極限的求法與技巧

極限的求法與技巧姓名：印溪學(xué)號：B09060503函數(shù)極限的計算是數(shù)學(xué)分析的基礎(chǔ)，那么如何根據(jù)表達式求出極限值呢？對于這一問題只能針對小同體型采取相應(yīng)的求法。下面概括了常用的若干求極限的方法，更多方法，有賴于人們?nèi)タ偨Y(jié)和發(fā)現(xiàn)。1.運用極限的定義X2-3x+2-例：用極限定義證明：lim———-一=1Xt2X—2證：x—2x—2x-2|Vs>0取6=8則當(dāng)0<|x-2\<5時，就有TOC\o"1-5"\h\zx2—3x+2—1<8x—2由函數(shù)極限8—5定義有:x2-3x+2.lim=1xt2x22.利用等價無窮小替換常用的等價無窮小關(guān)系：X—^0,sinx~x,tanx~x,arcsinx~xarctanx~x,1n1+x—1~x,ex—1~x,n12x，log.(1+x)耄，axT~xlna，v11n1+x—1~x,ex—1~x,n12x，等價無窮小代換法

設(shè)a,a',p,p'都是同一極限過程中的無窮小量，且有:a'a?a',p?p',lim倒存在，aaa、則lim虧也存在，且有l(wèi)im虧=lim-—ppp、1-cosx2例:求極限limxtox2sinx2解：sinx2-x2,(x2)21-cosx221lim=—-—=一XTOx2sinx2x2x22注：在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換，若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無窮小量之比的“階數(shù)”3.利用極限的四則運算法則極限的四則運算法則敘述如下：若limf(x)=Alimg(x)=Bx—x°x—x°limf(x)土g(x)]=limf(x)土limg(x)=A土Bx—%x—%x—%limf(x)-g(x)]=limf(x)-limg(x)=A-Bx-xo(III)若B尹0則：limf(x)ax^xI/x0x—%x—%lim性x—x0g(x)limg(x)Bx—xo(IV)limc-f(x)=c-limf(x)=cA(x-xo(III)若B尹0則：limf(x)ax^xI/x0總的說來，就是函數(shù)的和、差、積、商的極限等于函數(shù)極限的和、差、積、商。x2+3x+5例：求limx—2x+4x2+3x+522+3?2+55解：lim=x—2x+44、利用兩個重要的極限。(Mim^^=1(B)lim(1+-)x=eXT0xXT3x但我們經(jīng)常使用的是它們的變形：sin中(x)(A')lim=1,的(X)—0)中(x)(B')lim(1+—-—)耿x)=e,(里(x)—8)中(x)例：求下列函數(shù)極限ax-1lncosax(1)、lim(2)、limx—0xx—0lncosbxln(1+u)ax-1ulna解：(1)令ax-1=u,貝Ux=于是=—lnaxln(1+u)又當(dāng)x—0時，u—0ax-1ulnalnalna「故有：lim=lim=lim=lim=lnax—0xu—0ln(1+u)u—0ln(1+u)u—01ln(1+u)uu(2)、原式=limln[(1+(cosax-1)]x—0ln[1+(cosbx-1)]「ln[(1+(cosax-1)]=limx—0cosax-1ln[1+(cosbx-1)]cosbx-1cosax-1cosbx-1「cosbx一1=limx—0cosax-1-2sin2以x=lim2-x—0-2sin2x2asin2x2a(2x)2=limx—0bsin2x2(bx)2入2b2，aa2(2x)25、利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系。(I)若：limf(x)=8則lim^^=0f(x)(II)若：limf(x)=0且f(x)尹0貝0lim-^=8f(x)例：求下列極限limxs②limxr1x—1解：由lim(x+5)=8故x—8由lim(x-1)=0故lim—-—=0

x+5x—8人lim=8x—1x—16,變量替換例求極限lim馬二^RTE平—]分析當(dāng)—榔時，分子、分母都趨于+E,不能直接應(yīng)用法則,注意到站=（淀尸二5,故可作變量替換.原式二二血二（令￡=尸，引進新的變量，將原來的關(guān)于就的—■HZ'廣_]極限轉(zhuǎn)化為￡的極限.）二0.（業(yè)型,最高次幕在分母上）分段函數(shù)的極限^-l,x<0例設(shè)C0;x=0討論，（無■在點x=0處的極限是否存在.+1,x>0分析所給函數(shù)是分段函數(shù)，丁=0是分段點，要知魄川）是否存在，必須從極限存在的充要條件入手.解因為1）=-1ttiL''nr解因為1）=-1ttiL''nr*注1因為工從0的左邊趨于0,則z<0,故了(工)=丁T.注2因為x從0的右邊趨于0,則工>0,故了(X)=x+1.8、利用函數(shù)的連續(xù)性(適用于求函數(shù)在連續(xù)點處的極限)。若f⑴在尤=尤處連續(xù)，則limf(x)=f(x)TOC\o"1-5"\h\z0XT%0若fW(x)]是復(fù)合函數(shù)，又lim中(x)=i且X—xf(u)在"=i處連續(xù)，則limf聊(x))=f[lim里(x)]=f(a)xtx°xtx°例：求下列函數(shù)的極限excosx+5ln(+x)(1)、lim(2)limxt01+x2+ln(1—x)xt0x解：由于尤=0屬于初等函綁(x)=excosx+5的定義域之內(nèi)。1+x2+ln(1—x)故由函數(shù)的連續(xù)性定義有：limexC0Sx+5=f(0)=6xt01+x2+ln(1—x)ln(1+x)i八—(2)、由=ln(1+x)xx令中(x)=(1+x)t故有：TOC\o"1-5"\h\zln(1+x)11lim——)=limln(1+x)x=ln(lim(1+x)x)=lne=1xt0xxt0xt09、洛必達法則(適用于未定式極限)定理：若limf(x)=0,limg(x)=0xTx°xTx°f與g在x0的某空心鄰域"。(尤0)內(nèi)可導(dǎo)，且g'(x)豐0limf(x)=A(A可為實數(shù)，也可為±8或8)，貝UxTx0g'(x)f(x)f'(x)lim=lim=AxTx0g(x)xTx0g(x)0此定理是對0型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。

注：運用洛必達法則求極限應(yīng)注意以下幾點：1、要注意條件，也就是說，在沒有化為0,-時不可求導(dǎo)。0—2、應(yīng)用洛必達法則，要分別的求分子、分母的導(dǎo)數(shù)，而不是求整個分式的導(dǎo)數(shù)。3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，應(yīng)立即停止使用洛必達法則，否則會引起錯誤。f'(x)4、當(dāng)"mg沽不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。例：求下列函數(shù)的極限①lim°x一(1+2x)'2②limlnX(a>0,x>0)x^0ln(1+x2)x"-xa解：①令f(x)=ex-(1+2x)+x2(1+x2)22,g(x)=ln(1+x2(1+x2)2f'(x)=ex-(1+2x)-2,g'(x)=——1+x2f”(x)=ex+(1+2x)-32,g”(x)=2(1x2)(1+x2)2由于f(0)=f'(0)=0,g(0)=g'(0)=0但f"(0)=2,g“(0)=2從而運用洛必達法則兩次后得到ex一(1+2x)12ex一(1+2x)-12ex+(1+2x)-32lim=lim=limx—0ln(1+x2)x項2xx—02(1-x2)②由limlnx=—,limxa=—x—+—xr+—1

故此例屬于-型，由洛必達法則有:=0(a>0,x>0)lim^^==0(a>0,x>0)x—+—xax—+—axa-1x—+—axasinx2=limx—0x2sinx2cosx2=limx—0［解法二］:1-cosX2lim1-cosX2lim；xtox2sinx22sin2抒=lim12xtox2sinx2?x2sin——=lim——2xtOx21sinx22x2x2sin—L=12注：此解法利用“三角和差化積法”配合使用兩個重要極限法。［解法三］:TOC\o"1-5"\h\z1-cosx21-cosx22xsinx22xsinx21lim=lim=lim=lim-=xtoxxtox2sinx2sinx2xtox2-x2xto4x3xto4xxtox2sinx2(x2)2「1一cosx2「1一cosx2x2「2x21lim；=lim?=lim—-—?=—xt0x2sinx2xt0x4sinx2xt0x4sinx22注:此解法利用了無窮小代換法配合使用兩個重要極限的方法。［解法五］:x212()2x422=lim——-——=lim———xtox212()2x422=lim——-——=lim———xtox2(x2)xtox4注:此解法利用“三角和差化積法”配合使用無窮小代換法。［解法六］:令u=x21-cosx21-cosusinulim=lim；=limxT0x2sinx2ut0usinuut0sinu+ucosuTOC\o"1-5"\h\zcosu1=lim=—ut0cosu+cosu-usinu2注：此解法利用變量代換法配合使用洛必達法則。［解法七］:1-cosx2sinx211lim=lim=lim=xt0x2sinx2xt0x2cosx2+sinx2xt0】+x22tgx2注:此解法利用了洛必達法則配合使用兩個重要極限。

10、利用函數(shù)極限的存在性定理(夾逼準(zhǔn)則)定理：設(shè)在X0的某空心鄰域內(nèi)恒有g(shù)(x)Wf(x)Wh(x)且有:limg(x)=limh(x)=AX—X0X—X0則極限limf(x)存在，且有X-2,X>10limf(x)=AX-X2,X>1例：求lim一(a>1,n>0)X—+8aX解：當(dāng)x31時，存在唯一的正整數(shù)k,使kWxWk+1于是當(dāng)n>0時有：Xn(k+1)n——<———axak及Xn>knkn1axak+iaka又當(dāng)x—+8時,k—+8有「(k+1)n(k+1)nlim=lima=0-a=0k—+8akk—+8ak+1knkn11及l(fā)im——=lim—?一=0-=0k—+8ak+1k—+8akaalimXn一=0X—+8ax11limXn一=0TOC\o"1-5"\h\z定理：函數(shù)極限limf(x)存在且等于A的充分必要條件是左極限limf(x)及右極限x—x0x—Xolimf(x)都存在且都等于A。即有：x—x+limf(x)=A=limf(x)=limf(x)=Ax—x0x—Xox—x+1-2e-x,X<0x—Jx八，例：設(shè)f(x)={——,0<X<1求limf(X)及l(fā)imf(X)VXX—0X—1

解：?.?limf(x)=lim(1-2e-x)=—1TOC\o"1-5"\h\zXT0一XT0-limf(x)=lim(X_^=^)=lim((x-1)=-1xT0+xT0+VxxT0+由limf(x)=limf(x)=-1x—0-xT0+limf(x)=-1x—0又,/limf(x)=limx堂x=lim(tx一1)=0x—1-x—1一Vxx—1一limf(x)=limx2=1x—1+x—1+由f(1-0)豐f(1+0)limf(x)不存在x—112、約去零因式（此法適用于x—x0時,0型）x3一x2—16x一20例：求lim…r…usx—-2x3+7x2+16x+12「(x3—3x2-10x)+(2x2—6x-20)解:原式=lim(一———)—-x—-2^x3+5x2+6x^+(2x2+10x+12)「(x+2)(x2-3x-10)=limx—-2(x+2)(x2+5x+6)「(x2-3x-10)「(x-5)(x+2)=lim=limx—-2(x2+5x+6)x—-2(x+2)(x+3)x-5?=lim=-7x—-2x+313、通分法（適用于8-8型）例：求lim（4-^^L）x—24一x22一x解:原式=limx—24-(2+x)(2+x)?(2—x)lim(2-x)x—2(2+x)(2—x)=limx—214、利用泰勒公式對于求某些不定式的極限來說，應(yīng)用泰勒公式比使用洛必達法則更為方便，下列為常用的展開式：TOC\o"1-5"\h\zX2.Xn1、eT0x=1+x+—++—+o(Xn)2!n!T0x八一?一x3.X5x2n-12、sinx=x——+—++(—1)n-1+o(x2n)3!5!(2n—1)!x2.x4x2n3、cosx—1——+—++(—1)n+o(x2n+1)2!4!(2n)!x2xn4、ln(1+x)=x—++(—1)n—1+o(xn)2n傘、，a(a—1)a(a—1)...(a—n+1),、5、(1+x)a=1+ax+x2+?.+xn+o(xn)2!n!16、一1+x+x2++xn+o(xn)1—x上述展開式中的符號o(xn)都有:lim4—0xT0xn例:求lim'E-E(a>0)xT0x解:利用泰勒公式，當(dāng)x-0有V1+x=1+2+o(x)7a+2x—\a+x于是limTOC\o"1-5"\h\zxT0x新(、『,)=limaVaxT0xL「11,2x、/、11x/、Val1+—(—)+o(x)—1——?——o(x)I2a2a=limxT0x12*ax：a?-^+o(x)lim―2axT0xT0x12*a——=x+o(x)2*a=lim15、利用拉格朗日中值定理定理:若函數(shù)f滿足如下條件：f在閉區(qū)間上連續(xù)f在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則在(a,b)內(nèi)至少存在一點&，使得f?二^^b-a此式變形可為：f(b)-f(a)=f,(a+0(b-a))(0<6<1)b-aex—esinx例：求lim:——xT0x—Sinx解:令f(x)=ex對它應(yīng)用中值定理得即：ex—esinx=f(x)—f(sinx)=(x—sinx)f'(sinx+6(x—sinx))(0<6<1)ex—esinx=f'(sinx+6(x—sinx))(0<6<1)x—sinxf'(x)=ex連續(xù)limf'(sinx+6(x-sinx))=f'(0)=1x—0ex—esinx從而有：lim:一=1x—0x—sinx即：16、求代數(shù)函數(shù)的極限方法(1)有理式的情況，即若：R(x)=把=a0"+a1xm—1++am(a豐0,b豐0)Q(x)bxn+bxn—1+??....+b00(I)當(dāng)x—8時，有?m=nblimP(X)=lim*0xm+a1xm-1++a=°0m<nXFQ(x)XT8bXn+bXn-1++boin8m>n(II)當(dāng)X—0時有:①若Q(X0)"0lim些①若Q(X0)"0lim些=P(X)XT0Q(X)0—Q(Xo)②若Q(X0)=0P(Xo)豐0則lim阻=8XT0Q(X)③若Q(X0)=0P(X0)=0，則分別考慮若X0為P(X)=0的s重根’即：P⑴=(X-"P1⑴也為Q(X)=0的r重根，即:Q⑴=(X-X0)，Q1⑴可得結(jié)論如下:lim世Xlim世XTXQ(X)=lim(X-X。)s-rP[(x)—XfQ1(x)0,s>r、=P(x)=8,s<r例：求下列函數(shù)的極限X3一3x+2②limXt1X3一3x+2②limXt1x4—4x+3①limX*(2X+1)50解：①分子，分母的最高次方相同，故TOC\o"1-5"\h\z「(2x-3)20(3x+2)30220-330,3、lim==(_)30X*(2x+1)502502②P(x)=x3