金融工程講義第三講投資組合(portfolio)理論基礎(chǔ)

7/7第三講投資組合(portfolio)理論基礎(chǔ)=1\*CHINESENUM3一．單個(gè)資產(chǎn)的收益和風(fēng)險(xiǎn)=1\*Arabic1．期望收益(expectedreturn)數(shù)學(xué)期望(mathematicalexpectation)的定義：若離散型隨機(jī)變量的可能值為，其概率分布為，則當(dāng)：時(shí)，稱的數(shù)學(xué)期望存在，并且其數(shù)學(xué)期望記作，定義為：對(duì)于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)而言，其將來的收益是一個(gè)隨機(jī)變量。在不同的經(jīng)濟(jì)條件下，這個(gè)隨機(jī)變量將取不同的值，而每一種經(jīng)濟(jì)條件的消失都有其概率。把資產(chǎn)收益的不同取值乘以不同經(jīng)濟(jì)條件消失的概率，就能夠?qū)υ撡Y產(chǎn)將來的收益做出估量。用公式表示為：式中，為該資產(chǎn)收益的第狀態(tài)的取值；為資產(chǎn)收益取值的概率；為該資產(chǎn)的期望收益。例題：已知某種證券在市場(chǎng)狀況較好的情況下的投資收益率為45%，在市場(chǎng)狀況較差的情況下的投資收益率為-15%，又已知將來市場(chǎng)狀況轉(zhuǎn)好的可能性為60%，市場(chǎng)狀況轉(zhuǎn)壞的可能性為40%，則該證券的期望收益為多少？練習(xí)題：假設(shè)某種證券資產(chǎn)在A情況下的收益率為35%，在B情況下的投資收益率為15%，在C情況下的投資收益率為-20%。A、B、C三種情況發(fā)生的概率分別為20%，50%和30%，求這種證券資產(chǎn)的預(yù)期收益。=2\*Arabic2．收益的方差(Variance)方差(variance)和標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)的定義：設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量(randomvariable)，其數(shù)學(xué)期望存在，則稱為的離差(deviation)，進(jìn)一步，如果也存在，則稱為隨機(jī)變量的方差，記作或，并稱為的標(biāo)準(zhǔn)差。在數(shù)學(xué)上，方差反映的是一個(gè)隨機(jī)變量對(duì)于其數(shù)學(xué)期望的偏離程度。同時(shí)，由于我們把投資的風(fēng)險(xiǎn)定義為投資收益偏離預(yù)期收益的潛在可能性，因此我們可以用預(yù)期收益的方差來作為衡量風(fēng)險(xiǎn)的標(biāo)準(zhǔn)。注：方差是數(shù)據(jù)組中各數(shù)據(jù)值與其算術(shù)平均數(shù)(arithmeticmean)離差平方的算術(shù)平均數(shù)，用符號(hào)“”(的讀音為sigma)來表示。方差的平方根就是標(biāo)準(zhǔn)差，用符號(hào)“”來表示。在Excel中可以用VAR函數(shù)計(jì)算一組數(shù)據(jù)的方差。用公式表示為：即：方差或者標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)值越大就表示投資收益偏離預(yù)期收益的幅度越大，也就意味著投資的風(fēng)險(xiǎn)越大。例題：已知某種證券在市場(chǎng)狀況較好的情況下的投資收益率為45%，在市場(chǎng)情況較差的情況下的投資收益率為-15%，又已知將來市場(chǎng)狀況轉(zhuǎn)好的可能性為60%，市場(chǎng)狀況轉(zhuǎn)壞的可能性為40%，則該證券期望收益的方差和標(biāo)準(zhǔn)差為多少？注：在Excel中可以用SUMSQ函數(shù)作平方（和）運(yùn)算，也可以用POWER（冪）函數(shù)作平方運(yùn)算，用SQRT函數(shù)作求平方根運(yùn)算。題解：練習(xí)題：假設(shè)某種證券資產(chǎn)在A情況下的收益率為35%，在B情況下的投資收益率為15%，在C情況下的投資收益率為-20%。A、B、C三種情況發(fā)生的概率分別為20%，50%和30%，求這種證券資產(chǎn)預(yù)期收益的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。=2\*CHINESENUM3二．投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益=1\*Arabic1．投資組合的構(gòu)成資產(chǎn)組合就是由幾種資產(chǎn)構(gòu)成的組合。投資者可以依據(jù)各種比率（或者稱為比重或權(quán)重）將其財(cái)寶分散投資于各種資產(chǎn)上，假設(shè)投資者選擇投在種資產(chǎn)上的比重為、、…、，則有如下限制條件：s.t.,其中：=投資組合所包括的資產(chǎn)種類的數(shù)量=某種特定的資產(chǎn)=安排給第種資產(chǎn)的比重例題：2005年9月12日至9月16日的一個(gè)交易周內(nèi)，按成交量排名的前20位股票如下表所列。假設(shè)A投資組合是在自9月12日開盤至9月16日收盤的這段投資期間內(nèi)由這20種股票的每種股票各100股所構(gòu)成的一個(gè)投資組合，則問每一股股票在A投資組合中所占的權(quán)重為多少？演示用Excel計(jì)算每種股票的權(quán)重(weight)。=2\*Arabic2．投資組合的收益投資組合的收益率取決于兩個(gè)因素：各種資產(chǎn)的類別；各種資產(chǎn)的投資比率。投資組合的期望收益率記作，其大小等于投資組合中各種資產(chǎn)的平均收益率與各自的投資比重的乘積之和，即：其中：=投資組合所包括的資產(chǎn)種類的數(shù)量=第種資產(chǎn)的期望收益率=安排給第種資產(chǎn)的比重例題：求上一個(gè)例題中的A投資組合的收益為多少？演示用Excel計(jì)算投資組合的收益。=3\*Arabic3．投資組合的風(fēng)險(xiǎn)依據(jù)方差的定義，投資組合的方差可以依據(jù)下面的方法算出。即：例題：求上一個(gè)例題中的A投資組合的方差和標(biāo)準(zhǔn)差為多少？演示用Excel計(jì)算投資組合的方差和標(biāo)準(zhǔn)差。=3\*CHINESENUM3三．資產(chǎn)的相關(guān)關(guān)系和投資組合的風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避=1\*Arabic1．資產(chǎn)的相關(guān)關(guān)系(dependencyrelationship)=1\*GB2⑴隨機(jī)向量的協(xié)方差(covariance)協(xié)方差的定義：設(shè)為二維隨機(jī)向量，，均存在，如果存在，則稱其為隨機(jī)變量與的協(xié)方差，記作，即：注：在Excel中可以用COVAR函數(shù)計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的協(xié)方差。=2\*GB2⑵相關(guān)系數(shù)(coefficientofcorrelation)相關(guān)系數(shù)的定義為：設(shè)是一個(gè)二維隨機(jī)向量，和的方差均存在，且均為正，則稱為與之間的相關(guān)系數(shù)。注：“”的讀音為“rho”。=3\*GB2⑶用協(xié)方差形式表示的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)如果將資產(chǎn)和資產(chǎn)之間的協(xié)方差記為，則投資組合的方差也可以表示為：進(jìn)一步的投資組合的方差的公式也可以寫成：例題：假如我們要構(gòu)造一個(gè)能源投資的Ace組合，我們選擇了雪佛龍德士古(ChevronTexaco)石油公司和巴羅德(Ballard)燃料電池公司。由于燃料公司供應(yīng)了替代汽油的清潔能源，所以這兩家公司的股票價(jià)格運(yùn)動(dòng)方向相反。我們?cè)O(shè)，雪佛龍德士古公司股票的標(biāo)準(zhǔn)差和預(yù)期回報(bào)分別是：，。巴羅德公司股票的標(biāo)準(zhǔn)差和預(yù)期回報(bào)分別是：，。求解Ace組合的標(biāo)準(zhǔn)差和預(yù)期回報(bào)。注：“Ace”一詞的英文解釋是：“Anexpertinagivenfield”。題解：=4\*GB2⑷用矩陣的形式表示的投資組合的風(fēng)險(xiǎn)：設(shè)有種證券其收益為，為隨機(jī)變量，以向量的形式可表示為：其數(shù)學(xué)期望和方差（協(xié)方差矩陣）分別為：設(shè)投資組合投資于第種證券的比例為,用向量表示就是：依據(jù)前面的假設(shè)，由于約束條件為，因此上式也可以寫成下述向量的形式：某一投資組合的期望收益就是該組合中全部證券期望收益的加權(quán)平均。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：投資組合的方差為：注：“”的讀音為“mu”,“”的讀音為“omega”。=2\*Arabic2．分散投資、資產(chǎn)相關(guān)性和風(fēng)險(xiǎn)的規(guī)避我們已知投資組合的方差可以表示為：當(dāng)投資者對(duì)每種資產(chǎn)進(jìn)行等額投資時(shí)，也就是，將其帶入上式，則有：………（1）如果將協(xié)方差的平均值記為：那么，可以把（1）式進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：……………（2）當(dāng)資產(chǎn)組合充分多元化時(shí)，也就是時(shí)，對(duì)（2）式求極限可得（當(dāng)然假設(shè)各證券收益的方差有界）；………………（3）當(dāng)資本市場(chǎng)上的資產(chǎn)不是處于完全不相關(guān)狀態(tài)時(shí)（這也是資本市場(chǎng)上的一般情況），不全成立，因而不肯定成立。由此我們可以得出重要的結(jié)論：當(dāng)投資組合中包含有很多風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)，對(duì)于整個(gè)組合的風(fēng)險(xiǎn)而言，個(gè)別資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)（）將不再起作用，而各資產(chǎn)之間的協(xié)方差雖然存在著正負(fù)相抵的可能，但并不能完全消除。進(jìn)一步，如果資產(chǎn)組合中的資產(chǎn)兩兩不相關(guān)，此時(shí)，投資組合的風(fēng)險(xiǎn)通過分散化投資可以完全消除。但是這種情況在現(xiàn)實(shí)生活中不行能消失，由于資本市場(chǎng)上的資產(chǎn)價(jià)格不行避開地會(huì)受到某個(gè)共同因素的影響，不行能表現(xiàn)為完全不相關(guān)的情況?，F(xiàn)在我們來考慮資本市場(chǎng)上的一般情況，即資產(chǎn)不是處于完全不相關(guān)時(shí)的情況。由（3）式我們知道充分的分散化能夠消除資產(chǎn)組合的部分風(fēng)險(xiǎn)，但不能消除組合的全部風(fēng)險(xiǎn)?？梢韵哪遣糠诛L(fēng)險(xiǎn)稱為非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)(unsystematicrisk)，也就是（2）中的第一項(xiàng)；不能夠完全消除的那部分風(fēng)險(xiǎn)稱為系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)(systematicrisk)，也就是（2）式中的其次項(xiàng)。非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)是某一資產(chǎn)所特有的風(fēng)險(xiǎn)，它是影響特定資產(chǎn)收益的風(fēng)險(xiǎn)因素。例如，對(duì)于某一發(fā)行證券的企業(yè)而言，該企業(yè)新產(chǎn)品開發(fā)的失敗或者應(yīng)收賬款產(chǎn)生呆賬等都是只對(duì)該企業(yè)所發(fā)行證券有影響的非系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。而系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)則對(duì)市場(chǎng)上全部的資產(chǎn)都產(chǎn)生影