北航CFD講義第19課

第五講高分辨率格式初步目的為什么那么重視高分辨率格式？是為了提高捕獲激波和間斷面的質(zhì)量對(duì)于光滑流動(dòng)，無(wú)論是中心差分格式，還是矢通量分裂格式，其結(jié)果都是令人滿意的，彼此之間無(wú)優(yōu)劣之分。對(duì)于含激波這樣強(qiáng)間斷的流動(dòng)，格式的優(yōu)劣就顯現(xiàn)出來(lái)了。中心差分是頻散格式，求解過(guò)程中，激波前后會(huì)產(chǎn)生強(qiáng)烈的數(shù)值振蕩。加入人工粘性，能夠抑制數(shù)值振蕩但是過(guò)大的耗散使激波變得很寬（5個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)左右），從而降低了激波的分辯率。矢通量分裂格式是耗散格式，可以消除激波前后的數(shù)值振蕩，但由于精度較低（一階）、耗散較大使得激波的梯度被抹平，激波寬度仍然較大（3個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)左右）。與中心差分格式不同，矢通量分裂格式屬于迎風(fēng)格式，與后面要講的高分辯率格式屬同類，它為什么分辯率不高呢？解釋如下：遷移方程ututaux0令(11-1)(11-2)式中,-aa0,a2-a|a|02-aa0,a2-a|a|02(11-3)結(jié)合式(11-2),(11-3),式(11-1)成為:迎風(fēng)格式n1Uiut1

u迎風(fēng)格式n1Uiut1

ux—ax2ux0

x(11-4)（與矢通量格式相當(dāng)）為nnuiui11oax2nnui1uix(11-5)經(jīng)過(guò)整理，可將迎風(fēng)格式寫(xiě)成如下形式,n1nuiuitnnn1nuiuitnnui1ui1an

ui12uinuin12

x(11-6)從上式可見(jiàn)，當(dāng)a0時(shí)，二階耗散消失了，這時(shí)差分格式會(huì)得到非物理解。實(shí)際上a0的點(diǎn)在實(shí)際流動(dòng)中就是音速點(diǎn)。一維Euler方程擾動(dòng)傳播速度為ua和ua（這里a表示音速）而音速點(diǎn)恰恰是激波區(qū)不可避免的！

（一）激波管（黎曼問(wèn)題）初始條件為：膈膜左側(cè)：uuL,ppL,L，當(dāng)xx0,t0膈膜右側(cè)：uuR,ppR,R,當(dāng)xx0,t0假定：plpr,lr，而uluR0膈膜破裂之后，t0,將會(huì)發(fā)生什么？膈膜的初始位置膨脹波接觸間斷激波流動(dòng)狀態(tài)（t0）接觸間斷：p3p2,u3u2,G.OQ7.5O10,B9G.GO245G5.00x(m)7.50LS.QCO-Ofl。?加2.5054。x(m)lOOxLO2O.0Q2,505.勃7.5910,OQ1czb-o-9GD**12101.30M數(shù)赫馬o,ocx(m)0<002,505.007.5010.00x(m)x(m)x(m)激波管內(nèi)流場(chǎng)情況（膈膜破裂之后6.1msec）初始條件為：Pl105N/m2,

L1.0Kg/m3,uL0m/sPR104N/m2,R0.125Kg/m3,uR0m/s.②區(qū)：設(shè)p/P,1,根據(jù)Rankine-Hugoniot條件（簡(jiǎn)稱PR1R-H條件）有:u2P1u2P111P工12aRP2PPRfP.③區(qū)根據(jù)間斷面的定義，可得P3P2PPRfPu3u2fpPR;而p滿足下列關(guān)系式:2P11、.2P11、.ip2包1aR1民丁pWPR可用牛頓迭代法從上式中求出P,于是②區(qū)和③區(qū)的氣流狀態(tài)完全確定

設(shè)膈膜位置為.膨脹波掃過(guò)的區(qū)域⑤設(shè)膈膜位置為x0,膈膜破裂時(shí)間點(diǎn)為t0。則根據(jù)Riemann不變量的規(guī)律。沿特征線Cdt

dx1、力),有沿特征線Cdt

dx1、力),有ua沿特征線Cdtdx1、力),有ua沿特征線C0dt

dx可得:U5常數(shù)3可得:U5常數(shù)3l1一Ul2P5PP5PluaLP5Pl可見(jiàn)，當(dāng)膈膜破裂之后，激波管內(nèi)氣流參數(shù)完全由膈膜兩側(cè)的狀態(tài)參數(shù)所決定，當(dāng)然考察的位置x和時(shí)間t也是決定因素。（二）Riemann問(wèn)題的理論分析1.對(duì)于一維問(wèn)題，非線性守恒方程系統(tǒng)：ptFx0FFU（11-7a）Ux,0U0（x）x（11-7b）古典解：如果方程（11-7a）的解U連續(xù)且U的一階偏導(dǎo)數(shù)分段連續(xù)，則稱U為古典解。弱解：對(duì)于方程（11-7a）,如果它的解U為間斷的不連續(xù)函數(shù)，則稱其為弱解（也可稱為廣義解）。弱解滿足下列條件：1）解U在所有連續(xù)點(diǎn)滿足初始條件（11-7b）;2）在解U的光滑處，方程（11-7a）局部成立；3）在解U的間斷處滿足Rankine-Hugoniot條件F（Ur）FUlC（UrUl）（11-8）式中，C為間斷面的移動(dòng)速度；下標(biāo)“R”表示間斷面右側(cè)變量，“L”表水左側(cè)變量。也可寫(xiě)成：FUCU式中，f表示函數(shù)f在間斷左右的跳躍。

2.Riemann(黎曼)問(wèn)題:對(duì)于Euler方程：(11-9)UFx0(11-9)式中uUuFu2p

eepu如果初始條件為:Ux,0UUx,0ULx0URx0當(dāng)t0之后，由初始間斷的左右狀態(tài)確定波態(tài)、波的強(qiáng)度和波之間的流動(dòng)特性的問(wèn)題稱為Riemann問(wèn)題。3.間斷面的分類：1）弱間斷：參數(shù)連續(xù)，而參數(shù)的導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，例如膨脹波（稀疏波）；2）強(qiáng)間斷：參數(shù)不連續(xù)（產(chǎn)生間斷），例如激波和接觸間斷。激波：滿足R-H條件的間斷；接觸間斷：流體不穿過(guò)波面，即滿足：p0,u0即，間斷前后壓力和速度不變，只有密度發(fā)生跳躍0可以證明，Riemann問(wèn)題的解是由一個(gè)向左移動(dòng)的波，一個(gè)處于中間的接觸間斷和一個(gè)向右移動(dòng)的波構(gòu)成，向左向右移動(dòng)的波或?yàn)?/p>

激波、或?yàn)榕蛎洸ǎㄏ∈璨ǎ?。三個(gè)波之間的參數(shù)呈定常狀態(tài)。顯然，t0之后，Riemann問(wèn)題的解只由初始間斷的左右狀態(tài)UR、UL所確定，所以Riemann解可寫(xiě)成：RXUx,tU-,Ul,Ur

t上標(biāo)R表示Riemann解。Godunov格式Godunov格式的基本原理：在離散點(diǎn)的界面上求解Riemann問(wèn)題。右圖表示以單元1i—,i—為單位TOC\o"1-5"\h\z2分片平均的幾何意義。由圖可見(jiàn)，單元1,,一i-,i—的平均2值就是Ui。Godunov認(rèn)為從n1t的未知解時(shí)間層tnt的已知解Un1t的未知解時(shí)間層tnt的已知解U：求得下一時(shí)間層t11...一一第1步：將已知解U：在單兀i—,i-內(nèi)進(jìn)行平均i22并得到相鄰單元的平均值,Uin1解:L\ndxuinxr并得到相鄰單元的平均值,Uin1解:L\ndxuinxrUnnni1，Ui1Ui1，第2步：根據(jù)激波管原理,在相鄰單元界面上，求得(11-10)RiemannURUR0,Uin1,UinuRuR00nlUn(11-11)i弓界面步：下一時(shí)間層n1t的未知解由Riemann解(11-11),、，1在單兀i一,i2內(nèi)積分獲得:_1步：下一時(shí)間層n1t的未知解由Riemann解(11-11),、，1在單兀i一,i2內(nèi)積分獲得:_1TUin1—URxTx-，Ul,Urdx(11-12)由于界面iRiemann解是不同的，需要分段積分，于是（11-12)式可寫(xiě)為Uin1x-Ux0R-,Uin1,Uin0UR__x2t,Uin,Uin1d(11-13)在以上三步中,第在以上三步中,第1和第3步均為在單元內(nèi)的積分，與方程的物理本質(zhì)無(wú)關(guān)，而第2步則利用了激波管的物理特性，Godunov求解控制方程的獨(dú)特之處就是這第2步：將離散的數(shù)值求解化為求