《地統(tǒng)計分析方法》教學(xué)課件

《地統(tǒng)計分析方法》幻燈片本課件PPT僅供大家學(xué)習(xí)使用學(xué)習(xí)完請自行刪除，謝謝！本課件PPT僅供大家學(xué)習(xí)使用學(xué)習(xí)完請自行刪除，謝謝！《地統(tǒng)計分析方法》幻燈片本課件PPT僅供大家學(xué)習(xí)使用地統(tǒng)計學(xué)地統(tǒng)計學(xué)〔Geostatistics〕又稱地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)，是在法國著名統(tǒng)計學(xué)家G.Matheron大量理論研究的根底上逐漸形成的一門新的統(tǒng)計學(xué)分支。地統(tǒng)計學(xué)：以區(qū)域化變量理論為根底，以變異函數(shù)為主要工具，研究在空間分布上既有隨機性又有構(gòu)造性，或空間相關(guān)和依賴性的自然現(xiàn)象的科學(xué)。地統(tǒng)計學(xué)的理論根底是區(qū)域化變量理論，兩個最根本的函數(shù)是協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)，克立格法是其主要方法之一。地統(tǒng)計學(xué)地統(tǒng)計學(xué)〔Geostatistics〕又稱地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)地統(tǒng)計學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的一樣點：它們都是在大量采樣的根底上，通過對樣本屬性值的頻率分布或均值、方差關(guān)系及其相應(yīng)規(guī)那么的分析，確定其空間分布格局與相關(guān)關(guān)系。地統(tǒng)計學(xué)的優(yōu)勢：地統(tǒng)計學(xué)既考慮到樣本值的大小，又重視樣本空間位置及樣本間的距離，彌補了經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)忽略空間方位的缺陷。地統(tǒng)計學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的一樣點：它們都是在大量采樣的1.區(qū)域化變量當一變量呈現(xiàn)為空間分布時，稱之為區(qū)域化變量。區(qū)域化變量，亦稱區(qū)域化隨機變量，G.Matheron〔1963〕將它定義為以空間點x的三個直角坐標xu，xv，xw為自變量的隨機場:Z〔x〕=Z〔xu，xv，xw〕區(qū)域化變量與一般的隨機變量不同之處在于，一般的隨機變量取值符合一定的概率分布，而區(qū)域化變量根據(jù)區(qū)域內(nèi)位置的不同而取不同的值。而當區(qū)域化變量在區(qū)域內(nèi)確定位置取值時，表現(xiàn)為一般的隨機變量，也就是說，它是與位置有關(guān)的隨機變量。1.區(qū)域化變量當一變量呈現(xiàn)為空間分布時，稱之為區(qū)域化變量。區(qū)域化變量的特征區(qū)域化變量是一個隨機變量，它具有局部的、隨機的、異常的特征。區(qū)域化變量具有一般的或平均的構(gòu)造性質(zhì)，即變量在點x與偏離空間距離為h的點x+h處的值Z(x)和Z(x+h)具有某種程度的相似性，即自相關(guān)性，這種自相關(guān)性的程度依賴于兩點間的距離h及變量特征。區(qū)域化變量還具有空間局限性〔即這種構(gòu)造性表現(xiàn)為一定范圍內(nèi)〕、不同程度的連續(xù)性和不同程度的各向異性〔即各個方向表現(xiàn)出的自相關(guān)性有所區(qū)別〕等特征。區(qū)域化變量的特征區(qū)域化變量是一個隨機變量，它具有局部的、隨機2.協(xié)方差函數(shù)空間協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)能反映區(qū)域化變量的隨機性和構(gòu)造性。1〕協(xié)方差函數(shù)的概念：在概率論中，隨機變量X與Y的協(xié)方差定義為：

區(qū)域化變量在空間點x和x+h處的兩個隨機變量的二階混合中心矩定義為Z(x)的自協(xié)方差函數(shù)，即:容易看出，該函數(shù)依賴于空間點x和向量h。2.協(xié)方差函數(shù)空間協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)能反映區(qū)域化變量的隨機2〕協(xié)方差函數(shù)的計算公式2〕協(xié)方差函數(shù)的計算公式假設(shè)〔常數(shù)〕那么公式〔〕可改寫為式中，m為樣本平均數(shù)，可由一般平均數(shù)求得，即：

假設(shè)〔常數(shù)〕3.變異函數(shù)1）變異函數(shù)的概念3.變異函數(shù)1）變異函數(shù)的概念2〕變異函數(shù)的性質(zhì)設(shè)Z(x)是區(qū)域化變量，在滿足二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，變異函數(shù)公式〔〕具有如下性質(zhì)：γ(0)=0，在h=0時，變異函數(shù)為0；γ(h)=γ(-h)，即γ(h)關(guān)于直線h=0是對稱的，它是一個偶函數(shù)；γ(h)≥0，γ(h)表示的方差只能大于或等于0；|h|→∞時，γ(h)→c(0)，或γ(∞)=c(0)，即當空間距離增大時，變異函數(shù)接近先驗方差[-γ(h)]必須是一個條件非負定函數(shù)，由[-γ(xi-xj)]構(gòu)成的變異函數(shù)矩陣在條件時，為非負定的。2〕變異函數(shù)的性質(zhì)設(shè)Z(x)是區(qū)域化變量，在滿足二階平穩(wěn)假設(shè)3〕變異函數(shù)的計算公式設(shè)Z(x)是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處的值，Z(x)為一區(qū)域化隨機變量，并滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，h為兩樣本點空間分隔距離，Z(xi)和Z(xi+h)分別是區(qū)域化變量Z(x)在空間位置xi和xi+h處的實測值[i=1,2,…,N(h)]，那么，變異函數(shù)r(h)的離散計算公式為：3〕變異函數(shù)的計算公式設(shè)Z(x)是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處因此，對不同的空間分隔距離h，計算出相應(yīng)的c(h)和r(h)值。如果分別以h為橫坐標，c*(h)或r*(h)為縱坐標，畫出協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)曲線圖，就可以直接展示區(qū)域化變量Z(x)的空間變異特點?？梢?，變異函數(shù)能同時描述區(qū)域化變量的隨機性和構(gòu)造性，從而在數(shù)學(xué)上對區(qū)域化變量進展嚴格分析,是空間變異規(guī)律分析和空間構(gòu)造分析的有效工具。因此，對不同的空間分隔距離h，計算出相應(yīng)的c(h)和r(h)例1假設(shè)某地區(qū)降水量Z(x)(單位:mm)是二維區(qū)域化隨機變量，滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其觀測值的空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)如下圖(點與點之間的距離為h=1km)。試計算其南北方向及西北和東南方向的變異函數(shù)。例1假設(shè)某地區(qū)降水量Z(x)(單位:mm)是二維區(qū)域化隨機變從上圖可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒有缺失值，可直接對正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)構(gòu)造計算變異函數(shù)；在有缺失值的情況下，也可以計算變異函數(shù)。只要“跳過〞缺失點位置即可。缺失值情況下樣本數(shù)對的組成和計算過程☉為缺失值從上圖可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒首先計算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計算公式可得首先計算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計算公式可得同樣計算出：同理可以計算東西方向和西北—東南方向上的變異函數(shù)。最后，得到南北方向和西北—東南方向上的變異函數(shù)計算結(jié)果見下表：同樣計算出：4〕變異函數(shù)的參數(shù)變異函數(shù)的四個重要參數(shù)：基臺值、變程、塊金值和分維數(shù)。前三個參數(shù)可以從變異函數(shù)圖中得到。基臺值—當變異函數(shù)γ(h)隨著間隔距離h的增大，從非零值到達一個相對穩(wěn)定的常數(shù)時，該常數(shù)稱為基臺值C0+C，它是系統(tǒng)或系統(tǒng)屬性中最大的變異；變程—變異函數(shù)γ(h)到達基臺值時的間隔距離a稱為變程。表示在h≥a以后，區(qū)域化變量Z(x)空間相關(guān)性消失。塊金值—當間隔距離h=0時，γ(0)=C(0)，該值稱為塊金值或塊金方差。表示區(qū)域化變量在小于抽樣尺度時非連續(xù)變異，由區(qū)域化變量的屬性或測量誤差決定。分維數(shù)—表示變異函數(shù)的特性，由變異函數(shù)γ(h)和間隔距離h之間的關(guān)系確定：

4〕變異函數(shù)的參數(shù)變異函數(shù)的四個重要參數(shù)：基臺值、變程、塊金5〕變異函數(shù)的理論模型地統(tǒng)計學(xué)將變異函數(shù)理論模型分為3大類：有基臺值模型，包括球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型、線性有基臺值模型和純塊金效應(yīng)模型；無基臺值模型，包括冪函數(shù)模型、線性無基臺值模型、拋物線模型；孔穴效應(yīng)模型。5〕變異函數(shù)的理論模型地統(tǒng)計學(xué)將變異函數(shù)理論模型分為3大類：①純塊金效應(yīng)模型:其一般公式為式中：c0>0，為先驗方差。該模型相當于區(qū)域化變量為隨機分布，樣本點間的協(xié)方差函數(shù)對于所有距離h均等于0，變量的空間相關(guān)不存在。①純塊金效應(yīng)模型:其一般公式為②球狀模型:其一般公式為式中：c0為塊金〔效應(yīng)〕常數(shù);c為拱高;c0+c為基臺值;a為變程。當c0=0，c=1時，稱為標準球狀模型。球狀模型是地統(tǒng)計分析中應(yīng)用最廣泛的理論模型，許多區(qū)域化變量的理論模型都可以用該模型去擬合。②球狀模型:其一般公式為③指數(shù)模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前一樣，但a不是變程。當h=3α?xí)r，，即，從而指數(shù)模型的變程ɑ'約為3ɑ。當c0=0，c=1時，稱為標準指數(shù)模型。③指數(shù)模型:其一般公式為④高斯模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前一樣，a也不是變程。當時，即，因此高斯模型的變程ɑ'約為.當c0=0,c=1時，稱為標準高斯函數(shù)模型。④高斯模型:其一般公式為冪函數(shù)模型:其一般公式為式中：θ為冪指數(shù)。當θ變化時，這種模型可以反映在原點附近的各種性狀。但是θ必須小于2，假設(shè)θ≧2，那么函數(shù)r(-h)就不再是一個條件非負定函數(shù)了，也就是說它已經(jīng)不能成為變異函數(shù)了。冪函數(shù)模型:其一般公式為⑥對數(shù)模型:其一般公式為顯然，當h→0,logh→-∞，這與變異函數(shù)的性質(zhì)r(h)≧0不符。因此，對數(shù)模型不能描述點支撐上的區(qū)域化變量的構(gòu)造。⑥對數(shù)模型:其一般公式為線性有基臺值模型:其一般公式為式中:該模型的變程為a，基臺值為c0+c。⑧線性無基臺值模型:其一般公式為從式中可以看出，該模型沒有基臺值，也沒有變程。線性有基臺值模型:其一般公式為

例2:某地區(qū)降水量是一個區(qū)域化變量，其變異函數(shù)的實測值及距離h的關(guān)系見下表，下面我們試用回歸分析方法建立其球狀變異函數(shù)模型。例2:某地區(qū)降水量是一個區(qū)域化變量，其變異函數(shù)的實從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為當時，有從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為當如果記，那么可以得到線性模型根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對上式進展最小二乘擬合，得到計算可知，上式的顯著性檢驗參數(shù)F=114.054，R2=0.962，可見模型的擬合效果是很好的。如果記比較兩式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數(shù)模型為(3.8.21)比較兩式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.1544.克立格〔Kriging〕法簡介1〕克立格法概述克立格法，又稱空間局部估計或空間局部插值法，建立在變異函數(shù)理論及構(gòu)造分析根底之上，是在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進展無偏最優(yōu)估計的一種方法?？肆⒏穹ㄊ歉鶕?jù)待估樣本點〔或塊段〕有限鄰域內(nèi)假設(shè)干已測定的樣本點數(shù)據(jù)，考慮了樣本點的形狀、大小和空間相互位置關(guān)系，與待估樣本點的相互空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的構(gòu)造信息，對待估樣本點值進展的一種線性無偏最優(yōu)估計。4.克立格〔Kriging〕法簡介1〕克立格法概述1〕克立格法概述(1)適用條件變異函數(shù)和相關(guān)分析的結(jié)果說明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性。其實質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的構(gòu)造特點，對未采樣點的區(qū)域化變量的取值進展線性無偏、最優(yōu)估計。(2)克立格法的類型普通克立格法；泛克立格法；協(xié)同克立格法；對數(shù)正態(tài)克立格法；指示克立格法；折取克立格法等?？肆⒏穹ㄊ且淮乜臻g局部插值模型的總稱。1〕克立格法概述(1)適用條件2〕克立格估計量對于研究區(qū)域內(nèi)任一點x的測量值Z(x)，其估計值的估算公式為估計量是實際值Zv(xi)的克立格估計量。其中為權(quán)重系數(shù)，是各樣本Z(xi〕在估計時影響大小的系數(shù)，估計的好壞取決于怎樣計算或選擇權(quán)重系數(shù)。問題的關(guān)鍵在于求各點的權(quán)重系數(shù)。顯然，權(quán)重系數(shù)的求取必須滿足兩個條件：一是使的估計是無偏的，即偏差的數(shù)學(xué)期望為零；二是最優(yōu)的，即使估計值和實際值Zv(x)之差的平方和最小。公式為：(3.8.23)(3.8.24)2〕克立格估計量對于研究區(qū)域內(nèi)任一點x的測量值Z(x)，其估3)普通克立格法首先假設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)和本征假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù)c(h)及變異函數(shù)r(h)存在。即假設(shè)在待估塊段V的鄰域內(nèi)，有一組n個樣本v(xi)(i=1,2,…,n)，其實測值為Z(xi)(i=1,2,…,n)3)普通克立格法首先假設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)和本征克立格法的目標就是求一組權(quán)重系數(shù)λi(i=1,2,…,n),使得加權(quán)平均值成為待估地段V的平均值ZV〔x0〕的線性、無偏最優(yōu)估計量，即克立格估計值。為此，需要滿足以下兩個條件：克立格法的目標就是求一組權(quán)重系數(shù)λi(i=1,2,…,n),無偏性。要使成為ZV的無偏估計量，即,當時，也就是當時，那么有這時，為ZV的無偏估計量。最優(yōu)性。在滿足無偏性條件下，估計方差為無偏性。要使成為ZV的無偏估計量，即使用協(xié)方差函數(shù)表達，它可以進一步寫為

為使估計方差最小，根據(jù)拉格朗日乘數(shù)原理，令上式為

求公式F對λi和μ的偏導(dǎo)數(shù)，并令其為0，得克立格方程組使用協(xié)方差函數(shù)表達，它可以進一步寫為整理后得:解上述n+1階線性方程組,求出權(quán)重系數(shù)λi和拉格朗日系數(shù)μ,可得克立格估計方差整理后得:解上述n+1階線性方程組,求出權(quán)重系數(shù)λi和拉格朗在變異函數(shù)存在的條件下，根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關(guān)系：c(h)=c(0)-r(h)或r(h)=c(0)-c(h)，也可以用變異函數(shù)表示普通克立格方程組和克立格估計方差，即在變異函數(shù)存在的條件下，根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關(guān)系：c(h)上述過程也可用矩陣形式表示，令

那么普通克立格方程組為:解方程組式，可得:其估計方差為:上述過程也可用矩陣形式表示，令用變異函數(shù)表示普通克立格方程組和克立格方差用變異函數(shù)表示普通克立格方程組和克立格方差例3在例1中，假設(shè)降水量的變異函數(shù)為例2中的函數(shù)，它是一個各向同性的二維球狀模型，四個觀測點x1，x2，x3，x4的觀測值分別為Z(x1)=37(mm)、Z(x2)=42(mm)、Z(x3)=36(mm)、Z(x4)=35(mm),試用普通克立格法內(nèi)插估計觀測點x0的降水量值Z(x0)。根據(jù)普通克立格法的根本原理，我們知道，Z(x0)估計的根本公式應(yīng)該是例3在例1中，假設(shè)降水量的變異函數(shù)為例2中的函數(shù)，它是一個各

根據(jù)公式，可知

根據(jù)協(xié)方差與變異函數(shù)的關(guān)系以及式，可得協(xié)方差函數(shù)根據(jù)公式，可知因為i=0,1,2,3,4;j=1,2,3,4,故當i=j時，c11=c22=c33=c44=c(0)=c0+c=2.048+1.154=3.202當i≠j時，由，及根據(jù)克立格矩陣的對稱性，得因為i=0,1,2,3,4;j=1,2,3,4,故《地統(tǒng)計分析方法》教學(xué)課件

將以上計算結(jié)果代入克立格方程組，得

所以，克立格權(quán)重系數(shù)分別為：λ1=0.287，λ2=0.210,λ3=0.202,λ4=0.301，μ=-0.473。將以上計算結(jié)果代入克立格方程組，得觀測點x0的降水量的克立格估計值為：克立格估計方差為觀測點x0的降水量的克立格估計值為：謝謝！謝謝！《地統(tǒng)計分析方法》幻燈片本課件PPT僅供大家學(xué)習(xí)使用學(xué)習(xí)完請自行刪除，謝謝！本課件PPT僅供大家學(xué)習(xí)使用學(xué)習(xí)完請自行刪除，謝謝！《地統(tǒng)計分析方法》幻燈片本課件PPT僅供大家學(xué)習(xí)使用地統(tǒng)計學(xué)地統(tǒng)計學(xué)〔Geostatistics〕又稱地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)，是在法國著名統(tǒng)計學(xué)家G.Matheron大量理論研究的根底上逐漸形成的一門新的統(tǒng)計學(xué)分支。地統(tǒng)計學(xué)：以區(qū)域化變量理論為根底，以變異函數(shù)為主要工具，研究在空間分布上既有隨機性又有構(gòu)造性，或空間相關(guān)和依賴性的自然現(xiàn)象的科學(xué)。地統(tǒng)計學(xué)的理論根底是區(qū)域化變量理論，兩個最根本的函數(shù)是協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)，克立格法是其主要方法之一。地統(tǒng)計學(xué)地統(tǒng)計學(xué)〔Geostatistics〕又稱地質(zhì)統(tǒng)計學(xué)地統(tǒng)計學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的一樣點：它們都是在大量采樣的根底上，通過對樣本屬性值的頻率分布或均值、方差關(guān)系及其相應(yīng)規(guī)那么的分析，確定其空間分布格局與相關(guān)關(guān)系。地統(tǒng)計學(xué)的優(yōu)勢：地統(tǒng)計學(xué)既考慮到樣本值的大小，又重視樣本空間位置及樣本間的距離，彌補了經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)忽略空間方位的缺陷。地統(tǒng)計學(xué)與經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)經(jīng)典統(tǒng)計學(xué)的一樣點：它們都是在大量采樣的1.區(qū)域化變量當一變量呈現(xiàn)為空間分布時，稱之為區(qū)域化變量。區(qū)域化變量，亦稱區(qū)域化隨機變量，G.Matheron〔1963〕將它定義為以空間點x的三個直角坐標xu，xv，xw為自變量的隨機場:Z〔x〕=Z〔xu，xv，xw〕區(qū)域化變量與一般的隨機變量不同之處在于，一般的隨機變量取值符合一定的概率分布，而區(qū)域化變量根據(jù)區(qū)域內(nèi)位置的不同而取不同的值。而當區(qū)域化變量在區(qū)域內(nèi)確定位置取值時，表現(xiàn)為一般的隨機變量，也就是說，它是與位置有關(guān)的隨機變量。1.區(qū)域化變量當一變量呈現(xiàn)為空間分布時，稱之為區(qū)域化變量。區(qū)域化變量的特征區(qū)域化變量是一個隨機變量，它具有局部的、隨機的、異常的特征。區(qū)域化變量具有一般的或平均的構(gòu)造性質(zhì)，即變量在點x與偏離空間距離為h的點x+h處的值Z(x)和Z(x+h)具有某種程度的相似性，即自相關(guān)性，這種自相關(guān)性的程度依賴于兩點間的距離h及變量特征。區(qū)域化變量還具有空間局限性〔即這種構(gòu)造性表現(xiàn)為一定范圍內(nèi)〕、不同程度的連續(xù)性和不同程度的各向異性〔即各個方向表現(xiàn)出的自相關(guān)性有所區(qū)別〕等特征。區(qū)域化變量的特征區(qū)域化變量是一個隨機變量，它具有局部的、隨機2.協(xié)方差函數(shù)空間協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)能反映區(qū)域化變量的隨機性和構(gòu)造性。1〕協(xié)方差函數(shù)的概念：在概率論中，隨機變量X與Y的協(xié)方差定義為：

區(qū)域化變量在空間點x和x+h處的兩個隨機變量的二階混合中心矩定義為Z(x)的自協(xié)方差函數(shù)，即:容易看出，該函數(shù)依賴于空間點x和向量h。2.協(xié)方差函數(shù)空間協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)能反映區(qū)域化變量的隨機2〕協(xié)方差函數(shù)的計算公式2〕協(xié)方差函數(shù)的計算公式假設(shè)〔常數(shù)〕那么公式〔〕可改寫為式中，m為樣本平均數(shù)，可由一般平均數(shù)求得，即：

假設(shè)〔常數(shù)〕3.變異函數(shù)1）變異函數(shù)的概念3.變異函數(shù)1）變異函數(shù)的概念2〕變異函數(shù)的性質(zhì)設(shè)Z(x)是區(qū)域化變量，在滿足二階平穩(wěn)假設(shè)條件下，變異函數(shù)公式〔〕具有如下性質(zhì)：γ(0)=0，在h=0時，變異函數(shù)為0；γ(h)=γ(-h)，即γ(h)關(guān)于直線h=0是對稱的，它是一個偶函數(shù)；γ(h)≥0，γ(h)表示的方差只能大于或等于0；|h|→∞時，γ(h)→c(0)，或γ(∞)=c(0)，即當空間距離增大時，變異函數(shù)接近先驗方差[-γ(h)]必須是一個條件非負定函數(shù)，由[-γ(xi-xj)]構(gòu)成的變異函數(shù)矩陣在條件時，為非負定的。2〕變異函數(shù)的性質(zhì)設(shè)Z(x)是區(qū)域化變量，在滿足二階平穩(wěn)假設(shè)3〕變異函數(shù)的計算公式設(shè)Z(x)是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處的值，Z(x)為一區(qū)域化隨機變量，并滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，h為兩樣本點空間分隔距離，Z(xi)和Z(xi+h)分別是區(qū)域化變量Z(x)在空間位置xi和xi+h處的實測值[i=1,2,…,N(h)]，那么，變異函數(shù)r(h)的離散計算公式為：3〕變異函數(shù)的計算公式設(shè)Z(x)是系統(tǒng)某屬性Z在空間位置x處因此，對不同的空間分隔距離h，計算出相應(yīng)的c(h)和r(h)值。如果分別以h為橫坐標，c*(h)或r*(h)為縱坐標，畫出協(xié)方差函數(shù)和變異函數(shù)曲線圖，就可以直接展示區(qū)域化變量Z(x)的空間變異特點?？梢姡儺惡瘮?shù)能同時描述區(qū)域化變量的隨機性和構(gòu)造性，從而在數(shù)學(xué)上對區(qū)域化變量進展嚴格分析,是空間變異規(guī)律分析和空間構(gòu)造分析的有效工具。因此，對不同的空間分隔距離h，計算出相應(yīng)的c(h)和r(h)例1假設(shè)某地區(qū)降水量Z(x)(單位:mm)是二維區(qū)域化隨機變量，滿足二階平穩(wěn)假設(shè)，其觀測值的空間正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)如下圖(點與點之間的距離為h=1km)。試計算其南北方向及西北和東南方向的變異函數(shù)。例1假設(shè)某地區(qū)降水量Z(x)(單位:mm)是二維區(qū)域化隨機變從上圖可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒有缺失值，可直接對正方形網(wǎng)格數(shù)據(jù)構(gòu)造計算變異函數(shù)；在有缺失值的情況下，也可以計算變異函數(shù)。只要“跳過〞缺失點位置即可。缺失值情況下樣本數(shù)對的組成和計算過程☉為缺失值從上圖可以看出，空間上有些點，由于某種原因沒有采集到。如果沒首先計算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計算公式可得首先計算南北方向上的變異函數(shù)值，由變異函數(shù)的計算公式可得同樣計算出：同理可以計算東西方向和西北—東南方向上的變異函數(shù)。最后，得到南北方向和西北—東南方向上的變異函數(shù)計算結(jié)果見下表：同樣計算出：4〕變異函數(shù)的參數(shù)變異函數(shù)的四個重要參數(shù)：基臺值、變程、塊金值和分維數(shù)。前三個參數(shù)可以從變異函數(shù)圖中得到。基臺值—當變異函數(shù)γ(h)隨著間隔距離h的增大，從非零值到達一個相對穩(wěn)定的常數(shù)時，該常數(shù)稱為基臺值C0+C，它是系統(tǒng)或系統(tǒng)屬性中最大的變異；變程—變異函數(shù)γ(h)到達基臺值時的間隔距離a稱為變程。表示在h≥a以后，區(qū)域化變量Z(x)空間相關(guān)性消失。塊金值—當間隔距離h=0時，γ(0)=C(0)，該值稱為塊金值或塊金方差。表示區(qū)域化變量在小于抽樣尺度時非連續(xù)變異，由區(qū)域化變量的屬性或測量誤差決定。分維數(shù)—表示變異函數(shù)的特性，由變異函數(shù)γ(h)和間隔距離h之間的關(guān)系確定：

4〕變異函數(shù)的參數(shù)變異函數(shù)的四個重要參數(shù)：基臺值、變程、塊金5〕變異函數(shù)的理論模型地統(tǒng)計學(xué)將變異函數(shù)理論模型分為3大類：有基臺值模型，包括球狀模型、指數(shù)模型、高斯模型、線性有基臺值模型和純塊金效應(yīng)模型；無基臺值模型，包括冪函數(shù)模型、線性無基臺值模型、拋物線模型；孔穴效應(yīng)模型。5〕變異函數(shù)的理論模型地統(tǒng)計學(xué)將變異函數(shù)理論模型分為3大類：①純塊金效應(yīng)模型:其一般公式為式中：c0>0，為先驗方差。該模型相當于區(qū)域化變量為隨機分布，樣本點間的協(xié)方差函數(shù)對于所有距離h均等于0，變量的空間相關(guān)不存在。①純塊金效應(yīng)模型:其一般公式為②球狀模型:其一般公式為式中：c0為塊金〔效應(yīng)〕常數(shù);c為拱高;c0+c為基臺值;a為變程。當c0=0，c=1時，稱為標準球狀模型。球狀模型是地統(tǒng)計分析中應(yīng)用最廣泛的理論模型，許多區(qū)域化變量的理論模型都可以用該模型去擬合。②球狀模型:其一般公式為③指數(shù)模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前一樣，但a不是變程。當h=3α?xí)r，，即，從而指數(shù)模型的變程ɑ'約為3ɑ。當c0=0，c=1時，稱為標準指數(shù)模型。③指數(shù)模型:其一般公式為④高斯模型:其一般公式為式中：c0和c意義與前一樣，a也不是變程。當時，即，因此高斯模型的變程ɑ'約為.當c0=0,c=1時，稱為標準高斯函數(shù)模型。④高斯模型:其一般公式為冪函數(shù)模型:其一般公式為式中：θ為冪指數(shù)。當θ變化時，這種模型可以反映在原點附近的各種性狀。但是θ必須小于2，假設(shè)θ≧2，那么函數(shù)r(-h)就不再是一個條件非負定函數(shù)了，也就是說它已經(jīng)不能成為變異函數(shù)了。冪函數(shù)模型:其一般公式為⑥對數(shù)模型:其一般公式為顯然，當h→0,logh→-∞，這與變異函數(shù)的性質(zhì)r(h)≧0不符。因此，對數(shù)模型不能描述點支撐上的區(qū)域化變量的構(gòu)造。⑥對數(shù)模型:其一般公式為線性有基臺值模型:其一般公式為式中:該模型的變程為a，基臺值為c0+c。⑧線性無基臺值模型:其一般公式為從式中可以看出，該模型沒有基臺值，也沒有變程。線性有基臺值模型:其一般公式為

例2:某地區(qū)降水量是一個區(qū)域化變量，其變異函數(shù)的實測值及距離h的關(guān)系見下表，下面我們試用回歸分析方法建立其球狀變異函數(shù)模型。例2:某地區(qū)降水量是一個區(qū)域化變量，其變異函數(shù)的實從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為當時，有從上面的介紹和討論，我們知道，球狀變異函數(shù)的一般形式為當如果記，那么可以得到線性模型根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，對上式進展最小二乘擬合，得到計算可知，上式的顯著性檢驗參數(shù)F=114.054，R2=0.962，可見模型的擬合效果是很好的。如果記比較兩式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.154，a=8.353，所以，球狀變異函數(shù)模型為(3.8.21)比較兩式，并做簡單計算可知：c0=2.048，c=1.1544.克立格〔Kriging〕法簡介1〕克立格法概述克立格法，又稱空間局部估計或空間局部插值法，建立在變異函數(shù)理論及構(gòu)造分析根底之上，是在有限區(qū)域內(nèi)對區(qū)域化變量的取值進展無偏最優(yōu)估計的一種方法。克立格法是根據(jù)待估樣本點〔或塊段〕有限鄰域內(nèi)假設(shè)干已測定的樣本點數(shù)據(jù)，考慮了樣本點的形狀、大小和空間相互位置關(guān)系，與待估樣本點的相互空間位置關(guān)系，以及變異函數(shù)提供的構(gòu)造信息，對待估樣本點值進展的一種線性無偏最優(yōu)估計。4.克立格〔Kriging〕法簡介1〕克立格法概述1〕克立格法概述(1)適用條件變異函數(shù)和相關(guān)分析的結(jié)果說明區(qū)域化變量存在空間相關(guān)性。其實質(zhì)是利用區(qū)域化變量的原始數(shù)據(jù)和變異函數(shù)的構(gòu)造特點，對未采樣點的區(qū)域化變量的取值進展線性無偏、最優(yōu)估計。(2)克立格法的類型普通克立格法；泛克立格法；協(xié)同克立格法；對數(shù)正態(tài)克立格法；指示克立格法；折取克立格法等?？肆⒏穹ㄊ且淮乜臻g局部插值模型的總稱。1〕克立格法概述(1)適用條件2〕克立格估計量對于研究區(qū)域內(nèi)任一點x的測量值Z(x)，其估計值的估算公式為估計量是實際值Zv(xi)的克立格估計量。其中為權(quán)重系數(shù)，是各樣本Z(xi〕在估計時影響大小的系數(shù)，估計的好壞取決于怎樣計算或選擇權(quán)重系數(shù)。問題的關(guān)鍵在于求各點的權(quán)重系數(shù)。顯然，權(quán)重系數(shù)的求取必須滿足兩個條件：一是使的估計是無偏的，即偏差的數(shù)學(xué)期望為零；二是最優(yōu)的，即使估計值和實際值Zv(x)之差的平方和最小。公式為：(3.8.23)(3.8.24)2〕克立格估計量對于研究區(qū)域內(nèi)任一點x的測量值Z(x)，其估3)普通克立格法首先假設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)和本征假設(shè)，其數(shù)學(xué)期望為m，協(xié)方差函數(shù)c(h)及變異函數(shù)r(h)存在。即假設(shè)在待估塊段V的鄰域內(nèi)，有一組n個樣本v(xi)(i=1,2,…,n)，其實測值為Z(xi)(i=1,2,…,n)3)普通克立格法首先假設(shè)區(qū)域化變量Z(x)滿足二階平穩(wěn)和本征克立格法的目標就是求一組權(quán)重系數(shù)λi(i=1,2,…,n),使得加權(quán)平均值成為待估地段V的平均值ZV〔x0〕的線性、無偏最優(yōu)估計量，即克立格估計值。為此，需要滿足以下兩個條件：克立格法的目標就是求一組權(quán)重系數(shù)λi(i=1,2,…,n),無偏性。要使成為ZV的無偏估計量，即,當時，也就是當時，那么有這時，為ZV的無偏估計量。最優(yōu)性。在滿足無偏性條件下，估計方差為無偏性。要使成為Z