《相似三角形》經(jīng)典練習(xí)題(附答案)

江南匯教育網(wǎng)相似三角形經(jīng)典練習(xí)題（附答案）1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．2．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)F在BC上，連DF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求證：△CDF∽△BGF；（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過F作EF∥CD交AD于點(diǎn)E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長(zhǎng)．3．如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC．求證：△ABC∽△FDE．4．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD．5．已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)．（1）求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)你在圖②中延長(zhǎng)ED交線段BC于點(diǎn)P．求證：△PBD∽△AMN．6．如圖，E是?ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EC，交AD于點(diǎn)F．在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對(duì)相似三角形給予證明．7．如圖，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC=_________°，BC=_________；（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論．8．如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．9．如圖，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，對(duì)角線BD、AC把梯形分成了四個(gè)小三角形．（1）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請(qǐng)你任選一組相似三角形，并給出證明．10．如圖△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請(qǐng)寫出一對(duì)；若沒有，請(qǐng)說明理由；（3）求△BEC與△BEA的面積之比．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．（1）求四邊形AQMP的周長(zhǎng)；（2）寫出圖中的兩對(duì)相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論．12．已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，M是CD的中點(diǎn)，試說明：△ADM∽△MCP．13．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：①當(dāng)點(diǎn)P在B?A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△CQE相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；③在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．14．已知矩形ABCD，長(zhǎng)BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)．若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BDC相似？15．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似．16．如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．問當(dāng)AB的長(zhǎng)為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．17．已知，如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，能否在邊AB上找一點(diǎn)N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請(qǐng)給出證明，若不能，請(qǐng)說明理由．18．如圖在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)．若Q、P分別同時(shí)從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBA相似？19．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似．20．△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：△BEM∽△CNE；（2）如圖2，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．21．如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間，那么當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．22．如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？23．陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡．請(qǐng)你在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案．（1）所需的測(cè)量工具是：_________；（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測(cè)量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長(zhǎng)度為x，請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x．24．問題背景在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量．下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1，測(cè)得一根直立于平地，長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm．乙組：如圖2，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm．丙組：如圖3，測(cè)得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm，影長(zhǎng)為156cm．任務(wù)要求：（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點(diǎn)M．請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長(zhǎng)等于線段NG的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式1562+2082=2602）25．陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC．26．如圖，李華晚上在路燈下散步．已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長(zhǎng)；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前后的兩個(gè)影子的長(zhǎng)度之和（DA+AC）是否是定值請(qǐng)說明理由；（3）若李華在點(diǎn)A朝著影子（如圖箭頭）的方向以v1勻速行走，試求他影子的頂端在地面上移動(dòng)的速度v2．27．如圖①，分別以直角三角形ABC三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，其面積分別用S1，S2，S3表示，則不難證明S1=S2+S3．（1）如圖②，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正方形，其面積分別用S1，S2，S3表示，那么S1，S2，S3之間有什么關(guān)系；（不必證明）（2）如圖③，分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)正三角形，其面積分別用S1、S2、S3表示，請(qǐng)你確定S1，S2，S3之間的關(guān)系并加以證明；（3）若分別以直角三角形ABC三邊為邊向外作三個(gè)一般三角形，其面積分別用S1，S2，S3表示，為使S1，S2，S3之間仍具有與（2）相同的關(guān)系，所作三角形應(yīng)滿足什么條件證明你的結(jié)論；（4）類比（1），（2），（3）的結(jié)論，請(qǐng)你總結(jié)出一個(gè)更具一般意義的結(jié)論．28．已知：如圖，△ABC∽△ADE，AB=15，AC=9，BD=5．求AE．29．已知：如圖Rt△ABC∽R(shí)t△BDC，若AB=3，AC=4．（1）求BD、CD的長(zhǎng)；（2）過B作BE⊥DC于E，求BE的長(zhǎng)．30．（1）已知，且3x+4z﹣2y=40，求x，y，z的值；（2）已知：兩相似三角形對(duì)應(yīng)高的比為3：10，且這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差為560cm，求它們的周長(zhǎng)．參考答案與試題解析1．如圖，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求證：△ADE∽△EFC．考點(diǎn)：相似三角形的判定；平行線的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根據(jù)相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC．解答：證明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理．2．如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，點(diǎn)F在BC上，連DF與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G．（1）求證：△CDF∽△BGF；（2）當(dāng)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)時(shí)，過F作EF∥CD交AD于點(diǎn)E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的長(zhǎng)．考點(diǎn)：相似三角形的判定；三角形中位線定理；梯形。專題：幾何綜合題。分析：（1）利用平行線的性質(zhì)可證明△CDF∽△BGF．（2）根據(jù)點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)這一已知條件，可得△CDF≌△BGF，則CD=BG，只要求出BG的長(zhǎng)即可解題．解答：（1）證明：∵梯形ABCD，AB∥CD，∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，（2分）∴△CDF∽△BGF．（3分）（2）解：由（1）△CDF∽△BGF，又F是BC的中點(diǎn)，BF=FC，∴△CDF≌△BGF，∴DF=GF，CD=BG，（6分）∵AB∥DC∥EF，F(xiàn)為BC中點(diǎn)，∴E為AD中點(diǎn)，∴EF是△DAG的中位線，∴2EF=AG=AB+BG．∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2，∴CD=BG=2cm．（8分）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定定理及性質(zhì)，全等三角形的判定及線段的等量代換，比較復(fù)雜．3．如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC．求證：△ABC∽△FDE．考點(diǎn)：相似三角形的判定。專題：證明題。分析：由FD∥AB，F(xiàn)E∥AC，可知∠B=∠FDE，∠C=∠FED，根據(jù)三角形相似的判定定理可知：△ABC∽△FDE．解答：證明：∵FD∥AB，F(xiàn)E∥AC，∴∠B=∠FDE，∠C=∠FED，∴△ABC∽△FDE．點(diǎn)評(píng)：本題很簡(jiǎn)單，考查的是相似三角形的判定定理：（1）如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（2）如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；（3）如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似．4．如圖，已知E是矩形ABCD的邊CD上一點(diǎn)，BF⊥AE于F，試說明：△ABF∽△EAD．考點(diǎn)：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似可解．解答：證明：∵矩形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，（2分）∴∠BAF=∠AED．（4分）∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D．（5分）∴△ABF∽△EAD．（6分）點(diǎn)評(píng)：考查相似三角形的判定定理，關(guān)鍵是找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的角．5．已知：如圖①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點(diǎn)B，A，D在一條直線上，連接BE，CD，M，N分別為BE，CD的中點(diǎn)．（1）求證：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形；（2）在圖①的基礎(chǔ)上，將△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖②所示的圖形．請(qǐng)直接寫出（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請(qǐng)你在圖②中延長(zhǎng)ED交線段BC于點(diǎn)P．求證：△PBD∽△AMN．考點(diǎn)：相似三角形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題：幾何綜合題。分析：（1）因?yàn)椤螧AC=∠DAE，所以∠BAE=∠CAD，又因?yàn)锳B=AC，AD=AE，利用SAS可證出△BAE≌△CAD，可知BE、CD是對(duì)應(yīng)邊，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，可證△AMN是等腰三角形．（2）利用（1）中的證明方法仍然可以得出（1）中的結(jié)論，思路不變．（3）先證出△ABM≌△ACN（SAS），可得出∠CAN=∠BAM，所以∠BAC=∠MAN（等角加等角和相等），又∵∠BAC=∠DAE，所以∠MAN=∠DAE=∠BAC，所以△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形，所以∠PBD=∠AMN，所以△PBD∽△AMN（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似）．解答：（1）證明：①∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAE=∠CAD，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABE≌△ACD，∴BE=CD．②由△ABE≌△ACD，得∠ABE=∠ACD，BE=CD，∵M(jìn)、N分別是BE，CD的中點(diǎn)，∴BM=CN．又∵AB=AC，∴△ABM≌△ACN．∴AM=AN，即△AMN為等腰三角形．（2）解：（1）中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立．（3）證明：在圖②中正確畫出線段PD，由（1）同理可證△ABM≌△ACN，∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN．又∵∠BAC=∠DAE，∴∠MAN=∠DAE=∠BAC．∴△AMN，△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形．∴△PBD和△AMN都為頂角相等的等腰三角形，∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ANM，∴△PBD∽△AMN．點(diǎn)評(píng)：本題利用了全等三角形的判定和性質(zhì)，以及等腰三角形一個(gè)頂角相等，則底角相等的性質(zhì)，還有相似三角形的判定（兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似）．6．如圖，E是?ABCD的邊BA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EC，交AD于點(diǎn)F．在不添加輔助線的情況下，請(qǐng)你寫出圖中所有的相似三角形，并任選一對(duì)相似三角形給予證明．考點(diǎn)：相似三角形的判定；平行四邊形的性質(zhì)。專題：開放型。分析：根據(jù)平行線的性質(zhì)和兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似這一判定定理可證明圖中相似三角形有：△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．解答：解：相似三角形有△AEF∽△BEC；△AEF∽△DCF；△BEC∽△DCF．（3分）如：△AEF∽△BEC．在?ABCD中，AD∥BC，∴∠1=∠B，∠2=∠3．（6分）∴△AEF∽△BEC．（7分）點(diǎn)評(píng)：考查了平行線的性質(zhì)及相似三角形的判定定理．7．如圖，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的小正方形的頂點(diǎn)上．（1）填空：∠ABC=135°°，BC=；（2）判斷△ABC與△DEC是否相似，并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題；網(wǎng)格型。分析：（1）觀察可得：BF=FC=2，故∠FBC=45°；則∠ABC=135°，BC==2；（2）觀察可得：BC、EC的長(zhǎng)為2、，可得，再根據(jù)其夾角相等；故△ABC∽△DEC．解答：解：（1）∠ABC=135°，BC=；（2）相似；∵BC=，EC==；∴，；∴；又∠ABC=∠CED=135°，∴△ABC∽△DEC．點(diǎn)評(píng)：解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)．注意在正方形中的特殊三角形的應(yīng)用，搞清楚矩形、菱形、正方形中的三角形的三邊關(guān)系，可有助于提高解題速度和準(zhǔn)確率．8．如圖，已知矩形ABCD的邊長(zhǎng)AB=3cm，BC=6cm．某一時(shí)刻，動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向B點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)N從D點(diǎn)出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向A點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，問：（1）經(jīng)過多少時(shí)間，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？（2）是否存在時(shí)刻t，使以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似？若存在，求t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定；一元二次方程的應(yīng)用；分式方程的應(yīng)用；正方形的性質(zhì)。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及到的線段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可，如本題中利用，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的作為相等關(guān)系；（2）先假設(shè)相似，利用相似中的比例線段列出方程，有解的且符合題意的t值即可說明存在，反之則不存在．解答：解：（1）設(shè)經(jīng)過x秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的，則有：（6﹣2x）x=×3×6，即x2﹣3x+2=0，（2分）解方程，得x1=1，x2=2，（3分）經(jīng)檢驗(yàn)，可知x1=1，x2=2符合題意，所以經(jīng)過1秒或2秒后，△AMN的面積等于矩形ABCD面積的．（4分）（2）假設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似，由矩形ABCD，可得∠CDA=∠MAN=90°，因此有或（5分）即①，或②（6分）解①，得t=；解②，得t=（7分）經(jīng)檢驗(yàn)，t=或t=都符合題意，所以動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)出發(fā)后，經(jīng)過秒或秒時(shí)，以A，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ACD相似．（8分）點(diǎn)評(píng)：主要考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)和一元二次方程的運(yùn)用以及解分式方程．要掌握正方形和相似三角形的性質(zhì)，才會(huì)靈活的運(yùn)用．注意：一般關(guān)于動(dòng)點(diǎn)問題，可設(shè)時(shí)間為x，根據(jù)速度表示出所涉及的線段的長(zhǎng)度，找到相等關(guān)系，列方程求解即可．9．如圖，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，對(duì)角線BD、AC把梯形分成了四個(gè)小三角形．（1）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例）（2）請(qǐng)你任選一組相似三角形，并給出證明．考點(diǎn)：相似三角形的判定；概率公式。專題：開放型。分析：（1）采用列舉法，列舉出所有可能出現(xiàn)的情況，再找出相似三角形即可求得；①與③，②與④相似；（2）利用相似三角形的判定定理即可證得．解答：解：（1）任選兩個(gè)三角形的所有可能情況如下六種情況：①②，①③，①④，②③，②④，③④（2分）其中有兩組（①③，②④）是相似的．∴選取到的二個(gè)三角形是相似三角形的概率是P=（4分）證明：（2）選擇①、③證明．在△AOB與△COD中，∵AB∥CD，∴∠CDB=∠DBA，∠DCA=∠CAB，∴△AOB∽△COD（8分）選擇②、④證明．∵四邊形ABCD是等腰梯形，∴∠DAB=∠CBA，∴在△DAB與△CBA中有AD=BC，∠DAB=∠CAB，AB=AB，∴△DAB≌△CBA，（6分）∴∠ADO=∠BCO．又∠DOA=∠COB，∴△DOA∽△COB（8分）．點(diǎn)評(píng)：此題考查概率的求法：如果一個(gè)事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）=，即相似三角形的證明．還考查了相似三角形的判定．10．附加題：如圖△ABC中，D為AC上一點(diǎn)，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，連接AE．（1）寫出圖中所有相等的線段，并加以證明；（2）圖中有無相似三角形？若有，請(qǐng)寫出一對(duì)；若沒有，請(qǐng)說明理由；（3）求△BEC與△BEA的面積之比．考點(diǎn)：相似三角形的判定；三角形的面積；含30度角的直角三角形。專題：綜合題。分析：（1）根據(jù)直角三角形中30度角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，可知CD=2ED，則可寫出相等的線段；（2）兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似則可判斷△ADE∽△AEC；（3）要求△BEC與△BEA的面積之比，從圖中可看出兩三角形有一公共邊可作為底邊，若求得高之比可知面積之比，由此需作△BEA的邊BE邊上的高即可求解．解答：解：（1）AD=DE，AE=CE．∵CE⊥BD，∠BDC=60°，∴在Rt△CED中，∠ECD=30°．∴CD=2ED．∵CD=2DA，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD．∴AE=CE．（2）圖中有三角形相似，△ADE∽△AEC；∵∠CAE=∠CAE，∠ADE=∠AEC，∴△ADE∽△AEC；（3）作AF⊥BD的延長(zhǎng)線于F，設(shè)AD=DE=x，在Rt△CED中，可得CE=，故AE=．∠ECD=30°．在Rt△AEF中，AE=，∠AED=∠DAE=30°，∴sin∠AEF=，∴AF=AE?sin∠AEF=．∴．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定及三角形面積的求法等，范圍較廣．11．如圖，在△ABC中，AB=AC=a，M為底邊BC上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q．（1）求四邊形AQMP的周長(zhǎng)；（2）寫出圖中的兩對(duì)相似三角形（不需證明）；（3）M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：相似三角形的判定；菱形的判定。專題：綜合題。分析：（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得到對(duì)應(yīng)角相等對(duì)應(yīng)邊相等，從而不難求得其周長(zhǎng)；（2）因?yàn)椤螧=∠C=∠PMC=∠QMB，所以△PMC∽△QMB∽△ABC；（3）根據(jù)中位線的性質(zhì)及菱形的判定不難求得四邊形AQMP為菱形．解答：解：（1）∵AB∥MP，QM∥AC，∴四邊形APMQ是平行四邊形，∠B=∠PMC，∠C=∠QMB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠PMC=∠QMB．∴BQ=QM，PM=PC．∴四邊形AQMP的周長(zhǎng)=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a．（2）∵PM∥AB，∴△PCM∽△ACB，∵QM∥AC，∴△BMQ∽△BCA；（3）當(dāng)點(diǎn)M中BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形APMQ是菱形，∵點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AB∥MP，QM∥AC，∴QM，PM是三角形ABC的中位線．∵AB=AC，∴QM=PM=AB=AC．又由（1）知四邊形APMQ是平行四邊形，∴平行四邊形APMQ是菱形．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中位線的性質(zhì)，菱形的判定等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．12．已知：P是正方形ABCD的邊BC上的點(diǎn)，且BP=3PC，M是CD的中點(diǎn)，試說明：△ADM∽△MCP．考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：欲證△ADM∽△MCP，通過觀察發(fā)現(xiàn)兩個(gè)三角形已經(jīng)具備一組角對(duì)應(yīng)相等，即∠D=∠C，此時(shí)，再求夾此對(duì)應(yīng)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可．解答：證明：∵正方形ABCD，M為CD中點(diǎn)，∴CM=MD=AD．∵BP=3PC，∴PC=BC=AD=CM．∴．∵∠PCM=∠ADM=90°，∴△MCP∽△ADM．點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．本題中把若干線段的長(zhǎng)度用同一線段來表示是求線段是否成比例時(shí)常用的方法．13．如圖，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10．（1）求梯形ABCD的面積S；（2）動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QE⊥BC于點(diǎn)E．若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)目的地時(shí)整個(gè)運(yùn)動(dòng)隨之結(jié)束，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．問：①當(dāng)點(diǎn)P在B?A上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在這樣的t，使得直線PQ將梯形ABCD的周長(zhǎng)平分？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；②在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、A、D為頂點(diǎn)的三角形與△CQE相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；③在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在這樣的t，使得以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形恰好是以DQ為一腰的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定；三角形三邊關(guān)系；等腰三角形的判定；勾股定理；直角梯形。專題：動(dòng)點(diǎn)型；開放型。分析：（1）求面積要先求梯形的高，可根據(jù)兩底的差和CD的長(zhǎng)，在直角三角形中用勾股定理進(jìn)行求解，得出高后即可求出梯形的面積．（2）①PQ平分梯形的周長(zhǎng)，那么AD+DQ+AP=BC+CQ+BP，已知了AD，BC的長(zhǎng)，可以用t來表示出AP，BP，CQ，QD的長(zhǎng)，那么可根據(jù)上面的等量關(guān)系求出t的值．②本題要分三種情況進(jìn)行討論：一，當(dāng)P在AB上時(shí)，即0＜t≤8，如果兩三角形相似，那么∠C=∠ADP，或∠C=∠APD，那么在△ADP中根據(jù)∠C的正切值，求出t的值．二，當(dāng)P在AD上時(shí)，即8＜t≤10，由于P，A，D在一條直線上，因此構(gòu)不成三角形．三，當(dāng)P在CD上時(shí)，即10＜t≤12，由于∠ADC是個(gè)鈍角，因此△ADP是個(gè)鈍角三角形因此不可能和直角△CQE相似．綜合三種情況即可得出符合條件的t的值．（3）和（2）相同也要分三種情況進(jìn)行討論：一，當(dāng)P在AB上時(shí)，即0＜t≤8，等腰△PDQ以DQ為腰，因此DQ=DP或DQ=PQ，可以通過構(gòu)建直角三角形來表示出DP，PQ的長(zhǎng)，然后根據(jù)得出的等量關(guān)系來求t的值．二，當(dāng)P在AD上時(shí)，即8＜t≤10，由于BA+AD=CD=10，因此DP=DQ=10﹣t，因此DP，DQ恒相等．三，當(dāng)P在CD上時(shí)，即10＜t≤12，情況同二．綜合三種情況可得出等腰三角形以DQ為腰時(shí)，t的取值．解答：解：（1）過D作DH∥AB交BC于H點(diǎn)，∵AD∥BH，DH∥AB，∴四邊形ABHD是平行四邊形．∴DH=AB=8；BH=AD=2．∴CH=8﹣2=6．∵CD=10，∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°．∠B=∠DHC=90°．∴梯形ABCD是直角梯形．∴SABCD=（AD+BC）AB=×（2+8）×8=40．（2）①∵BP=CQ=t，∴AP=8﹣t，DQ=10﹣t，∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ，∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t．∴t=3＜8．∴當(dāng)t=3秒時(shí)，PQ將梯形ABCD周長(zhǎng)平分．②第一種情況：0＜t≤8若△PAD∽△QEC則∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=，∴t=。若△PAD∽△CEQ則∠APD=∠C，∴tan∠APD=tan∠C==，∴=，∴t=第二種情況：8＜t≤10，P、A、D三點(diǎn)不能組成三角形；第三種情況：10＜t≤12△ADP為鈍角三角形與Rt△CQE不相似；∴t=或t=時(shí)，△PAD與△CQE相似．③第一種情況：當(dāng)0≤t≤8時(shí)．過Q點(diǎn)作QE⊥BC，QH⊥AB，垂足為E、H．∵AP=8﹣t，AD=2，∴PD==．∵CE=t，QE=t，∴QH=BE=8﹣t，BH=QE=t．∴PH=t﹣t=t．∴PQ==，DQ=10﹣t．Ⅰ：DQ=DP，10﹣t=，解得t=8秒．Ⅱ：DQ=PQ，10﹣t=，化簡(jiǎn)得：3t2﹣52t+180=0解得：t=，t=＞8（不合題意舍去）∴t=第二種情況：8≤t≤10時(shí)．DP=DQ=10﹣t．∴當(dāng)8≤t＜10時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．第三種情況：10＜t≤12時(shí)．DP=DQ=t﹣10．∴當(dāng)10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ恒成立．綜上所述，t=或8≤t＜10或10＜t≤12時(shí)，以DQ為腰的等腰△DPQ成立．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了梯形的性質(zhì)以及相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，要注意（2）中要根據(jù)P，Q的不同位置，進(jìn)行分類討論，不要漏解．14．已知矩形ABCD，長(zhǎng)BC=12cm，寬AB=8cm，P、Q分別是AB、BC上運(yùn)動(dòng)的兩點(diǎn)．若P自點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，Q自點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)，問經(jīng)過幾秒，以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BDC相似？考點(diǎn)：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題；分類討論。分析：要使以P、B、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BDC相似，則要分兩兩種情況進(jìn)行分析．分別是△PBQ∽△BDC或△QBP∽△BDC，從而解得所需的時(shí)間．解答：解：設(shè)經(jīng)x秒后，△PBQ∽△BCD，由于∠PBQ=∠BCD=90°，（1）當(dāng)∠1=∠2時(shí)，有：，即；（2）當(dāng)∠1=∠3時(shí)，有：，即，∴經(jīng)過秒或2秒，△PBQ∽△BCD．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用．15．如圖，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向B點(diǎn)以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以4cm/s的速度移動(dòng)，如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，問經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ與△ABC相似．考點(diǎn)：相似三角形的判定；一元一次方程的應(yīng)用。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：設(shè)經(jīng)過t秒后，△PBQ與△ABC相似，根據(jù)路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，然后利用相似三角形的性質(zhì)對(duì)應(yīng)邊的比相等列出方程求解即可．解答：解：設(shè)經(jīng)過秒后t秒后，△PBQ與△ABC相似，則有AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t，當(dāng)△PBQ∽△ABC時(shí)，有BP：AB=BQ：BC，即（10﹣2t）：10=4t：20，解得t=2.5（s）（6分）當(dāng)△QBP∽△ABC時(shí)，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10﹣2t）：20，解得t=1．所以，經(jīng)過2.5s或1s時(shí)，△PBQ與△ABC相似（10分）．解法二：設(shè)ts后，△PBQ與△ABC相似，則有，AP=2t，BQ=4t，BP=10﹣2t分兩種情況：（1）當(dāng)BP與AB對(duì)應(yīng)時(shí)，有=，即=，解得t=2.5s（2）當(dāng)BP與BC對(duì)應(yīng)時(shí)，有=，即=，解得t=1s所以經(jīng)過1s或2.5s時(shí)，以P、B、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．點(diǎn)評(píng)：本題綜合了路程問題和三角形的問題，所以學(xué)生平時(shí)學(xué)過的知識(shí)要會(huì)融合起來．16．如圖，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．問當(dāng)AB的長(zhǎng)為多少時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．考點(diǎn)：相似三角形的判定。專題：分類討論。分析：如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似．在Rt△ABC和Rt△ACD，直角邊的對(duì)應(yīng)需分情況討論．解答：解：∵AC=，AD=2，∴CD==．要使這兩個(gè)直角三角形相似，有兩種情況：（1）當(dāng)Rt△ABC∽R(shí)t△ACD時(shí)，有=，∴AB==3；（2）當(dāng)Rt△ACB∽R(shí)t△CDA時(shí)，有=，∴AB==3．故當(dāng)AB的長(zhǎng)為3或3時(shí)，這兩個(gè)直角三角形相似．點(diǎn)評(píng)：本題考查相似三角形的判定．識(shí)別兩三角形相似，除了要掌握定義外，還要注意正確找出兩三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，可利用數(shù)形結(jié)合思想根據(jù)圖形提供的數(shù)據(jù)計(jì)算對(duì)應(yīng)角的度數(shù)、對(duì)應(yīng)邊的比．17．已知，如圖，在邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD中，M是AD的中點(diǎn)，能否在邊AB上找一點(diǎn)N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似？若能，請(qǐng)給出證明，若不能，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：相似三角形的判定；正方形的性質(zhì)。專題：探究型；分類討論。分析：兩個(gè)三角形都是直角三角形，還只需滿足一對(duì)角對(duì)應(yīng)相等或夾直角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可說明兩個(gè)三角形相似．若DM與AM對(duì)應(yīng)，則△CDM與△MAN全等，N與B重合，不合題意；若DM與AN對(duì)應(yīng)，則CD：AM=DM：AN，得AN=a，從而確定N的位置．解答：證明：分兩種情況討論：①若△CDM∽△MAN，則=．∵邊長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，∴AN=a．②若△CDM∽△NAM，則．∵邊長(zhǎng)為a，M是AD的中點(diǎn)，∴AN=a，即N點(diǎn)與B重合，不合題意．所以，能在邊AB上找一點(diǎn)N（不含A、B），使得△CDM與△MAN相似．當(dāng)AN=a時(shí)，N點(diǎn)的位置滿足條件．點(diǎn)評(píng)：此題考查相似三角形的判定．因不明確對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以需分類討論．18．如圖在△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，點(diǎn)Q從B出發(fā)，沿BC方向以2cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)P從C出發(fā)，沿CA方向以1cm/s的速度移動(dòng)．若Q、P分別同時(shí)從B、C出發(fā)，試探究經(jīng)過多少秒后，以點(diǎn)C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△CBA相似？考點(diǎn)：相似三角形的判定。專題：綜合題；動(dòng)點(diǎn)型。分析：此題要根據(jù)相似三角形的性質(zhì)設(shè)出未知數(shù)，即經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，然后根據(jù)速度公式求出他們移動(dòng)的長(zhǎng)度，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出分式方程求解．解答：解：設(shè)經(jīng)過x秒后，兩三角形相似，則CQ=（8﹣2x）cm，CP=xcm，（1分）∵∠C=∠C=90°，∴當(dāng)或時(shí)，兩三角形相似．（3分）（1）當(dāng)時(shí)，，∴x=；（4分）（2）當(dāng)時(shí)，，∴x=．（5分）所以，經(jīng)過秒或秒后，兩三角形相似．（6分）點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了路程問題，相似三角形的性質(zhì)及一元一次方程的解法．19．如圖所示，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=7，AD=2，BC=3，試在腰AB上確定點(diǎn)P的位置，使得以P，A，D為頂點(diǎn)的三角形與以P，B，C為頂點(diǎn)的三角形相似．考點(diǎn)：相似三角形的判定；梯形。專題：分類討論。分析：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解題時(shí)要認(rèn)真審題，選擇適宜的判定方法．解題時(shí)要注意一題多解的情況，要注意別漏解．解答：解：（1）若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，C，P對(duì)應(yīng)，即△APD∽△BCP，∴=，∴=，∴AP2﹣7AP+6=0，∴AP=1或AP=6，檢測(cè)：當(dāng)AP=1時(shí)，由BC=3，AD=2，BP=6，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．當(dāng)AP=6時(shí)，由BC=3，AD=2，BP=1，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BCP．（2）若點(diǎn)A，P，D分別與點(diǎn)B，P，C對(duì)應(yīng)，即△APD∽△BPC．∴=，∴=，∴AP=．檢驗(yàn)：當(dāng)AP=時(shí)，由BP=，AD=2，BC=3，∴=，又∵∠A=∠B=90°，∴△APD∽△BPC．因此，點(diǎn)P的位置有三處，即在線段AB距離點(diǎn)A的1、、6處．點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)；判定為：①有兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似；②有兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的比相等，且其夾角相等，則兩個(gè)三角形相似；③三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，則兩個(gè)三角形相似；性質(zhì)為相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．20．△ABC和△DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，∠A=∠D=90°，△DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上．（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：△BEM∽△CNE；（2）如圖2，將△DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明你的結(jié)論．考點(diǎn)：相似三角形的判定；等腰直角三角形。專題：證明題；開放型。分析：因?yàn)榇祟}是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性質(zhì)：可得銳角為45°，根據(jù)角之間的關(guān)系，利用如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似可判定三角形相似；再根據(jù)性質(zhì)得到比例線段，有夾角相等證得△ECN∽△MEN．解答：證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠MBE=45°，∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形，∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC，（4分）而∠MBE=∠ECN=45°，∴△BEM∽△CNE．（6分）（2）與（1）同理△BEM∽△CNE，∴．（8分）又∵BE=EC，∴，（10分）則△ECN與△MEN中有，又∠ECN=∠MEN=45°，∴△ECN∽△MEN．（12分）點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似．21．如圖，在矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cm，點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開始向B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（秒）表示移動(dòng)的時(shí)間，那么當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．考點(diǎn)：相似三角形的判定；矩形的性質(zhì)。專題：幾何動(dòng)點(diǎn)問題；分類討論。分析：若以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，有四種情況：①△APQ∽△BAC，此時(shí)得AQ：BC=AP：AB；②△APQ∽△BCA，此時(shí)得AQ：AB=AP：BC；③△AQP∽△BAC，此時(shí)得AQ：BA=AP：BC；④△AQP∽△BCA，此時(shí)得AQ：BC=AP：BA．可根據(jù)上述四種情況所得到的不同的對(duì)應(yīng)成比例線段求出t的值．解答：解：以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP，①當(dāng)△ABC∽△PAQ時(shí)，，所以，解得：t=6；②當(dāng)△ABC∽△QAP時(shí)，，所以，解得：t=；③當(dāng)△AQP∽△BAC時(shí)，=，即=，所以t=；④當(dāng)△AQP∽△BCA時(shí)，=，即=，所以t=30（舍去）．故當(dāng)t=6或t=時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)；當(dāng)相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)線段不明確時(shí)，應(yīng)考慮到所有可能的情況，分類討論，以免漏解．22．如圖，路燈（P點(diǎn)）距地面8米，身高1.6米的小明從距路燈的底部（O點(diǎn)）20米的A點(diǎn)，沿OA所在的直線行走14米到B點(diǎn)時(shí)，身影的長(zhǎng)度是變長(zhǎng)了還是變短了？變長(zhǎng)或變短了多少米？考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：如圖，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP即可由相似三角形的性質(zhì)求解．解答：解：∵∠MAC=∠MOP=90°，∠AMC=∠OMP，∴△MAC∽△MOP．∴，即，解得，MA=5米；同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，∴小明的身影變短了5﹣1.5=3.5米．點(diǎn)評(píng)：解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形，然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程，建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來解答問題．23．陽光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺，標(biāo)桿，一副三角尺，小平面鏡．請(qǐng)你在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案．（1）所需的測(cè)量工具是：；（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫出測(cè)量示意圖；（3）設(shè)樹高AB的長(zhǎng)度為x，請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫字母表示）求出x．考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用。專題：方案型；開放型。分析：樹比較高不易直接到達(dá)，因而可以利用三角形相似解決，利用樹在陽光下出現(xiàn)的影子來解決．解答：解：（1）皮尺，標(biāo)桿；（2）測(cè)量示意圖如圖所示；（3）如圖，測(cè)得標(biāo)桿DE=a，樹和標(biāo)桿的影長(zhǎng)分別為AC=b，EF=c，∵△DEF∽△BAC，∴，∴，∴．（7分）點(diǎn)評(píng)：本題運(yùn)用相似三角形的知識(shí)測(cè)量高度及考查學(xué)生的實(shí)踐操作能力，應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力．本題答案有多種，測(cè)量方案也有多種，如（1）皮尺、標(biāo)桿、平面鏡；（2）皮尺、三角尺、標(biāo)桿．24．問題背景在某次活動(dòng)課中，甲、乙、丙三個(gè)學(xué)習(xí)小組于同一時(shí)刻在陽光下對(duì)校園中一些物體進(jìn)行了測(cè)量．下面是他們通過測(cè)量得到的一些信息：甲組：如圖1，測(cè)得一根直立于平地，長(zhǎng)為80cm的竹竿的影長(zhǎng)為60cm．乙組：如圖2，測(cè)得學(xué)校旗桿的影長(zhǎng)為900cm．丙組：如圖3，測(cè)得校園景燈（燈罩視為球體，燈桿為圓柱體，其粗細(xì)忽略不計(jì)）的高度為200cm，影長(zhǎng)為156cm．任務(wù)要求：（1）請(qǐng)根據(jù)甲、乙兩組得到的信息計(jì)算出學(xué)校旗桿的高度；（2）如圖3，設(shè)太陽光線NH與⊙O相切于點(diǎn)M．請(qǐng)根據(jù)甲、丙兩組得到的信息，求景燈燈罩的半徑．（友情提示：如圖3，景燈的影長(zhǎng)等于線段NG的影長(zhǎng)；需要時(shí)可采用等式1562+2082=2602）考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用。專題：閱讀型；轉(zhuǎn)化思想。分析：此題屬于實(shí)際應(yīng)用問題，解題時(shí)首先要理解題意，然后將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解答；此題需要轉(zhuǎn)化為相似三角形的問題解答，利用相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例解答．解答：解：（1）由題意可知：∠BAC=∠EDF=90°，∠BCA=∠EFD．∴△ABC∽△DEF．∴，即，（2分）∴DE=1200（cm）．所以，學(xué)校旗桿的高度是12m．（3分）（2）解法一：與①類似得：，即，∴GN=208．（4分）在Rt△NGH中，根據(jù)勾股定理得：NH2=1562+2082=2602，∴NH=260．（5分）設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（6分）則∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN，∴（7分），又ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8，∴，解得：r=12．∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）解法二：與①類似得：，即，∴GN=208．（4分）設(shè)⊙O的半徑為rcm，連接OM，∵NH切⊙O于M，∴OM⊥NH．（5分）則∠OMN=∠HGN=90°，又∵∠ONM=∠HNG，∴△OMN∽△HGN．∴，即，（6分）∴MN=r，又∵ON=OK+KN=OK+（GN﹣GK）=r+8．（7分）在Rt△OMN中，根據(jù)勾股定理得：r2+（r）2=（r+8）2即r2﹣9r﹣36=0，解得：r1=12，r2=﹣3（不合題意，舍去），∴景燈燈罩的半徑是12cm．（8分）點(diǎn)評(píng)：本題只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通過解方程求解即可，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想．此題的文字?jǐn)⑹霰容^多，解題時(shí)要認(rèn)真分析題意．25．陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下2.7m寬的亮區(qū)（如圖所示），已知亮區(qū)到窗口下的墻腳距離EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底邊離地面的高BC．考點(diǎn)：相似三角形的應(yīng)用。專題：應(yīng)用題。分析：因?yàn)楣饩€AE、BD是一組平行光線，即AE∥BD，所以△ECA∽△DCB，則有，從而算出BC的長(zhǎng)．解答：解：∵AE∥BD，∴△ECA∽△DCB，∴．∵EC=8.7m，ED=2.7m，∴CD=6m．∵AB=1.8m，∴AC=BC+1.8m，∴，∴BC=4，即窗口底邊離地面的高為4m．點(diǎn)評(píng)：此題基本上難度不大，利用相似比即可求出窗口底邊離地面的高．26．如圖，李華晚上在路燈下散步．已知李華的身高AB=h，燈柱的高OP=O′P′=l，兩燈柱之間的距離OO′=m．（1）若李華距燈柱OP的水平距離OA=a，求他影子AC的長(zhǎng)；（2）若李華在兩路燈之間行走，則他前