函數(shù)零點(diǎn)課件人教版必修

2．4函數(shù)與方程2．4.1函數(shù)的零點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)導(dǎo)航重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：求函數(shù)的零點(diǎn)．難點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的判斷．新知初探思維啟動(dòng)如果函數(shù)y＝f(x)在實(shí)數(shù)α處的值________，即_________，則α叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)．1.函數(shù)的零點(diǎn)等于零f(α)＝0想一想函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)與函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)有什么聯(lián)系？提示：函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)就是函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)．做一做A．1

B．－1C．1，－1 D．(1，－1)答案：C(1)當(dāng)函數(shù)圖象通過零點(diǎn)且穿過x軸時(shí)，函數(shù)值______．(2)兩個(gè)零點(diǎn)把x軸分為三個(gè)區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值___________．2.二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)變號(hào)保持同號(hào)典題例證技法歸納題型一求函數(shù)的零點(diǎn)

求下列函數(shù)的零點(diǎn)：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.題型探究例1【解】

(1)令y＝x－1＝0得x＝1，∴y＝x－1的零點(diǎn)為1.(2)令f(x)＝(x－3)(x＋2)＝0得x＝3或x＝－2,∴y＝f(x)的零點(diǎn)有兩個(gè)：3或－2.互動(dòng)探究1.若在本例(2)中，改為“若函數(shù)y＝x2－x＋m的零點(diǎn)為3，－2”，又如何求m的值呢？解：由于函數(shù)y＝x2－x＋m的零點(diǎn)為3，－2.所以3，－2即為方程x2－x＋m＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得：3×(－2)＝m，∴m＝－6.

分別判斷下列函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并說明理由：題型二零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷例2【解】

(1)函數(shù)f(x)＝x2＋6x＋9的圖象為開口向上的拋物線，且與x軸有唯一的公共點(diǎn)(－3，0)，所以函數(shù)f(x)＝x2＋6x＋9有一個(gè)零點(diǎn)．(2)法一：當(dāng)x≥0時(shí)，令f(x)＝0得x＋1＝0，解得x＝－1，與x≥0矛盾；當(dāng)x<0時(shí)，令f(x)＝0得x－1＝0，【名師點(diǎn)評(píng)】

(1)方程與不等式的解的問題通?？梢赞D(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與橫軸的交點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)的區(qū)間來解決，而求函數(shù)的零點(diǎn)問題,常常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的方程的解的問題．(2)函數(shù)與方程之間的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，本質(zhì)上是圖形的直觀作用與數(shù)值的精確性之間的相互補(bǔ)充．變式訓(xùn)練2.判斷下列函數(shù)是否有零點(diǎn)，若有，有幾個(gè)零點(diǎn)？(1)f(x)＝x2＋2x＋3；(2)f(x)＝－x2＋2x－1；(3)f(x)＝x2－5x＋6.解：(1)令f(x)＝x2＋2x＋3＝0，所以Δ＝4－12＝－8<0，方程x2＋2x＋3＝0無實(shí)根，所以此函數(shù)沒有零點(diǎn)．(2)令－x2＋2x－1＝0?－(x－1)2＝0?x1＝x2＝1，故此函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)1.(3)令x2－5x＋6＝0?(x－3)(x－2)＝0?x1＝2,x2＝3.故此函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)2，3.

(本題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1.若b＝a＋2，且函數(shù)f(x)在(－2，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．題型三函數(shù)零點(diǎn)性質(zhì)的應(yīng)用例3【思路點(diǎn)撥】函數(shù)f(x)在(－2，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，借助二次函數(shù)的圖象可知：f(－2)·f(1)<0.名師微博對(duì)a的分類討論是本題的關(guān)鍵一步.函數(shù)f(x)＝ax2－bx＋1必有兩個(gè)零點(diǎn)，(5分)又函數(shù)f(x)在(－2，1)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，故f(－2)·f(1)<0，(6a＋5)×(－1)<0，(8分)∴6a＋5>0，【名師點(diǎn)評(píng)】方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)之間緊密相連，要靈活處理它們之間的關(guān)系并能靈活應(yīng)用．當(dāng)二次函數(shù)解析式中含有參數(shù)時(shí),要注意討論各種情況，不要遺漏．變式訓(xùn)練3.(2012·臨沂高一檢測)已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一個(gè)零點(diǎn)比0大，一個(gè)零點(diǎn)比0小，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：法一：設(shè)方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的兩根分別為x1，x2則x1x2<0，∴a－2<0，∴a<2.法二：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的圖象開口向上，零點(diǎn)分布在x＝0兩邊，所以f(0)<0，即a－2<0，∴a<2.答案：a<21.若函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3,求函數(shù)g(x)＝bx2－ax－1的零點(diǎn)．解：由函數(shù)f(x)＝x2－ax－b的兩個(gè)零點(diǎn)是2和3可知，方程x2－ax－b＝0的兩個(gè)實(shí)根是2和3，所以a＝2＋3＝5，－b＝2×3，備選例題2.討論函數(shù)y＝(ax－1)(x－2)(a∈R)的零點(diǎn)．3.已知關(guān)于x

的函數(shù)

y＝(m＋6)x2＋2(m－1)x＋m＋1恒有零點(diǎn)．(1)求

m

的取值范圍；(2)若函數(shù)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，且其倒數(shù)之和為

－4，求

m

的值．解：(1)當(dāng)

m＋6＝0時(shí)，函數(shù)

y＝－14x－5顯然有零點(diǎn)；當(dāng)

m＋6≠0時(shí)，方法技巧1.正確理解函數(shù)的零點(diǎn)(1)函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)自變量取該值時(shí)，其函數(shù)值等于零．方法感悟(2)根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)定義可知，函數(shù)f(x)的零點(diǎn)就是f(x)＝0的根，因此判斷一個(gè)函數(shù)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)，就是判斷方程f(x)＝0是否有實(shí)根，有幾個(gè)實(shí)根．即函數(shù)y＝f(x)的零點(diǎn)?方程f(x)＝0的實(shí)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．2.函數(shù)零點(diǎn)的求法(1)代數(shù)法：求方程f(x)＝0的實(shí)數(shù)根．(2)幾何法：與函數(shù)y＝f(x)的圖象聯(lián)系起來，圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)的零點(diǎn)．3.關(guān)于判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法總結(jié)(1)利用方程根，轉(zhuǎn)化為解方程，有幾個(gè)根就有幾個(gè)零點(diǎn)．(2)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象，判定它與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．(3)結(jié)合單調(diào)性，利用f(a)·f(b)<0