對(duì)數(shù)的大小比較講議

對(duì)數(shù)的大小比較分類講議（關(guān)沮中學(xué)陸家順）11、比較log3.4log8.5的大??；2 2解（單調(diào)性法：對(duì)數(shù)函數(shù)ylog2

2,所以它在）是增函數(shù)所以log2

3.4log2

8.52、若aln2b

ln3，c

ln5，試比較abc的大小關(guān)系。2 3 5解法一、底數(shù)相同（10），真數(shù)化同次根式，比較真數(shù)大?。ǚǎ?9，∴ab.2532,∴ca. ∴cab解法二、作差法?！郼a∴ab.∴cab21：比較log3log3log3的大小5 6 7解法一（換底法）利用倒數(shù)關(guān)系化為同底比較?！?log5log6log7，3 3 3∴l(xiāng)og3log3log35 6 7解法二（圖像法）其圖像如圖所示，由圖可知log3log3log35 6 72：比較log與log1的大小3 13解：由對(duì)數(shù)的性質(zhì)：1的對(duì)數(shù)是0可知log3

log1133、底數(shù)與真數(shù)都不相同的對(duì)數(shù)大小比較例1：比較log 7與log 6的大小6 7解法一（中間值法）log 7log 61,而log 6log 716 6 7 7∴l(xiāng)og 7log 66 7解法二（圖像法）其圖像如圖所示，由圖可知log 7log 66 7例比較，log 0.9，log 0.8的大小；1.1 0.7解法一（中間值法）∵1.10.91，log 0.9log 10，1.1 1.10log 1log 0.8log 0.71，0.7 0.7 0.7∴1.10.9log 0.8log 0.90.7 1.1解法二（圖像法）其圖像如圖所示，由圖可知log 0.8log 0.90.7 1.1例3：比較log2

與log3

4的大小.解（放縮法）(利用當(dāng)ab時(shí)，a2b22ab∴l(xiāng)og2

.log 43另解：（放縮法）先作商再放縮lg3log3 lg2 lg23 lg23 2 log43

lg4lg2lg4 lg2lg4()2() lg2lg8

lg3lg2lg9

2lg231lg23( )22

( )22∴l(xiāng)og 3log 42 3例4：比較log 與log 5的大小6 11解（指對(duì)數(shù)互化法）設(shè)log 3x,log 5y6 112 23362,53112 ∴3631132 2∴6x63113 ∴x∴xy,即log 3log 56 11

2,y23 34、含參對(duì)數(shù)大小的比較1例1：比較log22

log2

(a

a的大小。解（單調(diào)性法）a2a1(a1

1)2312 4 2∴l(xiāng)og22

< log2

(a2a例2：比較loga

， loga

e(a0,a0)的大小解（分類思考法）當(dāng)a1logalogae當(dāng)0a1loga

log ea例3：已知logm

logn

4，比較mn的大小。解法一分類思考法

4

4，∴1

1 ，m①當(dāng)m1，n1時(shí)，得0 1

n 1 ，

log4

m logn4log4

m logn4∴l(xiāng)ognlogm，∴mn1．4 4②當(dāng)0m1，0n1時(shí)，得1

0，log4

m logn4∴l(xiāng)ognlogm，∴0nm1．4 4③當(dāng)0m1，n1時(shí)，得logm0，log n0，4 4∴0m1，n1，∴0m1n．④當(dāng)0n1m1時(shí)，不存在在。mn的大小關(guān)系為mn1或0nm1或0m1n．解法二（圖像法）分類作圖如下，由圖可知 m，n的大小關(guān)系為mn1或0nm1或0m1n4f(x)

(x2

f(a),f(b),f(c)的2大小。

a b c解（特殊值法）0cba可設(shè)a14bc2所以f(a)log2162,