上海高中數(shù)學(xué)-知識(shí)點(diǎn)總結(jié)良心出品必屬精品

上海高中數(shù)學(xué)一一知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、集合與常用邏輯.集合概念元素：互異性、無(wú)序性.集合運(yùn)算全集U:如U=R交集：AClB={xxwA且xwB}并集：AuB={xxwA或xwB}補(bǔ)集：gA={xxwU且x正A}.集合關(guān)系空集HA子集AEB：任意x^AnxeBAB=A=ABAB=B=AB注：數(shù)形結(jié)合---文氏圖、數(shù)軸.四種命題原命題：若p原命題：若p則q否命題：若-p則-q原命題匕逆否命題.充分必要條件p是q的充分條件：Pnqp是q的必要條件：P=qp是q的充要條件：p?q.復(fù)合命題的真值逆命題：若q則p逆否命題：若飛則「p否命題u逆命題①q真（假）?“「q"假（真）②p、q同真？“pAq”真③p、q都假？“pVq”假7,全稱命題、存在性命題的否定飛三M,p(x)否定為：B^M,」p(X)3=M,p(x)否定為：M,「p(X)二、不等式.一元二次不等式解法若a>0,ax2+bx+c=0有兩實(shí)根a,P@<P),則ax2+bx+c<0解集(a,P)ax2+bx+ca0解集(-°o,o()U(P,-hc)注：若a<0,轉(zhuǎn)化為a>0情況.其它不等式解法一轉(zhuǎn)化22xcau—a<x<a。x<ax〉aux>a或x<—aux2>a2f(x)

f(x)

g(x)f(x)g(x)0af(x)〉ag(x)uf(x)>g(x)(a>1)f(x)0logaf(x)>logag(x)^<(0<a<1)f(x)：二g(x).基本不等式①a2b2,2ab②若a,bWR;則與二也至掠2注：用均值不等式a+b>2V0b>ab^Ca^b)22求最值條件是“一正二定三相等”三、函數(shù)概念與性質(zhì).奇偶性f(x)偶函數(shù)=f(-x)=f(x)^if(x)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱f(x)奇函數(shù)uf(_x)=_f(x)uf(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱注：①f(x)有奇偶性=定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱②f(x)奇函數(shù)，在x=0有定義=f(0)=0③“奇+奇=奇”(公共定義域內(nèi)).單調(diào)性f(x)增函數(shù)：xi<x2=f(x1)<f(x2)或xi>x2=f(x1)>f(x2)或"Xi)-0x1-x2f(x)減函數(shù)：？注：①判斷單調(diào)性必須考慮定義域②f(x)單調(diào)性判斷定義法、圖象法、性質(zhì)法“增+土1=增”③奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相同偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上單調(diào)性相反.周期性T是f(x)周期uf(xW)=f(x)恒成立(常數(shù)T#0).二次函數(shù)解析式：f(x)=ax2+bx+c,f(x)=a(x-h)2+kf(x)=a(x-xif(x)=a(x-xi)(x-x2)對(duì)稱軸:-bx對(duì)稱軸:-bx二——2a當(dāng)x=2b，f(x)min=b4ac-b、頂點(diǎn)：(———,)2a4a單調(diào)Ta>°,(_8,一\］遞減，［一/4)遞增奇偶性：f(x)=ax2+bx+c是偶函數(shù)ub=0閉區(qū)間上最值:配方法、圖象法、討論法---注意對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系注：一次函數(shù)f(x)=ax+b奇函數(shù)仁b=0四、基本初等函數(shù)12——.指數(shù)式a°=1(a=0)a"=：am=m；ana.對(duì)數(shù)式logaN=buab=N(a>0,a#1)logaMN=logaMlogaNMloga一=logaM-logaNNlogaMn=nlogaMulogmblogb二loglgb

lgalogab=lgb

lgalogab=loganbn_1logba注：性質(zhì)loga1=0logaa-1alogaN=N常用對(duì)數(shù)1gN=l0gl0N,lg2+lg5=1自然對(duì)數(shù)InN=logeN,Ine=1.指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)y=ax與y=1ogax定義域、值域、過(guò)定點(diǎn)、單調(diào)性?定義域、值域、過(guò)定點(diǎn)、單調(diào)性?注：y=ax與y=logax圖象關(guān)于y=x對(duì)稱（互為反函數(shù)）1.帚函數(shù)y=x2,y=x3,y=x2,y=X」y=X”在第一象限圖象如下:五、函數(shù)圖像與方程1.描點(diǎn)法函數(shù)化簡(jiǎn)一定義域一討論性質(zhì)（奇偶、單調(diào)）取特殊點(diǎn)如零點(diǎn)、最值點(diǎn)等“左加右減,上正y=f(x)-.y=f(xh)/由4左一、每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的母￡/1\伸縮：y=f(x)二y=f(x)對(duì)稱：“對(duì)稱誰(shuí)，誰(shuí)不變，對(duì)稱原點(diǎn)都要變”y=f(x)一型ty=—f(x)y=f(x)-吧ty=f(-x)y=f(x)-匕y=-f(-x)直線x—a注：y=f(x)-；y=f(2a-x)翻折：y=f(x)Ty=|f(x)|保留x軸上方部分，yy=|f(x)|并將下方部分沿x軸翻折到上方y(tǒng)y=|f(x)|y=f(x)^ao^b^Tcy=f(x)Ty=f(|x|)保留y軸右邊部分，并將右邊部分沿y軸翻折到左邊y」y=f(x)y=f(|x|)\I\/\/f\f\/\―"aob、c~—Vaob7cr3.零點(diǎn)定理若f(a)f(b)<0,則y=f(x)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)(條件：f(x)在［a,b］上圖象連續(xù)不間斷)注：①f(x)零點(diǎn)：f(x)=0的實(shí)根②在［a,b］上連續(xù)的單調(diào)函數(shù)f(x),f(a)f(b)<0則f(x)在(a,b)上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)③二分法判斷函數(shù)零點(diǎn)---f(a)f(b)<0?六、三角函數(shù)

.概念第—象限角(2kn+—,2kn+n)(kwZ).弧長(zhǎng)l=ar扇形面積S=1lr2.定義sina=—cosa=-tana=?rrx其中P(x,y)是“終邊上一點(diǎn)，PO=r.符號(hào)“一正全、二正弦、三正切、四余弦”.誘導(dǎo)公式：“奇變偶不變，符號(hào)看象限”如Sin(2n-a)=-since,cos(n/2+ct)=-since.特殊角的三角函數(shù)值a0冗冗冗冗冗3n64322sin口012①2員210-1cosa1<3262120-10tg口0v1331而/0/.基本公式22sin,1■-問(wèn)用sin2二-cos2：--1=tan-cos-和差sin一F)：sin二cosI-二cos：sin:cos--:=cos：cos:"sin二sin:tan〔:工二1tan〔:工二1■1-tan.：：tan:倍角sin2：=2sin：cos：-2.2-22tan2：coS2=cos”-sin二二2cos”T=1-2sin;tan2：降哥cos2=降哥cos2==1+8s2asin1-cos2:疊加sins：：cos?-.2sin(：.—)4.3sin：-cos：-2sin(二一一)

6asin.：i；bcos==a2b2sin(二+：P)(tan=-)b.三角函數(shù)的圖象性質(zhì)單調(diào)性：（爰增（。㈤減點(diǎn)）增sinxcosxtanx值域[-1,1][-1,1]無(wú)奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)周期2兀2兀兀對(duì)稱軸X=內(nèi)+兀/2x=k71無(wú)中心(kn,0)5/2+k%0)(K/2,0)注：kZ.解三角形基本關(guān)系：sin(A+B)=sinCcos(A+B)=-cosCtan(A+B)=-tanC.ABCsin=cos—22正弦定理：_a_="_=—1-sinAsinBsinCa=2RsinAa:b:c=sinA:sinB:sinC余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA(求邊)1222cosA=b——c-a(求角)2bc面積公式：￡>△=1absinC2注：AABC中，A+B+C=A<BusinA<sinBa2>b2+c2?ZA>-2七、數(shù)列1、等差數(shù)列定義：an1-an=d通項(xiàng)：an=a1,(n-1)d求和：Sn=na一an)=na11n(n-1)d22中項(xiàng)：b=W(a,b,c成等差)2性質(zhì)：若m+n=p+q,貝Uam+an=ap+aq2、等比數(shù)列定義：警川「0)通項(xiàng):n1通項(xiàng):n1an二a〔q一nai(q=1)求和:Sn=《ai(1-q)1-q(q=i)中項(xiàng):b2=ac(a,b,c成等比)性質(zhì)：若m+n=p+q貝Uama=apaq3、數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系ans1二a[(nansn—sn」(n22)4、數(shù)列求和常用方法公式法、裂項(xiàng)法、錯(cuò)位相減法、倒序相加法八、平面向量1.向量加減三角形法則，平行四邊形法則AB+BC=AC首尾相接，OB-OC=CB共始點(diǎn)中點(diǎn)公式：Ab+Ac=2ad^d是bc中點(diǎn)1—a，b，cos8,.向量數(shù)量積ab==x1x2+y1y2注：①a,b夾角：0°<e<180°②a,b同向：ab=a'b.基本定理a=%6)十九2e2(e^a不共線--基底)平彳?。篴〃bua=7ubux1y2=x2y1(b*°)—I--fc--I--I-垂直：a_b：=ab=°=x1x2y1y2=°模：a=v'x2+y2a+b=(a+b)2="''夾角：cos-二ab|a||b|注：①0//a②a,6c以QKe（結(jié)合律）不成立③ab=a，e=6=e（消去律）不成立九、復(fù)數(shù)與推理證明.復(fù)數(shù)概念復(fù)數(shù)：z=a+bi（a,bwR）,實(shí)部a、虛部b分類：實(shí)數(shù)（b=0）,虛數(shù)（b￥0）,復(fù)數(shù)集C注：z是純虛數(shù)ua=0,b#0相等：實(shí)、虛部分別相等共鈍：z=a-bi模：z=.a2,b2zz=z2復(fù)平面：復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（a,b）.復(fù)數(shù)運(yùn)算加減：（a+bi）士（c+di）=?乘法：（a+bi）（c+di）=?除法：a_^i=（abi）（c-di）==...cdi（cdi）（c-di）乘方：i2=—1,in=i4k+=ir.合情推理類比：特殊推出特殊歸納：特殊推出一般演繹：一般導(dǎo)出特殊（大前題一小前題一結(jié)論）.直接與間接證明綜合法：由因?qū)Ч容^法：作差一變形一判斷一結(jié)論反證法：反設(shè)一推理一矛盾一結(jié)論分析法：執(zhí)果索因分析法書寫格式：要證A為真，只要證B為真，即證……，這只要證C為真，而已知C為真，故A必為真注：常用分析法探索證明途徑，綜合法寫證明過(guò)程.數(shù)學(xué)歸納法：(1)驗(yàn)證當(dāng)n=1時(shí)命題成立，(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kn*,k至1)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立由(1)(2)知這命題對(duì)所有正整數(shù)n都成立注：用數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)，兩步缺一不可，歸納假設(shè)必須使用十、直線與圓1、傾斜角范圍10,H)斜率k二tan二二-y2-y1X2-X1注：直線向上方向與X軸正方向所成的最小正角傾斜角為90。時(shí)，斜率不存在2、直線方程點(diǎn)斜式y(tǒng)-y0=k(x-X0),斜截式y(tǒng)=kx+b兩點(diǎn)式上二,截距式2+Y=1y2-y1X2-X1ab一般式AxByC=0注意適用范圍：①不含直線x=x0②不含垂直X軸的直線③不含垂直坐標(biāo)軸和過(guò)原點(diǎn)的直線3、位置關(guān)系(注意條件)平彳丁仁k1=k2且b1#b2垂直=k1k2=-1垂直仁A1A2+B1B2=04、距離公式兩點(diǎn)間距離：|AB|=(xi-X2)2(yi-y2)2點(diǎn)到直線距離：d=1AA2B25、圓標(biāo)準(zhǔn)方程：(x-a)2+(y-b)2=r2圓心(a,b),半徑r圓一^般方程：x2十y2+Dx十Ey+F=0(條件是？)圓心■，一旦］半徑「二八2-2一.2226、直線與圓位置關(guān)系位置關(guān)系相切相交相離幾何特征d=rd<rd>r代數(shù)特征△=0A>0△<0注：點(diǎn)與圓位置關(guān)系(Xo-a)2+(y0-b)2>r2u點(diǎn)P(x0,y0)在圓外7、直線截圓所得弦長(zhǎng)AB=2,r2-d2十一、圓錐曲線一、定義橢圓：|PFi|+|PF2|=2a(2a>|FE|)雙曲線：|PFi|-|PF2|=±2a(0<2a<|FE|)拋物線：與定點(diǎn)和定直線距離相等的點(diǎn)軌跡二、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)(如焦點(diǎn)在x軸)22橢圓斗?\=1(a>b>0)ab22雙曲線三一、=i(a>0,b>0)ab中心原點(diǎn)對(duì)稱軸？焦點(diǎn)Fi(c,0)、F2(-c,0)頂點(diǎn)：橢圓(土a,0),(0,士b),雙曲線(土a,0)范圍：橢圓-aMxwa,-b<y<b雙曲線|x|>a,ywR焦距：橢圓2c(c=va2-b2)雙曲線2c(c=Ja2+b2)2a、2b:橢圓長(zhǎng)軸、短軸長(zhǎng)，雙曲線實(shí)軸、虛軸長(zhǎng)離心率：e=c/a橢圓0<e<1,雙曲線e>122注：雙曲線4=1漸近線y=±bXaba方程mx2+ny2=1表小橢圓um>0,n>0,mnn方程mx2ny2=1表示雙曲線之mn::0拋物線y2=2px（p>0）頂點(diǎn)（原點(diǎn)）對(duì)稱軸（x軸）開(kāi)口（向右）范圍x之0離心率e=1焦點(diǎn)f（匕0）準(zhǔn)線x=」22十二、矩陣、行列式、算法初步十、算法初步一.程序框圖程序框名稱功能1—]起止框起始和結(jié)束Z_/輸入、輸出框輸入和輸出的信息—處理框賦值、計(jì)算O判斷框判斷某一條件是否成立■1kr循環(huán)框重復(fù)操作以及運(yùn)算二.基本算法語(yǔ)句及格式1輸入語(yǔ)句：INPUT"提示內(nèi)容”；變量2輸出語(yǔ)句：PRINT”提示內(nèi)容”；表達(dá)式3賦值語(yǔ)句：變量=表達(dá)式4條件語(yǔ)句IF—THEWELSE語(yǔ)句IF—THEWELSE語(yǔ)句IF—THEN語(yǔ)句IF條件THENIF條件THEN語(yǔ)句1ELSE語(yǔ)句2ENDIF5循環(huán)語(yǔ)句當(dāng)型循環(huán)語(yǔ)句WHILE條件循環(huán)體WENDIF條件THEN語(yǔ)句ENDIF直到型循環(huán)語(yǔ)句DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件當(dāng)型“先判斷后循環(huán)”直到型“先循環(huán)后判斷”當(dāng)型“先判斷后循環(huán)”直到型“先循環(huán)后判斷”三.算法案例1、求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)輾轉(zhuǎn)相除法：到達(dá)余數(shù)為0更相減損術(shù)：到達(dá)減數(shù)和差相等2、多項(xiàng)式f(x)=anXn+an-iXn-1+?；+aix+ao的求值秦九韶算法：V1=anX+an1V2=V1X+an23=V2X+an3vn=Vnix+a0注：遞推公式vo=avk=Vkix+ank(k=1,2,???n)求f(x)值，乘法、加法均最多n次3、進(jìn)位制間的轉(zhuǎn)換k進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)：anan」.....a〔ao(k)=anknan」kn」■a〔ka。十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成k進(jìn)制數(shù)：“除k取余法”例1輾轉(zhuǎn)相除法求得123和48最大公約數(shù)為3例2已知f(x)=2x5-5x4-4x3+3x2-6x+7,秦九韶算法求f(5)123=2X48+27v。=248=1X27+21v1=2X5—5=527=1X21+6v2=5X5—4=2121=3X6+3v3=21X5+3=1086=2X3+0v4=108X5-6=534v5=534X5+7=2677十三、立體幾何.三視圖正視圖、側(cè)視圖、俯視圖.直觀圖：斜二測(cè)畫法ZXOY'=450平彳fX軸的線段，保平行和長(zhǎng)度平彳fY軸的線段，保平行，長(zhǎng)度變?cè)瓉?lái)一半

.體積與側(cè)面積V柱=$底卜V錐=1S底hV球=4兀F333C_lC_/Cl_\1c__2S圓錐側(cè)=nrlS圓臺(tái)側(cè)=k(R+r)lS球表二4nR.公理與推論確定一個(gè)平面的條件：①不共線的三點(diǎn)②一條直線和這直線外一點(diǎn)③兩相交直線④兩平行直線公理：平行于同一條直線的兩條直線平行定理：如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。.兩直線位置關(guān)系相交、平行、異面異面直線——不同在任何一個(gè)平面內(nèi).直線和平面位置關(guān)系a二：1aH：-=A.平行的判定與性質(zhì)線面平行：a//b,bua,a0a=a//aa//a,auP,Bca=b=a面面平行：AB//a,AC//”平面s//P,a=a=a//B.垂直的判定與性質(zhì)線面垂直：p-AB,p_AC=a〃:p1面ABC面面垂直：a〃:p1面ABC如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面垂直;若兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直逆定理?9.空間角、距離的計(jì)算異面直線所成的角范圍在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直逆定理?9.空間角、距離的計(jì)算異面直線所成的角范圍(0°平移法：轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，用余弦定理一個(gè)平面垂直三垂線定理：PO一,AO_a=PA_aPO一，PA_a=AO_a直線和平面所成的角范圍[00,90]定義法：找直線在平面內(nèi)射影，轉(zhuǎn)為解三角形二面角范圍[0°,180]定義法：作出二面角的平面角，轉(zhuǎn)為解三角形點(diǎn)到平面的距離體積法--用三棱錐體積公式注：計(jì)算過(guò)程，“一作二證三求”，都要寫出10.立體幾何中的向量解法法向量求法：設(shè)平面ABC勺法向量n=(x,y)n-AB,n-ACnAB=0,nAC=0解方程組，得一個(gè)法向量n線線角：設(shè)RR是異面直線li,l2的方向向量,

li」2所成的角為日，貝Ucos8=|cos<ni,n2>即li』2所成的角等于<同月a或冗-工二〉線面角：ABn設(shè)n是平面Q的法向量，AB是平面a的一條斜線，AB與平面?所成的角為日，貝!Jsin?-cos:二n,AB=ABnAB、n二面角：設(shè)n1,n2是面。,P的法向量，二面角?-l-P的大小為e,則cos9=cos<ni,n2A或-cos:二ni,n2即二面角大小等于<n,n2>或n-<ni,n2A點(diǎn)到面距離:若n是平面a的法向量，AB是平面口的一條斜線段，且BE,r4一，，-.AB?n則點(diǎn)A到平面口的距離d=——n十四、計(jì)數(shù)原理.計(jì)數(shù)原理加