高考數(shù)學(xué)三輪沖刺模擬計(jì)劃模擬題分類匯編專題訓(xùn)練題訓(xùn)練-含解析

不等式高考試題不等式的考查有兩類，一是涉及不等式的性質(zhì)、不等式的解法、絕對值不等式；二是基本不等式及其應(yīng)用等，一般不獨(dú)立命題，而是以工具的形式，與充要條件、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、解析幾何、三角函數(shù)、數(shù)列等綜合考查.1、“三個(gè)二次”的關(guān)系判別式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a>0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1<x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實(shí)數(shù)根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}??2、分式不等式，然后統(tǒng)分轉(zhuǎn)化為分式不等式3、基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0.(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b.4、算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)設(shè)a＞0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．5、利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則(1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2eq\r(p)(2)如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是eq\f(q2,4)6、基本不等式的兩種常用變形形式(1)ab≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2(a，b∈R，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．(2)a＋b≥2eq\r(ab)(a>0，b>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào))．7、幾個(gè)重要的結(jié)論(1)eq\f(a2＋b2,2)≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2.(2)eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(ab>0)．(3)eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)≤eq\r(\f(a2＋b2,2))(a>0，b>0)．不等式比較大小，可以從以下幾個(gè)方面解決：運(yùn)用不等式的性質(zhì)，化為同底構(gòu)造法特殊的方法2、運(yùn)用基本不等式要注意不等式成立的條件。1、若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│【答案】C【解析】取，滿足，，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)?，知B錯(cuò)，排除B；取，滿足，，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．2、在天文學(xué)中，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述．兩顆星的星等與亮度滿足m2?m1=lg，其中星等為mk的星的亮度為Ek（k=1，2）．已知太陽的星等是?26.7，天狼星的星等是?1.45，則太陽與天狼星的亮度的比值為A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10–10.1【答案】A【解析】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選：A．3、設(shè)，則“”是“”的A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】化簡不等式，可知推不出，由能推出，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.4、若，則“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則當(dāng)時(shí)，有，解得，充分性成立；當(dāng)時(shí)，滿足，但此時(shí)，必要性不成立，綜上所述，“”是“”的充分不必要條件.5、已知集合，則A． B．C． D．【答案】B【解析】解不等式得，所以，所以可以求得，故選B．6、設(shè)，，則A． B．C． D．【答案】B【解析】∵，，，，,即，又，，即，故選B.7、已知a>0，b>0，且a+b=1，則A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；對于B，，所以，故B正確；對于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；對于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD.8、古希臘時(shí)期，人們認(rèn)為最美人體的頭頂至肚臍的長度與肚臍至足底的長度之比是（≈0.618，稱為黃金分割比例)，著名的“斷臂維納斯”便是如此．此外，最美人體的頭頂至咽喉的長度與咽喉至肚臍的長度之比也是．若某人滿足上述兩個(gè)黃金分割比例，且腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，則其身高可能是A．165cm B．175cm C．185cm D．190cm【答案】B【解析】方法一：如下圖所示.依題意可知：，腿長為105cm得，即，，，所以AD>169.89.②頭頂至脖子下端長度為26cm，即AB<26，，，，，所以.綜上，.故選B.方法二：設(shè)人體脖子下端至肚臍的長為xcm，肚臍至腿根的長為ycm，則，得．又其腿長為105cm，頭頂至脖子下端的長度為26cm，所以其身高約為42.07+5.15+105+26=178.22，接近175cm．故選B．9、2019年1月3日嫦娥四號(hào)探測器成功實(shí)現(xiàn)人類歷史上首次月球背面軟著陸，我國航天事業(yè)取得又一重大成就，實(shí)現(xiàn)月球背面軟著陸需要解決的一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題是地面與探測器的通訊聯(lián)系．為解決這個(gè)問題，發(fā)射了嫦娥四號(hào)中繼星“鵲橋”，鵲橋沿著圍繞地月拉格朗日點(diǎn)的軌道運(yùn)行．點(diǎn)是平衡點(diǎn)，位于地月連線的延長線上．設(shè)地球質(zhì)量為M１，月球質(zhì)量為M２，地月距離為R，點(diǎn)到月球的距離為r，根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律和萬有引力定律，r滿足方程：.設(shè)，由于的值很小，因此在近似計(jì)算中，則r的近似值為A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得因?yàn)椋?，即，解得，所?0、已知，則的最小值是▲．【答案】【解析】∵∴且∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.故答案為：.11、已知，且，則的最小值為_________．【答案】4【解析】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：12、李明自主創(chuàng)業(yè)，在網(wǎng)上經(jīng)營一家水果店，銷售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，價(jià)格依次為60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．為增加銷量，李明對這四種水果進(jìn)行促銷：一次購買水果的總價(jià)達(dá)到120元，顧客就少付x元．每筆訂單顧客網(wǎng)上支付成功后，李明會(huì)得到支付款的80%．①當(dāng)x=10時(shí)，顧客一次購買草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促銷活動(dòng)中，為保證李明每筆訂單得到的金額均不低于促銷前總價(jià)的七折，則x的最大值為__________．【答案】①130；②15.【解析】（1）,顧客一次購買草莓和西瓜各一盒,需要支付元.（2）設(shè)顧客一次購買水果的促銷前總價(jià)為元,元時(shí),李明得到的金額為,符合要求.元時(shí),有恒成立,即,即元.所以的最大值為.13、設(shè)，則的最小值為__________．【答案】【解析】方法一：.因?yàn)椋?，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)成立.又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，結(jié)合可知，可以取到3，故的最小值為.方法二：.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為.一、單選題1、下列命題為真命題的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【解析】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不等式不成立，故是假命題；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，不滿足，故為假命題；對于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，不滿足，故為假命題.對于D選項(xiàng)，由于，所以，即，故為真命題.故選：D.2、不等式的解集為，則不等式的解集為（）A．或 B． C． D．或【答案】A【解析】不等式的解集為,的兩根為，，且，即,解得則不等式可化為解得故選3、已知，，且，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】已知，，且，則，所以，.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值是.故選：B.4、（2020屆山東省濱州市三校高三上學(xué)期聯(lián)考）已知，，若不等式恒成立，則m的最大值為（）A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，轉(zhuǎn)化成求的最小值，

，所以．

故選：D．5、若，，，則的最小值為（）A．9 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】∵，∴，∴，，當(dāng)且僅當(dāng)“”時(shí)取等號(hào)，∴的最小值為9.故選：A.6、若關(guān)于的不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧星∮袀€(gè)正整數(shù)，即不等式的解集中恰有個(gè)正整數(shù)，所以，所以不等式的解集為所以這三個(gè)正整數(shù)為，所以，即故選：D7、已知正數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，則的最小值為（）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題意，正數(shù)是關(guān)于的方程的兩根，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立，經(jīng)檢驗(yàn)知當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)解.所以的最小值為.故選：C.8、電影《流浪地球》中反復(fù)出現(xiàn)這樣的人工語音：“道路千萬條，安全第一條，行車不規(guī)范，親人兩行淚”，成為網(wǎng)絡(luò)熱句．講的是“開車不喝酒，喝酒不開車”．2019年，公安部交通管理局下發(fā)《關(guān)于治理酒駕醉駕違法犯罪行為的指導(dǎo)意見》，對綜合治理酒駕醉駕違法犯罪行為提出了新規(guī)定，根據(jù)國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)檢疫總局下發(fā)的標(biāo)準(zhǔn)，車輛駕駛?cè)藛T飲酒后或者醉酒后駕車血液中的酒精含量閾值見表．經(jīng)過反復(fù)試驗(yàn)，一般情況下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人體血液中的變化規(guī)律的散點(diǎn)圖如圖所示，且該圖表示的函數(shù)模型．假設(shè)該人喝一瓶啤酒后至少經(jīng)過小時(shí)才可以駕車，則的值為（）（參考數(shù)據(jù)：，）車輛駕駛?cè)藛T血液酒精含量閾值駕駛行為類別閾值飲酒駕車醉酒駕車A．7 B．6 C．5 D．4【答案】B【解析】由散點(diǎn)圖可知，該人喝一瓶啤酒后的2個(gè)小時(shí)內(nèi)，其血液酒精含量大于20，則令，即，解得，，的最小值為6，故至少經(jīng)過6小時(shí)才可以駕車.故選：B.二、多選題9、設(shè)，則（）A． B．C． D．【答案】AB【解析】因?yàn)椋傻煤瘮?shù)均是減函數(shù)，可得，，所以CD不正確；又由函數(shù)是增函數(shù)，是減函數(shù)，可得，且，所以，所以故A正確；因?yàn)?，可得，所以函?shù)是增函數(shù)，可得，所以B正確.故選：AB.10、已知均為實(shí)數(shù)，則下列命題正確的是（）A．若，則B．若，則C．若則D．若則【答案】BC【解析】若，，則，故A錯(cuò)；若，，則，化簡得，故B對；若，則，又，則，故C對；若，，，，則，，，故D錯(cuò)；故選：BC．11、設(shè)，則下面不等式中恒成立的是（）A． B．C． D．【答案】ABC【解析】對于A，，所以，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，，，所以，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B正確；對于C，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；對于D，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC12、下列結(jié)論正確的是（）A．， B．若，則C．若，則 D．若，，，則【答案】BD【解析】當(dāng)時(shí)，為負(fù)數(shù)，所以A不正確；若，則，考慮函數(shù)在R上單調(diào)遞增，所以，即，所以B正確；若，則，，所以C不正確；若，，，根據(jù)基本不等式有所以D正確.故選：BD13、設(shè)，則下列不等式中，恒成立的有（）A． B．C． D．【答案】AD【解析】A.作差比較判斷；B.利用基本不等式判斷；C.作差比較判斷；D.利用不等式的加法性質(zhì)判斷.【詳解】A.因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，故正確；B.因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；C.因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；D.因?yàn)椋?，故正確；故選：AD14、已知、、．若，則（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，，，，A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，，，，即，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，由基本不等式可得，，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，，，可得，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.15、設(shè)正實(shí)數(shù)m、n滿足，則下列說法正確的是（）A．的最小值為3 B．的最大值為1C．的最小值為2 D．的最小值為2【答案】ABD【解析】因?yàn)檎龑?shí)數(shù)m、n，所以，當(dāng)且僅當(dāng)且m+n=2，即m=n=1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)取得最小值3，A正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)，mn取得最大值1，B正確；因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)m=n=1時(shí)取等號(hào)，故≤2即最大值為2，C錯(cuò)誤；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此處取得最小值2，故D正確．故選：ABD16、若，且，則下列不等式恒成立的是（）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】由且，利用基本不等式，對選項(xiàng)中的不等式逐一驗(yàn)證即可.【詳解】由，故D錯(cuò)誤；,故A正確；

又前面可知，故B正確；由，故C正確，故選ABC.17、已知在則實(shí)數(shù)的取值范圍（）A． B． C． D．【答案】ABCD【解析】首先，原式中有，所以無意義，題目錯(cuò)誤；其次，若四個(gè)選項(xiàng)改為不含0的開區(qū)間時(shí)，利用特殊值法，取，則不等式可化為，即，當(dāng)時(shí)，不等式成立，故排除選項(xiàng)AB；取時(shí)，代入，即，正確，故CD不滿足.故無正確答案.三、填空題18、當(dāng)取得最小值時(shí)，______.【答案】4【解析】當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：19、函數(shù)的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)取得最小值為.故填：.20、談祥柏先生是我國著名的數(shù)學(xué)科普作家，他寫的《數(shù)學(xué)百草園》、《好玩的數(shù)學(xué)》、《故事中的數(shù)學(xué)》等書，題材廣泛、妙趣橫生，深受廣大讀者喜愛.下面我們一起來看《好玩的數(shù)學(xué)》中談老的一篇文章《五分鐘內(nèi)挑出埃及分?jǐn)?shù)》：文章首先告訴我們，古埃及人喜歡使用分子為1的分?jǐn)?shù)（稱為埃及分?jǐn)?shù)）.如用兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)與的和表示等.從這100個(gè)埃及分?jǐn)?shù)中挑出不同的3個(gè)，使得它們的和為1，這三個(gè)分?jǐn)?shù)是________.（按照從大到小的順序排列）【答案】【解析】三個(gè)埃及分?jǐn)?shù)和為1，一定有一個(gè)是，否則和不可能為1，剩下2個(gè)和為，都小于也不合題意，否則兩個(gè)埃及分?jǐn)?shù)的和，因此第2個(gè)是，第3個(gè)只能是．故答案為：．21、已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為__________．【答案】【解析】由題意可知直線過圓心，即當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，又即時(shí)等號(hào)成立，故的最小值為9.故答案為：922、已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且．若對任意，，則的解集為______．【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)閷θ我?，，所以，所以對任意，是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)椋?，由，可得，則的解集.故答案為：.23、若關(guān)于x的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為__________．【答案】【解析】解：若，時(shí)，，，∴，此時(shí)不恒成立，∴，，令，，時(shí)，，，，在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，∴，，時(shí)，，，原不等式恒成立；時(shí)，令，，，時(shí)，，時(shí)，，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，∴，∴，∴，即，∴，∴．故答案為：.24、西氣東輸工程把西部的資源優(yōu)勢變?yōu)榱私?jīng)濟(jì)優(yōu)勢，實(shí)現(xiàn)了氣能源需求與供給的東西部銜接，同時(shí)該項(xiàng)工程的建設(shè)也加快了西部及沿線地區(qū)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展.在輸氣管道工程建設(shè)過程中，某段直線形管道鋪設(shè)需要經(jīng)過一處平行峽谷，勘探人員在峽內(nèi)恰好發(fā)現(xiàn)一處四分之一圓柱狀的圓弧拐角，用測量儀器得到此橫截圓面的圓心為，半徑且為米，而運(yùn)輸人員利用運(yùn)輸工具水平橫向移動(dòng)直線形輸氣管不可避免的要經(jīng)過此圓弧拐角，需從寬為米的峽谷拐入寬為米的峽谷.如圖所示，位于峽谷懸崖壁上的兩點(diǎn)，的連線恰好與圓弧拐角相切于點(diǎn)（點(diǎn)，，在同一水平面內(nèi)），若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過圓弧拐角，其長度不能超過______________米.【答案】75【解析】設(shè)，其中，延長OM，交AB于D，過B做SB垂線，交DO于G，延長ON，交AB于E，過A做SA垂線，交NO于F，如圖所示：在中，，AF=39，則，即，在中，，，則，即，在中，，OT=1，所以，又，所以，所以=，因?yàn)?，其中，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以=，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以若要使得直線形輸氣管能夠順利地通過圓弧拐角，其長度不能超過75米.故答案為：75.導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用從高考對導(dǎo)數(shù)的要求看，考查分三個(gè)層次，一是考查導(dǎo)數(shù)公式，求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)的幾何意義；二是導(dǎo)數(shù)的簡單應(yīng)用，包括求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值等；三是綜合考查，如研究函數(shù)零點(diǎn)、證明不等式、恒成立問題、求參數(shù)范圍等.除壓軸題，同時(shí)在小題中也加以考查，難度控制在中等以上.應(yīng)特別是注意將導(dǎo)數(shù)內(nèi)容和傳統(tǒng)內(nèi)容中有關(guān)不等式、數(shù)列、函數(shù)圖象及函數(shù)單調(diào)性有機(jī)結(jié)合，設(shè)計(jì)綜合題，考查學(xué)生靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力.1、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式(1)(xα)＝αxα－1(α為常數(shù))；(2)(ax)′＝axln_a(a>0且a≠1)；(3)(logax)′＝eq\f(1,x)logae＝eq\f(1,xlna)(a>0，且a≠1)；(4)(ex)′＝ex；(5)(lnx)′＝eq\f(1,x)；(6)(sinx)′＝cos_x；(7)(cosx)′＝－sin_x.2、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,g2x)(g(x)≠0).3、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)若y＝f(u)，u＝ax＋b，則y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y′x＝y(tǒng)′u·a.（1）函數(shù)的單調(diào)性在某個(gè)區(qū)間(a，b)內(nèi)，如果f′(x)>0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果f′(x)<0，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.（2）函數(shù)的極值判斷f(x0)是極值的方法一般地，當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，①如果在x0附近的左側(cè)f′(x)>0，右側(cè)f′(x)<0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f′(x)<0，右側(cè)f′(x)>0，那么f(x0)是極小值.求可導(dǎo)函數(shù)的極值的步驟①求f′(x)；②求方程f′(x)＝0的根；③檢查f′(x)在方程f′(x)＝0的根的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)值的符號(hào).如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值.（3）函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a，b]上必有最大值與最小值.(2)若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值.(3)設(shè)函數(shù)f(x)在[a，b]上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導(dǎo)，求f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步驟如下：①求f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的極值；②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)進(jìn)行比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值.（4）方法技巧1、利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、已知函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)范圍可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題；3、f(x)為增函數(shù)的充要條件是對任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)內(nèi)的任一非空子區(qū)間上f′(x)≠0.應(yīng)注意此時(shí)式子中的等號(hào)不能省略，否則漏解.(1)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)并不一定就是函數(shù)的極值點(diǎn).所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)后一定要注意分析這個(gè)零點(diǎn)是不是函數(shù)的極值點(diǎn).(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么y＝f(x)在(a，b)內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上單調(diào)函數(shù)沒有極值.(1)求解函數(shù)的最值時(shí)，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)，再計(jì)算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，最后比較即得.(2)可以利用列表法研究函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的變化情況.邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證．利用兩個(gè)經(jīng)典不等式解決問題，降低了思考問題的難度，優(yōu)化了推理和運(yùn)算過程．(1)對數(shù)形式：x≥1＋lnx(x>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號(hào)成立．(2)指數(shù)形式：ex≥x＋1(x∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號(hào)成立．進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex>x＋1>x>1＋lnx(x>0，且x≠1)．2、一般地，若a>f(x)對x∈D恒成立，則只需a>f(x)max；若a<f(x)對x∈D恒成立，則只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，則只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，則只需a<f(x0)max.由此構(gòu)造不等式，求解參數(shù)的取值范圍．1、分類討論法：常見有兩種情況，一種先利用綜合法，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)之間大小關(guān)系的決定條件，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，分類后，判斷不同區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，得到最值，構(gòu)造不等式求解；另一種，直接通過導(dǎo)函數(shù)的式子，看出導(dǎo)函數(shù)值正負(fù)的分類標(biāo)準(zhǔn)，通常導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)或者一次函數(shù)．提示：求解參數(shù)范圍時(shí)，一般會(huì)涉及分離參數(shù)法，理科試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，通常需要設(shè)出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，難度較大．[判斷、證明或討論函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法]利用零點(diǎn)存在性定理的條件為函數(shù)圖象在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0.①直接法：判斷一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，若函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，則只需取值證明f(a)·f(b)<0；②分類討論法：判斷幾個(gè)零點(diǎn)時(shí)，需要先結(jié)合單調(diào)性，確定分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，再利用零點(diǎn)存在性定理，在每個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)取值證明f(a)·f(b)<0.2、數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)模型就是把實(shí)際問題用數(shù)學(xué)語言抽象概括，再從數(shù)學(xué)角度來反映或近似地反映實(shí)際問題時(shí)，所得出的關(guān)于實(shí)際問題的數(shù)學(xué)描述．?dāng)?shù)學(xué)建模是把實(shí)際問題加以抽象概括，建立相應(yīng)的模型，利用這些模型來研究實(shí)際問題的一般數(shù)學(xué)方法．3、常見的函數(shù)模型①一次函數(shù)；②二次函數(shù)；③指(對)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)．三種增長型函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)圖像的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax4、解函數(shù)應(yīng)用題的步驟第一步：閱讀理解題意．讀題要做到逐字逐句，讀懂題中的文字?jǐn)⑹?，理解敘述所反映的?shí)際背景，在此基礎(chǔ)上，分析出已知什么，求什么，從中提煉出相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題．第二步：引用數(shù)學(xué)符號(hào)，建立數(shù)學(xué)模型．一般地，設(shè)自變量為x，函數(shù)為y，必要時(shí)引入其他相關(guān)輔助變量，并用x、y和輔助變量表示各相關(guān)量，然后根據(jù)已知條件，運(yùn)用已掌握的數(shù)學(xué)知識(shí)、物理知識(shí)及其他相關(guān)知識(shí)建立關(guān)系式，在此基礎(chǔ)上將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)問題，實(shí)現(xiàn)問題數(shù)學(xué)化，即所謂建立數(shù)學(xué)模型．第三步：利用數(shù)學(xué)的方法將得到的常規(guī)函數(shù)問題(即數(shù)學(xué)模型)予以解答，求得結(jié)果．第四步：將所得結(jié)果再轉(zhuǎn)譯成具體問題的解答．1、函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線方程為A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B．2、若直線l與曲線y=和x2+y2=都相切，則l的方程為A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+【答案】D【解析】設(shè)直線在曲線上的切點(diǎn)為，則，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，則直線的斜率，設(shè)直線的方程為，即，由于直線與圓相切，則，兩邊平方并整理得，解得，（舍），則直線的方程為，即.故選：D．3、已知曲線在點(diǎn)（1，ae）處的切線方程為y=2x+b，則A． B．a(chǎn)=e，b=1C． D．，【答案】D【解析】∵∴切線的斜率，，將代入，得.故選D．4、已知，設(shè)函數(shù)若關(guān)于的不等式在上恒成立，則的取值范圍為A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立；當(dāng)時(shí)，恒成立，令，則，當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，∴，則.當(dāng)時(shí)，，即恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，則時(shí)，取得最小值，∴，綜上可知，的取值范圍是.故選C.5、已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個(gè)零點(diǎn)，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0【答案】C【解析】當(dāng)x＜0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)x≥0時(shí)，y＝f（x）﹣ax﹣bx3（a+1）x2+ax﹣ax﹣bx3（a+1）x2﹣b，，當(dāng)a+1≤0，即a≤﹣1時(shí)，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)a+1＞0，即a>﹣1時(shí)，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個(gè)零點(diǎn).根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個(gè)零點(diǎn)?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個(gè)零點(diǎn)，在[0，+∞）上有2個(gè)零點(diǎn)，如圖：∴0且，解得b＜0，1﹣a＞0，b（a+1）3，則a>–1，b<0.故選C．6、曲線在點(diǎn)處的切線方程為____________．【答案】【解析】所以切線的斜率，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即7、在平面直角坐標(biāo)系中，P是曲線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最小值是▲.【答案】4【解析】由，得，設(shè)斜率為的直線與曲線切于，由得（舍去），∴曲線上，點(diǎn)到直線的距離最小，最小值為.故答案為．8、設(shè)函數(shù)（a為常數(shù)）．若f（x）為奇函數(shù)，則a=________；若f（x）是R上的增函數(shù)，則a的取值范圍是___________．【答案】【解析】首先由奇函數(shù)的定義得到關(guān)于的恒等式，據(jù)此可得的值，然后利用可得a的取值范圍.若函數(shù)為奇函數(shù)，則即，即對任意的恒成立，則，得.若函數(shù)是R上的增函數(shù)，則在R上恒成立，即在R上恒成立，又，則，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.9、已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【解析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=ex+x2–x，則=ex+2x–1．故當(dāng)x∈（–∞，0）時(shí)，<0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，>0．所以f（x）在（–∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．（2）等價(jià)于.設(shè)函數(shù)，則.（i）若2a+1≤0，即，則當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，>0.所以g（x）在（0，2）單調(diào)遞增，而g（0）=1，故當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g（x）>1，不合題意.（ii）若0<2a+1<2，即，則當(dāng)x∈(0，2a+1)∪(2，+∞)時(shí)，g'(x)<0；當(dāng)x∈(2a+1，2)時(shí)，g'(x)>0.所以g(x)在(0，2a+1)，(2，+∞)單調(diào)遞減，在(2a+1，2)單調(diào)遞增.由于g(0)=1，所以g(x)≤1當(dāng)且僅當(dāng)g(2)=(7?4a)e?2≤1，即a≥.所以當(dāng)時(shí)，g(x)≤1.（iii）若2a+1≥2，即，則g(x)≤.由于，故由（ii）可得≤1.故當(dāng)時(shí)，g(x)≤1.綜上，a的取值范圍是.10、已知函數(shù)．（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)，證明：．【解析】（1）．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減．（2）因?yàn)椋桑?）知，在區(qū)間的最大值為，最小值為．而是周期為的周期函數(shù)，故．（3）由于，所以．11、設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求B．（2）若有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1．【解析】（1）．依題意得，即.故．（2）由（1）知，.令，解得或.與的情況為：x+0–0+因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，只有大于1的零點(diǎn).因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，f（x）只有小于–1的零點(diǎn)．由題設(shè)可知，當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)和1.當(dāng)時(shí)，只有兩個(gè)零點(diǎn)–1和.當(dāng)時(shí)，有三個(gè)等點(diǎn)x1，x2，x3，且，，．綜上，若有一個(gè)絕對值不大于1的零點(diǎn)，則所有零點(diǎn)的絕對值都不大于1.12、已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，（i）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（ii）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求證：對任意的，且，有．【解析】（Ⅰ）（i）當(dāng)時(shí)，，故．可得，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．（ii）依題意，．從而可得，整理可得．令，解得．當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：1-0+↘極小值↗所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；的極小值為，無極大值．（Ⅱ）證明：由，得．對任意的，且，令，則．①令．當(dāng)時(shí)，，由此可得在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即．因?yàn)?，，所以，．②由（Ⅰ）（ii）可知，當(dāng)時(shí)，，即，故．③由①②③可得．所以，當(dāng)時(shí)，對任意的，且，有．13、已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程：，即.（Ⅱ）顯然，因?yàn)樵邳c(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時(shí)，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時(shí)，取得極小值，也是最小值為.14、已知，函數(shù)，其中e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）證明：函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)；（Ⅱ）記x0為函數(shù)在上的零點(diǎn)，證明：（?。?；（ⅱ）．【解析】（Ⅰ）因?yàn)?，，所以在上存在零點(diǎn)．因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)以在上有唯一零點(diǎn)．（Ⅱ）（?。┝睿?，由（Ⅰ）知函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，故．由得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故．令，，令，，所以故當(dāng)時(shí)，，即，所以在單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，．由得，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，故．綜上，．（ⅱ）令，，所以當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，因此．由可得，由得．15、已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若f（x）≥1，求a的取值范圍．【解析】的定義域?yàn)椋?）當(dāng)時(shí)，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．直線在軸，軸上的截距分別為，．因此所求三角形的面積為．（2）當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，從而．當(dāng)時(shí)，．綜上，的取值范圍是．16、已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)；（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】（1）設(shè)，則，.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為.則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn).（2）的定義域?yàn)?（i）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點(diǎn).（ii）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.又，，所以當(dāng)時(shí)，.從而，在沒有零點(diǎn).（iii）當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減.而，，所以在有唯一零點(diǎn).（iv）當(dāng)時(shí)，，所以<0，從而在沒有零點(diǎn).綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn).單選題1、已知函數(shù)（其中為自然對數(shù)的底數(shù)），則圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】C【解析】，該函數(shù)的定義域?yàn)?，且，令，可得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；令，可得，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的極小值為.因此，函數(shù)的圖象為C選項(xiàng)中的圖象.故選：C.2、已知在區(qū)間上有極值點(diǎn)，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】,由于函數(shù)在上有極值點(diǎn)，所以在上有零點(diǎn).所以，解得.故選：D.3、已知，為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的最小值是()A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】的導(dǎo)數(shù)為，由切線的方程可得切線的斜率為1，可得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以切點(diǎn)為，代入，得，、為正實(shí)數(shù)，則．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值．故選：C4、若冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則函數(shù)的遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)，代入點(diǎn)，則，解得，，則，令，解得，函數(shù)的遞增區(qū)間為.故選：A.5、設(shè)函數(shù)，若函數(shù)的圖象在點(diǎn)(1，)處的切線方程為y＝x，則函數(shù)的增區(qū)間為A．(0，1)B．(0，)C．(，)D．(，1)【答案】C【解析】的定義域?yàn)?，∵函?shù)的圖象在點(diǎn)(1，)處的切線方程為y=x，∴解得：∴欲求的增區(qū)間只需，解得：即函數(shù)的增區(qū)間為(，)故選：C6、已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)由題意得方程有兩個(gè)根.設(shè)，則設(shè)，則所以在上單調(diào)遞減，又當(dāng)，所以在上單調(diào)遞增,當(dāng)，所以在上單調(diào)遞減,又，，當(dāng)時(shí)，，則所以存在，，即在上，又當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的增加速度的快慢，可知時(shí)，作出函數(shù)的大致圖象如下.所以方程有兩個(gè)根，即的圖象與有兩個(gè)交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B7、已知函數(shù)，若且，則的最大值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如下圖所示：設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)作軸的垂線交函數(shù)于另一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，并過點(diǎn)作直線的平行線，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，，由圖形可知，當(dāng)直線與曲線相切時(shí)，取最大值，當(dāng)時(shí)，，令，得，切點(diǎn)坐標(biāo)為，此時(shí)，，，故選B.多選題8、函數(shù)若函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，則可能取的值有（）A．2 B． C．0 D．1【答案】ABC【解析】∵只有一個(gè)零點(diǎn)，

∴函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)，

作函數(shù)函數(shù)與函數(shù)的圖象如下，

結(jié)合圖象可知，當(dāng)時(shí)；函數(shù)與函數(shù)有一個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，，可得，令可得，所以函數(shù)在時(shí)，直線與相切，可得.綜合得：或.

故選：ABC.9、設(shè)函數(shù)若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)可取的值可能是（）A．0 B． C． D．1【答案】BCD【解析】函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于與有三個(gè)不同的交點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，則所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且，，從而可得圖象如下圖所示：通過圖象可知，若與有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則故選：BCD10、（2020·魚臺(tái)縣第一中學(xué)高三月考）對于函數(shù)，下列正確的是（）A．是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)B．的單調(diào)增區(qū)間是，C．在區(qū)間上單調(diào)遞減D．直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)【答案】ACD【解析】由題得，令，可得，則在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，故AC正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，，又，根?jù)在上單調(diào)遞減得得，所以直線與函數(shù)的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD.11、已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底），若且有四個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值可以為（）A．1 B．e C．2e D．3e【答案】CD【解析】因?yàn)?，可得，即為偶函?shù)，由題意可得時(shí)，有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即時(shí)，，由，可得，由相切，設(shè)切點(diǎn)為，的導(dǎo)數(shù)為，可得切線的斜率為，可得切線的方程為，由切線經(jīng)過點(diǎn)，可得，解得：或（舍去），即有切線的斜率為，故，故選：CD.12、已知函數(shù)，是函數(shù)的極值點(diǎn)，以下幾個(gè)結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】AC【解析】函數(shù),,∵是函數(shù)的極值點(diǎn)，∴，即，

,

,,即A選項(xiàng)正確,B選項(xiàng)不正確;

,即C正確,D不正確.

故答案為:AC.13、設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令函數(shù)，因?yàn)?，，為奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．存在，得，，即，；，為函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞減，由選項(xiàng)知，取，又，要使在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn)，只需使，解得，的取值范圍為，故選：．14、關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（）A．是的極大值點(diǎn)B．函數(shù)有且只有1個(gè)零點(diǎn)C．存在正實(shí)數(shù)，使得成立D．對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)，，且，若，則.【答案】BD【解析】A.函數(shù)的的定義域?yàn)椋?，+∞），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，∴x＝2是f（x）的極小值點(diǎn)，即A錯(cuò)誤；B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2=ln2﹣1<0，∴函數(shù)y＝f（x）﹣x有且只有1個(gè)零點(diǎn)，即B正確；C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），則g′（x），令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）＝﹣lnx，∴在x∈（0，1）上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞）上函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）?h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，∴不存在正實(shí)數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；D.令t∈（0，2），則2﹣t∈（0，2），2+t＞2，令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，則g′（t）0，∴g（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，則g（t）＜g（0）＝0，令x1＝2﹣t，由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，則x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，當(dāng)x2≥4時(shí)，x1+x2＞4顯然成立，∴對任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1+x2＞4，故D正確故正確的是BD，故選：BD．15、設(shè)函數(shù)，且、、，下列命題正確的是（）A．若，則B．存在，使得C．若，則D．對任意，總有，使得【答案】BC【解析】利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷A選項(xiàng)的正誤；證明出，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用函數(shù)在上的單調(diào)性可判斷C選項(xiàng)的正誤；取，，可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對于A選項(xiàng)，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，則，即，所以，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，則，則，即，所以，，結(jié)合A選項(xiàng)可知，，若，則，所以，，B選項(xiàng)正確；對于C選項(xiàng)，由B選項(xiàng)可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則，即，則，所以，，即，C選項(xiàng)正確；對于D選項(xiàng)，取，，由AB選項(xiàng)可知，，則，若存在，則，此時(shí)，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC.填空題16、設(shè)點(diǎn)是曲線上任一點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最小距離為__________．【答案】【解析】由題,過點(diǎn)作曲線的切線,則,設(shè)點(diǎn),則,當(dāng)切線與直線平行時(shí)點(diǎn)到該直線距離最小,則,即,所以點(diǎn)為,則點(diǎn)到直線的最小距離為,故答案為：17、曲線在點(diǎn)處的切線的方程為__________．【答案】【解析】18、直線與曲線相切，則__________.【答案】【解析】函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，則，解得：.故答案為：19、若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，則k的取值范圍是__________．【答案】【解析】因?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞增，不符合；當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，不符合；當(dāng)時(shí)，若，則，若，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，符合題意，綜上可知：.故答案為：.20、已知直線是曲線的一條切線，則_________．【答案】．【解析】對，，由，得時(shí)，，所以，．故答案為：．21、已知是正整數(shù)，有零點(diǎn)，則的最小值為__________.【答案】10【解析】由得，令，則，令，由，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故在處取得最小值，由題意可知：，，.故的最小值為10.故答案為：1022、已知函數(shù)的定義域?yàn)椋遥魧θ我?，，則的解集為______．【答案】【解析】設(shè)，則，因?yàn)閷θ我猓?，所以，所以對任意，是單調(diào)遞增函數(shù)，因?yàn)?，所以，由，可得，則的解集.故答案為：.23、設(shè)函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線為，若方程有兩個(gè)不等實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】由可得，在點(diǎn)處的切線斜率為，所以，將點(diǎn)代入可得，所以方程即有兩個(gè)不等實(shí)根，等價(jià)于與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，作的圖象如圖所示：由圖知：若與圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)則嗎，故答案為：24、函數(shù)（，）在區(qū)間上存在極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．【答案】【解析】設(shè)，，令，解得，即在上單調(diào)遞增；令，解得，即在上單調(diào)遞減；且，又，則當(dāng)，即時(shí)，先增后減，即函數(shù)存在極大值故答案為：解答題25、已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若，且在上的最小值為0，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴，，∴切線方程為，即（2）∵，∴原條件等價(jià)于：在上，恒成立.化為令，則令，則在上，，∴在上，故在上，；在上，∴的最小值為，∴26、已知函數(shù)，函數(shù)（）.（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.【解析】（1）解：的定義域?yàn)?，，?dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；當(dāng)，時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)，時(shí)，令，得，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)函數(shù)，則.因?yàn)?，所以，，則，從而在上單調(diào)遞減，所以，即.（3）證明：當(dāng)時(shí)，.由（1）知，，所以，即.當(dāng)時(shí)，，，則，即，又，所以，即.27、已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若函數(shù)處有極小值，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，，所以，又，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為，即.（2）因?yàn)?，因?yàn)楹瘮?shù)處有極小值，所以，所以由，得或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，因?yàn)?，，所以的最大值?28、已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)且與曲線相切的直線方程;（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)不在函數(shù)圖象上，，設(shè)切點(diǎn)為，則切線方程為，因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，解得，因此所求的直線方程為.（2），當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，其中，，符合題意，當(dāng)時(shí)，取，，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞增，所以，要使，只需，，解得；綜上所述，.29、已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)的最小值為，證明：；(2)若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，證明：．【解析】（1），令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，；（2），，令，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，又函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，，且，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，又，，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，，，即，．30、設(shè)函數(shù)，.（1）若，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行.①求，的值；②求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對恒成立.【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，，則.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）①因?yàn)?，所以，依題設(shè)有，即.解得.②，.對恒成立，即對恒成立.令，則有.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增.所以，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，不恒成立.綜上，.概率統(tǒng)計(jì)古典概率、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差是高考的熱點(diǎn)題型，去年竟有解答題作為壓軸題，常與排列、組合、概率等知識(shí)綜合命題．以實(shí)際問題為背景考查離散型隨機(jī)變量的均值與方差在實(shí)際問題中的應(yīng)用，注重與數(shù)列、不等式、函數(shù)、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的綜合考查，是高考的主要命題方向．1.事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，如果P(AB)＝P(A)P(B)，那么稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與B－，A－與B，A－與B－也相互獨(dú)立．(3)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)：在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pkeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－p))n－k(k＝0，1，2，…，n)．2.隨機(jī)變量的有關(guān)概念(1)隨機(jī)變量：隨著試驗(yàn)結(jié)果變化而變化的變量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)離散型隨機(jī)變量：所有取值可以一一列出的隨機(jī)變量．3.離散型隨機(jī)變量的概率分布及其性質(zhì)(1)一般地，若離散型隨機(jī)變量X可能取的不同值為x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一個(gè)值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，則表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn稱為離散型隨機(jī)變量X的概率分布列，簡稱為X的概率分布，有時(shí)為了表達(dá)簡單，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的概率分布．(2)離散型隨機(jī)變量概率分布的性質(zhì)①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1．4.常見離散型隨機(jī)變量的概率分布(1)兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從兩點(diǎn)分布，即其概率分布為X01P1－pp其中p＝P(X＝1)稱為成功概率．(2)超幾何分布：在含有M件次品的N件產(chǎn)品中，任取n件，其中恰有X件次品，則事件“X＝r”發(fā)生的概率為P(X＝r)＝eq\f(Ceq\o\al(r,M)Ceq\o\al(n－r,N－M),Ceq\o\al(n,N))，r＝0，1，2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，稱分布列為超幾何分布．X01…mPeq\f(Ceq\o\al(0,M)Ceq\o\al(n,N－M),Ceq\o\al(n,N))eq\f(Ceq\o\al(1,M)MCeq\o\al(n－1,N－M),Ceq\o\al(n,N))…eq\f(Ceq\o\al(m,M)MCeq\o\al(n－m,N－M),Ceq\o\al(n,N))(3)二項(xiàng)分布X～B(n，p)，記為Ceq\o\al(k,n)pkqn－k＝B(k；n，p)．X01…k…nPCeq\o\al(0,n)p0qnCeq\o\al(1,n)p1qn－1…Ceq\o\al(k,n)pkqn－k…Ceq\o\al(n,n)pnq05.求概率分布的步驟(1)明確隨機(jī)變量X取哪些值；(2)求X取每一個(gè)值的概率；(3)列成表格．6.離散型隨機(jī)變量的均值與方差若離散型隨機(jī)變量X的概率分布為Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn(1)均值稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝xi－E(x)]2pi為隨機(jī)變量X的方差，它刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，D(X)越小，穩(wěn)定性越高，波動(dòng)性越小，其算術(shù)平方根eq\r(D（X）)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差．2.均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．3.兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、超幾何分布的期望、方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．(2)若X服從二項(xiàng)分布，即X～B(n，p)，則E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．(3)若X服從超幾何分布，即X～H(n，M，N)時(shí)，E(X)＝eq\f(nM,N)．8正態(tài)曲線及性質(zhì)(1)正態(tài)曲線的定義函數(shù)μ，σ(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))e－eq\f(（x－μ）2,2σ2)，x∈(－∞，＋∞)(其中實(shí)數(shù)μ和σ(σ>0)為參數(shù))的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡稱正態(tài)曲線．(μ是正態(tài)分布的期望，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差)．(2)正態(tài)曲線的特點(diǎn)①曲線位于x軸上方與x軸不相交；②曲線是單峰的，它關(guān)于直線x＝μ對稱；③曲線在x＝μ處達(dá)到峰值eq\f(1,σ\r(2π))；④曲線與x軸之間的面積為1；⑤當(dāng)σ一定時(shí)，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移；⑥當(dāng)μ一定時(shí)，曲線的形狀由σ確定．σ越小，曲線越“高瘦”，表示總體的分布越集中；，σ越大，曲線越“矮胖”，表示總體的分布越分散．5.正態(tài)分布(1)正態(tài)分布的定義及表示如果對于任何實(shí)數(shù)a，b(a<b)，隨機(jī)變量X滿足P(a<X≤b)μ，σ(x)dx，則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X～N(μ，σ2)．(2)正態(tài)分布的三個(gè)常用數(shù)據(jù)①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974．9.變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．eq\x(體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系.)(2)從散點(diǎn)圖上看，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點(diǎn)散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2.兩個(gè)變量的線性相關(guān)(1)從散點(diǎn)圖上看，如果這些點(diǎn)從整體上看大致分布在通過散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，稱兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程為y^＝b^x＋a^_，其中其中a^，b^是待定參數(shù)，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b^＝\f(\i\su(i＝1（xi－x－）（yi－y－）,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))（xi－x－,n,）)2)＝\f(\i\su(i＝1xiyi－nx－y－,\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－nx－2)，,a^＝y(tǒng)－－b^x－.)),（3）通過求Q＝∑n,i＝1,n,)(yi－bxi－a)2的最小值而得到回歸直線的方法，即使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小，這一方法叫做最小二乘法．(4)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．3.獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個(gè)變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨(dú)立性檢驗(yàn)利用隨機(jī)變量K2(也可表示為χ2)的觀測值k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個(gè)變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn)．常用結(jié)論(1)求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a^，b^，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(x－，y－)．(2)根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．(3)根據(jù)回歸方程計(jì)算的b^值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值．1、在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓．為解決困難，許多志愿者踴躍報(bào)名參加配貨工作．已知該超市某日積壓500份訂單未配貨，預(yù)計(jì)第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05，志愿者每人每天能完成50份訂單的配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95，則至少需要志愿者A．10名 B．18名 C．24名 D．32名【答案】B【解析】由題意，第二天新增訂單數(shù)為，設(shè)需要志愿者x名，，,故需要志愿者名.故選：B2、某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x（單位：°C）的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10°C至40°C之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是A． B．C． D．【答案】D【解析】由散點(diǎn)圖分布可知，散點(diǎn)圖分布在一個(gè)對數(shù)函數(shù)的圖象附近，因此，最適合作為發(fā)芽率和溫度的回歸方程類型的是.故選：D.3、某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是A．62% B．56%C．46% D．42%【答案】C【解析】記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，則，，，所以所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為.故選：C.4、在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為；對于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大.故選：B.5、信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為，且，定義X的信息熵.A．若n=1，則H(X)=0B．若n=2，則H(X)隨著的增大而增大C．若，則H(X)隨著n的增大而增大D．若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為，且，則H(X)≤H(Y)【答案】AC【解析】對于A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.對于B選項(xiàng)，若，則，，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，兩者相等，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.對于C選項(xiàng)，若，則，則隨著的增大而增大，所以C選項(xiàng)正確.對于D選項(xiàng)，若，隨機(jī)變量的所有可能的取值為，且（）..由于，所以，所以，所以，所以，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC6、從一批零件中抽取80個(gè)，測量其直徑（單位：），將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為A．10 B．18 C．20 D．36【答案】B【解析】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，則區(qū)間內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為：.故選：B.7、《西游記》《三國演義》《水滸傳》和《紅樓夢》是中國古典文學(xué)瑰寶，并稱為中國古典小說四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過《西游記》或《紅樓夢》的學(xué)生共有90位，閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有80位，閱讀過《西游記》且閱讀過《紅樓夢》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為A．0.5 B．0.6C．0.7 D．0.8【答案】C【解析】由題意得，閱讀過《西游記》的學(xué)生人數(shù)為90-80+60=70，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為70÷100=0.7．故選C．8、設(shè)0＜a＜1，則隨機(jī)變量X的分布列是則當(dāng)a在（0，1）內(nèi)增大時(shí)，A．增大 B．減小C．先增大后減小D．先減小后增大【答案】D【解析】方法1：由分布列得，則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大．故選D．方法2：則，則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先減小后增大．故選D．9、已知甲、乙兩球落入盒子的概率分別為和．假定兩球是否落入盒子互不影響，則甲、乙兩球都落入盒子的概率為_________；甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為_________．【答案】【解析】甲、乙兩球落入盒子的概率分別為，且兩球是否落入盒子互不影響，所以甲、乙都落入盒子概率為，甲、乙兩球都不落入盒子的概率為，所以甲、乙兩球至少有一個(gè)落入盒子的概率為.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，以及利用對立事件求概率，屬于基礎(chǔ)題.10、盒中有4個(gè)球，其中1個(gè)紅球，1個(gè)綠球，2個(gè)黃球．從盒中隨機(jī)取球，每次取1個(gè)，不放回，直到取出紅球?yàn)橹梗O(shè)此過程中取到黃球的個(gè)數(shù)為，則_______，_______．【答案】，【解析】因?yàn)閷?yīng)事件為第一次拿紅球或第一次拿綠球，第二次拿紅球，所以，隨機(jī)變量，，，所以.故答案為：.11、甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場比賽，負(fù)者下一場輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束.經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空.設(shè)每場比賽雙方獲勝的概率都為，（1）求甲連勝四場的概率；（2）求需要進(jìn)行第五場比賽的概率；（3）求丙最終獲勝的概率.【解析】（1）甲連勝四場的概率為．（2）根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場比賽，至多需要進(jìn)行五場比賽．比賽四場結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場的概率為；乙連勝四場的概率為；丙上場后連勝三場的概率為．所以需要進(jìn)行第五場比賽的概率為．（3）丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場結(jié)束且丙最終獲勝的概率為．比賽五場結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場開始的四場比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為，，．因此丙最終獲勝的概率為．12、某沙漠地區(qū)經(jīng)過治理，生態(tài)系統(tǒng)得到很大改善，野生動(dòng)物數(shù)量有所增加．為調(diào)查該地區(qū)某種野生動(dòng)物的數(shù)量，將其分成面積相近的200個(gè)地塊，從這些地塊中用簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取20個(gè)作為樣區(qū)，調(diào)查得到樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i=1，2，…，20)，其中xi和yi分別表示第i個(gè)樣區(qū)的植物覆蓋面積(單位：公頃)和這種野生動(dòng)物的數(shù)量，并計(jì)算得，，，，．（1）求該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值（這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值等于樣區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù)）；（2）求樣本(xi，yi)(i=1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)（精確到0.01）；（3）根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計(jì)資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大．為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．【解析】（1）由已知得樣本平均數(shù)，從而該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量的估計(jì)值為60×200=12000．（2）樣本的相關(guān)系數(shù)．（3）分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個(gè)地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由（2）知各樣區(qū)的這種野生動(dòng)物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動(dòng)物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動(dòng)物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計(jì)．13、某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位：天）：鍛煉人次鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200]（200，400]（400，600]1（優(yōu)）216252（良）510123（輕度污染）6784（中度污染）720（1）分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；（2）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828．【解析】（1）由所給數(shù)據(jù)，該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率的估計(jì)值如下表：空氣質(zhì)量等級1234概率的估計(jì)值0.430.270.210.09（2）一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為．（3）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：人次≤400人次>400空氣質(zhì)量好3337空氣質(zhì)量不好228根據(jù)列聯(lián)表得．由于，故有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)．14、為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了天空氣中的和濃度（單位：），得下表：3218468123710（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中濃度不超過，且濃度不超過”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)？附：，0.0500.0100.0013.8416.63510.828【解析】（1）根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150的天數(shù)為,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且濃度不超過150的概率的估計(jì)值為．（2）根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得列聯(lián)表：64161010（3）根據(jù)（2）的列聯(lián)表得．由于，故有的把握認(rèn)為該市一天空氣中濃度與濃度有關(guān)．15、某校為舉辦甲、乙兩項(xiàng)不同活動(dòng)，分別設(shè)計(jì)了相應(yīng)的活動(dòng)方案：方案一、方案二．為了解該校學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持，對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，獲得數(shù)據(jù)如下表：男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動(dòng)方案是否支持相互獨(dú)立．（Ⅰ）分別估計(jì)該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率；（Ⅱ）從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人，全體女生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)這3人中恰有2人支持方案一的概率；（Ⅲ）將該校學(xué)生支持方案的概率估計(jì)值記為，假設(shè)該校年級有500名男生和300名女生，除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計(jì)值記為，試比較與的大?。ńY(jié)論不要求證明）【解析】（Ⅰ）該校男生支持方案一的概率為，該校女生支持方案一的概率為；（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分兩種情況，（1）僅有兩個(gè)男生支持方案一，（2）僅有一個(gè)男生支持方案一，一個(gè)女生支持方案一，所以3人中恰有2人支持方案一概率為：;（Ⅲ）16、為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A，B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比．根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P（C）的估計(jì)值為0.70．（1）求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；（2）分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）．【答案】（1）a=0.35，b=0.10；（2）甲、乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值分別為4.05，6.00．【解析】（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．17、11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10:10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10:10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲獲勝”的概率．【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X=2就是10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P（X=2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X=4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1．18、設(shè)甲、乙兩位同學(xué)上學(xué)期間，每天7：30之前到校的概率均為．假定甲、乙兩位同學(xué)到校情況互不影響，且任一同學(xué)每天到校情況相互獨(dú)立．（1）用表示甲同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）設(shè)為事件“上學(xué)期間的三天中，甲同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)比乙同學(xué)在7：30之前到校的天數(shù)恰好多2”，求事件發(fā)生的概率．【答案】（1）分布列見解析，；（2）．【分析】本小題主要考查離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望，互斥事件和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)用概率知識(shí)解決簡單實(shí)際問題的能力．滿分13分．【解析】（1）因?yàn)榧淄瑢W(xué)上學(xué)期間的三天中到校情況相互獨(dú)立，且每天7：30之前到校的概率均為，故，從而．所以，隨機(jī)變量的分布列為0123隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望．（2）設(shè)乙同學(xué)上學(xué)期間的三天中7：30之前到校的天數(shù)為，則，且．由題意知事件與互斥，且事件與，事件與均相互獨(dú)立，從而由（1）知．19、改革開放以來，人們的支付方式發(fā)生了巨大轉(zhuǎn)變．近年來，移動(dòng)支付已成為主要支付方式之一．為了解某校學(xué)生上個(gè)月A，B兩種移動(dòng)支付方式的使用情況，從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，發(fā)現(xiàn)樣本中A，B兩種支付方式都不使用的有5人，樣本中僅使用A和僅使用B的學(xué)生的支付金額分布情況如下：支付金額（元）支付方式（0，1000]（1000，2000]大于2000僅使用A18人9人3人僅使用B10人14人1人（1）從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該學(xué)生上個(gè)月A，B兩種支付方式都使用的概率；（2）從樣本僅使用A和僅使用B的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人，以X表示這2人中上個(gè)月支付金額大于1000元的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；（3）已知上個(gè)月樣本學(xué)生的支付方式在本月沒有變化．現(xiàn)從樣本僅使用A的學(xué)生中，隨機(jī)抽查3人，發(fā)現(xiàn)他們本月的支付金額都大于2000元．根據(jù)抽查結(jié)果，能否認(rèn)為樣本僅使用A的學(xué)生中本月支付金額大于2000元的人數(shù)有變化？說明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列見解析，E（X）=1；（3）見解析．【解析】（1）由題意知，樣本中僅使用A的學(xué)生有18+9+3=30人，僅使用B的學(xué)生有10+14+1=25人，A，B兩種支付方式都不使用的學(xué)生有5人．故樣本中A，B兩種支付方式都使用的學(xué)生有100?30?25?5=40人．所以從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，該學(xué)生上個(gè)月A，