數(shù)學(xué)建模知識(shí)綜合課件

注意對(duì)學(xué)生綜合素質(zhì)的培養(yǎng)（冰凍三尺，非一日之寒，功夫在平時(shí)）

（觀察與發(fā)現(xiàn)能力），如：（例1）數(shù)字的黑洞現(xiàn)象任取一個(gè)能被3整除的數(shù)，如213按如下運(yùn)算：

猜測(cè)自然也有可能猜錯(cuò)，例如歐拉方，費(fèi)馬數(shù)（3，5，17，257,65537）等被猜錯(cuò)-猜測(cè)須證明（例2）

某人平時(shí)下班總是按預(yù)定時(shí)間到達(dá)某處，然然后他妻子開(kāi)車接他回家。有一天，他比平時(shí)提早了三十分鐘到達(dá)該處，于是此人就沿著妻子來(lái)接他的方向步行回去并在途中遇到了妻子，這一天，他比平時(shí)提前了十分鐘到家，問(wèn)此人共步行了多長(zhǎng)時(shí)間？發(fā)散性思維能力的培養(yǎng)

似乎條件不夠哦。。

換一種想法，問(wèn)題就迎刃而解了。假如他的妻子遇到他后仍載著他開(kāi)往會(huì)合地點(diǎn)，那么這一天他就不會(huì)提前回家了。提前的十分鐘時(shí)間從何而來(lái)？

顯然是由于節(jié)省了從相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)，又從會(huì)合點(diǎn)返回相遇點(diǎn)這一段路的緣故，故由相遇點(diǎn)到會(huì)合點(diǎn)需開(kāi)5分鐘。而此人提前了三十分鐘到達(dá)會(huì)合點(diǎn)，故相遇時(shí)他已步行了二十五分鐘。

請(qǐng)思考一下，本題解答中隱含了哪些假設(shè)？例3

交通燈在綠燈轉(zhuǎn)換成紅燈時(shí)，有一個(gè)過(guò)渡狀態(tài)——亮一段時(shí)間的黃燈。請(qǐng)分析黃燈應(yīng)當(dāng)亮多久。設(shè)想一下黃燈的作用是什么，不難看出，黃燈起的是警告的作用，意思是馬上要轉(zhuǎn)紅燈了，假如你能停住，請(qǐng)立即停車。停車是需要時(shí)間的，在這段時(shí)間內(nèi)，車輛仍將向前行駛一段距離L。這就是說(shuō)，在離街口距離為L(zhǎng)處存在著一條停車線（盡管它沒(méi)被畫(huà)在地上），見(jiàn)圖1-4。對(duì)于那些黃燈亮?xí)r已過(guò)線的車輛，則應(yīng)當(dāng)保證它們?nèi)阅艽┻^(guò)馬路。

馬路的寬度D是容易測(cè)得的，問(wèn)題的關(guān)鍵在于L的確定。為確定L，還應(yīng)當(dāng)將L劃分為兩段：L1和L2，其中L1是司機(jī)在發(fā)現(xiàn)黃燈亮及判斷應(yīng)當(dāng)剎車的反應(yīng)時(shí)間內(nèi)駛過(guò)的路程，L2為剎車制動(dòng)后車輛駛過(guò)的路程。L1較容易計(jì)算，交通部門(mén)對(duì)司機(jī)的平均反應(yīng)時(shí)間t1早有測(cè)算，反應(yīng)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)將考不出駕照），而此街道的行駛速度v也是交管部門(mén)早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，從而L1=v*t1。剎車距離L2既可用曲線擬合方法得出，也可利用牛頓第二定律計(jì)算出來(lái)（留作習(xí)題）。黃燈究竟應(yīng)當(dāng)亮多久現(xiàn)在已經(jīng)變得清楚多了。第一步，先計(jì)算出L應(yīng)多大才能使看見(jiàn)黃燈的司機(jī)停得住車。第二步，黃燈亮的時(shí)間應(yīng)當(dāng)讓已過(guò)線的車順利穿過(guò)馬路，即T至少應(yīng)當(dāng)達(dá)到（L+D）/v。

DL學(xué)科知識(shí)的應(yīng)用有時(shí)是意想不到的。（例5）循環(huán)圖的連通性與gcd(a,n)=1之間的關(guān)系）。舉例gcd(2,7)=1，gcd(2,6)=2———希爾密碼設(shè)計(jì)古典密碼不能改變字母出現(xiàn)的頻率利用矩陣與向量相乘運(yùn)算困難：逆矩陣不能用于解密想辦法克服困難。

（實(shí)例）取A=則(具體求法見(jiàn)后),用A加密THANKYOU,再用對(duì)密文解密

用矩陣A左乘各向量加密（關(guān)于26取余）得

得到密文JXCPIWEK解:(希爾密碼加密)用相應(yīng)數(shù)字代替字符，劃分為兩個(gè)元素一組并表示為向量：（希爾密碼解密）用A-1左乘求得的向量，即可還原為原來(lái)的向量。(自行驗(yàn)證)希爾密碼是以矩陣法為基礎(chǔ)的，明文與密文的對(duì)應(yīng)由n階矩陣A確定。矩陣A的階數(shù)是事先約定的，與明文分組時(shí)每組字母的字母數(shù)量相同，如果明文所含字?jǐn)?shù)與n不匹配，則最后幾個(gè)分量可任意補(bǔ)足。

A-1的求法方法1

利用公式，例如，若取，則,,(mod26)，即方法2

利用高斯消去法。將矩陣(A,E)中的矩陣A消為E，則原先的E即被消成了A-1，

（例1）敏感問(wèn)題的調(diào)查

因?yàn)樾枰?，人們有時(shí)候會(huì)去調(diào)查一些敏感問(wèn)題。例如，學(xué)校領(lǐng)導(dǎo)可能想通過(guò)調(diào)查了解在校學(xué)生中究竟有多少人在考試中作弊過(guò)，或者究竟有多少學(xué)生在談戀愛(ài)，…。衛(wèi)生部門(mén)為了控制和預(yù)防艾滋病，希望了解本地區(qū)大約有多少人是同性戀者、有多少人在吸毒，等等。直截了當(dāng)去問(wèn)別人非但了解不到真實(shí)情況，還很可能會(huì)引起別人的反感，你能想出辦法來(lái)解決這一困難嗎？（分析：不能只提一個(gè)問(wèn)題）分析問(wèn)題的能力例如調(diào)查者提出以下兩個(gè)問(wèn)題：?jiǎn)栴}1）你曾經(jīng)在考試中作弊過(guò)嗎？問(wèn)題2）你從不在考試中作弊嗎？

調(diào)查者又如何計(jì)算出作過(guò)弊的人所占的比例呢？這里需要用到概率論中的條件概率公式。用一個(gè)竹筒，里面裝n根竹簽，其中有p根標(biāo)有1，q根標(biāo)有2（p+q=n）。被調(diào)查者抽到1的概率為p/p+q，抽到2的概率為q/p+q。假設(shè)回答“是”的人占被調(diào)查者總數(shù)的百分比為a。例2

我方巡邏艇發(fā)現(xiàn)敵方潛水艇。與此同時(shí)敵方潛水艇也發(fā)現(xiàn)了我方巡邏艇，并迅速下潛逃逸。設(shè)兩艇間距離為60哩，潛水艇最大航速為30節(jié)而巡邏艇最大航速為60節(jié)，問(wèn)巡邏艇應(yīng)如何追趕潛水艇。顯然，這是一個(gè)對(duì)策問(wèn)題，較為復(fù)雜。僅討論以下簡(jiǎn)單情形：

敵潛艇發(fā)現(xiàn)自己目標(biāo)已暴露后，立即下潛，并沿著直線方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。（追趕方案的設(shè)計(jì)）設(shè)巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)位于B處的潛水艇，取極坐標(biāo)，以B為極點(diǎn)，BA為極軸，設(shè)巡邏艇追趕路徑在此極坐標(biāo)下的方程為r=r(θ)，見(jiàn)圖3-2。BAA1drdsdθθ圖3-2由題意，，故ds=2dr圖3-2可看出，觀察——猜測(cè)——證明，科學(xué)研究的重要途徑之一（例1）設(shè)有一個(gè)半徑為r的圓形湖，圓心為O。A、B

位于湖的兩側(cè)，AB連線過(guò)O，見(jiàn)圖?，F(xiàn)擬從A點(diǎn)步行到B點(diǎn)，在不得進(jìn)入湖中的限制下，問(wèn)怎樣的路徑最近。

ABOrEFE′F′邏輯推理與證明能力猜測(cè)證明如下：（方法一）顯然，由AE、EF、FB及AE′，E′F′，F(xiàn)′B圍成的區(qū)域R是一凸集。利用分離定理易證最短徑不可能經(jīng)過(guò)R外的點(diǎn)，若不然，設(shè)Γ為最短路徑，Γ過(guò)R外的一點(diǎn)M，則必存在直線l分離M與R，由于路徑Γ是連續(xù)曲線，由A沿Γ到M，必交l于M1，由M沿Γ到B又必交l于M2。這樣，直線段M1M2的長(zhǎng)度必小于路徑M1MM2的長(zhǎng)度，與Γ是A到B的最短路徑矛盾，至此，我們已證明最短路徑必在凸集R內(nèi)。不妨設(shè)路徑經(jīng)湖的上方到達(dá)B點(diǎn)，則弧EF必在路徑F上，又直線段AE是由A至E的最短路徑，直線FB是由F到B的最短路徑，猜測(cè)得證。ABOrEFE′F′M1M2MΓl例2

在每一次人數(shù)不少于6人的聚會(huì)中必可找出這樣的3人，他們或者彼此均認(rèn)識(shí)或者彼此均不認(rèn)識(shí)。

利用圖的方法來(lái)描述該問(wèn)題。將人看成頂點(diǎn)，兩人彼此都認(rèn)識(shí)用實(shí)線連，否則虛線。證明：

相識(shí)問(wèn)題（拉姆齊問(wèn)題）

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在一個(gè)6階圖中必存在實(shí)線三角形或虛線三角形。請(qǐng)大家一起畫(huà)圖證明υ2

υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

υ1

υ2

υ3υ4

任取一頂點(diǎn)，不妨υ1考察υ2υ3、υ2υ4和υ3υ4υ2υ3、υ2υ4和υ3υ4只能是虛線，否則得證但這樣三角形υ2υ3υ4的三邊均為虛線不妨取υ1υ2、

υ1υ3、

υ1υ4

實(shí)線與υ1相連的邊必然有：實(shí)線條數(shù)不小于3或虛線條數(shù)不小于3拉姆齊問(wèn)題也可這樣敘述：6階2色完全圖中必含有3階單色完全圖。其他類似可推出的結(jié)果：命題1

任一6階2色完全圖中至少含有兩個(gè)3階單色完全圖。

證明：前面證明必存在3階單色完全圖，不妨設(shè)υ1υ2υ3

為紅色完全圖υ1υ5、υ2υ5、υ3υ5中至少有兩條黑色、故υ1υ5與υ2υ5中至少有一條是黑色若υ4υ5υ6也是紅色三角形，命題已得證

故至少一邊與υ1υ2υ3的邊異色，不妨設(shè)υ4υ5黑色υ1υ4、υ2υ4、υ3υ4至少應(yīng)有兩條黑色，不妨設(shè)υ1υ4、υ2υ4

黑色所以存在第二個(gè)3階單色完全圖。命題27階雙色完全圖中至少含有4個(gè)3階單色完全圖υ2

υ1

υ3

υ4

υ6

υ5

經(jīng)過(guò)許多人的努力，現(xiàn)已發(fā)現(xiàn)：

人們找到的拉姆塞數(shù)總共只有這10個(gè)，尋找已經(jīng)是常人無(wú)法想象地困難。由于計(jì)算量太大的原因，要找到第十一個(gè)，例如已經(jīng)非常困難，即使利用計(jì)算機(jī)來(lái)計(jì)算，也要花上幾年甚至更長(zhǎng)的時(shí)間。實(shí)例17位學(xué)者中每人都和其他人通信討論3個(gè)方向的課題。任意兩人間只討論其中一個(gè)方向的課題，則其中必可找出3位學(xué)者，他們之間討論的是同一方向的課題。即r(3,3,3)=17

（例4）

擬將一批尺寸為1×2×4的的商品裝入尺寸為6×6×6的正方體包裝箱中，問(wèn)是否存在一種裝法，使裝入的該商品正好充滿包裝箱。解

將正方體剖分成27個(gè)2×2×2的小正方體，并按下圖所示黑白相間地染色。再將每一2×2×2的小正方體剖分成1×1×1的小正方體。易見(jiàn)，27個(gè)2×2×2的正方體中，有14個(gè)是黑的，13個(gè)是白的（或13黑14白），故經(jīng)兩次剖分，共計(jì)有112個(gè)1×1×1的黑色小正方體和104個(gè)1×1×1的白色小正方體。雖然包裝箱的體積恰好是商品體積的27倍，但容易看到，不論將商品放置在何處，它都將占據(jù)4個(gè)黑色和4個(gè)白色的1×1×1小正方體的位置，故商品不可能充滿包裝箱。圓周率是人類獲得的最古老的數(shù)學(xué)概念之一，早在大約3700年前（即公元前1700年左右）的古埃及人就已經(jīng)在用256/81（約3.1605）作為π的近似值了。幾千年來(lái)，人們一直沒(méi)有停止過(guò)求π的努力。（從阿基米德到祖沖之，最后到39位，1630）（計(jì)算能力）

π的計(jì)算在中學(xué)數(shù)學(xué)中證明過(guò)下面的等式左邊三個(gè)正方形組成的矩形中，由和可得

和的展開(kāi)式的收斂速度都比快得多ACBD麥琴(Machin)給出(Machin公式)記，，得此式求得了π的第100位小數(shù)且全部正確

還有許多其它公式，例如

π/4=4arctan1/5-arctan1/70+arctan1/99π/4=2arctan1/3+arctan1/7π/4=arctan1/2+arctan1/5+arctan1/8π/4=22arctan1/28+2arctan1/443-5arctan1/1393-10arctan1/11018（三種基本的雙種群模型說(shuō)明）從P-P模型到大魚(yú)吃小魚(yú)、小魚(yú)吃蝦米簡(jiǎn)化模型，設(shè)競(jìng)爭(zhēng)系統(tǒng)的方程為：其中αβ不為0，否則為L(zhǎng)ogistic模型。一般可取α，β，但所用方法可適用于一般情況。

（競(jìng)爭(zhēng)排斥原理）若K1>K2，則對(duì)任一初狀態(tài)（x1(0),x2(0)），當(dāng)t→+∞時(shí)，總有（x1(t),x2(t)）→（K1,0），即物種2將絕滅，而物種1則趨于環(huán)境允許承擔(dān)的最大總量。定理4作直線l1:x1+x2=K1及l(fā)2:x1+x2=K2，K1>K2，見(jiàn)圖3-26。dx1/dt<0dx2/dt<0圖3-26IIIIIIk1k2dx1/dt>0dx2/dt>0dx1/dt>0dx2/dt<0有以下幾個(gè)引理:引理1

若初始點(diǎn)位于區(qū)域I中，則解

（x1(t)、x2(t)）從某一時(shí)刻起必開(kāi)此區(qū)域而進(jìn)入?yún)^(qū)域II

引理2

若初始點(diǎn)（x1(0)、x2(0)）位于區(qū)域II中，則（x1(t)，x2(t)）始終位于II中，且：引理3

若初始點(diǎn)位于區(qū)域III中,且對(duì)于任意t

，（x1(t)，x2(t)）仍位于

III中，則當(dāng)t→+∞時(shí)，（x1(t)，

x2(t)）必以（K1,0）為極限點(diǎn)。

由引理1和引理2，初始點(diǎn)位于像限I和II的解必趨于平衡點(diǎn)（K1,0）。由引理3，初始點(diǎn)位于III且（x1(t)，x2(t)）始終位于III中的解最終必趨于平衡點(diǎn)（K1,0），而在某時(shí)刻進(jìn)入?yún)^(qū)域II的解由引理最終也必趨于（K1,0）。易見(jiàn)只有上述三種可能，而在三種可能情況下（x1(t)，x2(t)）均以（K1,0）為極限，定理得證。定理4的證明：（一個(gè)建模實(shí)例）（信息的度量及應(yīng)用）現(xiàn)代社會(huì)離不開(kāi)信息，一條消息究竟包含了多少信息，怎樣計(jì)算信息量的大小呢？就像不解決溫度的度量就不可能建立起熱力學(xué)一樣，不解決信息量的度量問(wèn)題就不可能建立起信息論科學(xué)。獲取有用的信息應(yīng)當(dāng)有助于我們對(duì)某一問(wèn)題的了解，這就是說(shuō)，獲取信息是為了消除不確定性，對(duì)于我們已經(jīng)了解的事情，沒(méi)有必要再去獲取什么信息?；谶@一想法，美國(guó)貝爾實(shí)驗(yàn)室的香農(nóng)采用了多少有點(diǎn)像歐幾里得創(chuàng)建平面幾何那樣的方法，利用邏輯推理方法解決了信息的度量問(wèn)題。首先，他在嚴(yán)密分析的基礎(chǔ)上提出了幾條不加證明而采用的公理，進(jìn)而，他在這些公理的基礎(chǔ)上運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)推導(dǎo)出了計(jì)算信息量大小的公式。他的具體做法如下：（幾條公理）（1）信息量是該事件發(fā)生概率的連續(xù)函數(shù)（2）如果事件A發(fā)生必有事件B發(fā)生，則得知事件A發(fā)生的信息量大于或等于得知事件B發(fā)生的信息量。（3）如果事件A和事件B的發(fā)生是相互獨(dú)立的，則獲知A、B事件將同時(shí)發(fā)生的信息量應(yīng)為單獨(dú)獲知兩事件發(fā)生的信息量之和。（4）任何信息的信息量均是有限的定理

滿足公理1—公理4的信息量計(jì)算公式為I(M)=－Clogap，其中C是任意正常數(shù)，對(duì)數(shù)之底a可取任意為不為1的正實(shí)數(shù)。證明:由公理1I(M)=f(p)，函數(shù)f連續(xù)。由公理2若A發(fā)生必有B發(fā)生，則pA≤pB，有f(pA)≥f(PB)，故函數(shù)f是單調(diào)不增的。由公理3若A、B是兩個(gè)獨(dú)立事件，則A、B同時(shí)發(fā)生的概率為pApB，有f(PAPB)=f(pA)+f(pB)。先作變量替換令p=a-q，即q=－logaP記

，又有：，g亦為連續(xù)函數(shù)。

g(x+y)=g(x)+g(y)的連續(xù)函數(shù)有怎樣的性質(zhì)

首先，由g(0)=g(0+0)=2g(0)得出g(0)=0或g(0)=∞。但由公理4，后式不能成立，故必有g(shù)(0)=0。

記g(1)=C，容易求得g(2)=2C,g(3)=3C,…,一般地，有g(shù)(n)=nC。進(jìn)而

，可得。于是對(duì)一切正有理數(shù)m/n，g(m/n)=(m/n)C。由連續(xù)性可知：對(duì)一切非負(fù)實(shí)數(shù)x，有g(shù)(x)=Cx

當(dāng)x取負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)，由g(x)+g(－x)=g(0)=0，可得出g(x)=―g(―x)=cx也成立，從而對(duì)一切實(shí)數(shù)x，g(x)=Cx,

故g(q)=Cq?，F(xiàn)作逆變換q=－logap，

得I(M)=f(P)=－ClogaP

（11.3）

證畢。

平均信息量（數(shù)學(xué)期望-熵）問(wèn)題

設(shè)某一實(shí)驗(yàn)可能有N種結(jié)果，它們出現(xiàn)的概率分別為p1,…,pN,則事先告訴你將出現(xiàn)第i種結(jié)果的信息，其信息量為－log2pi，而該實(shí)驗(yàn)的不確定性則可用這組信息的平均信息量（或熵）來(lái)表示例如投擲一枚骼子的結(jié)果有六種，即出現(xiàn)1—6點(diǎn)、出現(xiàn)每種情況的概率均為1/6，故熵H=log26≈2.585（比特）。

投擲一枚硬幣的結(jié)果為正、反面兩種，出現(xiàn)的概率均為1/2，故熵H=log22=1（比特）。向石塊上猛摔一只雞蛋，其結(jié)果必然是將雞蛋摔破，出現(xiàn)的概率為1，故熵H=log21=0從例子可以看出，熵實(shí)質(zhì)上反映的是問(wèn)題的“模糊度”，熵為零時(shí)問(wèn)題是完全清楚的，熵越大則問(wèn)題的模糊程度也越大定理

若實(shí)驗(yàn)僅有有限結(jié)果S1,…,Sn，其發(fā)生的概率分別為P1,…,Pn，則當(dāng)時(shí)，此實(shí)驗(yàn)具有最大熵。建立信息度量公式有什么用處呢？下面我們來(lái)舉一個(gè)簡(jiǎn)單的例子加以說(shuō)明。為了研究某一現(xiàn)象，我們有時(shí)候需要做一些實(shí)驗(yàn)，做實(shí)驗(yàn)是為了獲取信息。實(shí)驗(yàn)可以有不同的設(shè)計(jì)方法，設(shè)計(jì)的方法不同，每次試驗(yàn)?zāi)芴峁┑男畔⒘恳矔?huì)不同，為了少做實(shí)驗(yàn)節(jié)省經(jīng)費(fèi)和時(shí)間，我們總希望