楊翔：直線與雙曲線的位置關(guān)系教學(xué)設(shè)計(jì)

直線與雙曲線的位置關(guān)系》教學(xué)設(shè)計(jì)廣西武鳴縣武鳴高中數(shù)學(xué)組楊翔教學(xué)設(shè)計(jì)的基本理念根據(jù)誘思探究學(xué)科教學(xué)論，改變教師的“滿堂教”為學(xué)生的“滿堂學(xué)”，讓“教堂”變?yōu)椤皩W(xué)堂”。在本節(jié)課教學(xué)中充分安排回憶、嘗試、討論、發(fā)言、實(shí)物演示，讓學(xué)生參與到數(shù)學(xué)知識(shí)的探索、發(fā)現(xiàn)過程中去，體驗(yàn)知識(shí)的形成過程。本著這個(gè)原則，結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，本節(jié)教學(xué)采用誘思探究式的教學(xué)方法。理論探究采用老師創(chuàng)設(shè)問題情境，學(xué)生自主探究、分組討論的方法；反饋練習(xí)采用學(xué)生獨(dú)立思考，教師講評(píng)的方法。另外，多媒體手段的引入能直觀地加深印象，實(shí)物投影儀給了交流的平臺(tái)，提高了教學(xué)效益。一、學(xué)情分析學(xué)生個(gè)性活潑，積極性高，思維逐漸由形象思維向抽象思維轉(zhuǎn)化，但形象思維仍占主導(dǎo)地位，同時(shí)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和分類討論、歸納推理等能力仍有待提高。直線與雙曲線的位置關(guān)系是在已經(jīng)對(duì)直線與橢圓的位置關(guān)系有了初步的認(rèn)識(shí)和了解的基礎(chǔ)上而進(jìn)行的，但不少學(xué)生考慮問題往往不夠全面，因此在創(chuàng)設(shè)問題情境以后，應(yīng)讓學(xué)生充分思考、討論而不少學(xué)生受傳統(tǒng)教學(xué)的影響，習(xí)慣于聽老師的分析，自己不主動(dòng)探索，學(xué)習(xí)比較被動(dòng)，往往老師分析的頭頭是道，學(xué)生也頻頻點(diǎn)頭，但時(shí)間一長，就都忘了。應(yīng)充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，讓學(xué)生在老師的引導(dǎo)下，貫穿“體驗(yàn)為紅線，思維為主攻”，以誘達(dá)思、誘思交融自主、探究、合作得出結(jié)論，實(shí)現(xiàn)學(xué)生的主體地位，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人。二、教材分析1.教材背景新教學(xué)大綱對(duì)“直線與圓錐曲線的位置關(guān)系”這部分教材的要求是：掌握其簡單應(yīng)用。主要考查：直線與圓錐曲線公共點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，相交時(shí)的弦長，弦中點(diǎn)或相關(guān)軌跡問題，三角形面積問題，存在性問題，與向量綜合等問題，由于本部分內(nèi)容一直是高考的熱點(diǎn)，這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識(shí)點(diǎn)，所以應(yīng)給以足夠的重視，而用坐標(biāo)法研究幾何問題，是數(shù)學(xué)中的一個(gè)很大的課題，問題的大小、深淺差別很大。為此，從解析幾何的本質(zhì)出發(fā)，用代數(shù)的方法來研究，體現(xiàn)分類討論的數(shù)學(xué)思想，又體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，是一節(jié)很重要但又有一定深度的課。2.本課的地位和作用本節(jié)課主要講雙曲線的幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用,是在學(xué)生學(xué)習(xí)過橢圓幾何性質(zhì)的綜合應(yīng)用的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。通過直線與雙曲線位置關(guān)系的討論，可使學(xué)生對(duì)由方程討論曲線圖象性質(zhì)（即由數(shù)到形）的思想方法有更深刻的認(rèn)識(shí)。因此這節(jié)課是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和方法——研究幾何的基本思想和方法以及概括、歸納能力和邏輯思維能力的重要內(nèi)容，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新精神能力都有重要的意義。三、重難點(diǎn)分析根據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)及對(duì)教材的分析，確定本節(jié)課重難點(diǎn)如下：重點(diǎn)：直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法難點(diǎn)：對(duì)于直線方程與雙曲線方程組成方程組消元后的方程性質(zhì)，學(xué)生容易忽略對(duì)方程性質(zhì)的討論及分類討論后與圖象結(jié)合分析的歸納總結(jié)。因此，弄清楚直線方程與雙曲線方程組成方程組消元后的方程性質(zhì)的討論及及分類討論后與圖象結(jié)合分析的歸納總結(jié)是本節(jié)的難點(diǎn)。四、目標(biāo)分析知識(shí)與技能使學(xué)生掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系及其判定。能力發(fā)展通過對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的研究，通過對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的研究，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用直線、雙曲線的各方面知識(shí)的能力。德育發(fā)展通過對(duì)直線與雙曲線的位置關(guān)系的研究，滲透歸納、推理、判斷等方面的能力；培養(yǎng)學(xué)生在方程中的方程思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想、分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想。使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)字美與圖形美的和諧統(tǒng)一；培養(yǎng)學(xué)生的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)研究態(tài)度；培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義觀點(diǎn)。五、教法與學(xué)法根據(jù)對(duì)教材、重難點(diǎn)、目標(biāo)及學(xué)生情況的分析，確定以下教法、學(xué)法：教法：誘思探究式教學(xué)法；學(xué)法：根據(jù)具體內(nèi)容進(jìn)行學(xué)法引導(dǎo)。六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）復(fù)習(xí)引入，創(chuàng)設(shè)問題情境前面我們學(xué)習(xí)了直線與橢圓的位置關(guān)系，那么請(qǐng)同學(xué)們回答：直線與橢圓的位置關(guān)系有幾種？想一想如何通過圖像來表示？它的理論依據(jù)是什么？簡要實(shí)錄：由于剛學(xué)過大家很齊聲的回答三種：相離、相交、相切。）請(qǐng)一位同學(xué)板演草圖，雖不規(guī)范但能反映出位置關(guān)系。第三問是理論知識(shí)，再請(qǐng)一同學(xué)回答應(yīng)為：聯(lián)立方程組，得到一元二次方程通過判別式（或解的個(gè)數(shù)）來說明。當(dāng)判別式大于零（或兩個(gè)不等的根），相交；當(dāng)判別式等于零（或兩個(gè)等根），相切；當(dāng)判別式小于零（或無根），相離?；卮鸬谋容^完整。［設(shè)計(jì)意圖］：通過回憶、總結(jié)加強(qiáng)對(duì)直線與橢圓位置關(guān)系的感性和理性認(rèn)知，并為學(xué)習(xí)直線與雙曲線的位置關(guān)系這節(jié)課作下鋪墊。（二）探索研究，體驗(yàn)感悟問題一：例1、已知直線y=kx-1與雙曲線4x2-y2二1，當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，直線與雙曲線（1）沒有公共點(diǎn)？（簡要實(shí)錄：同學(xué)們開始先作圖，由于有參數(shù)因此從動(dòng)的觀點(diǎn)來結(jié)合表達(dá)式解題，學(xué)生在結(jié)合橢圓的有關(guān)知識(shí)解答。再分組討論，老師邊巡視，邊指導(dǎo)。最后把兩三組學(xué)生的作品用實(shí)物投影機(jī)展示，并加以點(diǎn)評(píng)。）問題二：已知直線y=kx-1與雙曲線4x2-y2二1，當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，直線與雙曲線（2）有兩個(gè)公共點(diǎn)？（簡要實(shí)錄：同學(xué)們分組討論，由于在上面的基礎(chǔ)上解決此題，不同的地方就是交點(diǎn)問題開始討論，氣氛比較熱烈，老師巡回指導(dǎo)，對(duì)于程度較好的提出結(jié)合圖象理解，最后把兩組學(xué)生的作品用實(shí)物投影機(jī)展示，并加以點(diǎn)評(píng)，同學(xué)們有了清晰的認(rèn)識(shí)。）問題三：已知直線y=kx-1與雙曲線4x2-y2二1，當(dāng)實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，直線與雙曲線（3）有一個(gè)公共點(diǎn)？求直線方程并說明它們的位置關(guān)系。（簡要實(shí)錄：問題層層深入，讓同學(xué)們體會(huì)知識(shí)的聯(lián)系和區(qū)別。同學(xué)們開始討論探索，由于此題涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，還有分類討論的數(shù)學(xué)思想，做起來有一定的難度，老師參與到討論不積極的小組中，調(diào)動(dòng)他們的積極性，讓他們參與到討論中來，最后將兩三個(gè)組的作品進(jìn)行實(shí)物投影，查漏補(bǔ)缺，并加以點(diǎn)評(píng)。）［設(shè)計(jì)意圖］：三個(gè)題中前兩個(gè)類似直線與橢圓的位置關(guān)系，但問題三既要考慮直線是否存在，又要對(duì)二次項(xiàng)的系數(shù)加以討論。而且位置關(guān)系不同于前面的情況，比較特殊。為此通過多媒體演示其位置關(guān)系，給以直觀的感受，從而使抽象問題直觀化，幫助其理解。（三）歸納總結(jié)，行成定論對(duì)于直線與雙曲線的位置關(guān)系小結(jié)一下？（簡要實(shí)錄：讓學(xué)生分組討論，進(jìn)行小結(jié)，比賽看哪個(gè)組總結(jié)的最好。學(xué)生有了親身的體驗(yàn)，學(xué)生們非常積極，舉手回答：學(xué)生1：在聯(lián)立方程組變?yōu)橐辉姆匠毯?，要?duì)二次項(xiàng)系數(shù)加以討論。學(xué)生2：對(duì)于有關(guān)直線方程的設(shè)的問題，注意對(duì)直線是否存在要討論。學(xué)生3：既要聯(lián)立方程組，又要考慮直線設(shè)法及二次項(xiàng)系數(shù)是否為零。學(xué)生4：直線與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)的情況有兩種：一種是直線與雙曲線的漸近線平行；另一種是直線與雙曲線相切。學(xué)生5：與雙曲線有一個(gè)公共點(diǎn)直線有4條。等等。）在學(xué)生積極踴躍的表達(dá)自己的成果后，教師做及時(shí)的肯定及指導(dǎo)，歸納知識(shí)點(diǎn)如下：（多媒體演示）x2y2設(shè)直線l:y二kx+m與雙曲線一—廠=1（a>0,b>0）聯(lián)立解得a2b2（b2一a2k2）x2一2a2mkx一a2m2一a2b2=0①b（1）若b2一a2k2線與雙曲線漸近線平行或重合。a方程①為一元一次方程：—2a2mkx—a2m2—a2b2=0b（I）當(dāng)m=0時(shí)，方程無解。直線與雙曲線無交點(diǎn)。此時(shí)直線為y=±—x,直線和漸近線重合。位a置關(guān)系：相離b（II）當(dāng)m鼻0時(shí)，方程①有唯一解。直線與雙曲線有唯一公共點(diǎn)。此時(shí)直線為直a線與漸近線平行。位置關(guān)系：相交。b⑵若b2—a2k2工0即k，aA=（—2a2mk）2—4（b2—a2k2）（—a2m2—a2b2）A=0=有一個(gè)交點(diǎn)，直線與雙曲線相切。A>0n有兩個(gè)交點(diǎn)，直線與雙曲線相交。A<0n沒交點(diǎn)，直線與雙曲線相離。結(jié)論：⑴有一個(gè)公共點(diǎn)：m豐0①直線與漸近線平行\(zhòng)k=±b.a②直線與雙曲線相切t⑵有兩個(gè)公共點(diǎn)：tkH±⑵有兩個(gè)公共點(diǎn)：tkH±baA>0⑶沒有公共點(diǎn)：直線與雙曲線相離tkbaA>0注意：數(shù)形結(jié)合，前后呼應(yīng)。［設(shè)計(jì)意圖］：學(xué)生的表達(dá)都很好，教師通過多媒體演示小結(jié)。這使學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想方程轉(zhuǎn)化思想等到提高，同時(shí)加強(qiáng)了學(xué)生的分析判斷、歸納總結(jié)能力。（四）解決問題此過程留給學(xué)生獨(dú)立的空間將解題的框架寫出來，老師巡回查看，并將學(xué)生的解答過程進(jìn)行投影，讓學(xué)生自查自糾，查漏補(bǔ)缺，老師做及時(shí)肯定及點(diǎn)評(píng)。學(xué)生解題展示：CHfl樓F■料一1勺酬由乳牡金*1艸jCHfl樓F■料一1勺酬由乳牡金*1艸j內(nèi)-比I代{札總亦浙芳C當(dāng)*0Ji如則鋤'壯抿如嗨翻劃皋他脇枷;范人山HIRE?'H4?U5{j-怖曲理*IM和才啊它1W沖'?.t.■磴血<sJ、ft）聽養(yǎng)*Ti1II/12瞰*如（賤&如測軒白理姍相備?卜隔抽屮奴白&牛啊勲，心喚述:.址SH亡知丸野h七-1If<WE打:_F-1，瞅龜i駙tfiHf,僦'凋首紅.|；,rji'酸點(diǎn)T門伽博共如仞軒計(jì)汕用譲熾鴆/』|它I涮戀莒#'■輕州?TS（卜梓貯創(chuàng)惦mM朗■應(yīng)，即⑷出劇SW期伽-I.也時(shí)昭?站戌喊期圳?仍岡.藏幻心傀舟剛叫天暮-鼬孤旳排kuii也顯垃匍財(cái)jf：fe-l（?應(yīng)氐山蝌饑敏捕軸L-"二1版1訊睛打笊為町帕止心euui難仲aj.jT啦口亠#"丄何塢切誠予曲誠片爲(wèi)H［設(shè)計(jì)意圖］：將題目由直觀感受向抽象的方程轉(zhuǎn)換是學(xué)生的一個(gè)難題，在經(jīng)過比較熱烈的討論及分析過后留一定的時(shí)間和空間讓學(xué)生獨(dú)立完成解答過程，以培養(yǎng)學(xué)生表達(dá)能力、歸納總結(jié)能力。

（五）遷移運(yùn)用（多媒體演示）1.若直線y=kx-1與雙曲線x2-y2二1有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則k的值為（簡要實(shí)錄：有了前面的研究，同學(xué)們積極性很高，能順利地獨(dú)立解決問題。）教師及時(shí)總結(jié)：與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有兩種:一種是與漸近線平行的兩條與雙曲線交于一點(diǎn)的直線；另一種是與雙曲線相切的直線也有兩條。［設(shè)計(jì)意圖］：通過該練習(xí)讓學(xué)生加強(qiáng)對(duì)一個(gè)公共點(diǎn)情況的認(rèn)識(shí)。（六）知識(shí)的內(nèi)化、延伸例1（變式）、直線y=kx-1與雙曲線4x2-y2二1相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)k為何值時(shí)，點(diǎn)A、B位于雙曲線的同一支上？當(dāng)k為何值時(shí)，點(diǎn)A、B位于雙曲線的兩支上？（簡要實(shí)錄：同學(xué)們分組討論，由于在上面的基礎(chǔ)上解決此題，不同的地方就是交點(diǎn)位置的問題，開始討論，氣氛比較熱烈，老師巡回指導(dǎo)，對(duì)于程度較好的提出結(jié)合圖象理解，最后把兩組學(xué)生的作品用實(shí)物投影機(jī)展示，并加以點(diǎn)評(píng)，同學(xué)們有了清晰的認(rèn)識(shí)。）提示學(xué)生：畫圖像觀察并思考點(diǎn)A、B位于雙曲線的同一支上與位于雙曲線的兩支上的有什么共同點(diǎn)和不同點(diǎn)？學(xué)生經(jīng)過小組討論后歸納總結(jié)分析：有兩個(gè)公共點(diǎn)：kbaA>0在左支aA>有兩個(gè)公共點(diǎn)：kbaA>0在左支aA>0①在同一支1kbaA>0x-x>012x+x<012②分別在兩支1kH±baA>0x-x-x>012x-x<012在右支a在右支aA>0x-x>012x+x>012待學(xué)生小組展示后學(xué)生自行解題，解題展示：

謖式）斤技卩=吐-山甌由軌右'1*=1凰咚”11、1!叩."臥內(nèi)出冊(cè)謖式）斤技卩=吐-山甌由軌右'1*=1凰咚”11、1!叩."臥內(nèi)出冊(cè)h敘葉.CIS勵(lì)円-史上〕那酬也粘戊禮R町嬋血W乍號(hào)過邂剤閑F+海2老1?哪斜如［豎與”卄卅【咖如pI竊?！鲆贿w養(yǎng)Me遙-》u仕⑥*,化曲f4「k知佛Ui喊齣牡有皆p=?/:〕紈規(guī)甲曠礙-涉坷加j出兩.刪炯嘟星曲.<fat>aa^=t-i4*:-?=Iill1bw*.怙詢時(shí)亦mt血ifflk'LU"'A.HR!'id'1-Jjafh?酚吹I』M州&昶一M艸叱拼捺柚O-離洲繩斛嫦一■.聲知肌腳UM屮訓(xùn)B-W札皿護(hù)紈喘依9141川，訓(xùn)彊輕k笨，,M此此沁辺i珂皿犧k如竝上越如.曲毗軸胸湖獅社‘肌，創(chuàng)!么（七）課堂實(shí)戰(zhàn)1?已知雙曲線3x2-y2二3，直線1過其右焦點(diǎn)F2，且傾斜角為45°，與雙曲線交于A,B兩點(diǎn)，試問A，B兩點(diǎn)是否位于雙曲線的同一支上？（簡要實(shí)錄：有了前面的研究，同學(xué)們積極性很高，能順利地獨(dú)立解決問題。）學(xué)生解題展示：■~*-■""*■"■aUB“cM7l,JJJML-I—'F"EF?=西"：■+*斛.央何*F號(hào)#呵'd商存■應(yīng)-小M2嚴(yán)PTIJ=7（-2，哥儁的％-7殻必gyj閃““談詼節(jié)性站飆和嚴(yán)"，朋禧対嵌宓r友KN淡"蟲|MhKN淡"蟲|Mh-k試M匝T（八）小結(jié)反思，系統(tǒng)所學(xué)內(nèi)容從代數(shù)角度一般如何處理直線與雙曲線的位置關(guān)系問題？應(yīng)注意哪幾點(diǎn)？把直線方程代入雙曲線方梶r得到L-元…次方程直線與頭艄線的漸近線平行相交（一個(gè)交點(diǎn)得到一并二次方程

計(jì)算駒別式

l:.A>0A=0A<0iHi相交相切相離這節(jié)課用到哪些數(shù)學(xué)思想方法？（簡要實(shí)錄：學(xué)生分組討論，互相補(bǔ)充很快得出結(jié)論，摘錄如下：學(xué)生1：聯(lián)立方程組，通過根的情況來確定。注意直線的斜率及二次項(xiàng)系數(shù)。學(xué)生2：分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想。這樣的話對(duì)于數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用有了深刻的理解。）［設(shè)計(jì)意圖］：用結(jié)構(gòu)圖建構(gòu)學(xué)習(xí)內(nèi)容，便于反思、系統(tǒng)化學(xué)習(xí)內(nèi)容。（九）課后作業(yè)必做題：1?已知直線y=k（x-1）,雙曲線x2-y2二4，試討論實(shí)數(shù)k的取值范圍。（1）直線與雙曲線有兩個(gè)公共點(diǎn)。（2）直線與雙曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn)。（3）直線與雙曲線無個(gè)公共點(diǎn)。選做題：1?若直線1：y二kx+42與雙曲線—-y2=1恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A和B，且3OA?OB>2（其中O為原點(diǎn)），求k的取值范圍。2.直線與拋物線的位置關(guān)系如何呢？［設(shè)計(jì)意圖］：學(xué)以致用，鞏固提