2023學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入 市賽獲獎

數(shù)學(xué)選修1-2·人教A版新課標(biāo)導(dǎo)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入我們知道，在實數(shù)范圍內(nèi)，解方程x2＋1＝0是無能為力的，只有把實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集上才能解決，可是，歷史上引進(jìn)虛數(shù)，把實數(shù)集擴(kuò)充到復(fù)數(shù)集可不是件容易的事．同學(xué)們，你想了解復(fù)數(shù)的初步知識嗎？那就讓我們步入本章的學(xué)習(xí)吧！隨著科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)步，復(fù)數(shù)理論已越來越顯出它的重要性，它不但對于數(shù)學(xué)本身的發(fā)展有著極其重要的意義，而且在系統(tǒng)分析、信號分析、量子力學(xué)、電工學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、流體力學(xué)、振動理論、機(jī)翼理論等方面得到了廣泛應(yīng)用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據(jù)．3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念3.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1自主預(yù)習(xí)學(xué)案2互動探究學(xué)案3課時作業(yè)學(xué)案自主預(yù)習(xí)學(xué)案2018年8月，希望工程舉行中學(xué)生夏令營，來到海濱城市青島．一天，張明與王華面對著廣闊的大海，有一番耐人尋味的對話．張明：海納百川，心闊容海．海、心孰大？王華：夸張的手法，不可比較．張明：那么數(shù)m，n可否比較大??？王華：未必．同學(xué)們，你能準(zhǔn)確回答張明的問題嗎？1．復(fù)數(shù)的定義：形如a＋bi(a、b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，滿足i2＝________.全體復(fù)數(shù)構(gòu)成的集合叫做__________.2．復(fù)數(shù)的代數(shù)表示：復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a、b∈R)，這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的________與________.3．復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a、b、c、d都是實數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?__________________.4．復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，z＝0的充要條件是__________________，a＝0是z為純虛數(shù)的______________條件．－1

復(fù)數(shù)集實部虛部a＝c且b＝d

a＝0且b＝0

必要不充分1．復(fù)數(shù)2－3i的虛部是(

)A．3

B．－3

C．3i

D．－3i[解析]

復(fù)數(shù)2－3i的虛部為－3，故選B．B

2．(2019·山師附中高二期末測試)設(shè)m∈R，復(fù)數(shù)z＝m2－1＋(m－1)i表示純虛數(shù)，則m的值為(

)A．1

B．－1C．±1

D．0B

3．若復(fù)數(shù)(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i是純虛數(shù)，則實數(shù)m的值是(

)A．2

B．3C．2或3

D．－1或6A

4．若a－2i＝bi＋1，a、b∈R，則a2＋b2＝______.5

5．實數(shù)k為何值時，復(fù)數(shù)z＝(k2－3k－4)＋(k2－5k－6)i是(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？(4)零？互動探究學(xué)案

(1)給出下列三個命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1虛部是2i；③2i的實部是0.其中真命題的個數(shù)為(

)A．0

B．1 C．2

D．3命題方向1

?復(fù)數(shù)的概念B

典例1(2)已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實部和虛部分別是2和3，則實數(shù)a，b的值分別是____________.(3)判斷下列命題的真假．①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋2i的充要條件是x＝1，y＝2；②若實數(shù)a與ai對應(yīng)，則實數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；③實數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集．[解析]

(1)對于①，當(dāng)z∈R時，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①為假命題；對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部為2，不是2i，所以②為假命題；對于③，2i＝0＋2i，其實部是0，所以③為真命題．(2)由題意得：a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.(3)①由于x，y都是復(fù)數(shù)，故x＋yi不一定是代數(shù)形式，因此不符合兩個復(fù)數(shù)相等的充要條件，故①是假命題．②當(dāng)a＝0時，ai＝0為實數(shù)，故②為假命題．③由復(fù)數(shù)集的分類知，③正確，是真命題．『規(guī)律方法』判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法1．舉反例：判斷一個命題為假命題，只要舉一個反例即可，所以解答這類型題時，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答．2．化代數(shù)式：對于復(fù)數(shù)實部、虛部的確定，不但要把復(fù)數(shù)化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實數(shù)時，才能確定復(fù)數(shù)的實、虛部．特別提醒：解答復(fù)數(shù)概念題，一定要緊扣復(fù)數(shù)的定義，牢記i的性質(zhì)．〔跟蹤練習(xí)1〕給出下列說法：①復(fù)數(shù)由實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成；②若復(fù)數(shù)z＝3m＋2ni，則其實部與虛部分別為3m,2n；③在復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)；④若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數(shù)．其中正確的說法的序號是______.③

[解析]

①錯，復(fù)數(shù)由實數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)．②錯，只有當(dāng)m，n∈R時，才能說復(fù)數(shù)z＝3m＋2ni的實部與虛部分別為3m,2n.③正確，復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)為純虛數(shù)的條件是x＝0且y≠0，只要x≠0，則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)．④錯，只有當(dāng)a∈R，且a≠－3時，(a＋3)i才是純虛數(shù)．命題方向2

?復(fù)數(shù)的分類典例2『規(guī)律方法』1.判斷一個含有參數(shù)的復(fù)數(shù)在什么情況下是實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，首先要保證參數(shù)值使虛數(shù)表達(dá)式有意義，其次要注意復(fù)數(shù)代數(shù)形式的條件，另外對參數(shù)值的取舍，是取“并”還是“交”，非常關(guān)鍵，解答后進(jìn)行驗算是很必要的．2．形如bi的數(shù)不一定是純虛數(shù)，只有限定條件b∈R

且b≠0時，形如bi的數(shù)才是純虛數(shù)．〔跟蹤練習(xí)2〕

實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i為：(1)實數(shù)？(2)虛數(shù)？(3)純虛數(shù)？(4)零？[解析]

設(shè)z＝(m2－5m＋6)＋(m2－3m)i.(1)要使z為實數(shù)，必須有m2－3m＝0，得m＝0或m＝3，故m＝0或m＝3時，z為實數(shù)．(2)要使z為虛數(shù)，必須有m2－3m≠0，得m≠0且m≠3，故m≠0且m≠3時，z為虛數(shù)．

已知集合M＝{1,2，(m2－3m－1)＋(m2－5m－6)i}，集合P＝{－1,3}，若M∩P＝{3}，求實數(shù)m的值．[思路分析]

由集合的運算列出等式關(guān)系，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求m的值即可．命題方向3

?復(fù)數(shù)相等典例3『規(guī)律方法』復(fù)數(shù)相等的充要條件是“化復(fù)為實”的主要依據(jù)，多用來求解參數(shù)的值．步驟是：分別分離出兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部，利用實部與虛部分別相等列方程組求解．〔跟蹤練習(xí)3〕已知2x－1＋(y＋1)i＝x－y＋(－x－y)i，求實數(shù)x、y的值．

在下列命題中，正確命題的個數(shù)是(

)①兩個復(fù)數(shù)不能比較大小；②若z1和z2都是虛數(shù)，且它們的虛部相等，則z1＝z2；③若a、b是兩個相等的實數(shù)，則(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)．A．0

B．1C．2

D．3準(zhǔn)確掌握概念典例4[錯解]

兩個復(fù)數(shù)不能比較大小，故①正確；設(shè)z1＝mi(m∈R)，z2＝ni(n∈R)∵z1與z2的虛部相等，∴m＝n，∴z1＝z2，故②正確．若a、b是兩個相等的實數(shù)，則a－b＝0，所以(a－b)＋(a＋b)i是純虛數(shù)，故③正確．綜上可知：①②③都正確，故選D．[辨析]

兩個復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的，錯解①中忽視了這一特殊情況導(dǎo)致錯誤；而錯解②將虛數(shù)與純虛數(shù)概念混淆，事實上純虛數(shù)集是虛數(shù)集的真子集，在代數(shù)形式上，純虛數(shù)為bi(b∈R且b≠0)虛數(shù)為a＋bi(a，b∈R，且b≠0)．③中要保證a＋b≠0才可能是純虛數(shù)．[正解]

A

兩個復(fù)數(shù)當(dāng)它們都是實數(shù)時，是可以比較大小的，故①是不正確的；設(shè)z1＝a＋bi(a、b∈R，b≠0)，z2＝c＋di(c、d∈R且d≠0)，∵b＝d，∴z2＝c＋bi.當(dāng)a＝c時，z1＝z2，當(dāng)a≠c時，z1≠z2，故②是錯誤的，③當(dāng)a＝b≠0時，a－b＋(a＋b)i是純虛數(shù)，當(dāng)a＝b＝0時，a－b＋(a＋b)i＝0是實數(shù)，故③錯誤，因此選A．〔跟蹤練習(xí)4〕

實數(shù)m取什么值時，復(fù)數(shù)lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分別是(1)純虛數(shù)？(2)實數(shù)？兩個復(fù)數(shù)能比較大小時，這兩個復(fù)數(shù)必為實數(shù)，從而這兩個復(fù)數(shù)的虛部為0.根據(jù)復(fù)數(shù)的大小求參數(shù)的值典例5『規(guī)律方法』已知兩個復(fù)數(shù)的大小求參數(shù)值時，一般先由復(fù)數(shù)的虛部為0求得參數(shù)的值，再進(jìn)一步檢驗復(fù)數(shù)的大小關(guān)系即可．C

2．以3i－1的虛部為實部，以－2＋i的實部為虛部的復(fù)數(shù)是(

)A．－2＋3i

B．－2i＋3C．－3＋i

D．1－3i[解析]

3i－1的虛部為3，－2＋i的實部為－