笛卡爾與解析幾何的創(chuàng)立

PAGEPAGE14課程論文課程：數(shù)學簡史題目：笛卡爾與解析幾何的創(chuàng)立學院：教育技術學院學院：教育技術學學生姓名：侯元軍學號：201076000208笛卡爾與解析幾何的創(chuàng)立（201076000208侯元軍10級教育技術學（1）班）【摘要】17世紀數(shù)學的最大成就是創(chuàng)立了解析幾何和微積分學,為變量數(shù)學即近代數(shù)學大廈的形成和發(fā)展提供了堅實基礎。哲學家兼數(shù)學家笛卡爾是解析幾何學的主要創(chuàng)立者之一。本文通過簡要論述和概括解析幾何之父——笛卡爾的生平、笛卡爾解析幾何思想的成因以及解析幾何的建立及其影響，以此來呈現(xiàn)偉大的數(shù)學家笛卡爾的光輝人生和解析幾何的創(chuàng)立的背景及意義?！娟P鍵字】笛卡爾解析幾何變量數(shù)學代數(shù)幾何十六世紀以后，由于生產(chǎn)和科學技術的發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體試驗著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先歐式幾何的那套方法顯然已經(jīng)不適應了，這就導致了解析幾何的出現(xiàn)。一、認識解析幾何之父（一）生平簡介笛卡爾是法國偉大的數(shù)學家、哲學家和物理學家。1596年5月31日他出生在法國都蘭的貴族家庭，自幼喪母，體弱多病，8歲入拉弗來什公學讀書。教師考慮到他的特殊情況，允許他每天早上晚起多睡。但笛卡爾利用這段時間進行晨讀，并養(yǎng)成善于思考的習慣。傳說笛卡爾是躺在床上觀察蟲子在天花板上爬行的位置，激發(fā)了靈感，使他產(chǎn)生了坐標的概念。笛卡爾博覽群書，曾自述：“別人學的，我都學了。我并不以此為滿足，那些認為最奇怪，最不尋常的有關各種科學的書，凡是我能搞到的，我都要把它們讀完。”他有好的思考習慣，每當讀書時，總是把書拿來先弄清作者的主要意圖，隨之讀完開頭的部分就細細品味，并力求得出下面的結論。1612年他入普瓦界大學攻讀法學，四年后獲博士學位，后去巴黎當律師。1618年參軍，部隊到荷蘭南部的小城布勒達時，一次巧遇街頭小報上在征解數(shù)學難題，笛卡爾成功的應解，這使他對數(shù)學發(fā)生興趣，并堅定他終身研究數(shù)學的決心。1619年11月部隊到達多瑙河上的一個小鎮(zhèn)時，他不斷思考——怎樣把代數(shù)應用到幾何中去。他曾說：“我想去尋求一種新的，包含兩門學科的好處，而又沒有它們?nèi)秉c的方法?！彼谥铝ρ芯繑?shù)學中一門完全嶄新的領域，這個領域后來被牛頓稱之為解析幾何。1621年他退伍去荷蘭、瑞士、意大利旅行。1625年返回巴黎.1628年定居荷蘭進行研究與寫作，這時他研究哥白尼學說，1634年寫成《論世界》一書。1637年出版了《新光學》、《氣象學》和《幾何學》。1644年笛卡爾出版了《哲學原理》，1646年出版了《論心靈的各種感情》等重要著作。同年冬，笛卡爾應瑞典女王克利斯提娜的邀請移居斯德哥爾摩為女王講授哲學，后因感染肺炎，于1650年2月11日去世，享年54歲。（二）主要貢獻法國數(shù)學家、物理學家、哲學家笛卡爾，生前因懷疑教會信條受到迫害，長年在國外避難。他的著作在他生前或被禁止出版或被燒毀，他死后多年還被列入“禁書目錄”。但在今天，法國首都巴黎安葬民族先賢的圣日耳曼圣心堂中，莊重的大理石墓碑上鐫刻著“笛卡爾，歐洲文藝復興以來，第一個為人類爭取并保證理性權利的人”。笛卡爾的著作，無論是數(shù)學、自然科學，還是哲學，都開創(chuàng)了這些學科的嶄新時代?！稁缀螌W》是他公開發(fā)表的唯一數(shù)學著作，雖則只有117頁，但它標志著代數(shù)與幾何的第一次完美結合，使形形色色的代數(shù)方程表現(xiàn)為不同的幾何圖形，許多相當難解的幾何題轉化為代數(shù)題后能輕而易舉地找到答案.他的主要著作都是在荷蘭完成的，其中1637年出版的《方法論》一書成為哲學經(jīng)典。這本書中的3個著名附錄《幾何》《折光》和《氣象》奠定了笛卡爾在數(shù)學、物理和天文學中的地位。在《幾何》中，笛卡爾分析了幾何學與代數(shù)學的優(yōu)缺點，指出：希臘人的幾何過于抽象，而且過多的依賴于圖形，總是要尋求一些奇妙的想法。代數(shù)卻完全受法則和公式的控制，以致于阻礙了自由的思想和創(chuàng)造。他同時看到了幾何的直觀與推理的優(yōu)勢和代數(shù)機械化運算的力量。于是笛卡兒著手解決這個問題，并由此創(chuàng)立了解析幾何。所以說笛卡爾是解析幾何的創(chuàng)始人。笛卡爾一生作出了多方面的貢獻，他在1634年寫的《宇宙學》，包含當時被教會視為“異端”的觀點：他提出地球自轉和宇宙無限；他提的漩渦說是當時最權威的太陽起源理論；他還提出了光的本性是粒子流的假說，并認為在廣袤無垠的太空中存在著極其精細的以太。他對現(xiàn)代數(shù)學的發(fā)展做出了重要的貢獻，因將幾何坐標體系公式化而被認為是解析幾何之父。他還是西方現(xiàn)代哲學思想的奠基人，是近代唯物論的開拓者提出了“普遍懷疑”的主張。他的哲學思想深深影響了之后的幾代歐洲人，開拓了所謂“歐陸理性主義”哲學。直到二三百年以后，笛卡爾的這些觀點仍具有很高的研究價值。（三）傳奇故事１６４７年深秋的一個夜晚，在巴黎近郊，兩輛馬車疾馳而過。馬車在教堂的門前停下。身佩利劍的士兵押著一個瘦小的老頭兒走進教堂。他就是近代數(shù)學

奠基人、偉大的哲學家和數(shù)學家笛卡爾。由于他在著作中宣傳科學，觸犯了神權

，因而遭到了當時教會的殘酷迫害。

才學里，燭光照射在圣母瑪麗亞的塑像上。塑像前是審判席。被告席上的笛

卡爾開始接受天主教會法庭對他的宣判：“笛卡爾散布異端邪說，違背教規(guī)，褻

瀆上帝。為純潔教義，蕩滌謬誤，本庭宣判笛卡爾所著之書全為禁書，并由本人

當庭焚毀。”笛卡爾想申辯，但士兵立即把他從被告席上拉下來，推到火盆旁，

笛卡爾用顫抖的手拿起一本本凝結了他畢生心血的著作，無可奈何地投入火中。

笛卡爾１５９６年生于法國。８歲入讀一所著名的教會學校。主要課程是神

學和教會的哲學，也學數(shù)學。他勤于思考，學習努力，成績優(yōu)異。２０歲時，他

在普瓦界大學獲法學學位。之后去巴黎當了律師。出于對數(shù)學的興趣，他獨自研

究了兩年數(shù)學。１７世紀初的歐洲處于教會勢力的控制之下。但科學的發(fā)展已經(jīng)

開始顯示出一些和宗教教義離經(jīng)背道的傾向。笛卡爾和其他一些不滿法蘭西政治

狀態(tài)的青年人一起去荷蘭從軍體驗軍旅生活。

說起笛卡爾投身數(shù)學，多少有一些偶然性。有一次部隊開進荷蘭南部的一個

城市，笛卡爾在街上散步，看見用當?shù)氐?/p>

佛來米語書寫的公開征解的幾道數(shù)學

難題。許多人在此招貼前議論紛紛，他旁邊的一位中年人用法語替他翻譯了這幾

道數(shù)學難題的內(nèi)容。第二天，聰明的笛卡爾興沖沖地把解答交給了那位中年人。

中年人看了笛卡爾的解答十分驚訝。巧妙的解題方法，準確無誤的計算，充分顯

露了他的數(shù)學才華。原來這位中年人就是當時有名的數(shù)學家貝克曼教授。笛卡爾

以前讀過他的著作，但是一直沒有機會認識他。從此，笛卡爾就在貝克曼的指導

下開始了對數(shù)學的深入研究。所以有人說，貝克曼“把一個業(yè)已離開科學的心靈

，帶回到正確、完美的成功之路”。１６２１年笛卡爾離開軍營遍游歐洲各國。

１６２５年回到巴黎從事科學工作。為綜合知識、深入研究，１６２８年變賣家

產(chǎn)，定居荷蘭潛心著述達２０年。

幾何學曾在古希臘有過較高的發(fā)展，歐幾里得、阿基米德、阿波羅尼都對圓

錐曲線作過深入研究。但古希臘的幾何學只是一種靜態(tài)的幾何，它既沒有把曲線

看成一種動點的軌跡，更沒有給出它的一般表示方法。文藝復興運動以后，哥白

尼的日心說得到證實，開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運動的三大定律，伽利略又證明了炮彈

等拋物體的彈道是拋物線，這就使幾乎被人們忘記的阿波羅尼曾研究過的圓錐曲

線重新引起人們的重視。人們意思到圓錐曲線不僅僅是依附在圓錐上的靜態(tài)曲線

，而且是與自然界的物體運動有密切聯(lián)系的曲線。要計算行星運行的橢圓軌道，

要求出炮彈飛行所走過的拋物線，單純靠幾何方法已無能為力。古希臘數(shù)學家的

幾何學已不能給出解決這些問題的有效方法。要想反映這類運動的軌跡及其性質

，就必須從觀點到方法都要有一個新的變革，建立一種在運動觀點上的幾何學。

古希臘數(shù)學過于重視幾何學的研究，卻忽視了代數(shù)方法。代數(shù)方法在東方（

中國，印度，阿拉伯）雖有高度發(fā)展，但缺少論證幾何學的研究。后來，東方高

度發(fā)展的代數(shù)傳入歐洲，特別是文藝復興運動歐洲數(shù)學在古希臘幾何學和東方代

數(shù)學的基礎上有了巨大的發(fā)展。

笛卡爾在數(shù)學上的杰出貢獻就在于將代數(shù)和幾何巧妙地聯(lián)系在一起，從而創(chuàng)

造了解析幾何這門數(shù)學學科。

１６１９年在多瑙河的軍營里，笛卡爾用大部分時間思考著他在數(shù)學中的新

想法：能不能用代數(shù)中的計算過程來代替幾何中的證明呢？要這樣做就必須找到

一座能連接（或說融合）幾何與代數(shù)的橋梁－－使幾何圖形數(shù)值化。笛卡爾用兩

條互相垂直且交于原點的數(shù)軸作為基準，將平面上的點的位置確定下來，這就是

后人所說的笛卡爾坐標系。笛卡爾坐標系的建立，為用代數(shù)方法研究幾何架設了

橋梁。它使幾何中的點Ｐ與一個有序實數(shù)偶（x,y)構成了一一對應關系。

坐標系里點的坐標按某種規(guī)則連續(xù)變化，那末，平面上的曲線就可以用方程

來表示。笛卡爾坐標系的建立，把過去并列的兩個數(shù)學研究對象“形”和“數(shù)”

統(tǒng)一起來，把幾何方法和代數(shù)方法統(tǒng)一起來，從而使傳統(tǒng)的數(shù)學有了一個新的突

破。

關于笛卡爾的這一發(fā)現(xiàn)，有些史料曾有這樣一段記述：由于對科學目的和科

學方法的狂熱追求，新幾何的影子不時縈繞腦際。１６１９年１１月１０日這一

天，笛卡爾做了一個觸發(fā)靈感的夢。他夢見一只蒼蠅，飛動時劃出一條美妙的曲

線，然后一個黑點停在有方格的窗紙上，黑點到窗欞的距離確定了它的位置，夢

醒后，笛卡爾異常興奮，理性主義的理性追求竟由此頓悟而生！笛卡爾后來曾說

，他的夢象一把打開寶庫的鑰匙，這把鑰匙就是坐標幾何，由于教會勢力的控制

，笛卡爾的坐標幾何的思想未能及時公諸于世。為避免教會的迫害，１６３７年

，也就是奇妙夢幻的１８年春秋以后，笛卡爾在荷蘭匿名出版了《科學中正確運

用推理和尋求真理的方法論》一書。書中抨擊繁瑣哲學，倡導科學為人類造福，

主張人應該主宰自然。笛卡爾的哲學思想，反映了１７世紀法國資產(chǎn)階級反對封

建主義，發(fā)展生產(chǎn)，發(fā)展科學的歷史要求。對當時的科學發(fā)展有著決定性的影響。

《幾何學》是該書的一篇附錄。在這篇附錄中笛卡爾介紹了他所創(chuàng)立的解析幾何

幾何學。１７世紀以來，數(shù)學的巨大發(fā)展很大程度上歸功于笛卡爾的解析幾何學。

作為附錄的《幾何學》雖是這位偉大哲學家的唯一一篇數(shù)學論文，然而它的歷史

價值卻使笛卡爾的名字千古流芳。

１７６０年２月１１日笛卡爾在斯德哥爾摩病逝。由于教會的阻止，僅有幾個友人為其送葬。其著作在他死后也被教會列為禁書?？墒?，這位對科學作出巨大貢獻的學者卻受到廣大科學家和革命者的敬仰和懷念。法國大革命之后，笛卡爾的骨灰和遺物被送進法國歷史博物館。其墓碑上鐫刻著：

笛卡爾，歐洲文藝復興以來，第一個為爭取和捍衛(wèi)理性權利而奮斗的人。二、笛卡爾的解析幾何思想成因（一）從當時的哲學背景看笛卡爾被廣泛認為是西方近代哲學的奠基人，他第一個創(chuàng)立了一套完整的哲學體系。哲學上，笛卡爾是一個二元論者以及理性主義者。笛卡爾認為，人類應該可以使用數(shù)學的方法――也就是理性――來進行哲學思考。他相信，理性比感官的感受更可靠。（他舉出了一個例子：在我們做夢時，我們以為自己身在一個真實的世界中，然而其實這只是一種幻覺而已，參見莊周夢蝶）。他從邏輯學、幾何學和代數(shù)學中發(fā)現(xiàn)了4條規(guī)則：除了清楚明白的觀念外，絕不接受其他任何東西；必須將每個問題分成若干個簡單的部分來處理；思想必須從簡單到復雜；我們應該時常進行徹底的檢查，確保沒有遺漏任何東西。笛卡爾將這種方法不僅運用在哲學思考上，還運用于幾何學，并創(chuàng)立了解析幾何。這就是他解析幾何思想的成因之一。（二）從當時的數(shù)學背景看當時的數(shù)學狀況。一般的坐標思想在古希臘時代就已經(jīng)產(chǎn)生了，例如古希臘的希帕蘇斯在研究天球時就引進過點的坐標；同樣，還有古希臘時期的阿波羅尼奧斯，他在推導圓錐曲線的過程中也有過點的坐標思想；還有法國的奧雷斯姆，他用“經(jīng)度”和“緯度”兩個坐標來表示平面上的坐標，并且在這里還有函數(shù)表示的思想。當時對曲線的研究非常重視，即有很多的數(shù)學家追求一種用一般的方式處理曲線的問題，笛卡爾認識到了使用數(shù)量方法的重要性，而且認識到了代數(shù)和幾何結合起來考慮問題的關鍵。故而，解析幾何的又一關鍵數(shù)學思想是把曲線和曲面用代數(shù)方程的形式表達出來。當然，笛卡爾之所以能產(chǎn)生這種想法，也是有深刻的背景的。例如在他之前，法國的大數(shù)學家韋達對笛卡爾產(chǎn)生了非常重要的影響。韋達有兩個主要科學工作：一個是將代數(shù)運用到幾何的想法，另一個就是引進了系統(tǒng)的數(shù)學符號體系?？梢哉f韋達是和笛卡爾的解析幾何走的最近的數(shù)學家，但是為什么韋達沒有能夠創(chuàng)立解析幾何呢，就是因為他當時考慮的代數(shù)方程僅限于齊次的情況，而笛卡爾則沒有局限在僅僅只考慮齊次方程的情形。前人的工作為笛卡爾的解析幾何思想提供了重要的源泉，笛卡爾正是在這些人的工作的基礎之上而得到了解析幾何中一些非常重要的成果。這在數(shù)學自身來說，即代數(shù)和幾何相結合的思想，這些都是解析幾何生時的數(shù)學背景。當時的數(shù)學背景或許也是他解析幾何思想的成因之一。（三）從他自身方面看笛卡爾有極富成效的學習方法，這也是他解析幾何思想的成因之一。他有自己獨特的學習方法.他在學習中習慣于弄清作者的意圖,因此,他讀書時常常是只讀開頭的部分,一但弄清作者的意圖后,那些應由作者得出的結論,他總是力求自己得出。他在學習歐幾里得《幾何原本》時,一方面他為書中數(shù)學表示出的簡潔、令人信服的邏輯推理所吸引。另一方面他感到歐幾里得《幾何原本》中的每一個證明總是在追求某種新的、往往是奇巧的想法。通過前輩們關于代數(shù)與幾何關系的討論,笛卡爾發(fā)現(xiàn)了一個數(shù)學金礦—代數(shù)。他認為代數(shù)與其說是一門數(shù)學,不如說是一種推理方法,這種有效的推理方法使思考和運算步驟變得簡單,并且無需費很大的腦力。在一系列的實踐過程中,他看到了數(shù)量方法的必要性,科學的需要和對方法的興趣推動了笛卡爾對解析幾何的研究。三、解析幾何的創(chuàng)立（一）代數(shù)與幾何的關系在數(shù)學發(fā)展史上,代數(shù)與幾何有著同樣深遠的淵源,由于歐氏幾何是建立在嚴謹?shù)倪壿嬐评?公理的體系上的,使幾何看起來比算術、代數(shù)要嚴謹?shù)枚?因此人們把結構嚴密的數(shù)學僅限于幾何學,這種觀點嚴重影響了算術、代數(shù)的發(fā)展,從那時起,就決定了代數(shù)從屬于幾何的地位。甚至到了十六世紀,代數(shù)從屬于幾何的地位也未得到根本改善,那怕是韋達高超的代數(shù)學,也是為幾何服務的。（二）笛卡爾的解析幾何1637年，法國的哲學家和數(shù)學家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。當時的這個“幾何學”實際上指的是數(shù)學，就像我國古代“算術”和“數(shù)學”是一個意思一樣。

笛卡爾的《幾何學》共分三卷，第一卷討論尺規(guī)作圖；第二卷是曲線的性質；第三卷是立體和“超立體”的作圖，但他實際是代數(shù)問題，探討方程的根的性質。后世的數(shù)學家和數(shù)學史學家都把笛卡爾的《幾何學》作為解析幾何的起點。

從笛卡爾的《幾何學》中可以看出，笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學，把算術、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。他設想，把任何數(shù)學問題化為一個代數(shù)問題，在把任何代數(shù)問題歸結到去解一個方程式。

為了實現(xiàn)上述的設想，笛卡爾茨從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對(x,y)的對應關系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質。這就是解析幾何的基本思想。

具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。從這里可以看到，運用坐標法不僅可以把幾何問題通過代數(shù)的方法解決，而且還把變量、函數(shù)以及數(shù)和形等重要概念密切聯(lián)系了起來。笛卡爾的解析幾何，使用的是坐標法.這種方法是在平面上建立點的坐標（x，x），用坐標（x,y）表示點的位置，于是一條曲線就可以用關于變數(shù)x和y的代數(shù)方程來表示.這樣，笛卡爾把一個幾何問題通過坐標歸結為代數(shù)方程式，用代數(shù)方法研究方程的性質，然后再翻譯成幾何語言，得出圖形的幾何性質.笛卡爾用這種方法研究了含有兩個未知數(shù)的二次方程，并得出一般二次方程分別表示橢圓、雙曲線、拋物線等曲線的結論.解析幾何的創(chuàng)立，開始了用代數(shù)方法解決幾何問題的新時代.從古希臘時起，在西方數(shù)學發(fā)展過程中，幾何學似乎一直是至高無上的.一些代數(shù)問題，也都要幾何方法解決.解析幾何的產(chǎn)生，改變了這種傳統(tǒng)，在數(shù)學思想上可以看作是一次飛躍.代數(shù)方程和曲線、曲面聯(lián)系起來。（三）解析幾何的應用解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學概念，特別是將變量引入數(shù)學，使數(shù)學進入了一個新的發(fā)展時期，這就是變量數(shù)學的時期。解析幾何在數(shù)學發(fā)展中起了推動作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價“數(shù)學中的轉折點是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運動進入了數(shù)學；有了變數(shù)，辯證法進入了數(shù)學；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，……”

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何：在平面解析幾何中，除了研究直線的有關直線的性質外，主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關性質。在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關性質外，主要研究柱面、錐面、旋轉曲面、橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應用。比如電影放映機的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個焦點上，影片門在另一個焦點上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠鏡等都是利用拋物線的原理制成的。

總的來說，解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質。

運用坐標法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標系，把已知點的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；然后運用代數(shù)工具對方程進行研究；最后把代數(shù)方程的性質用幾何語言敘述，從而得到原先幾何問題的答案。坐標法的思想促使人們運用各種代數(shù)的方法解決幾何問題。先前被看作幾何學中的難題，一旦運用代數(shù)方法后就變得平淡無奇了。坐標法對近代數(shù)學的機械化證明也提供了有力的工具。（四）解析幾何的作用解析幾何出現(xiàn)以前，代數(shù)已有了相當大的進展，因此解析幾何不是一個巨大的成就，但在方法論上卻是一個了不起的創(chuàng)建。1、笛卡爾希望通過解析幾何引進一個新的方法，他的成就遠遠超過他的希望。在代數(shù)的幫助下，不但能迅速地證明關于曲線的某些事實，而且這個探索問題的方式，幾乎成為自動的了。這套研究方法甚至是更為有利的。用字母表示正數(shù)、負數(shù)，甚至以后代表復數(shù)時，就有了可能把綜合幾何中必須分別處理的情形，用代數(shù)統(tǒng)一處理了。例如，綜合幾何中證明三角形的高交于一點時，必須分別考慮交點在三角形內(nèi)和三角形外，而解析幾何證明時，則不須加區(qū)別。2、解析幾何把代數(shù)和幾何結合起來，把數(shù)學構造成一個具有兩種作用的工具。一方面，幾何概念可以用代數(shù)表示，幾何的目的通過代數(shù)來達到。反過來，另一方面，給代數(shù)概念以幾何解釋，可以直觀地掌握這些概念的意義。又可以得到啟發(fā)去提出新的結論（例如，笛卡爾就提出了用拋物線和圓的交點來求三次和四次方程的實根的著名方法），拉格朗日曾把這些優(yōu)點寫進他的《數(shù)學概要》中：“只要代數(shù)和幾何分道揚鑣，他們的進展就緩慢，他們的應用就狹窄。但當這兩門科學結成伴侶時，他們就互相吸取新鮮的活力，就以快速走向完善?！笨梢哉f十