中考數(shù)學第一輪要點復習課件：第7單元-三角形第25課時-尺規(guī)作圖

第25課時

尺規(guī)作圖第25課時尺規(guī)作圖[小題熱身]B[小題熱身]BA．①②③

B．①②④C．①③④

D．②③④圖25－1A．①②③ B．①②④圖25－12．[2015·紹興]如圖25－2，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.將儀器上的點A與∠PRQ的頂點R重合，

調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一

條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原

理是：根據(jù)儀器結構，可得△ABC≌△ADC，這樣就有 ∠QAE＝∠PAE.則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是() A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

D圖25－22．[2015·紹興]如圖25－2，小敏做了一個角平分儀AB 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，進而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE. 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB＝一、必知3 知識點1．尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓

規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖．

五種基本作圖：

(1)作一條線段等于已知線段； (2)作一個角等于已知角； (3)作一個角的平分線； (4)作線段的垂直平分線； (5)過定點作已知直線的垂線．[考點管理]一、必知3 知識點[考點管理]2．利用尺規(guī)作三角形的類型

(1)已知三角形的三邊，求作三角形； (2)已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形； (3)已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形； (4)已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形； (5)已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形．3．過點作圓

(1)過一個點可以作無數(shù)個圓；經(jīng)過兩點可以作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在連結這兩點的垂直平分線上； (2)過不在同一直線上的三點可以作一個圓．2．利用尺規(guī)作三角形的類型二、必會2 方法1．尺規(guī)作圖的關鍵

(1)先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么； (2)讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題．2．根據(jù)已知條件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的關鍵是確定三角形的三個頂點，作圖依據(jù)是全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個直角．二、必會2 方法三、必明2 易錯點1．尺規(guī)作圖的工具是沒有刻度的直尺和圓規(guī)，注意要求是沒有刻度，不能用刻度尺去作線段或用量角器作直角．2．尺規(guī)作圖的基本步驟包括：已知，求作，分析作法，證明，結論．步驟順序不作要求，但作圖時一定要保留作圖痕跡，作圖后不要忘記寫結論.三、必明2 易錯點類型之一利用尺規(guī)作線段的垂直平分線和角平分線 [2015·麗水]如圖25－3，已知△ABC中，

∠C＝90°，AC＜BC，D為BC上一點，且

到A，B兩點的距離相等． (1)用直尺和圓規(guī)，作出點D的位置(不寫作

法，保留作圖痕跡)； (2)連結AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度數(shù)．圖25－3類型之一利用尺規(guī)作線段的垂直平分線和角平分線圖25－3

解：(1)點D的位置如答圖所示(D為AB中

垂線與BC的交點)； (2)∵在Rt△ABC中，∠B＝37°，

∴∠CAB＝53°.

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝37°.

∴∠CAD＝53°－37°＝16°. 【點悟】本題考查了線段垂直平分線的作法以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)．例1答圖 解：(1)點D的位置如答圖所示(D為AB中例1答圖1．[2014·白銀]如圖25－4，△ABC中，

∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE，

交AC于點D，交AB于點E(保留作圖痕

跡，不要求寫作法)； (2)連結BD，求證：BD平分∠CBA.圖25－41．[2014·白銀]如圖25－4，△ABC中，圖25－4 (2)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD＝BD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠ABD＝∠A＝30°，然后求出∠CBD＝30°，從而得到BD平分∠CBA.

解：(1)如答圖所示，DE就是要求作的

AB邊上的中垂線； (2)證明：∵DE是AB邊上的中垂線，

∠A＝30°，

∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，

∵∠C＝90°，

∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，

∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA.變式跟進1答圖 (2)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得A2．[2015·懷化]如圖25－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.

(1)求作⊙O，使它過點A，B，C(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)； (2)在(1)所作的圓中，求出劣弧BC的長．圖25－52．[2015·懷化]如圖25－5，在Rt△ABC中，∠AC

解：(1)如答圖所示； (2)∵AC＝1，AB＝2，

∴∠B＝30°，∠A＝60°，

∴∠BOC＝120°，變式跟進2答圖 解：(1)如答圖所示；變式跟進2答圖3．如圖25－6，已知△ABC， (1)作∠BAC的角平分線交于BC于點D(要求尺規(guī)作圖，不寫作法)； (2)若AB＝AC＝5，BC＝6，求AD的長．圖25－63．如圖25－6，已知△ABC，圖25－6

解：(1)如答圖所示，AD即為所求； (2)∵AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，變式跟進3答圖 解：(1)如答圖所示，AD即為所求；變式跟進3答圖類型之二利用尺規(guī)作三角形

已知：線段a，c，∠α.

求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，

∠ABC＝∠α. 【解析】先畫出與α相等的角，再畫出a，

c的長，連結AC，則△ABC即為所求作三

角形．

圖25－7類型之二利用尺規(guī)作三角形圖25－7

解：(1)如答圖①，以α的頂點B′為圓心，任意長為半徑畫弧，交α的兩邊于點A′，C′；

(2)作射線BH，以B為圓心，以B′C′為半徑畫弧，交BH于點F，以F為圓心，C′A′長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連結BE；

(3)以B為圓心，a為半徑畫弧交射線BH于點C，以B為圓心，c為半徑畫弧交BE的延長線于點A，連結AC，則△ABC即為所求作三角形．例2答圖 解：(1)如答圖①，以α的頂點B′為圓心，任意長為半徑畫弧 [2015·青島]用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．

已知：如圖25－8，線段c，直線l及l(fā)外一點A.

求作：Rt△ABC，使直角邊為AC(AC⊥l，垂足為C)，斜邊AB＝c.圖25－8 [2015·青島]用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖

解：Rt△ABC即為所求． 【點悟】利用尺規(guī)作圖一般的作法是先將圖形作出，再分析其特點；作直角、中點和角平分線等要保留作圖痕跡．變式跟進答圖 解：Rt△ABC即為所求．變式跟進答圖類型之三尺規(guī)作圖與幾何證明的綜合運用 [2015·梅州]如圖25－9，已知 △ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫??；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩

弧相交于點D；

③連結BD，與AC交于點E，連結AD，CD. (1)求證：△ABC≌△ADC； (2)若∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC＝4，求BE的長．圖25－9類型之三尺規(guī)作圖與幾何證明的綜合運用圖25－9 【解析】

(1)利用SSS定理證得結論； (2)設BE＝x，利用特殊角的三角函數(shù)易得AE的長，由∠BCA＝45°易得CE＝BE＝x，

解得x，得CE的長．

∴△ABC≌△ADC(SSS)； 【解析】(1)利用SSS定理證得結論； (2)設BE＝x，由題可知BD⊥AC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ABE＝60°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠CBE＝45°，

∴BE＝EC＝x， (2)設BE＝x，由題可知BD⊥AC， [2015·蘇州]如圖25－10，在△ABC中，

AB＝AC，分別以B，C為圓心，BC長為

半徑在BC下方畫?。O兩弧交于點D，

與AB，AC的延長線分別交于點E，F(xiàn)，

連結AD，BD，CD. (1)求證：AD平分∠BAC；圖25－10 [2015·蘇州]如圖25－10，在△ABC中，圖25－1

解：(1)證明：根據(jù)題意，得BD＝CD＝BC，

∴△ABD≌△ACD(SSS)．

∴∠BAD＝∠CAD，

即AD平分∠BAC；

(2)∵AB＝AC，

∠BAC＝50°，

∴∠ABC＝∠ACB＝65°，

∵BD＝CD＝BC， 解：(1)證明：根據(jù)題意，得BD＝CD＝BC，

∴△BDC為等邊三角形，

∴∠DBC＝∠DCB＝60°，

∴∠DBE＝∠DCF＝55°，

∵BC＝6，

∴BD＝CD＝6， ∴△BDC為等邊三角形，

尺規(guī)作圖易漏解 (德州中考)有公路l1同側、l2異側的兩個城鎮(zhèn)A，B，如圖25－11.電信部門要修建一座信號發(fā)射塔，按照設計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)A，B的距離必須相等，到兩條公路l1，l2的距離也必須相等，發(fā)射塔C應修建在什么位置？請用尺規(guī)作圖找出所有符合條件的點，注明點C的位置．(保留作圖痕跡，不要求寫出作法) 尺規(guī)作圖易漏解圖25－11圖25－11 【錯解】根據(jù)題意知道，點C應滿足兩個條件，一是在線段AB的垂直平分線上；二是在兩條公路夾角的平分線上，所以點C應是它們的交點． (1)作兩條公路夾角的平分線OD； (2)作線段AB的垂直平分線FG；

則射線OD與直線FG的交點C1就是所求的位置． 【錯因】忽略了作兩條公路夾角的另一條平分線OE；則漏掉了射線OE與直線FG的交點C2. 【錯解】根據(jù)題意知道，點C應滿足兩個條件，一是在線段AB的

【正解】如答圖所示，則射線OD，OE與直線FG的交點C1，C2就是所求的位置.易錯警示答圖 【正解】如答圖所示，則射線OD，OE與直線FG的交點C1，第25課時

尺規(guī)作圖第25課時尺規(guī)作圖[小題熱身]B[小題熱身]BA．①②③

B．①②④C．①③④

D．②③④圖25－1A．①②③ B．①②④圖25－12．[2015·紹興]如圖25－2，小敏做了一個角平分儀ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC.將儀器上的點A與∠PRQ的頂點R重合，

調(diào)整AB和AD，使它們分別落在角的兩邊上，過點A，C畫一

條射線AE，AE就是∠PRQ的平分線．此角平分儀的畫圖原

理是：根據(jù)儀器結構，可得△ABC≌△ADC，這樣就有 ∠QAE＝∠PAE.則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是() A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

D圖25－22．[2015·紹興]如圖25－2，小敏做了一個角平分儀AB 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，進而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE. 【解析】在△ADC和△ABC中，由于AC為公共邊，AB＝一、必知3 知識點1．尺規(guī)作圖

尺規(guī)作圖：在幾何里，把限定用沒有刻度的直尺和圓

規(guī)來畫圖稱為尺規(guī)作圖．

五種基本作圖：

(1)作一條線段等于已知線段； (2)作一個角等于已知角； (3)作一個角的平分線； (4)作線段的垂直平分線； (5)過定點作已知直線的垂線．[考點管理]一、必知3 知識點[考點管理]2．利用尺規(guī)作三角形的類型

(1)已知三角形的三邊，求作三角形； (2)已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形； (3)已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形； (4)已知三角形的兩角及其中一角的對邊，求作三角形； (5)已知直角三角形一直角邊和斜邊，求作直角三角形．3．過點作圓

(1)過一個點可以作無數(shù)個圓；經(jīng)過兩點可以作無數(shù)個圓，這些圓的圓心在連結這兩點的垂直平分線上； (2)過不在同一直線上的三點可以作一個圓．2．利用尺規(guī)作三角形的類型二、必會2 方法1．尺規(guī)作圖的關鍵

(1)先分析題目，讀懂題意，判斷題目要求作什么； (2)讀懂題意后，再運用幾種基本作圖方法解決問題．2．根據(jù)已知條件作等腰三角形或直角三角形

求作三角形的關鍵是確定三角形的三個頂點，作圖依據(jù)是全等的判定，常借助基本作圖來完成，如作直角三角形就先作一個直角．二、必會2 方法三、必明2 易錯點1．尺規(guī)作圖的工具是沒有刻度的直尺和圓規(guī)，注意要求是沒有刻度，不能用刻度尺去作線段或用量角器作直角．2．尺規(guī)作圖的基本步驟包括：已知，求作，分析作法，證明，結論．步驟順序不作要求，但作圖時一定要保留作圖痕跡，作圖后不要忘記寫結論.三、必明2 易錯點類型之一利用尺規(guī)作線段的垂直平分線和角平分線 [2015·麗水]如圖25－3，已知△ABC中，

∠C＝90°，AC＜BC，D為BC上一點，且

到A，B兩點的距離相等． (1)用直尺和圓規(guī)，作出點D的位置(不寫作

法，保留作圖痕跡)； (2)連結AD，若∠B＝37°，求∠CAD的度數(shù)．圖25－3類型之一利用尺規(guī)作線段的垂直平分線和角平分線圖25－3

解：(1)點D的位置如答圖所示(D為AB中

垂線與BC的交點)； (2)∵在Rt△ABC中，∠B＝37°，

∴∠CAB＝53°.

又∵AD＝BD，

∴∠BAD＝∠B＝37°.

∴∠CAD＝53°－37°＝16°. 【點悟】本題考查了線段垂直平分線的作法以及線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等的性質(zhì)．例1答圖 解：(1)點D的位置如答圖所示(D為AB中例1答圖1．[2014·白銀]如圖25－4，△ABC中，

∠C＝90°，∠A＝30°. (1)用尺規(guī)作圖作AB邊上的中垂線DE，

交AC于點D，交AB于點E(保留作圖痕

跡，不要求寫作法)； (2)連結BD，求證：BD平分∠CBA.圖25－41．[2014·白銀]如圖25－4，△ABC中，圖25－4 (2)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得AD＝BD，再根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)求出∠ABD＝∠A＝30°，然后求出∠CBD＝30°，從而得到BD平分∠CBA.

解：(1)如答圖所示，DE就是要求作的

AB邊上的中垂線； (2)證明：∵DE是AB邊上的中垂線，

∠A＝30°，

∴AD＝BD，∴∠ABD＝∠A＝30°，

∵∠C＝90°，

∴∠ABC＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，

∴∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝60°－30°＝30°，

∴∠ABD＝∠CBD，∴BD平分∠CBA.變式跟進1答圖 (2)根據(jù)線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等可得A2．[2015·懷化]如圖25－5，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，AB＝2.

(1)求作⊙O，使它過點A，B，C(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)； (2)在(1)所作的圓中，求出劣弧BC的長．圖25－52．[2015·懷化]如圖25－5，在Rt△ABC中，∠AC

解：(1)如答圖所示； (2)∵AC＝1，AB＝2，

∴∠B＝30°，∠A＝60°，

∴∠BOC＝120°，變式跟進2答圖 解：(1)如答圖所示；變式跟進2答圖3．如圖25－6，已知△ABC， (1)作∠BAC的角平分線交于BC于點D(要求尺規(guī)作圖，不寫作法)； (2)若AB＝AC＝5，BC＝6，求AD的長．圖25－63．如圖25－6，已知△ABC，圖25－6

解：(1)如答圖所示，AD即為所求； (2)∵AB＝AC＝5，AD平分∠BAC，變式跟進3答圖 解：(1)如答圖所示，AD即為所求；變式跟進3答圖類型之二利用尺規(guī)作三角形

已知：線段a，c，∠α.

求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，

∠ABC＝∠α. 【解析】先畫出與α相等的角，再畫出a，

c的長，連結AC，則△ABC即為所求作三

角形．

圖25－7類型之二利用尺規(guī)作三角形圖25－7

解：(1)如答圖①，以α的頂點B′為圓心，任意長為半徑畫弧，交α的兩邊于點A′，C′；

(2)作射線BH，以B為圓心，以B′C′為半徑畫弧，交BH于點F，以F為圓心，C′A′長為半徑畫弧，兩弧交于點E，連結BE；

(3)以B為圓心，a為半徑畫弧交射線BH于點C，以B為圓心，c為半徑畫弧交BE的延長線于點A，連結AC，則△ABC即為所求作三角形．例2答圖 解：(1)如答圖①，以α的頂點B′為圓心，任意長為半徑畫弧 [2015·青島]用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．

已知：如圖25－8，線段c，直線l及l(fā)外一點A.

求作：Rt△ABC，使直角邊為AC(AC⊥l，垂足為C)，斜邊AB＝c.圖25－8 [2015·青島]用圓規(guī)、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖

解：Rt△ABC即為所求． 【點悟】利用尺規(guī)作圖一般的作法是先將圖形作出，再分析其特點；作直角、中點和角平分線等要保留作圖痕跡．變式跟進答圖 解：Rt△ABC即為所求．變式跟進答圖類型之三尺規(guī)作圖與幾何證明的綜合運用 [2015·梅州]如圖25－9，已知 △ABC，按如下步驟作圖：

①以A為圓心，AB長為半徑畫??；

②以C為圓心，CB長為半徑畫弧，兩

弧相交于點D；

③連結BD，與AC交于點E，連結AD，CD. (1)求證：△ABC≌△ADC； (2)若∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，AC＝4，求BE的長．圖25－9類型之三尺規(guī)作圖與幾何證明的綜合運用圖25－9 【解析】

(1)利用SSS定理證得結論； (2)設BE＝x，利用特殊角的三角函數(shù)易得AE的長，由∠BCA＝45°易得CE＝BE＝x，

解得x，得CE的長．

∴△ABC≌△ADC(SSS)； 【解析】(1)利用SSS定理證得結論； (2)設BE＝x，由題可知BD⊥AC，

∵∠BAC＝30°，

∴∠ABE＝60°，

∵∠BCA＝45°，

∴∠CBE＝45°，

∴BE＝EC＝x， (2)設BE＝x，由題可知BD⊥AC，