高一數(shù)學下冊第5章三角比56正弦定理余弦定理和解斜三角形課件滬教

第五章三角比5.5.4二倍角與半角的正弦、余弦和正切5.6.1正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比5.5.4二倍角與半角的正弦、余弦和正切5問題的提出林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情,在林場中設立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別觀測到C處出現(xiàn)火情，在A處觀測到火情發(fā)生在北偏西400方向，而在B處觀測到火情在北偏西600方向，已知B在A的正東方向10千米處，現(xiàn)在要確定火場C踞A、B多遠。數(shù)學化:請將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題問題的提出林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情,在林場中設立了兩個觀測點A和ABC1300300a=？b=？10我們學過哪類解三角形問題?解斜三角形一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素，元素的過程叫做解三角形.已知三角形的幾個元素求其他ABC1300300a=？b=？10我們學過哪類解三角形問題ABC1300300200a=？b=？10從此題解答中,猜測斜三角形中邊與角的關系?邊角關系將有助于我們解斜三角形。ABC1300300200a=？b=？10從此題解答中,猜測ABCabc研究三角形中邊與角的關系：如已知一個三角形的邊長分別為a、b、c，角分別為A、B、C研究方法：化斜為直方程思想ABCabc研究三角形中邊與角的關系：如已知一個三角形的邊長研究三角形中邊與角的關系：yx0如已知一個三角形的邊長分別為a、b、c，角分別為A、B、CABCcab根據(jù)上述信息，請你計算三角形的面積研究三角形中邊與角的關系：yx0如已知一個三角形的邊長分別為結(jié)論：直角三角形的面積公式是上述公式特殊情況，幾何問題代數(shù)化給我們解決問題提供了簡便的途徑結(jié)論：直角三角形的面積公式是上述公式特殊情況，幾何問題代數(shù)化正弦定理的導出：如果三角形是直角，則是三角比的特殊情況正弦定理的導出：如果三角形是直角，則是三角比的特殊情況正弦定理三角形中，三角形面積公式三角形面積等于兩邊與夾角正弦的乘積的一半各邊與它對角的正弦的比相等正弦定理三角形中，三角形面積公式三角形面積等于兩邊與夾角正弦正弦定理解斜三角形可解決以下兩類問題：1、已知三角形的兩角和一邊，求其它的邊和角2、已知三角形的兩邊與其中一邊所對的角，求其它的角和邊解決初試問題思考：定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？正弦定理解斜三角形可解決以下兩類問題：解決初試問題思考：定理例1.在中，求和該三角形的面積.解：同理：解畢(結(jié)果保留至個位數(shù))例1.在中，求和該三角形的面積.解：同理例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(1)(2)解:(1)或(結(jié)果精確到0.01)例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(1)(2)解:(例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(2)解:(2)或(結(jié)果精確到0.01)當時，當時，解畢例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(2)解:(2)或利用正弦定理(I)已知兩角及任一邊，求其他邊和角；（解唯一）(II)已知兩邊與其中一邊的對角，求其他角和邊.在學全等時，我們知道已知兩邊及其中一邊的對角，不能唯一確定三角形。那么已知兩邊及其中一邊的對角，是否一定能解三角形呢？若有解有幾種可能？可以解決以下兩類解三角形問題：先求出另一邊對角正弦sinθ利用正弦定理(I)已知兩角及任一邊，求其他邊和角；（解唯一）兩組解一組解無解兩組解一組解無解課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(1)(2)2.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(1)(2)3.在中，已知試判斷的形狀.課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(課堂練習答案1.(1)(2)2.(1)(2)或3.等邊三角形課堂練習答案1.(1)(2)2.(1)(2)或3.等邊三角形余弦定理三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.另一種形式：余弦定理三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它例1.在中，求.(角度精確到，邊長精確到1)解：解畢例1.在中，例2.在中，已知，求各解:角及其面積(精確到0.1)同理，得解畢例2.在中，已知課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(1)(2)3.已知中，，求2.已知三角形三邊之比為，求最大內(nèi)角.4.在中，是銳角，求證：課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(課堂練習答案1.(1)(2)2.3.解：解得4.證：證畢課堂練習答案1.(1)(2)2.3.解：解得4.證：證畢一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做利用余弦定理及其變形(I)已知兩邊及夾角，求夾角的對邊；(II)已知三邊，求角.解三角形三角形的元素，元素的過程叫做解三角形.可以解決以下兩類解三角形問題：已知三角形的幾個元素求其他(III)已知兩邊及一邊的對角，求邊.一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做利用余弦定理及其變形第五章三角比5.6.2正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比5.6.2正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.擴充的正弦定理一邊與它對角的正弦的比值等于外接圓的直徑長證：(同弧所對圓周角相等)(半圓弧所對圓周角為直角)證畢擴充的正弦定理一邊與它對角的正弦的比值等于外接圓的直徑長證：例1.在中，，判斷的形狀.解：根據(jù)正弦定理得代入條件并化簡得即或者得或所以為等腰三角形或直角三角形.解畢例1.在中，例1.在中，，判斷的形狀.解法二：根據(jù)余弦定理得代入條件并化簡得所以為等腰三角形或直角三角形.解得或解畢例1.在中，例2.若銳角的三邊長分別是，試確定的取值范圍.解：由兩邊之和大于第三邊，解得由最大角為銳角，得解得綜上，當時，邊長滿足條件.解畢例2.若銳角的三邊長分別是課堂練習1.已知三角形邊長為，求外接圓半徑R.2.三角形滿足，判定其形狀.3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù).(精確到)4.在中，求證：課堂練習1.已知三角形邊長為，求課堂練習答案解：1.已知三角形邊長為，求外接圓半徑R.得2.三角形滿足，判定其形狀.解：得該三角形為等腰三角形.解畢解畢課堂練習答案解：1.已知三角形邊長為課堂練習答案3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù).(精確到)解：設邊長為且化簡得且因此最大角余弦值為，角度約為解畢課堂練習答案3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù).課堂練習答案4.在中，求證：證：左邊==右邊證畢課堂練習答案4.在中，求證：證：左第五章三角比5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.4正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.例1.設兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者與在同側(cè)，選定所在河岸一點，測出距離，求兩點間的距離(精確到)解：由正弦定理，得答略解畢問題一測量可視但不可達的距離例1.設兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離分析

根據(jù)例1測出再測出解：在河岸選定兩點測得問題一測量可視但不可達的距離例2.設兩點都在河的對岸(不可到達)，設計一種測量兩點間距離的方法.分析根據(jù)例1測出再測出解：在河岸問題一測量可視但不可達的距離例2.設兩點都在河的對岸(不可到達)，設計一種測量兩點間距離的方法.解：在中，同理在中解畢問題一測量可視但不可達的距離例2.設兩點問題二測量底部和頂部可視不可達的物體的高度例3.河對岸矗立著一座塔，設計一種測量塔高的方法.分析根據(jù)例1的方法測出再測出仰角解：在河岸選定兩點測得仰角問題二測量底部和頂部可視不可達的物體的高度例3.河對岸矗問題二測量底部和頂部可視不可達的物體的高度例3.河對岸矗立著一座塔，設計一種測量塔高的方法.解:在中在中，因此解畢問題二測量底部和頂部可視不可達的物體的高度例3.河對岸矗(選用)問題三測量角度例4.一艘海輪從出發(fā)，沿北偏東的方向航行67.5海里后到達海島，然后從出發(fā)，沿北偏東的方向航行54.0海里后到達海島.如果下次航行直接從出發(fā)到.此船應沿怎樣的方向航行需要航行多少距離？(精確到0.1)(選用)問題三測量角度例4.一艘海輪從出發(fā)，沿北(選用)問題三測量角度解:(海里)在中，由余弦定理，得(選用)問題三測量角度解:(海里)在(選用)問題三測量角度續(xù)解:(海里)由正弦定理，得答略解畢(選用)問題三測量角度續(xù)解:(海里)由正弦定理，得答略第五章三角比5.5.4二倍角與半角的正弦、余弦和正切5.6.1正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比5.5.4二倍角與半角的正弦、余弦和正切5問題的提出林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情,在林場中設立了兩個觀測點A和B，某日兩個觀測點的林場人員分別觀測到C處出現(xiàn)火情，在A處觀測到火情發(fā)生在北偏西400方向，而在B處觀測到火情在北偏西600方向，已知B在A的正東方向10千米處，現(xiàn)在要確定火場C踞A、B多遠。數(shù)學化:請將上述問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題問題的提出林場為了及時發(fā)現(xiàn)火情,在林場中設立了兩個觀測點A和ABC1300300a=？b=？10我們學過哪類解三角形問題?解斜三角形一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做三角形的元素，元素的過程叫做解三角形.已知三角形的幾個元素求其他ABC1300300a=？b=？10我們學過哪類解三角形問題ABC1300300200a=？b=？10從此題解答中,猜測斜三角形中邊與角的關系?邊角關系將有助于我們解斜三角形。ABC1300300200a=？b=？10從此題解答中,猜測ABCabc研究三角形中邊與角的關系：如已知一個三角形的邊長分別為a、b、c，角分別為A、B、C研究方法：化斜為直方程思想ABCabc研究三角形中邊與角的關系：如已知一個三角形的邊長研究三角形中邊與角的關系：yx0如已知一個三角形的邊長分別為a、b、c，角分別為A、B、CABCcab根據(jù)上述信息，請你計算三角形的面積研究三角形中邊與角的關系：yx0如已知一個三角形的邊長分別為結(jié)論：直角三角形的面積公式是上述公式特殊情況，幾何問題代數(shù)化給我們解決問題提供了簡便的途徑結(jié)論：直角三角形的面積公式是上述公式特殊情況，幾何問題代數(shù)化正弦定理的導出：如果三角形是直角，則是三角比的特殊情況正弦定理的導出：如果三角形是直角，則是三角比的特殊情況正弦定理三角形中，三角形面積公式三角形面積等于兩邊與夾角正弦的乘積的一半各邊與它對角的正弦的比相等正弦定理三角形中，三角形面積公式三角形面積等于兩邊與夾角正弦正弦定理解斜三角形可解決以下兩類問題：1、已知三角形的兩角和一邊，求其它的邊和角2、已知三角形的兩邊與其中一邊所對的角，求其它的角和邊解決初試問題思考：定理結(jié)構(gòu)上有什么特征，有哪些變形式？正弦定理解斜三角形可解決以下兩類問題：解決初試問題思考：定理例1.在中，求和該三角形的面積.解：同理：解畢(結(jié)果保留至個位數(shù))例1.在中，求和該三角形的面積.解：同理例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(1)(2)解:(1)或(結(jié)果精確到0.01)例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(1)(2)解:(例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(2)解:(2)或(結(jié)果精確到0.01)當時，當時，解畢例2.根據(jù)下列條件，求三角形的其余角和邊.(2)解:(2)或利用正弦定理(I)已知兩角及任一邊，求其他邊和角；（解唯一）(II)已知兩邊與其中一邊的對角，求其他角和邊.在學全等時，我們知道已知兩邊及其中一邊的對角，不能唯一確定三角形。那么已知兩邊及其中一邊的對角，是否一定能解三角形呢？若有解有幾種可能？可以解決以下兩類解三角形問題：先求出另一邊對角正弦sinθ利用正弦定理(I)已知兩角及任一邊，求其他邊和角；（解唯一）兩組解一組解無解兩組解一組解無解課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(1)(2)2.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(1)(2)3.在中，已知試判斷的形狀.課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(課堂練習答案1.(1)(2)2.(1)(2)或3.等邊三角形課堂練習答案1.(1)(2)2.(1)(2)或3.等邊三角形余弦定理三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.另一種形式：余弦定理三角形任一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它例1.在中，求.(角度精確到，邊長精確到1)解：解畢例1.在中，例2.在中，已知，求各解:角及其面積(精確到0.1)同理，得解畢例2.在中，已知課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(1)(2)3.已知中，，求2.已知三角形三邊之比為，求最大內(nèi)角.4.在中，是銳角，求證：課堂練習1.解三角形(角度精確到，邊長精確到1cm)(課堂練習答案1.(1)(2)2.3.解：解得4.證：證畢課堂練習答案1.(1)(2)2.3.解：解得4.證：證畢一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做利用余弦定理及其變形(I)已知兩邊及夾角，求夾角的對邊；(II)已知三邊，求角.解三角形三角形的元素，元素的過程叫做解三角形.可以解決以下兩類解三角形問題：已知三角形的幾個元素求其他(III)已知兩邊及一邊的對角，求邊.一般地，把三角形的三個角和它們的對邊叫做利用余弦定理及其變形第五章三角比5.6.2正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比5.6.2正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.擴充的正弦定理一邊與它對角的正弦的比值等于外接圓的直徑長證：(同弧所對圓周角相等)(半圓弧所對圓周角為直角)證畢擴充的正弦定理一邊與它對角的正弦的比值等于外接圓的直徑長證：例1.在中，，判斷的形狀.解：根據(jù)正弦定理得代入條件并化簡得即或者得或所以為等腰三角形或直角三角形.解畢例1.在中，例1.在中，，判斷的形狀.解法二：根據(jù)余弦定理得代入條件并化簡得所以為等腰三角形或直角三角形.解得或解畢例1.在中，例2.若銳角的三邊長分別是，試確定的取值范圍.解：由兩邊之和大于第三邊，解得由最大角為銳角，得解得綜上，當時，邊長滿足條件.解畢例2.若銳角的三邊長分別是課堂練習1.已知三角形邊長為，求外接圓半徑R.2.三角形滿足，判定其形狀.3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù).(精確到)4.在中，求證：課堂練習1.已知三角形邊長為，求課堂練習答案解：1.已知三角形邊長為，求外接圓半徑R.得2.三角形滿足，判定其形狀.解：得該三角形為等腰三角形.解畢解畢課堂練習答案解：1.已知三角形邊長為課堂練習答案3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù).(精確到)解：設邊長為且化簡得且因此最大角余弦值為，角度約為解畢課堂練習答案3.邊長為連續(xù)正整數(shù)的鈍角三角形，求鈍角的度數(shù).課堂練習答案4.在中，求證：證：左邊==右邊證畢課堂練習答案4.在中，求證：證：左第五章三角比5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.6.4正弦定理、余弦定理和解斜三角形第五章三角比5.6.3正弦定理、余弦定理和解斜三角形5.例1.設兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者與在同側(cè)，選定所在河岸一點，測出距離，求兩點間的距離(精確到