初中數(shù)學經典課件-因式分解(人教版)

因式分解因式分解15.4.1因式分解（初級篇）——因式分解的定義與提公因式法15.4.1因式分解（初級篇）——因式分解的定義與提復習回顧口答：復習回顧口答：問題：630可以被哪些整數(shù)整除？

解決這個問題，需要對630進行分解質因數(shù)630=2×32×5×7類似地，在式的變形中，有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式以便于更好的解決一些問題新課引入問題：630可以被哪些整數(shù)整除？解決這個問題，需要對試試看(將下列多項式寫成幾個整式的乘積)回憶前面整式的乘法回憶前面整式的乘法上面我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式

，也叫做把這個多項式

。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形上面我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式

依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項式化成幾個整式的積）依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項式化成幾m(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個式子中哪個是因式分解？

在式子ma+mb+mc中，m是這個多項式中每一個項都含有的因式，叫做

。公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mc=m(a+b+c)

在下面這個式子的因式分解過程中，先找到這個多項式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個新多項式，將這個多項式與公因式相乘即可。這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項式的公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個新多項式，

3、把它與公因式相乘。ma+mb+mc=m(a+b+c)

如何準確地找到多項式的公因式呢？

1、系數(shù)所有項的系數(shù)的最大公因數(shù)

2、字母應提取每一項都有的字母，且字母的指數(shù)取最低的

3、系數(shù)與字母相乘如何準確地找到多項式的公因式呢？1、系數(shù)例題精講最大公因數(shù)為3=3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為1b(3a–5bc)=–4st2(3s2–2t+1)pq(5q+7p+3)=例題精講最大公因數(shù)為3=3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為初中數(shù)學經典課件-因式分解(人教版)15.4.2公式法（中級篇）利用完全平方公式因式分解第3課時利用平方差公式因式分解第2課時15.4.2公式法（中級篇）利用完全平方公式因式分解15.4.2公式法（中級篇1）——利用平方差公式進行因式分解15.4.2公式法（中級篇1）——利用平方差公式進行復習回顧還記得學過的兩個最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計算：復習回顧還記得學過的兩個最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全=(999+1)(999–1)此處運用了什么公式?新課引入試計算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計算過程中都逆用了平方差公式即：=(999+1)(999–1)此處運用了什么公式?新課引入此即運用平方差公式進行因式分解用文字表述為：

兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。

嘗試練習(對下列各式因式分解)：

①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)此即運用平方差公式進行因式分解用文字表述為：兩個數(shù)=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)②–4④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更簡便！

在我們現(xiàn)學過的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。④x2–x6將前面②~⑥各式例(2)④x2⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)YXYXYX⑤6x3–54xy2將前面②~⑥各式例(2)Y15.4.2公式法（中級篇2）——利用完全平方公式進行因式分解15.4.2公式法（中級篇2）——利用完全平方公式進復習回顧還記得前面學的完全平方公式嗎？計算：復習回顧還記得前面學的完全平方公式嗎？計算：新課引入試計算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進行一些簡便計算與因式分解。即：新課引入試計算：9992+1998+初中數(shù)學經典課件-因式分解(人教版)這個公式可以用文字表述為：

兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的兩倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。

牛刀小試(對下列各式因式分解)：

①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2這個公式可以用文字表述為：兩個數(shù)的平方和加上（或減去完全平方式的特點：

1、必須是三項式（或可以看成三項的）

2、有兩個同號的平方項

3、有一個乘積項（等于平方項底數(shù)的±2倍）簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。完全平方式的特點：將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2將例(1)中的完全平方式例(2)①16x–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXX–2a2+將例(1)中的完全平15.4.3*因式分解（高級篇）——因式分解的其他常用方法15.4.3*因式分解（高級篇）——因式分解的其他常知識結構因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項添項法配方法待定系數(shù)法求根法……知識結構因式分解常用方法提公因式法一、提公因式法

只需找到多項式中的公因式，然后用原多項式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結合起來用。提公因式法隨堂練習：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)一、提公因式法只需找到多項式中的公因式，然后用原多項二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結合或多種公式結合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進行因式分解。二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導常用公式這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導過程公式法隨堂練習：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結合或多種公式結合。公式法隨堂練習：二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進行因式分解（適用于二次三項式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項3=1×3而一次項系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個公式：例1：因式分解x2+4x例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項10=(–2)×(–5)而一次項系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個公式簡單的說，就是把常數(shù)項拆成兩個數(shù)的乘積，而這兩個數(shù)的和剛好等于一次項系數(shù)十字相乘法①隨堂練習：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2例2：因式分解x2–7x+10這個公式簡單的說，十字相乘法①初中數(shù)學經典課件-因式分解(人教版)三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項系數(shù)與常數(shù)項分別拆成兩個數(shù)的積，而這四個數(shù)中，兩個數(shù)的積與另外兩個數(shù)的積之和剛好等于一次項系數(shù)，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。既然是二次式，就=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=173x2+11x+106x2+7x=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項添項法怎么結果與剛才不一樣呢？因為它還可以繼續(xù)因式分解回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：

拆項添項法對數(shù)學能力有著更高的要求，需要觀察到多項式中應拆哪一項使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對結果有一定的預見性，嘗試較多，做題較繁瑣。最好能根據(jù)現(xiàn)有多項式內的項猜測可能需要使用的公式，有時要根據(jù)形式猜測可能的系數(shù)。五*、拆項添項法拆項添項法對數(shù)學能力有著更高的要求，需要觀察到多項式例因式分解x4+4解：原式

=x4

+

4x2+4–4x2=(x2+2)2–(2x)2=(x2+2x+2)(x2–2x+2)都是平方項猜測使用完全平方公式完全平方公式平方差公式拆項添項法隨堂練習：1）x4–23x2y2+y42）(m2–1)(n2–1)+4mn例因式分解x4+4解：原式=x4+4x2+配方法

配方法是一種特殊的拆項添項法，將多項式配成完全平方式，再用平方差公式進行分解。因式分解a2–b2+4a+2b+3。解：原式=(a2+4a+4)–(b2–2b+1)=(a+2)2–(b–1)2=(a+b+1)(a–b+3)配方法(拆項添項法)分組分解法完全平方公式平方差公式配方法配方法是一種特殊的拆項添項法，將多項式配成完全二、新課1.我們把叫做x的二次三項式。這個式子的x的最高次項是2，并有一次項和常數(shù)項，共有三項。2.請同學說出x的二次三項式和x的一元二次方程形式上有什么不同？答案：二次三項式是代數(shù)式，沒有等號，方程有等號。二、新課1.我們把叫做x的二次三項式。這個式子的x的最高次3.用配方法把分解因式。分析：對再添一次項系數(shù)的一半的平方（注意：因為因式分解是恒等變形，所以必須同時減去一次項系數(shù)一半的平方）解：這是配方的關鍵3.用配方法把分解因式。分析：對再添一次項系數(shù)的一半的平方4.分解因式分析：把二次項系數(shù)化為1，便于配方，但不能各項除以2，而是各項提取公因數(shù)2我們知道在解一元二次方程時，配方法的步驟是固定模式的，即“千篇一律”，它的一般模式就是解一元二次方程的求根公式法。由此推想，用配方法因式分解必定與方程的根有關系，這個關系是什么解：4.分解因式分析：把二次項系數(shù)化為1，便于配方，但不能各從以上例2的因式分解來研究。與二次三項式對應的一元二次方程是=0這個方程的兩根是由此可以看出例2的因式分解的結果與兩根的關系是什么？這個關系是：二次三項式系數(shù)乘以x減去一個根的差，再乘以x減去另一個根所得的差。從以上例2的因式分解來研究。與二次三項式對應的一元二次方程是以上的結論怎樣證明？證明：設一元二次方程以上的結論怎樣證明？證明：設一元二次方程結論：在分解二次三項式例如，已知一元二次方程就可以把二次三項式分解因式，得結論：在分解二次三項式例如，已知一元二次方程就可以把二次三項三、例題講解例1把分解因式此步的目的是去掉括號內的分母三、例題講解例1把分解因式此步的目的是去掉括號內的分母例2本題是關于x的二次三項式，所以應把y看作常數(shù)例2本題是關于x的二次三項式，所以應把y看作常數(shù)注意：1.因式分解是恒等變形，所以公式中的因式

千萬不能忽略。2.在分解二次三項式的因式時，可先用求根公式求出方程的兩個根x1,x2然后,寫成a注意：1.因式分解是恒等變形，所以公式中的因式千萬不能2.選擇題（1）已知方程（）（2）下列二次三項式在實數(shù)范圍內不能分解因式的是（）DD2.選擇題（1）已知方程（）（2）下列二次三項式五、本課小結1.對于不易用以前學過的方法：分解二次三項式宜用一元二次方程的求根公式分解因式。2.當當(例如：分解因式在實數(shù)范圍內不能分解)五、本課小結1.對于不易用以前學過的方法：分解二次三項式宜3.用求根公式分解二次三項式其程序是固定的，即：（1）第一步：令（2）第二步：求出方程①的兩個根①；（3）寫出公式并把的值代入公式中的處。3.用求根公式分解二次三項式其程序是固定的，即：（1）第一因式分解因式分解15.4.1因式分解（初級篇）——因式分解的定義與提公因式法15.4.1因式分解（初級篇）——因式分解的定義與提復習回顧口答：復習回顧口答：問題：630可以被哪些整數(shù)整除？

解決這個問題，需要對630進行分解質因數(shù)630=2×32×5×7類似地，在式的變形中，有時需要將一個多項式寫成幾個整式的乘積的形式以便于更好的解決一些問題新課引入問題：630可以被哪些整數(shù)整除？解決這個問題，需要對試試看(將下列多項式寫成幾個整式的乘積)回憶前面整式的乘法回憶前面整式的乘法上面我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做把這個多項式

，也叫做把這個多項式

。分解因式因式分解因式分解整式乘法因式分解與整式乘法是逆變形上面我們把一個多項式化成了幾個整式的積的形式，像這樣的式

依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項式化成幾個整式的積）依照定義，判斷下列變形是不是因式分解（把多項式化成幾m(a+b+c)=ma+mb+mc下面兩個式子中哪個是因式分解？

在式子ma+mb+mc中，m是這個多項式中每一個項都含有的因式，叫做

。公因式ma+mb+mc=m(a+b+c)m(a+b+c)=ma+mb+mcma+mb+mc=m(a+b+c)

在下面這個式子的因式分解過程中，先找到這個多項式的公因式，再將原式除以公因式，得到一個新多項式，將這個多項式與公因式相乘即可。這種方法叫做提公因式法。提公因式法一般步驟：

1、找到該多項式的公因式，

2、將原式除以公因式，得到一個新多項式，

3、把它與公因式相乘。ma+mb+mc=m(a+b+c)

如何準確地找到多項式的公因式呢？

1、系數(shù)所有項的系數(shù)的最大公因數(shù)

2、字母應提取每一項都有的字母，且字母的指數(shù)取最低的

3、系數(shù)與字母相乘如何準確地找到多項式的公因式呢？1、系數(shù)例題精講最大公因數(shù)為3=3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為1b(3a–5bc)=–4st2(3s2–2t+1)pq(5q+7p+3)=例題精講最大公因數(shù)為3=3a的最低指數(shù)為1ab的最低指數(shù)為初中數(shù)學經典課件-因式分解(人教版)15.4.2公式法（中級篇）利用完全平方公式因式分解第3課時利用平方差公式因式分解第2課時15.4.2公式法（中級篇）利用完全平方公式因式分解15.4.2公式法（中級篇1）——利用平方差公式進行因式分解15.4.2公式法（中級篇1）——利用平方差公式進行復習回顧還記得學過的兩個最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全平方公式：計算：復習回顧還記得學過的兩個最基本的乘法公式嗎？平方差公式：完全=(999+1)(999–1)此處運用了什么公式?新課引入試計算：9992–112=1000×998=998000平方差公式逆用因式分解:（1）x2–;（2）y2–4252252=(x+2)(x–2)=(y+5)(y–5)

這些計算過程中都逆用了平方差公式即：=(999+1)(999–1)此處運用了什么公式?新課引入此即運用平方差公式進行因式分解用文字表述為：

兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。

嘗試練習(對下列各式因式分解)：

①a2–9=___________________②49–n2=__________________③5s2–20t2=________________④100x2–9y2=_______________(a+3)(a–3)(7+n)(7–n)5(s+2t)(s–2t)(10x+3y)(10x–3y)此即運用平方差公式進行因式分解用文字表述為：兩個數(shù)=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)=(x2)2–12

=(x2+1)(x2–1)②–4x2+y2③x4–1(x2–1)=–(4x2–y2)=–(2x+y)(2x–y)(x+1)(x–1)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)因式分解一定要分解徹底!=y2–4x2=(y+2x)(y–2x)②–4④x2–x6=x2–(x3)2=(x+x3)(x–x3)=x·(1+x2)·x·(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)④x2–x6=x2(1–x4)=x2

(1+x2)(1–x2)=x2(1+x2)(1+x)(1–x)更簡便！

在我們現(xiàn)學過的因式分解方法中，先考慮提取公因式，再考慮用公式法。④x2–x6將前面②~⑥各式例(2)④x2⑤6x3–54xy2=6x(x2–9y2)=6x

(x+3y)(x–3y)⑥(x+p)2–(x–q)2=[(x+p)+(x–q)]·[(x+p)–(x–q)]=(2x+p–q)(p+q)將前面②~⑥各式運用平方差公式進行因式分解例(2)YXYXYX⑤6x3–54xy2將前面②~⑥各式例(2)Y15.4.2公式法（中級篇2）——利用完全平方公式進行因式分解15.4.2公式法（中級篇2）——利用完全平方公式進復習回顧還記得前面學的完全平方公式嗎？計算：復習回顧還記得前面學的完全平方公式嗎？計算：新課引入試計算：9992+1998+12×999×1=(999+1)2

=106此處運用了什么公式?完全平方公式逆用

就像平方差公式一樣，完全平方公式也可以逆用，從而進行一些簡便計算與因式分解。即：新課引入試計算：9992+1998+初中數(shù)學經典課件-因式分解(人教版)這個公式可以用文字表述為：

兩個數(shù)的平方和加上（或減去）這兩個數(shù)的積的兩倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。

牛刀小試(對下列各式因式分解)：

①a2+6a+9=_________________②n2–10n+25=_______________③4t2–8t+4=_________________④4x2–12xy+9y2=_____________(a+3)2(n–5)24(t–1)2(2x–3y)2這個公式可以用文字表述為：兩個數(shù)的平方和加上（或減去完全平方式的特點：

1、必須是三項式（或可以看成三項的）

2、有兩個同號的平方項

3、有一個乘積項（等于平方項底數(shù)的±2倍）簡記口訣：首平方，尾平方，首尾兩倍在中央。完全平方式的特點：將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進行因式分解例(2)①16x2+24x+9②–4x2+4xy–y2④4x2–8xy+4y2=(4x+3)2=–(4x2–4xy+y2)=–(2x–y)2=4(x2–2xy+y2)=4(x–y)2將例(1)中的完全平方式例(2)①16x–2a2+⑥(p+q)2–12(p+q)+36將例(1)中的完全平方式利用完全平方公式進行因式分解例(2)a41=(a2–1)2=(a+1)2(a–1)2=[(a+1)

(a–1)]2=(p+q–6)2XXX–2a2+將例(1)中的完全平15.4.3*因式分解（高級篇）——因式分解的其他常用方法15.4.3*因式分解（高級篇）——因式分解的其他常知識結構因式分解常用方法提公因式法公式法十字相乘法分組分解法拆項添項法配方法待定系數(shù)法求根法……知識結構因式分解常用方法提公因式法一、提公因式法

只需找到多項式中的公因式，然后用原多項式除以公因式，把所得的商與公因式相乘即可。往往與其他方法結合起來用。提公因式法隨堂練習：1）15(m–n)+13(n–m)2）4(x+y)+4(x–3y)一、提公因式法只需找到多項式中的公因式，然后用原多項二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結合或多種公式結合。接下來是一些常用的乘法公式，可以逆用進行因式分解。二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式常用公式1、(a+b)(a–b)=a2–b2（平方差公式）2、(a±b)2=a2±2ab+b2（完全平方公式）3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2)及

a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2)（立方和、差公式）5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3（完全立方和公式）6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推導常用公式這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導過程不要與(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆這是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推導過程公式法隨堂練習：1）(a2–10a+25)(a2–25)2）x3+3x2+3x+1二、公式法

只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將符合其形式的公式套進去即可完成因式分解，有時需和別的方法結合或多種公式結合。公式法隨堂練習：二、公式法只需發(fā)現(xiàn)多項式的特點，再將三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個公式：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq我們可以用它進行因式分解（適用于二次三項式）例1：因式分解x2+4x+3可以看出常數(shù)項3=1×3而一次項系數(shù)4=1+3∴原式=(x+1)(x+3)暫且稱為p、q型因式分解三、十字相乘法①前面出現(xiàn)了一個公式：例1：因式分解x2+4x例2：因式分解x2–7x+10可以看出常數(shù)項10=(–2)×(–5)而一次項系數(shù)–7=(–2)+(–5)∴原式=(x–2)(x–5)這個公式簡單的說，就是把常數(shù)項拆成兩個數(shù)的乘積，而這兩個數(shù)的和剛好等于一次項系數(shù)十字相乘法①隨堂練習：1）a2–6a+52）a2–5a+63）x2–(2m+1)x+m2+m–2例2：因式分解x2–7x+10這個公式簡單的說，十字相乘法①初中數(shù)學經典課件-因式分解(人教版)三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。這里就要用到十字相乘法（適用于二次三項式）。既然是二次式，就可以寫成(ax+b)(cx+d)的形式。(ax+b)(cx+d)=acx2+(ad+bc)x+bd

所以，需要將二次項系數(shù)與常數(shù)項分別拆成兩個數(shù)的積，而這四個數(shù)中，兩個數(shù)的積與另外兩個數(shù)的積之和剛好等于一次項系數(shù)，那么因式分解就成功了。三、十字相乘法②試因式分解6x2+7x+2。既然是二次式，就=173x2+11x+106x2+7x+223124+3=7∴6x2+7x+2=(2x+1)(3x+2)13522+15=1113255+6∴3x2+11x+10=(x+2)(3x+5)=173x2+11x+106x2+7x=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2–6xy–8y2。這里仍然可以用十字相乘法。15–244–10∴5x2–6xy–8y2=(x–2y)(5x+4y)簡記口訣：首尾分解，交叉相乘，求和湊中。十字相乘法②隨堂練習：1）4a2–9a+22）7a2–19a–63）2(x2+y2)+5xy=–65x2–6xy–8y2試因式分解5x2四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab–ac)+(bd–cd)=a

(b–c)+d

(b–c)=(a+d)(b–c)還有別的解法嗎？四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置四、分組分解法

要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置，添、去括號等一些變換達到因式分解的目的。例1：因式分解ab–ac+bd–cd

。解：原式=(ab+bd)–(ac+cd)=b

(a+d)–c

(a+d)=(a+d)(b–c)四、分組分解法要發(fā)現(xiàn)式中隱含的條件，通過交換項的位置例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式=(x5+x4+x3)+(x2+x+1)=(x3+1)(x2+x+1)=

(x+1)(x2–x+1)(x2+x+1)立方和公式分組分解法隨堂練習：1）xy–xz–y2+2yz–z22）a2–b2–c2–2bc–2a+1例2：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。解：原式回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：原式=(x5+x4)+(x3+x2)+(x+1)=(x+1)(x4+x2+1)=(x+1)(x4+2x2+1–x2)=(x+1)[(x2+1)2–x2]=

(x+1)(x2+x+1)(x2–x+1)五*、拆項添項法怎么結果與剛才不一樣呢？因為它還可以繼續(xù)因式分解回顧例題：因式分解x5+x4+x3+x2+x+1。另解：

拆項添項法對數(shù)學能力有著更高的要求，需要觀察到多項式中應拆哪一項使得接下來可以繼續(xù)因式分解，要對結果有一定的預見性，嘗試較多，做題較繁瑣。