最新湘教版八年級上冊數(shù)學課件25全等三角形第一課時

2.5全等三角形-----第一課時2022/12/2712.5全等三角形2022/12/201

如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形.

用透明紙描出每組中的一個圖形，并剪下來與另一個圖形放在一起，它們完全重合嗎？（1）（2）新知探究2022/12/272如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形.用透明紙描（1）（2）它們可以完全重合2022/12/273（1）（2）它們可以完全重合2022/12/203

我們把能夠完全重合的兩個圖形叫作全等圖形.新知歸納2022/12/274我們把能夠完全重合的兩個圖形叫作全等圖形.新知歸納2

如圖，△ABC分別通過平移、旋轉、軸反射后得到△

，問△ABC與△能完全重合嗎？新知探究2022/12/275如圖，△ABC分別通過平移、旋轉、軸反射后得到△

根據(jù)平移、旋轉和軸反射的性質，可知分別通過上述三個變換后得到的△與△ABC都可以完全重合，因此它們是全等圖形.能完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.新知歸納2022/12/276根據(jù)平移、旋轉和軸反射的性質，可知分別通過上述三個變

全等三角形中，互相重合的頂點叫作對應頂點，

互相重合的邊叫作對應邊，

互相重合的角叫作對應角.A′B′C′ABCA(A′)B(B′)C(C′)新知歸納2022/12/277全等三角形中，互相重合的頂點叫作對應頂點，例如，圖（1）中的△ABC和△全等，其中A與A′，B與B′，C與C′是對應頂點；記作：△ABC≌△.AB與，BC與，CA與是對應邊；（1）全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”.

在表示兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上.2022/12/278例如，圖（1）中的△ABC和△全等，其中A與A′

全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”.

在表示兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上.2022/12/279全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”.在表

全等三角形的對應邊相等；

全等三角形的對應角相等.

我們知道，能夠完全重合的兩條線段是相等的，能夠完全重合的兩個角是相等的，由此得到：

例如，新知歸納2022/12/2710全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相例1如圖，已知△ABC≌△DCB，AB=3，

DB=4，∠A=60°.（1）寫出△ABC和△DCB的對應邊和對應角；（2）求AC，DC的長及∠D的度數(shù).中考試題2022/12/2711例1如圖，已知△ABC≌△DCB，AB=3，（1）寫出解（1）AB與DC，AC與DB，BC與CB是對應邊；∠A與∠D，∠ABC與∠DCB，∠ACB與∠DBC是對應角.2022/12/2712解（1）AB與DC，AC與DB，BC與CB是對應邊；∠A與∠∴AC=DB=4，

DC=AB=3.（2）∵

AC與DB，

AB與DC是全等三角形的對應邊，∵∠A與∠D是全等三角形的對應角，∴∠D=∠A=60°.2022/12/2713∴AC=DB=4，（2）∵AC與DB，∵∠A與∠

如圖，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，AF=6，∠A=20°，∠B=120°.（1）找出它們的所有對應邊和對應角；（2）求△ADF的周長及∠BEC的度數(shù).解（1）AF與CE，AD與CB，DF與BE是對應邊；∠A與∠C，∠AFD與∠CEB，∠D與∠B是對應角.

（2）△ADF的周長是13，∠BEC=40°.隨堂練習2022/12/2714如圖，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，A

兩個三角形滿足什么條件就能全等呢？下面我們就來探討這個問題.疑問升級2022/12/2715兩個三角形滿足什么條件就能全等呢？下面我們就來探討這

每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫一個三角形，它的一個角為50°，夾這個角的兩邊分別為2cm，2.5cm.

將這兩個三角形疊在一起，它們完全重合嗎？由此你能得到什么結論？50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm新知探究2022/12/2716每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫一個三角形，它的一50°2cm2.5cm我發(fā)現(xiàn)它們完全重合，我猜測：有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.2022/12/271750°2cm2.5cm我發(fā)現(xiàn)它們完全重合，我猜測：有兩邊和它

下面，我們從以下這幾種情形來探討這個猜測是否為真.

設在△ABC和中，，2022/12/2718下面，我們從以下這幾種情形來探討這個猜測是否為真.（1）△ABC和的位置關系如圖.

將△ABC作平移，使BC的像與重合，△ABC在平移下的像為.

由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此△ABC≌2022/12/2719（1）△ABC和的位置關系如圖.將△因為，所以線段A″B″與重合，因此點與點重合，那么與重合，所以與重合，因此，從而2022/12/2720因為，所以線段（2）△ABC和的位置關系如圖（頂點B

與頂點重合）.因為，將△ABC作繞點B的旋轉，旋轉角等于，所以線段BC的像與線段重合.因為，所以(A)B(C)2022/12/2721（2）△ABC和的位置關系如圖（頂點B因為由于旋轉不改變圖形的形狀和大小，又因為，所以在上述旋轉下，BA的像與重合，從而AC的像就與重合，于是△ABC的像就是因此△ABC≌(A)B(C)2022/12/2722由于旋轉不改變圖形的形狀和大小，又因為，所（3）△ABC和的位置關系如圖.根據(jù)情形（1），（2）的結論得將△ABC作平移，使頂點B的像和頂點重合，因此2022/12/2723（3）△ABC和的位置關系如圖.根據(jù)情形（1（4）△ABC和的位置關系如圖.將△ABC作關于直線BC的軸反射，△ABC在軸反射下的像為由于軸反射不改變圖形的形狀和大小，因此△ABC≌2022/12/2724（4）△ABC和的位置關系如圖.將△ABC作根據(jù)情形（3）的結論得，因此2022/12/2725根據(jù)情形（3）的結論得，因由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.通常可簡寫成“邊角邊”或“SAS”.新知歸納2022/12/2726由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：通?？珊唽懗伞斑吔沁叀崩?

已知：如圖，AB和CD相交于O，且AO=BO，

CO=DO.求證：△ACO≌△BDO.證明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO.（SAS）AO=BO，∠AOC=∠BOD，（對頂角相等）CO=DO，例題講解2022/12/2727例2已知：如圖，AB和CD相交于O，且AO=BO，證明1.如圖，將兩根鋼條AA′和BB′的中點O連在一起，

使鋼條可以繞點O自由轉動，就可做成測量工件內

槽寬度的工具（卡鉗）.只要量出

的長，就得

出工件內槽的寬AB.這是根據(jù)什么道理呢？解

△ABO≌△A′B′O，∴AB=A′B′.隨堂練習2022/12/27281.如圖，將兩根鋼條AA′和BB′的中點O連在一起，解2.

如圖，AD∥BC，AD=BC.

問：△ADC和△CBA

是全等三角形嗎？為什么？解

∵AD∥BC∴

△ADC≌△CBA.

∴∠DAC=∠BCA，

又AD=BC，AC公共隨堂練習2022/12/27292.如圖，AD∥BC，AD=BC.問：△ADC和△CBA隨堂練習3.

已知：如圖，AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AC，

AB的中點.

求證：BE=CF.解

∵AB=AC,且

E，F(xiàn)分別是

AC，AB中點，∴

△ABE≌△ACF，

∴AF=AE，

又∠A公共，∴

BE=CF.2022/12/2730隨堂練習3.已知：如圖，AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AC，解在△ABC和中，如果BC=，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通過平移、旋轉和軸反射等變換使△ABC的像與重合嗎？那么△ABC與全等嗎？

類似于基本事實“SAS”的探究，同樣地，我們可以通過平移、旋轉和軸反射等變換使△ABC的像與重合，因此△ABC≌新知探究2022/12/2731在△ABC和中，如果BC=由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.

通?？珊唽懗伞敖沁吔恰被颉癆SA”.新知歸納2022/12/2732由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：兩角及其夾邊分別相等的例3已知：如圖，點A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，

AB∥DC，AB=CD，∠B=∠D.

求證：△ABE≌△CDF.證明∵

AB∥DC，∴∠A=∠C.在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF

（ASA）.∠A=∠C，AB=CD，∠B=∠D，例題講解2022/12/2733例3已知：如圖，點A，F(xiàn)，E，C在同一條直線上，證明ABECD例4

如圖，為測量河寬AB，小軍從河岸的A點沿著和

AB垂直的方向走到C點，并在AC的中點E處立一根標桿，然后從C點沿著與AC垂直的方向走到D

點，使D，E，B恰好在一條直線上.于是小軍說：“CD的長就是河的寬.”你能說出這個道理嗎？例題講解2022/12/2734ABECD例4如圖，為測量河寬AB，小軍從河岸的A點沿解：在△AEB和△CED中，∠A=∠C=90°，AE=CE，∠AEB=∠CED(對頂角相等)∴△AEB

≌△CED.（ASA）∴

AB=CD.(全等三角形的對應邊相等)因此，CD的長就是河的寬度.2022/12/2735解：在△AEB和△CED中，∠A=∠C=90°，AE1.

如圖，工人師傅不小心把一塊三角形玻璃打碎成三塊，現(xiàn)要到玻璃店重新配一塊與原來一樣的三角形玻璃，只允許帶其中的一塊玻璃碎片去.請問應帶哪塊玻璃碎片去？為什么？答：應帶玻璃碎片③去;只有這塊玻璃具備決定全等三角形的幾個條件:在直角三角形中已知一個銳角和一條直角邊，由AAS判定定理即可確定兩個三角形全等，故應帶這塊玻璃去.隨堂練習2022/12/27361.如圖，工人師傅不小心把一塊三角形玻璃打碎答：應帶玻璃碎2.已知：如圖，△ABC≌

，CF，分別是∠ACB和的平分線.

求證：證明：△ABC≌△A′B′C′，∠A=∠A′

,∠ACB=∠A′C′B′.∴AC=A′C′∴CF=C′F′.又CF，C′F′分別是∠ACB和∠A′C′B′的平分線，∴∠ACF=∠A′C′F′.∴

△ACF≌△A′C′F′2022/12/27372.已知：如圖，△ABC≌2.5全等三角形-----第一課時2022/12/27382.5全等三角形2022/12/201

如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形.

用透明紙描出每組中的一個圖形，并剪下來與另一個圖形放在一起，它們完全重合嗎？（1）（2）新知探究2022/12/2739如圖是兩組形狀、大小完全相同的圖形.用透明紙描（1）（2）它們可以完全重合2022/12/2740（1）（2）它們可以完全重合2022/12/203

我們把能夠完全重合的兩個圖形叫作全等圖形.新知歸納2022/12/2741我們把能夠完全重合的兩個圖形叫作全等圖形.新知歸納2

如圖，△ABC分別通過平移、旋轉、軸反射后得到△

，問△ABC與△能完全重合嗎？新知探究2022/12/2742如圖，△ABC分別通過平移、旋轉、軸反射后得到△

根據(jù)平移、旋轉和軸反射的性質，可知分別通過上述三個變換后得到的△與△ABC都可以完全重合，因此它們是全等圖形.能完全重合的兩個三角形叫作全等三角形.新知歸納2022/12/2743根據(jù)平移、旋轉和軸反射的性質，可知分別通過上述三個變

全等三角形中，互相重合的頂點叫作對應頂點，

互相重合的邊叫作對應邊，

互相重合的角叫作對應角.A′B′C′ABCA(A′)B(B′)C(C′)新知歸納2022/12/2744全等三角形中，互相重合的頂點叫作對應頂點，例如，圖（1）中的△ABC和△全等，其中A與A′，B與B′，C與C′是對應頂點；記作：△ABC≌△.AB與，BC與，CA與是對應邊；（1）全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”.

在表示兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上.2022/12/2745例如，圖（1）中的△ABC和△全等，其中A與A′

全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”.

在表示兩個三角形全等時，通常把表示對應頂點的字母寫在對應位置上.2022/12/2746全等用符號“≌”表示，讀作“全等于”.在表

全等三角形的對應邊相等；

全等三角形的對應角相等.

我們知道，能夠完全重合的兩條線段是相等的，能夠完全重合的兩個角是相等的，由此得到：

例如，新知歸納2022/12/2747全等三角形的對應邊相等；全等三角形的對應角相例1如圖，已知△ABC≌△DCB，AB=3，

DB=4，∠A=60°.（1）寫出△ABC和△DCB的對應邊和對應角；（2）求AC，DC的長及∠D的度數(shù).中考試題2022/12/2748例1如圖，已知△ABC≌△DCB，AB=3，（1）寫出解（1）AB與DC，AC與DB，BC與CB是對應邊；∠A與∠D，∠ABC與∠DCB，∠ACB與∠DBC是對應角.2022/12/2749解（1）AB與DC，AC與DB，BC與CB是對應邊；∠A與∠∴AC=DB=4，

DC=AB=3.（2）∵

AC與DB，

AB與DC是全等三角形的對應邊，∵∠A與∠D是全等三角形的對應角，∴∠D=∠A=60°.2022/12/2750∴AC=DB=4，（2）∵AC與DB，∵∠A與∠

如圖，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，AF=6，∠A=20°，∠B=120°.（1）找出它們的所有對應邊和對應角；（2）求△ADF的周長及∠BEC的度數(shù).解（1）AF與CE，AD與CB，DF與BE是對應邊；∠A與∠C，∠AFD與∠CEB，∠D與∠B是對應角.

（2）△ADF的周長是13，∠BEC=40°.隨堂練習2022/12/2751如圖，已知△ADF≌△CBE，AD=4，BE=3，A

兩個三角形滿足什么條件就能全等呢？下面我們就來探討這個問題.疑問升級2022/12/2752兩個三角形滿足什么條件就能全等呢？下面我們就來探討這

每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫一個三角形，它的一個角為50°，夾這個角的兩邊分別為2cm，2.5cm.

將這兩個三角形疊在一起，它們完全重合嗎？由此你能得到什么結論？50°2cm2.5cm50°2cm2.5cm新知探究2022/12/2753每位同學在紙上的兩個不同位置分別畫一個三角形，它的一50°2cm2.5cm我發(fā)現(xiàn)它們完全重合，我猜測：有兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等.2022/12/275450°2cm2.5cm我發(fā)現(xiàn)它們完全重合，我猜測：有兩邊和它

下面，我們從以下這幾種情形來探討這個猜測是否為真.

設在△ABC和中，，2022/12/2755下面，我們從以下這幾種情形來探討這個猜測是否為真.（1）△ABC和的位置關系如圖.

將△ABC作平移，使BC的像與重合，△ABC在平移下的像為.

由于平移不改變圖形的形狀和大小，因此△ABC≌2022/12/2756（1）△ABC和的位置關系如圖.將△因為，所以線段A″B″與重合，因此點與點重合，那么與重合，所以與重合，因此，從而2022/12/2757因為，所以線段（2）△ABC和的位置關系如圖（頂點B

與頂點重合）.因為，將△ABC作繞點B的旋轉，旋轉角等于，所以線段BC的像與線段重合.因為，所以(A)B(C)2022/12/2758（2）△ABC和的位置關系如圖（頂點B因為由于旋轉不改變圖形的形狀和大小，又因為，所以在上述旋轉下，BA的像與重合，從而AC的像就與重合，于是△ABC的像就是因此△ABC≌(A)B(C)2022/12/2759由于旋轉不改變圖形的形狀和大小，又因為，所（3）△ABC和的位置關系如圖.根據(jù)情形（1），（2）的結論得將△ABC作平移，使頂點B的像和頂點重合，因此2022/12/2760（3）△ABC和的位置關系如圖.根據(jù)情形（1（4）△ABC和的位置關系如圖.將△ABC作關于直線BC的軸反射，△ABC在軸反射下的像為由于軸反射不改變圖形的形狀和大小，因此△ABC≌2022/12/2761（4）△ABC和的位置關系如圖.將△ABC作根據(jù)情形（3）的結論得，因此2022/12/2762根據(jù)情形（3）的結論得，因由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等.通常可簡寫成“邊角邊”或“SAS”.新知歸納2022/12/2763由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：通?？珊唽懗伞斑吔沁叀崩?

已知：如圖，AB和CD相交于O，且AO=BO，

CO=DO.求證：△ACO≌△BDO.證明：在△ACO和△BDO中，∴△ACO≌△BDO.（SAS）AO=BO，∠AOC=∠BOD，（對頂角相等）CO=DO，例題講解2022/12/2764例2已知：如圖，AB和CD相交于O，且AO=BO，證明1.如圖，將兩根鋼條AA′和BB′的中點O連在一起，

使鋼條可以繞點O自由轉動，就可做成測量工件內

槽寬度的工具（卡鉗）.只要量出

的長，就得

出工件內槽的寬AB.這是根據(jù)什么道理呢？解

△ABO≌△A′B′O，∴AB=A′B′.隨堂練習2022/12/27651.如圖，將兩根鋼條AA′和BB′的中點O連在一起，解2.

如圖，AD∥BC，AD=BC.

問：△ADC和△CBA

是全等三角形嗎？為什么？解

∵AD∥BC∴

△ADC≌△CBA.

∴∠DAC=∠BCA，

又AD=BC，AC公共隨堂練習2022/12/27662.如圖，AD∥BC，AD=BC.問：△ADC和△CBA隨堂練習3.

已知：如圖，AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AC，

AB的中點.

求證：BE=CF.解

∵AB=AC,且

E，F(xiàn)分別是

AC，AB中點，∴

△ABE≌△ACF，

∴AF=AE，

又∠A公共，∴

BE=CF.2022/12/2767隨堂練習3.已知：如圖，AB=AC，點E，F(xiàn)分別是AC，解在△ABC和中，如果BC=，∠B=∠B′，∠C=∠C′，你能通過平移、旋轉和軸反射等變換使△ABC的像與重合嗎？那么△ABC與全等嗎？

類似于基本事實“SAS”的探究，同樣地，我們可以通過平移、旋轉和軸反射等變換使△ABC的像與重合，因此△ABC≌新知探究2022/12/2768在△ABC和中，如果BC=由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等.

通?？珊唽懗伞敖沁吔恰被颉癆SA”.新知歸納2022/12/2769由此得到判定兩個三角形全等的基本事實：兩角及其夾邊分別相等的例3已知：如圖，點A，F(xiàn)，E，C在同一