一元微分習題課證明題

fx在[0,1

f(x)a

f(x)b，其中a,bc0,1

f(c)2ab2fxxcTaylorf(x)

f(c)f(c)(xc)f()(xf(0)

f(c)f(c)(0c)f(c)f(c)(1c)

f(1)(0f(2)(111 f(1)f(0)

f(c)1f

)(1c)2f()c2f(c)

f(1)f(0)1f

)(1c)2f()c212ab(1c)2c22a1 fx在(0,1f(01f(12f10 2 f()1 1 1 1 1

1證明：f(0)f f 0 f 0

3!f(1)02 1 1 1 1 1

1f(1)f f 1 f 1

3!f(2)12

f(1)f(0)1

1f()f( 所以在(0,1內(nèi)至少存在一點f()24fx在閉區(qū)間[1,1f(1)0,f(1)1,f(0)0，證明：在開區(qū)間(1,1內(nèi)存在一點f()3。f(x)

f0f0x

f0x2

f(1x1x10f(1)

f0

f0

1f(1)

f0

f0

f(2相減，f(1f(2)6。由三階導數(shù)的連續(xù)性，在開區(qū)間(1,1)內(nèi)存在一點，使f()3（其實本題的三階導數(shù)存在即可以證明，三階導數(shù)即使不連續(xù)，介值性質依然yf(x在(1,1f(x)0對于

內(nèi)的任一

x

，存在唯一的

(x 使得f(xf(0xf(x)x成立lim(x)1x 證明：（1）Lagrange中值定理，對于(1,1內(nèi)的任一x0(x(0,1使得f(xf(0xf(x)xf(x)0f(x)在(1,1f(x單調，故(x(0,1)事唯一的。（2）f(x)

f0

f0x

1f()x2xf(x)x

f(x)f(0)

f0x

f()x2f(x)xf(0)f( f(0)limf(x)xf(0)limf()f(0) lim(x)1

x02

x 設fx)在

內(nèi)可導，如果limf(xxf(xlnx

，求證x

f(xl

x

f(x)

x

f(x)lnx

limf(x)xf(x)lnxx設f在[a,bx0(a,b b b f(b)2 f(a)24 24

(x0ab

ab

ab

ab

f(a)f

f2

a2

2f(x1)a ab

ab

ab

abf(b)f

f2

b2

2f(x2)b ab

(ba)2

f

2f

f

f(x1

f(x2)a a 由導函數(shù)的介值定理存在x 使得f(b)2 f(a)

f(x24 24

設f在[a,b]一階可導，在(a,b)二階可導，且滿足f(a)x0(a,b

f(b)0，求證存在f(x)

f(x0)4(bf(a)1f(x)x4(b

f(b)f f(x)

f(b)1f(x)x 相減1fxxa2f

xb2

fbf xab21fxf

fbf 12bafxfx 8fbf12ba4a)2若4a)2

，

a)2

8b則fxfx fbfa 。故存在x(a,b)，使8b f(x0)

4(bf(b)4(bfC2a,bf(a)

f(b)0maxf(x)1(ba)2

f(x)a

a

f(x)1(ba)

f(x)ax

ax（1）

f(x)maxf(x，則f(x0 0a 0

0 0

aab，由（1）式可得

f(x)maxf(x)1(ba)2maxf(x)0 0

ax

axxab,b，由（2）式可得f(x)maxf(x)1(ba)2maxf(x)

ax

ax

f(x)maxf(x)00 0

)

00f(b)0

f(x)f(x)(bx)1f()(bx

f(x)(ba)1maxf(x)[(bx)2ax)21maxf(xba)2。 2ax 2ax

f(x)1(ba)

f(x)ax

axfx在x1x20x1x2，證明x1x21x21x2

fx2

ff證明：記Fxfx,Gx1，Cauchy中值定理 Fx2F F 1Gx2Gx 1fx在a,b二階可導，證明在a,b內(nèi)至少存在一點，使fafxfbf a b 1f， 其中xb ftfx,t證明：記Ft t

，可以證明Ft在a,b可導，中值定理f

t左FaFbF

f11xf1fa

12fx

fx二階導數(shù)存在ca,b，證明在a,b內(nèi)至少存在一點f

f

f

1f

cac

證明fa

fcfcac1fafb

fcfcbc1f

代入左1facf

bc2 1a 2ba2ffacf

bc

a

2ba 由導函數(shù)的介值定理，存在a,b使得facf

bc

1a 2bafx三階可導，且fxhfx0，求證lim1

fxfxh1fxhh2，其01，且2h 證明fxh

fxfxh1fxh21f fxfxh1fx21fxh21fh31fx fx1fh3

fx1ffxhfx h0lim1h 已知fxa的鄰域內(nèi)四階可導，且f(4xM，設0hfafahfah2faM證明fah

fafah1fah21fah31f(4) fah

fafah1fah21fah3

f(4)

1 1代入左式1左1

f(4)f(4)

M22

x1x

2!2n證明x時fx，所以fx有正最fx0，顯然fx0也是

x0

x0fx

顯然x00，故fx有正

fx0 。設fxgx在,有定義，fx,fx存在，