，幅頻A()出現(xiàn)峰值。而且越小，峰值Mr及諧振頻率r越高；由圖可見，幅頻特性的最大值隨減小而增大其值可能大于1?？梢郧蟮迷谙到y(tǒng)參數(shù)所對應(yīng)的條件下，在某一頻率=r〔諧振頻率〕處振蕩環(huán)節(jié)會產(chǎn)生諧振峰值Mr。在產(chǎn)生諧振峰值處，必有根據(jù)上式可以作出兩條漸近線。當(dāng)

<<n時(shí)，L()0；當(dāng)>>n時(shí)，L()20lg2

/n2

=40lg

/n。4〕=0，峰值Mr趨于無窮，諧振頻率r趨于n。這說明外加正弦信號的頻率和自然振蕩頻率相同，引起環(huán)節(jié)的共振。環(huán)節(jié)處于臨界穩(wěn)定的狀態(tài)。峰值過高，意味著動態(tài)響應(yīng)的超調(diào)大，過程不平穩(wěn)。對振蕩環(huán)節(jié)或二階系統(tǒng)來說，相當(dāng)于阻尼比小，這和時(shí)域分析法一章所得結(jié)論是一致的。〔2〕伯德圖幅頻特性L()誤差計(jì)算公式是：

n

40dB/dec這是一條斜率為40dB/dec直線，和零分貝線交于

=n的地方。故振蕩環(huán)節(jié)的交接頻率為n。以下圖為L(,)的曲線0.1

0.20.41246810/n201612840-4-8=0.05=10.10.20.30.40.50.60.8相頻特性

=0(0)=0

=n(n)=90

()=180

由于系統(tǒng)阻尼比取值不同，(

)在

=n鄰域的角度變化率也不同，阻尼比越小，變化率越大。ImRe0=01=

7二階微分環(huán)節(jié)其頻率為特性

由于二階微分環(huán)節(jié)與振蕩環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)互為倒數(shù)，因此，其伯德圖可以參照振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖翻轉(zhuǎn)畫出。極坐標(biāo)圖為：由于(

)隨頻率的增長而線性滯后，將嚴(yán)重影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性ImRe0大()/(°)0°L()/dB0小=0

8延遲環(huán)節(jié)其頻率特性為：G(j)=ejT

幅值為：A()=ejT=1

相角為：()=

(rad)=57.3()由于幅值總是1，相角隨頻率而變化，其極坐標(biāo)圖為一單位圓。5.3控制系統(tǒng)的頻率特性

5.3.1開環(huán)極坐標(biāo)圖

1.用幅頻特性和相頻特性計(jì)算做圖設(shè)開環(huán)頻率特性為：式中

分別計(jì)算出各環(huán)節(jié)的幅值和相角后，按上式便可計(jì)算出開環(huán)幅值和相角，從而就可繪制出開環(huán)極坐標(biāo)圖。解:RC超前網(wǎng)絡(luò)的傳函為()=90

arctanT例5-1如下圖RC超前網(wǎng)絡(luò),要求繪制它的幅相曲線。式中T=RC。其頻率特性為RC

r(t)c(t)5.0

0.98211.32.0

0.895301.0

0.70745幅相曲線如圖ImRe0T=125

T=

T=01TA()()(°)0

0900.1

0.099584.30.3

0.28873.3∞

102.按實(shí)頻特性和虛頻特性計(jì)算作圖把開環(huán)頻率特性按實(shí)部和虛局部開，然后再用一系列值代入，計(jì)算相應(yīng)的實(shí)頻和虛頻值,繪制出開環(huán)幅相曲線。3.由極點(diǎn)—零點(diǎn)分布圖繪制由開環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)形式先標(biāo)出每一零點(diǎn)和極點(diǎn)，當(dāng)s=j時(shí)，可作出相應(yīng)零點(diǎn)或極點(diǎn)對應(yīng)的矢量(頻率特性)，根據(jù)所對應(yīng)的值，計(jì)算出有關(guān)矢量的長度和角度，就能求得頻率特性。例5-2由極點(diǎn)—零點(diǎn)分布圖求例1中的頻率特性解：G(j0)=090G(j1/T)=0.70745G(j2/T)=0.89530G(j5/T)=0.98211.3

G(j)=100

j-1/Tj+1/TImRe0=1/T2/T5/T

=4.開環(huán)極坐標(biāo)圖的近似繪制(1)根據(jù)開環(huán)零-極點(diǎn)圖確定起點(diǎn)(=0)：精確求出A(0)，(0)；(2)確定終點(diǎn)(=)：求出A()，()；(3)確定曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：G(j)=Re()+jIm()與實(shí)軸的交點(diǎn)：令I(lǐng)m()=0求出x

代入Re(x)(4)由起點(diǎn)出發(fā)，繪制曲線的大致形狀。試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

例5-3系統(tǒng)開環(huán)傳函為〔1〕Gk(j0)=k0〔2〕Gk(j)=0180〔3〕當(dāng)增加時(shí)，()是單調(diào)減的，從0變化到180。0j-1/T1-1/T2ImRe0=0幅相曲線大致形狀如圖:例5-4系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。解：系統(tǒng)開環(huán)頻率特性

〔1〕Gk(j0)=90〔2〕Gk(j)=0180〔3〕與實(shí)軸的交點(diǎn):0j-1j+1當(dāng)

=0時(shí)，實(shí)部函數(shù)有漸近線為－1，可以先作出漸近線。通過分析實(shí)部和虛部函數(shù)，可知與坐標(biāo)軸無交點(diǎn)。開環(huán)概略極坐標(biāo)圖如下所示：ImRe0=0→－1例5-5系統(tǒng)開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的開環(huán)幅相曲線。解：根據(jù)零-極點(diǎn)分布圖0j-1-2-0.51〕Gk(j0)=1802〕Gk(j)=02703〕與實(shí)軸的交點(diǎn)：令I(lǐng)m()=0x=0.707Re(x)=2.67kImRe0=0→－2.67k開環(huán)概略極坐標(biāo)圖如下所示：開環(huán)伯德圖

開環(huán)對數(shù)幅頻特性和開環(huán)對數(shù)相頻特性分別為說明：

Lk()和k()分別都是各典型環(huán)節(jié)的疊加。例5-6一單位反響系統(tǒng)，其開環(huán)傳函為要求繪制伯德圖。解：開環(huán)傳遞函數(shù)由以下三個(gè)典型環(huán)節(jié)組成：①比例環(huán)節(jié)10,②積分環(huán)節(jié)1/s,③慣性環(huán)節(jié)1/(0.2s+1)。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec分析開環(huán)對數(shù)幅頻曲線，有以下特點(diǎn)：〔1〕最左端直線的斜率為20dB/dec，這一斜率完全由G(s)的積分環(huán)節(jié)數(shù)決定；〔2〕=1時(shí)，曲線的分貝值等于20lgk；〔3〕在慣性環(huán)節(jié)交接頻率5(rad/s)處，斜率從20dB/dec變?yōu)?0dB/dec。L()/dB020120dB/dec105①②③40dB/dec20dB/dec一般的近似對數(shù)幅頻曲線特點(diǎn)：(1)最左端直線的斜率為20

dB/dec，是積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)；(2)在

=1時(shí)，最左端直線或其延長線的分貝值等于20lgk(3)在交接頻率處，曲線的斜率發(fā)生改變，改變多少取決于典型環(huán)節(jié)種類。例如，在慣性環(huán)節(jié)后，斜率減少20dB/dec；而在振蕩環(huán)節(jié)后，斜率減少40

dB/dec。繪制近似對數(shù)幅頻曲線的步驟：①在半對數(shù)坐標(biāo)上標(biāo)出所有的轉(zhuǎn)折頻率；②確定低頻段的斜率和位置；③由低頻段開始向高頻段延伸，每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折頻率，曲線的斜率發(fā)生相應(yīng)的變化。

對數(shù)相頻特性作圖時(shí)，首先確定低頻段的相位角，其次確定高頻段的相位角，再在中間選出一些插值點(diǎn)，計(jì)算出相應(yīng)的相位角，將上述特征點(diǎn)連線即得到對數(shù)相頻特性的草圖。k()=090arctan(0.2)-90()/(°)0-180k(0)=90

k()=180k(1)=101.3k(5)=135k(10)=153.4

1510例5-7繪制單位反響系統(tǒng)的開環(huán)傳函為試?yán)L制系統(tǒng)的對數(shù)幅頻曲線。解：將傳函化簡成標(biāo)準(zhǔn)形式L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec110220-40dB/dec定義:開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)全部位于s左半平面的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，否那么稱為非最小相位系統(tǒng)。例5-8兩個(gè)控制系統(tǒng)的開環(huán)傳函分別為：試?yán)L制兩系統(tǒng)的開環(huán)伯德圖。解：由定義知G1(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)，G2(s)對應(yīng)的系統(tǒng)為非最小相位系統(tǒng)，頻率特性分別為：5.3.3最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng)0j1j+10.5j+0.5j

01j0.5j+0.51其對應(yīng)的零—極點(diǎn)分布圖如下:1()=arctanarctan22()=arctanarctan2L()/dB1-20dB/dec0.5L()/dB1-20dB/dec0.5-90()/(°)0-180-90()/(°)0結(jié)論：①在具有相同的開環(huán)幅頻特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角變化范圍最小;②最小相位系統(tǒng)L()曲線變化趨勢與()一致；③最小相位系統(tǒng)L()曲線與()兩者具有一一對應(yīng)關(guān)系，因此在分析時(shí)可只畫出L()。反之，在L()曲線時(shí)，也可以確定出相應(yīng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。④最小相位系統(tǒng)當(dāng)時(shí)，其相角()=90?(nm)n為開環(huán)極點(diǎn)數(shù)，m為開環(huán)零點(diǎn)數(shù)。例5-9某最小相位系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線如圖示，試寫出該系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。L()/dB020-20dB/dec-40dB/dec-20dB/dec1710215

解：低頻段直線斜率是20dB/dec，故系統(tǒng)包含一個(gè)積分環(huán)節(jié)。據(jù)

=1時(shí)，低頻段直線的坐標(biāo)為15

dB，可知比例環(huán)節(jié)的k=5.6。交接頻率為=2和=7，可以寫出系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)：5.4奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)(簡稱奈氏判據(jù))是根據(jù)開環(huán)頻率特性曲線判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的一種準(zhǔn)那么。具有以下特點(diǎn)：(1)應(yīng)用開環(huán)頻率特性曲線就可以判斷閉環(huán)穩(wěn)定性。(2)便于研究系統(tǒng)參數(shù)和結(jié)構(gòu)改變對穩(wěn)定性的影響。(3)很容易研究包含延遲環(huán)節(jié)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。(4)奈氏判據(jù)稍加推廣還可用來分析某些非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。5.4.1輔助函數(shù)F(s)如圖示的控制系統(tǒng)，G(s)和H(s)是兩個(gè)多項(xiàng)式之比G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)開環(huán)傳遞函數(shù)為閉環(huán)傳遞函數(shù)為把閉環(huán)特征多項(xiàng)式和開環(huán)特征多項(xiàng)式之比稱之為輔助函數(shù)，記作F(s)，F(xiàn)(s)仍是復(fù)變量s的函數(shù)。=1+Gk(s)

顯然，輔助函數(shù)和開環(huán)傳函之間只相差1?？紤]到物理系統(tǒng)中，開環(huán)傳函中mn，故F(s)的分子和分母兩個(gè)多項(xiàng)式的最高次冪一樣，均為n，F(xiàn)(s)可改寫為：式中，zi和pi分別為F(s)的零點(diǎn)和極點(diǎn)。F(s)具有如下特征：1〕其零點(diǎn)和極點(diǎn)分別是閉環(huán)和開環(huán)特征根；2〕零點(diǎn)和極點(diǎn)個(gè)數(shù)相同；3〕F(s)和G(s)H(s)只相差常數(shù)1。系統(tǒng)是穩(wěn)定的；假設(shè)特征根在s右半平面，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。假設(shè)這個(gè)根是負(fù)實(shí)根，令s=j，那么D(j)=j+p

控制系統(tǒng)的頻域穩(wěn)定性判據(jù)1.一階系統(tǒng)其特征多項(xiàng)式為

D(s)=s+ps=p如果特征根在s左半平面，0jpj+pp當(dāng)變化時(shí)，j沿虛軸變化，D(j)這個(gè)矢量的端點(diǎn)也沿虛軸變化。當(dāng)=0，=0；當(dāng)，=/2。：0Arg[D(j)]=/2假設(shè)這個(gè)根是正實(shí)根，當(dāng)：0時(shí)，D(j)這個(gè)矢量順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)/2角度，那么Arg[D(j)]=/2結(jié)論：對于一階系統(tǒng)，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么當(dāng)從0時(shí)，D(j)矢量逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)/2角度。2.二階系統(tǒng)其特征多項(xiàng)式為D(s)=(s+p1)(s+p2)如果特征根均為負(fù)實(shí)根，D(j)=(j+p1)(j+p2)=D1(j)D2(j)當(dāng)=0，D(j)=D1(j)+D2(j)=0當(dāng)，D(j)=/2+/2=2/2Arg[D(j)]=Arg[D1(j)]+Arg[D2(j)]=2/2=0，D(j)=0+0=0，D(j)=/2+/2=2/2Arg[D(j)]=2/23.n階系統(tǒng)其特征多項(xiàng)式為D(s)=sn+a1sn1+???+an1s+an如果所有的特征根均在s左半平面，D(j)=(j+p1)(j+p2)???(j+pn)Arg[D(j)]=n/2假設(shè)有一個(gè)根是正實(shí)根，當(dāng)：0時(shí)，D(j)中對應(yīng)這個(gè)根的矢量順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)/2角度，那么如果特征根為一對共軛復(fù)數(shù)根，-p1

-p2

D1(j)0

0j

D2(j)0

Arg[D(j)]=(n1)/2/2n/2結(jié)論：n階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件為，當(dāng)從0時(shí)，特征矢量D(j)的相角變化量為Arg[D(j)]=n/2即特征矢量D(j)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)了n/2角度。否那么，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。5.4.3奈氏判據(jù)-----分兩種情況討論〔1〕0型系統(tǒng)①開環(huán)是穩(wěn)定的系統(tǒng)開環(huán)特征式D(s)的n個(gè)根應(yīng)該在s左半平面Arg[D(j)]=n/2如果閉環(huán)系統(tǒng)也是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)特征式的全部特征根也應(yīng)在s左半平面。Arg[DB(j)]=

n/2因?yàn)檩o助函數(shù)那么Arg[F(j)]=Arg[DB(j)]Arg[D(j)]=n/2n/2=0如果開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的，那么，當(dāng)由0變到時(shí)，假設(shè)矢量F(j)的相角變化量為0，也就是F(j)的軌跡不包圍原點(diǎn)，那么閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式DB(s)的根全部在s左半平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否那么，系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。系統(tǒng)穩(wěn)定問題轉(zhuǎn)化為找出由0時(shí)，矢量F(j)的相角變化量的問題。開環(huán)頻率特性G(j)H(j)的極坐標(biāo)圖是畫在G(j)H(j)平面上的，F(xiàn)(j)平面就是1+G(j)H(j)，兩平面的關(guān)系為平移關(guān)系。包圍F(j)平面的原點(diǎn)等于包圍G(j)H(j)平面的〔1，j0〕點(diǎn)。所以，就可以利用系統(tǒng)的極坐標(biāo)圖來判別閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。GH平面0=0F平面1G(j)H(j)奈氏判據(jù)第一層表達(dá)：如果開環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是，當(dāng)由0變到時(shí)，開環(huán)極坐標(biāo)圖不包圍(1，j0)點(diǎn)。②開環(huán)是不穩(wěn)定系統(tǒng)如果開環(huán)特征式D(s)的n個(gè)根不全在s左半平面，其中有p個(gè)根在s右半平面，有Arg[D(j)]=(np)/2+p(/2)=n/2p如果閉環(huán)特征式DB(s)的n個(gè)根中有z個(gè)根在右半平面，那么Arg[DB(j)]=(nz)/2+z(/2)=n/2zArg[F(j)]=Arg[DB(j)]Arg[D(j)]=(pz)=2(pz)/2=2R式中，R為矢量F(j)包圍原點(diǎn)的圈數(shù)，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù);p為開環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù);z為閉環(huán)極點(diǎn)在s右半平面的個(gè)數(shù)。奈氏判據(jù)第二層表達(dá)：如果開環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，開環(huán)極點(diǎn)有p個(gè)根在s右半平面，那么閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：當(dāng)由0變到時(shí)，開環(huán)極坐標(biāo)圖應(yīng)逆時(shí)針包圍(1，j0)點(diǎn)p/2圈。奈氏穩(wěn)定判據(jù)：開環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面的根的個(gè)數(shù)為p，當(dāng)由0變到時(shí)，開環(huán)頻率特性的軌跡在G(j)H(j)平面包圍〔1，j0〕點(diǎn)的圈數(shù)為R，那么閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式在s右半平面的根的個(gè)數(shù)為z，且有z=p2R假設(shè)z=0，說明閉環(huán)特征根均在s左半平面，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的;假設(shè)z0，說明閉環(huán)特征根在s右半平面有z個(gè)根，閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。R是有方向的，逆時(shí)針為﹢，順時(shí)針為﹣例5-10判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性解：由圖知〔1〕p=0且R=0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的〔2〕p=0，R1zp2R20閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定的ReIm0p=0

=0

ReIm01p=0

=0

〔3〕p=0，R0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的ReIm01

=0

p=0試用奈氏判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：p=1頻率特性例5-11一單位反響系統(tǒng)，其開環(huán)傳函當(dāng)

=0，Gk(j0)=k180

當(dāng)

，Gk(j)=090

ReIm0

=0kz=p2R=0∴閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的當(dāng)k>1，R=0，z=p2R

=1閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的ReIm0

=0k1當(dāng)k<1時(shí)，R=1/2相應(yīng)地，在G(j)H(j)平面上開環(huán)極坐標(biāo)圖在=0時(shí)，小半圓通過G(j)H(j)映射到G(j)H(j)平面上是一個(gè)半徑為無窮大，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)v?90°的大圓弧。如此處理之后，就可以根據(jù)奈氏判據(jù)來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性了。0+〔2〕開環(huán)有積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)由于開環(huán)極點(diǎn)因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，開環(huán)系統(tǒng)臨界穩(wěn)定。在這種情況下，不能直接應(yīng)用奈氏判據(jù)。j0

如果要應(yīng)用奈氏判據(jù)，可把零根視為穩(wěn)定根。因此，在數(shù)學(xué)上作如下處理：在平面上的s=0鄰域作一半徑無窮小的半圓，繞過原點(diǎn)。如果開環(huán)傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)，且假定個(gè)數(shù)為N，那么繪制開環(huán)幅相曲線后，應(yīng)從w=0+對應(yīng)的點(diǎn)開始，補(bǔ)做一個(gè)半徑為無窮，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)N*90°的大圓弧增補(bǔ)線，作為奈氏曲線的一局部，然后再判斷用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：〔1〕從開環(huán)傳遞函數(shù)，知p=0〔2〕作開環(huán)極坐標(biāo)圖起點(diǎn)：Gk(j0)=90終點(diǎn)：Gk(j)=0270與坐標(biāo)軸交點(diǎn)：例5-12系統(tǒng)的開環(huán)傳函為令虛部=0，得，系統(tǒng)的開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖示：ImRe0=0增補(bǔ)線R=1z=p2R=2∴閉環(huán)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。1所作的增補(bǔ)線如虛線所示。當(dāng)例5-13系統(tǒng)的開環(huán)傳函為起點(diǎn)：Gk(j0)=270

終點(diǎn)：Gk(j)=090

與坐標(biāo)軸交點(diǎn)：x=101/2

Re(x)=0.1k

開環(huán)極坐標(biāo)圖如圖0j-101用奈氏判據(jù)判斷穩(wěn)定性。解：〔1〕從開環(huán)傳遞函數(shù)知p=1〔2〕作開環(huán)極坐標(biāo)圖ImRe0=0增補(bǔ)線10.1k(3)穩(wěn)定性判別:因?yàn)槭?型系統(tǒng)，需作增補(bǔ)線如圖當(dāng)0.1k<

1，R=1/2，z=p2R

=0閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。ReIm01(+)()5.4.4伯德圖上的穩(wěn)定性判據(jù)

由圖可知，幅相曲線不包圍(1，j0)點(diǎn)。此結(jié)果也可以根據(jù)增加時(shí)幅相曲線自下向上(幅角減小)和自上向下(幅角增加)穿越實(shí)軸區(qū)間(，1)的次數(shù)決定。

R=N

N

自實(shí)軸區(qū)間〔，1〕開始向下的穿越稱為半次正穿越，自實(shí)軸區(qū)間〔，1〕開始向上的穿越為半次負(fù)穿越。-180()/(°)0L()/dB()(+)對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)：一個(gè)反響控制系統(tǒng)，其閉環(huán)特征方程正實(shí)部根個(gè)數(shù)Z，可以根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)s右半平面極點(diǎn)數(shù)P和開環(huán)對數(shù)幅頻特性為正值的所有頻率范圍內(nèi)，對數(shù)相頻特性曲線與1802k線的正負(fù)穿越次數(shù)之差R=NN確定Z=P2RZ為零，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定；否那么，不穩(wěn)定。例5-14一反響控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：由開環(huán)傳遞函數(shù)知P=0，作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線

180()/(°)0L()/dB1/T40dB/dec60dB/dec270輔助線顯見N

=0，N

=1R=N

N

=

1Z=P

2R=2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。G(s)H(s)有兩個(gè)積分環(huán)節(jié)

=2，故補(bǔ)畫了0到180的輔助線。例5-15一反響控制系統(tǒng)其開環(huán)傳遞函數(shù)用對數(shù)穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。解：①由開環(huán)傳遞函數(shù)知P=1。②作系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)頻率特性曲線。()=90+arctanT2(180arctanT1)

〔T1>T2〕當(dāng)()=180時(shí)，g

=(1/T1T2)1/2，A(g)=kT2③穩(wěn)定性判別。G(s)H(s)有一個(gè)積分環(huán)節(jié)

=1，故補(bǔ)畫了180到270的輔助線。L()/dB1/T140dB/dec

180()/(°)02701/T220dB/dec20dB/dec90gc(ⅰ)當(dāng)g<c時(shí)，即A(g)>1，N

=1，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=0故系統(tǒng)穩(wěn)定。(ⅱ)當(dāng)g>c時(shí)，即A(g)<1，N

=0，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=2故系統(tǒng)不穩(wěn)定。根據(jù)奈氏判據(jù)，系統(tǒng)開環(huán)幅相曲線臨界點(diǎn)附近的形狀，對閉環(huán)穩(wěn)定性影響很大。兩個(gè)表征系統(tǒng)穩(wěn)定程度的指標(biāo)：相角裕度和幅值裕度h。ReIm0-1ReIm0-15.5穩(wěn)定裕度

〔1〕幅值裕度h：令相角為180時(shí)對應(yīng)的頻率為g〔相角穿越頻率〕，頻率為g時(shí)對應(yīng)的幅值A(chǔ)(g)的倒數(shù)，定義為幅值裕度h，即或20lgh=20lgA(g)〔2〕相角裕度：令幅頻特性過零分貝時(shí)的頻率為c〔幅值穿越頻率〕，那么定義相角裕度為=180+(c)ReIm0-1A(g)h具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)增益增大到原來的h倍時(shí)，那么系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定了。具有如下含義：如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)的開環(huán)相頻特性變化角度時(shí)，那么系統(tǒng)就處于臨界穩(wěn)定了。c

180()/(°)0L()/dBcgh(dB)例5-16單位負(fù)反響的最小相位系統(tǒng)，其開環(huán)對數(shù)幅頻特性如圖示，試求開環(huán)傳遞函數(shù)；計(jì)算系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度。解：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為c=3.16L()/dB140dB/dec1020dB/dec60dB/dec3.16()=arctan

180

2arctan0.1=180+(c)=arctan3.162arctan0.316=37.4當(dāng)(g)=180時(shí)，求得g=8.94k=c=3.16因?yàn)?/p>

>0，所以閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。對于最小相位系統(tǒng)，相角裕度大于零，幅值裕度大于1，那么系統(tǒng)穩(wěn)定在使用時(shí)，相角裕度是成對來使用的，由于最小相位系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性變化趨勢一致，一般可以只分析相頻特性5.6閉環(huán)頻率特性一.開環(huán)和閉環(huán)頻率特性的關(guān)系對于單位反響控制系統(tǒng)，閉環(huán)頻率特性與開環(huán)頻率特性的關(guān)系為AGk(j)P01br0.707M0M0Mm〔1〕零頻幅值特性M0：=0時(shí)的閉環(huán)幅頻特性值?！?〕系統(tǒng)帶寬b：閉環(huán)幅頻特性值減小到0.707M0時(shí)的頻率，稱為帶寬頻率，用b表示。頻率范圍0b稱為系統(tǒng)帶寬?！?〕諧振頻率r：出現(xiàn)諧振峰值時(shí)的頻率?！?〕諧振峰值Mr：幅頻特性極大值與零頻幅值之比Mr=Mm/M0。二.閉環(huán)頻率特性5.7頻率特性分析5.7.1用開環(huán)頻率特性分析系統(tǒng)的性能1.系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和開環(huán)頻率特性的關(guān)系系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中的積分環(huán)節(jié)的數(shù)目〔系統(tǒng)類型〕確定了開環(huán)對數(shù)幅頻特性低頻漸近線的斜率，而低頻漸近線的高度，那么決定于開環(huán)系數(shù)的大小。所以，穩(wěn)態(tài)誤差由開環(huán)對數(shù)幅頻特性的低頻漸近線確定。v=０v=1v=220dB/dec40dB/dec系統(tǒng)的暫態(tài)性能和開環(huán)頻率特性的關(guān)系

1)

二階系統(tǒng)典型二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖示開環(huán)傳遞函數(shù)為①

與Mp%之間的關(guān)系由A(c)=1，計(jì)算開環(huán)截止頻率c有G(s)R(s)C(s)﹣+那么相角裕度為=180+(c)=18090arctan(c/2n)在時(shí)域分析中，知由圖明顯看出，越大，Mp%越??；越小，Mp%越大。為使二階系統(tǒng)不致于振蕩太厲害以及調(diào)節(jié)時(shí)間太長，一般希望307000.20.40.60.81.0()706050403020100Mp%

100806040200

Mp

②、c與