平面的方程課件

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，其主要內(nèi)容可示意如下：點(diǎn)坐標(biāo)軌跡第一章第二章方程曲線曲面平面與直線一般曲面一般曲線普通參數(shù)方程與關(guān)系第三章第四章常見曲面和二次曲面第五章二次曲線的一般理論第三章平面與空間直線解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，1第三章平面與空間直線1、平面的方程2、平面與點(diǎn)的相關(guān)位置3、兩平面的相關(guān)位置4、空間直線的方程5、直線與平面的相關(guān)位置6、空間兩直線的相關(guān)位置7、空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置8、平面束哇！第三章平面與空間直線哇！2第一節(jié)平面及其方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方向矢量決定的平面的方程1、方向矢量在空間給定一個點(diǎn)M0與兩個不共線的矢量a,b，則通過點(diǎn)M0且與a,b平行的平面就被唯一確定。矢量a,b稱為平面的方向矢量。顯然，任何一對與平面平行的不共線矢量都可作為平面的方向矢量。第一節(jié)平面及其方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方向矢量決定的32、平面的矢量式參數(shù)方程在空間，取標(biāo)架{O；e1,e2,e3},并設(shè)點(diǎn)M0的徑矢OM0=r0,平面上的任意一點(diǎn)M的徑矢為OM=r，M0M=ua+vb又因?yàn)镸0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）稱為平面的矢量式參數(shù)方程。bxyzaM0MOr0r顯然點(diǎn)M在平面上的充要條件為矢量M0M與a,b,面，因?yàn)閍,b不共線，所以這個共面的條件可寫成：第一節(jié)平面及其方程2、平面的矢量式參數(shù)方程在空間，取標(biāo)架{O；e1,e43、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0),(x,y,z),則r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并設(shè)a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}則由（1）可得（2）式稱為平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程。r=r0+ua+vb（1）第一節(jié)平面及其方程3、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y05例1、已知不共線的三點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求過這三點(diǎn)的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的矢量式參數(shù)方程為r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐標(biāo)式參數(shù)方程為設(shè)M(x,y,z)是平面上任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)為Mi的徑矢為ri=OMi，則可取方向矢量為r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},第一節(jié)平面及其方程例1、已知不共線的三點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,6從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）與或（5）（6）（7）都有叫做平面的三點(diǎn)式方程。第一節(jié)平面及其方程從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：（r-r1,r2-7特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,則平面的方程為稱為平面的截距式方程。其中a,b,c分別稱為平面在三坐標(biāo)軸上的截距。xzyM1M2M3o第一節(jié)平面及其方程特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M1(a,0,0)稱為8

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．二、平面的點(diǎn)法式方程1.法向量:注:1對平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n與上任一向量垂直.第一節(jié)平面及其方程如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平92.平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面過定點(diǎn)M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.對于平面上任一點(diǎn)M(x,

y,z),向量M0M與n垂直.

yxzM0MnOn

M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0稱方程(1)為平面的點(diǎn)法式方程.(1)第一節(jié)平面及其方程2.平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面過定點(diǎn)M0(x0,y0,10例1:求過點(diǎn)(2,3,0)且以n={1,2,3}為法向量的平面的方程.解:根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1),可得平面方程為:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第一節(jié)平面及其方程例1:求過點(diǎn)(2,3,0)且以n={1,211nM3M2M1解:先找出該平面的法向量n.由于n與向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例2:求過三點(diǎn)M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程為:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0第一節(jié)平面及其方程nM3M2M1解:先找出該平面的法向量n.由于n與向量M112例3、已知兩點(diǎn)M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求線段的垂直平分面的方程。解：因?yàn)槭噶縈1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一個法矢量為n={1,1,-2}.又所求平面過點(diǎn)M1M2的中點(diǎn)M0(2,-1,1)，故平面的點(diǎn)法式方程為(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第一節(jié)平面及其方程例3、已知兩點(diǎn)M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求13三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一個法向量是:n={A,B,C}證:A,B,C不能全為0,不妨設(shè)A

0,則方程可以化為它表示過定點(diǎn)注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)稱為平面的一般方程.且法向量為n={A,B,C}的平面.第一節(jié)平面及其方程三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方14例2:已知平面過點(diǎn)M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面與已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第一節(jié)平面及其方程例2:已知平面過點(diǎn)M0(1,2,3),且平行于平面152.平面方程的幾種特殊情形(1)過原點(diǎn)的平面方程由于O(0,0,0)滿足方程,所以D=0.于是,過原點(diǎn)的平面方程為:Ax+By+Cz=0第一節(jié)平面及其方程2.平面方程的幾種特殊情形(1)過原點(diǎn)的平面方程由于O(16(2)平行于坐標(biāo)軸的方程考慮平行于x軸的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}與x軸上的單位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x軸的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y軸的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于z軸的平面方程是Ax+By+D=0.特別:D=0時,平面過坐標(biāo)軸.第一節(jié)平面及其方程(2)平行于坐標(biāo)軸的方程考慮平行于x軸的平面Ax+By17(3)平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平行于xOz面的平面方程是平行于yOz面的平面方程是.Cz+D=0;By+D=0;Ax+D=0(3)平行于坐標(biāo)面的平面方程平行于xOy面的平面方程是平18例3:求通過x軸和點(diǎn)(4,3,1)的平面方程.解:由于平面過x軸,所以A=D=0.設(shè)所求平面的方程是By+Cz=0又點(diǎn)(4,3,1)在平面上,所以3BC=0C=3B所求平面方程為By

3Bz=0即:y

3z=0第一節(jié)平面及其方程例3:求通過x軸和點(diǎn)(4,3,1)的平面方程.19例4:設(shè)平面與x,y,z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三點(diǎn),求這平面的方程.解:設(shè)所求平面的方程為Ax+By+Cz+D=0因P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)三點(diǎn)都在這平面上,于是aA+D=0bB+D=0cC+D=0解得:oyPxzQR第一節(jié)平面及其方程例4:設(shè)平面與x,y,z軸的交點(diǎn)依次為P(a,0,20所求平面的方程為:即:(3)第一節(jié)平面及其方程所求平面的方程為:即:(3)第一節(jié)平面及其方程21設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解第一節(jié)平面及其方程設(shè)平面為由所求平面與已知平面平行得（向量平行的充要條件）解第22化簡得令代入體積式所求平面方程為第一節(jié)平面及其方程化簡得令代入體積式所求平面方程為第一節(jié)平面及其方程23

解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，其主要內(nèi)容可示意如下：點(diǎn)坐標(biāo)軌跡第一章第二章方程曲線曲面平面與直線一般曲面一般曲線普通參數(shù)方程與關(guān)系第三章第四章常見曲面和二次曲面第五章二次曲線的一般理論第三章平面與空間直線解析幾何的基本思想是用代數(shù)的方法來研究解決幾何問題，24第三章平面與空間直線1、平面的方程2、平面與點(diǎn)的相關(guān)位置3、兩平面的相關(guān)位置4、空間直線的方程5、直線與平面的相關(guān)位置6、空間兩直線的相關(guān)位置7、空間直線與點(diǎn)的相關(guān)位置8、平面束哇！第三章平面與空間直線哇！25第一節(jié)平面及其方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方向矢量決定的平面的方程1、方向矢量在空間給定一個點(diǎn)M0與兩個不共線的矢量a,b，則通過點(diǎn)M0且與a,b平行的平面就被唯一確定。矢量a,b稱為平面的方向矢量。顯然，任何一對與平面平行的不共線矢量都可作為平面的方向矢量。第一節(jié)平面及其方程一、由平面上一點(diǎn)與平面的方向矢量決定的262、平面的矢量式參數(shù)方程在空間，取標(biāo)架{O；e1,e2,e3},并設(shè)點(diǎn)M0的徑矢OM0=r0,平面上的任意一點(diǎn)M的徑矢為OM=r，M0M=ua+vb又因?yàn)镸0M=r-r0所以r-r0=ua+vb即r=r0+ua+vb（1）方程（1）稱為平面的矢量式參數(shù)方程。bxyzaM0MOr0r顯然點(diǎn)M在平面上的充要條件為矢量M0M與a,b,面，因?yàn)閍,b不共線，所以這個共面的條件可寫成：第一節(jié)平面及其方程2、平面的矢量式參數(shù)方程在空間，取標(biāo)架{O；e1,e273、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y0,z0),(x,y,z),則r0={x0,y0,z0},r={x,y,z}并設(shè)a={X1,Y1,Z1},b={X2,Y2,Z2}則由（1）可得（2）式稱為平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程。r=r0+ua+vb（1）第一節(jié)平面及其方程3、平面的坐標(biāo)式參數(shù)方程若設(shè)M0，M的坐標(biāo)分別為(x0,y028例1、已知不共線的三點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2),M3(x3,y3,z3),求過這三點(diǎn)的平面的方程。解：r2-r1=M1M2={x2-x1,y2-y1,z2-z1},因此，平面的矢量式參數(shù)方程為r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1)(3)坐標(biāo)式參數(shù)方程為設(shè)M(x,y,z)是平面上任意一點(diǎn)，已知點(diǎn)為Mi的徑矢為ri=OMi，則可取方向矢量為r3-r1=M1M3={x3-x1,y3-y1,z3-z1},第一節(jié)平面及其方程例1、已知不共線的三點(diǎn)M1(x1,y1,z1),M2(x2,29從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0（5）與或（5）（6）（7）都有叫做平面的三點(diǎn)式方程。第一節(jié)平面及其方程從（3），（4）中分別消去參數(shù)u,v可得：（r-r1,r2-30特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M1(a,0,0)M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc≠0,則平面的方程為稱為平面的截距式方程。其中a,b,c分別稱為平面在三坐標(biāo)軸上的截距。xzyM1M2M3o第一節(jié)平面及其方程特別地，若平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為M1(a,0,0)稱為31

如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平面的法線向量．法線向量的特征：垂直于平面內(nèi)的任一向量．二、平面的點(diǎn)法式方程1.法向量:注:1對平面,法向量n不唯一;2平面的法向量n與上任一向量垂直.第一節(jié)平面及其方程如果一非零向量垂直于一平面，這向量就叫做該平322.平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面過定點(diǎn)M0(x0,

y0,z0),且有法向量n={A,B,C}.對于平面上任一點(diǎn)M(x,

y,z),向量M0M與n垂直.

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M0M=0而M0M={xx0,yy0,zz0},得:A(xx0)+B(yy0)+C(zz0)=0稱方程(1)為平面的點(diǎn)法式方程.(1)第一節(jié)平面及其方程2.平面的點(diǎn)法式方程設(shè)平面過定點(diǎn)M0(x0,y0,33例1:求過點(diǎn)(2,3,0)且以n={1,2,3}為法向量的平面的方程.解:根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程(1),可得平面方程為:1(x2)2(y+3)+3(z0)=0即:x2y+3z8=0第一節(jié)平面及其方程例1:求過點(diǎn)(2,3,0)且以n={1,234nM3M2M1解:先找出該平面的法向量n.由于n與向量M1M2,M1M3都垂直.而M1M2={3,4,6}M1M3={2,3,1}可取n=M1M2M1M3=14i+9j

k例2:求過三點(diǎn)M1(2,1,4),M2(1,3,2)和M3(0,2,3)的平面的方程.所以,所求平面的方程為:14(x2)+9(y+1)(z4)=0即:14x+9yz15=0第一節(jié)平面及其方程nM3M2M1解:先找出該平面的法向量n.由于n與向量M135例3、已知兩點(diǎn)M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求線段的垂直平分面的方程。解：因?yàn)槭噶縈1M2={2，2，-4}=2{1，1，-2}垂直于平面，所以平面的一個法矢量為n={1,1,-2}.又所求平面過點(diǎn)M1M2的中點(diǎn)M0(2,-1,1)，故平面的點(diǎn)法式方程為(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0整理得x+y-2z+1=0第一節(jié)平面及其方程例3、已知兩點(diǎn)M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求36三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方程.Ax+By+Cz+D=0都表示平面,且此平面的一個法向量是:n={A,B,C}證:A,B,C不能全為0,不妨設(shè)A

0,則方程可以化為它表示過定點(diǎn)注：一次方程:Ax+By+Cz+D=0(2)稱為平面的一般方程.且法向量為n={A,B,C}的平面.第一節(jié)平面及其方程三、平面的一般方程1.定理1:任何x,y,z的一次方37例2:已知平面過點(diǎn)M0(1,2,3),且平行于平面2x3y+4z1=0,求其方程.解:所求平面與已知平面有相同的法向量n={23,4}2(x+1)3(y2)+4(z3)=0即:2x3y+4z4=0第一節(jié)平面及其方程例2:已知平面過點(diǎn)M0(1,2,3),且平行于平面382.平面方程的幾種特殊情形(1)過原點(diǎn)的平面方程由于O(0,0,0)滿足方程,所以D=0.于是,過原點(diǎn)的平面方程為:Ax+By+Cz=0第一節(jié)平面及其方程2.平面方程的幾種特殊情形(1)過原點(diǎn)的平面方程由于O(39(2)平行于坐標(biāo)軸的方程考慮平行于x軸的平面Ax+By+Cz+D=0,它的法向量n={A,B,C}與x軸上的單位向量i={1,0,0}垂直,所以n·i=A·1+B·0+C·0=A=0于是:平行于x軸的平面方程是By+Cz+D=0;平行于y軸的平面方程是Ax+Cz+D=0;

平行于