2020年普通高等學校招生全國1卷高考模擬大聯(lián)考數(shù)學（理科）試題

2020年普通高等學校招生全國Ⅰ卷高考模擬大聯(lián)考數(shù)學（理科）第Ⅰ卷一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.（-1，1） B.[-1，1） C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡集合，利用集合的交集定義計算得出答案．【詳解】因為.所以.故選：B【點睛】本題考查集合的交并補運算，考查一元二次不等式的解法，考查學生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題．2.已知復數(shù)z＝，則＝（）A.﹣1 B.﹣i C.1 D.i【答案】D【解析】【分析】利用復數(shù)的運算法則化簡后，根據(jù)共軛復數(shù)概念得出結(jié)果.【詳解】，∴,故選：D.【點睛】本題考查復數(shù)的四則運算，虛數(shù)單位的冪的運算的周期性，共軛復數(shù)的概念，屬基礎(chǔ)題.3.若拋物線x2＝ay的準線與拋物線y＝﹣x2﹣2x+1相切，則a＝（）A.8 B.﹣8 C.﹣4 D.4【答案】B【解析】【分析】求出拋物線x2＝ay的準線為，根據(jù)拋物線x2＝ay的準線與拋物線相切可得，得出答案.【詳解】拋物線拋物線x2＝ay的準線為則與拋物線y＝﹣x2﹣2x+1相切，所以，所以故選：B【點睛】本題考查拋物線的準線方程，考查拋物線的切線，屬于基礎(chǔ)題.4.函數(shù)的部分圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的特值可得結(jié)果.【詳解】由，則當時，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，排除選項A，C又，排除除選項B故選：【點睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識別和判斷，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性以及特值是解決本題的關(guān)鍵．比較基礎(chǔ)．5.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A.5 B.3 C.6 D.4【答案】A【解析】【分析】執(zhí)行程序框圖，依此寫出每次循環(huán)時的的值并判斷，直到當時，退出循環(huán)，輸出的值.【詳解】第一次循環(huán)：，，，不滿足執(zhí)行循環(huán)；第二次循環(huán)：，，，不滿足執(zhí)行循環(huán)；第三次循環(huán)：，，，不滿足執(zhí)行循環(huán)；第四次循環(huán)：，，，退出循環(huán)，此時輸出.故選:A【點睛】本題主要考查直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的計算結(jié)構(gòu)的輸出，對于這類問題，通常是利用程序框圖給出的算法計算出每一步的結(jié)果并判斷即可，屬于基礎(chǔ)題.6.連續(xù)擲三次骰子，先后得到的點數(shù)分別為x，y，z，那么點到原點O的距離不超過3的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間中兩點間的距離公式結(jié)合古典概型的概率公式，即可得出答案.【詳解】點到原點O的距離不超過3，則，即連續(xù)擲三次骰子，得到的點的坐標共有個其中滿足條件則點到原點O的距離不超過3的概率為故選：B【點睛】本題主要考查了古典概型概率公式的應用，涉及了空間中兩點間距離公式的應用，屬于中檔題.7.函數(shù)f（x）＝2sin2（ωx﹣）＞（ω＞0）的最小正周期為π．則f（x）在上的最小值是（）A.1+ B. C.2 D.1﹣【答案】D【解析】【分析】由函數(shù)的最小正周期得到的值，再根據(jù)的取值范圍求出的取值范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)得到函數(shù)的最小值；【詳解】解：因為，且的最小正周期為，所以解得，所以因為所以，所以所以故選：D【點睛】本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應用，屬于基礎(chǔ)題.8.中醫(yī)藥，是包括漢族和少數(shù)民族醫(yī)藥在內(nèi)的我國各民族醫(yī)藥的統(tǒng)稱，反映了中華民族對生命、健康和疾病的認識，具有悠久歷史傳統(tǒng)和獨特理論及技術(shù)方法的醫(yī)藥學體系．是中華民族的瑰寶．某科研機構(gòu)研究發(fā)現(xiàn)，某品種中醫(yī)藥的藥物成分甲的含量x（單位：克）與藥物功效y（單位：藥物單位）之間滿足y＝15x﹣2x2．檢測這種藥品一個批次的6個樣本，得到成分甲的含量的平均值為5克．標準差為克．則估計這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為（）A.14藥物單位 B.15.5藥物單位C.15藥物單位 D.16藥物單位【答案】C【解析】【分析】設(shè)6個樣本中藥物成份甲的含量分別為，根據(jù)平均值和標準差列出方程，再代入平均數(shù)的計算公式，即可求解.【詳解】設(shè)6個樣本中藥物成份甲的含量分別為，因為成分甲的含量的平均值為5克，所以，標準差為克，所以，可得，又由，所以，所以這批中醫(yī)藥的藥物功效的平均值為.故選：C.【點睛】本題主要考查了統(tǒng)計知識的應用，其中解答中熟記平均數(shù)和方差、標準差的計算公式，準確計算是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力.9.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊．已知且b＝，則a+c＝（）A.4 B.3 C. D.2【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理角化邊可得，再根據(jù)余弦定理可得，根據(jù)三角形面積公式可得，再根據(jù)余弦定理可求得結(jié)果.【詳解】因為，所以，化簡得，所以，因為，所以，所以，所以，所以，又，所以，所以，所以.故選：D.【點睛】本題考查了三角形的面積公式、余弦定理，屬于基礎(chǔ)題.10.設(shè)A為雙曲線（a＞0，b＞0）的一條漸近線上一點，且A在第四象限，O為坐標原點，若向量＝(1，1)，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】由已知可設(shè)，其中，由且，可得，，建立關(guān)于的方程，解之，再由雙曲線離心率的公式可得選項.【詳解】由已知可得A為直線上一點，且A在第四象限，故可設(shè)，其中，，其中，，，，，，即，，.所以該雙曲線的離心率為，故選：A.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率的問題，關(guān)鍵在于由已知條件得出關(guān)于的方程，屬于中檔題.11.三棱錐S﹣ABC的各頂點均在球O的球面上，SC為該球的直徑，AC＝BC＝2，∠ACB＝120°，且三棱錐S﹣ABC的體積為2，則球O的半徑為（）A. B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】作出示意圖，求得的面積，并計算出三棱錐的高，利用正弦定理計算圓的直徑，然后利用勾股定理求出，即可求解球的直徑，得到答案.【詳解】如圖所示，因為，可得面積為，設(shè)的外接圓為圓，連接，則平面，作圓的直徑，連接，因為分別為的中點，則，所以平面，所以三棱錐的體積為，解得，由正弦定理，可得，，設(shè)球的半徑為，則，解得.故選：A.【點睛】本題主要考查了球的體積的計算公式及應用，其中解答中作出示意圖，根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)特征，找出線面垂直關(guān)系，求得三棱錐的高是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于中檔試題.12.已知函數(shù)與的圖象上存在兩對關(guān)于直線對稱的點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意與的圖象在存在兩對關(guān)于對稱的點，即可知的反函數(shù)與在有兩交點，構(gòu)造新函數(shù)，通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性進而根據(jù)函數(shù)值的對稱性確定參數(shù)范圍即可【詳解】∵與的圖象在存在兩對關(guān)于對稱的點由，得，且與關(guān)于對稱∴在上有兩解，即在上有兩解令，則∵上單調(diào)遞增，且∴當時，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增∴，∴要使在上有兩解，即有的取值范圍是故選：C【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍，首先將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的反函數(shù)與一個函數(shù)有兩個交點，再構(gòu)造函數(shù)通過導數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性進而求參數(shù)范圍第Ⅱ卷二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13.函數(shù)f（x）＝，則f（f（））＝_____．【答案】﹣1【解析】【分析】先計算出，再計算得值，由此得出結(jié)果.【詳解】依題意得.故答案為：【點睛】本題主要考查分段函數(shù)求值，考查對數(shù)運算，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.已知向量若與平行，則m＝_____．【答案】4【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標表示直接列式求解.【詳解】由題意可知若和平行，則，解得：故答案為：4【點睛】本題考查向量平行的坐標表示，屬于基礎(chǔ)題型.15.（3x﹣）4的展開式中的常數(shù)項為_____．【答案】216【解析】【分析】利用二項式的通項公式即可得出.【詳解】令，解得常數(shù)項為故答案為：216【點睛】本題考查了二項式的通項展開式、常數(shù)項的求法，考查了數(shù)學運算能力，屬于基礎(chǔ)題目.16.在直四棱柱中，側(cè)棱長為6，底面是邊長為8的菱形，且，點在邊上，且滿足，動點在該四棱柱的表面上運動，并且總保持，則動點的軌跡圍成的圖形的面積為______；當與平面所成角最大時，異面直線與所成角的余弦值為_______．【答案】(1).(2).【解析】【分析】首先可證，在上取，使得，連接，則，可得．記與的交點為，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，在上取一點，由，求出點的位置，從而得到動點軌跡，即可求出動點的軌跡圍成的圖形的面積，顯然當與重合時，與平面所成角最大，利用空間向量法求異面直線所成角的余弦值；【詳解】解：如圖，在直四棱柱中，因為底面是菱形，側(cè)棱垂直底面，所以平面，所以．在上取，使得，連接，則，所以．記與的交點為，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，．在上取一點，記為，于是，．由，得，即，所以的邊為點的運動軌跡．由題意得，，動點的軌跡圍成的圖形的面積為．顯然當與重合時，與平面所成角最大．因為，，所以，，因為直線的一個方向向量為，所以，即異面直線與所成角的余弦值為．故答案為：；.

【點睛】本題考查空間中點、線、面的位置關(guān)系，利用空間向量法解決立體幾何問題，考查直觀想象與數(shù)學運算的核心素養(yǎng)，屬于難題．三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22，23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考題：共60分.17.已知數(shù)列的前項和為，且．（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）令可求得的值，令可得出，然后對的值是否滿足在時的表達式進行驗證，由此可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得數(shù)列通項公式，然后利用錯位相減法可求得.【詳解】（1）當時，；當時，.不符合.綜上所述，；（2）由（1）可得.當時，；當時，，得，上式下式得，，滿足，因此，.【點睛】本題考查利用求，同時也考查了錯位相減法，考查計算能力，屬于中等題.18.在一次廟會上，有個“套圈游戲”，規(guī)則如下：每人3個竹環(huán)，向A，B兩個目標投擲，先向目標A擲一次，套中得1分，沒有套中不得分，再向目標B連續(xù)擲兩次，每套中一次得2分，沒套中不得分，根據(jù)最終得分發(fā)放獎品．已知小華每投擲一次，套中目標A的概率為，套中目標B的概率為，假設(shè)小華每次投擲的結(jié)果相互獨立．（1）求小華恰好套中一次的概率；（2）求小華總分X的分布列及數(shù)學期望．【答案】（1）；（2）分布列見解析，.【解析】【分析】（1）分為套中目標A和套中目標B兩種情形，結(jié)合相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式即可得結(jié)果；（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5求出相對應的概率，再計算期望即可.【詳解】（1）設(shè)“小華恰好套中一次”為事件A，則.（2）的可能取值為0，1，2，3，4，5，；；；；；；∴的分布列為：012345.【點睛】本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列、數(shù)學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.19.已知分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓C上的一點，當PF1⊥F1F2時，|PF2|＝2|PF1|．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點Q（﹣4，0）的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點M關(guān)于x軸的對稱點為點M′，證明：直線NM′過定點．【答案】（1）；（2）直線過定點.【解析】【分析】（1）由橢圓的定義和已知條件得，又由可得出點P的坐標，代入橢圓的標準方程中可解出，從而得出橢圓的標準方程；（2）設(shè)出直線l的方程，點M、N的坐標，直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立可得點M、N的坐標的關(guān)系，再表示出直線的方程，將點M、N的坐標的關(guān)系代入可得直線NM′所過的定點.【詳解】（1）由得，，由橢圓的定義得，，，，所以點P的坐標為，將點P的坐標代入橢圓的方程中有，又，，解得或，當，，故舍去；當，，所以橢圓的標準方程為：.（2）由題意可知，直線l的斜率必然存在,故設(shè)直線l的方程為，設(shè)，則，聯(lián)立方程組，得，，解得，，，又，，設(shè)直線的方程為，，當時，，所以直線過定點.【點睛】本題考查橢圓的定義和簡單的幾何性質(zhì)，求橢圓的標準方程，以及直線與橢圓的位置關(guān)系中直線過定點的問題，關(guān)鍵在于將目標條件轉(zhuǎn)化到直線與橢圓的交點的坐標上去，屬于較難題.20.某人設(shè)計了一個工作臺，如圖所示，工作臺的下半部分是個正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面邊長為4，高為1，工作臺的上半部分是一個底面半徑為的圓柱體的四分之一．（1）當圓弧E2F2（包括端點）上的點P與B1的最短距離為5時，證明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．當點P在圓弧E2E2（包括端點）上移動時，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范圍．【答案】（1）見解析，（2）【解析】【分析】（1）以為原點，以的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，可得，從而可證DB1⊥平面D2EF；（2）設(shè)，則，所以，求出平面的法向量，而平面的一個法向量，設(shè)二面角的大小為，則先求出，從而可得，再由可得的范圍.【詳解】（1）證明：作平面于，則在圓弧上，因為，所以當取最小值時，最小，由圓的對稱性可知，的最小值為，所以,如圖，以為原點，以方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，,因為，所以,因為平面，平面，,所以DB1⊥平面D2EF，（2）解：若D1D2＝3，由（1）知,設(shè)，因為，設(shè)所以，，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，取平面的一個法向量，設(shè)二面角的大小為，顯然是鈍角，則，，則，所以二面角的正切值的取值范圍為，【點睛】此題考查了利用空間向量證明線面垂直，求二面角，考查了空間想象能力和推理計算能力，屬于較難題.21.設(shè)函數(shù)f（x）＝xlnx，g（x）＝aex（a∈R）．（1）若曲線y＝f（x）在x＝1處的切線也與曲線y＝g（x）相切，求a的值．（2）若函數(shù)G（x）＝f（x）﹣g（x）存在兩個極值點．①求a的取值范圍；②當ae2≥2時，證明：G（x）＜0．【答案】（1）；（2）①；②證明詳見解析.【解析】【分析】（1）首先求切線方程，設(shè)切點，利用導數(shù)的幾何意義列式求解；（2）①由條件轉(zhuǎn)化為與有兩個交點，利用函數(shù)的導數(shù)求解；②首先由已知條件，轉(zhuǎn)化為，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)證明恒成立.【詳解】（1），，，則切線方程為設(shè)切線與相切于點，則，解得：，，；（2）①，，，當時，，若函數(shù)有兩個極值點，即與有兩個交點，設(shè)，，設(shè)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，在區(qū)間上，在區(qū)間上，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且，當時，，當時，，若與有兩個交點時，；②，當，，令，，顯然時，,在上單調(diào)遞增，當時，，當時，，令，，，在上單調(diào)遞增，又,時，，當時，,當時，，當時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當時，，綜上所述，，所以.【點睛】本題考查導數(shù)的幾何意義，根據(jù)極值點的個數(shù)求參數(shù)的取值范圍，以及證明不等式，重點考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想，邏輯推理，計算能力，屬于難題，本題的難點是第三問，需構(gòu)造函數(shù)，函數(shù)的變形求解.（二）選考題：共10分.請考生從第22，23