《總體離散程度的估計》課件與同步練習

9.2.4總體離散程度的估計第九章統(tǒng)計9.2.4總體離散程度的估計第九章統(tǒng)計1課程目標1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差)．2.會求樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差、極差．3.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.課程目標1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差2數(shù)學學科素養(yǎng)1．數(shù)學抽象：方差、標準差有關概念的理解；2．數(shù)學運算：求方差、標準差;3.數(shù)據(jù)分析：用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體.

數(shù)學學科素養(yǎng)1．數(shù)學抽象：方差、標準差有關概念的理解；3自主預習，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問題1、標準差和方差各指什么？2、標準差和方差的特征各是什么？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。自主預習，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問4(1)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個,也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個數(shù)據(jù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.溫故知新(1)眾數(shù)溫故知新5(3)平均數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的②特征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計總體時的可靠性降低.(3)平均數(shù)61、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。

2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數(shù)的值。

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點.頻率直方圖中每個小長

方形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫7三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點8

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，很多時候還不能使我們做出有效決策.因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.探究新知樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的9

方差、標準差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時也會使我們作出對總體的片面判斷,因為這個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài).例如:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲:7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙:9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?

10如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?11②難道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.②難道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的12(2)現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標準差是不知道的.

如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(2)現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與13《總體離散程度的估計》課件與同步練習14《總體離散程度的估計》課件與同步練習15《總體離散程度的估計》課件與同步練習16

對標準差和方差的理解(1)樣本標準差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標準差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標準差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時,就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標準差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標準差——樣本方差的算術(shù)平方根來描述.歸納總結(jié)

17(5)標準差的大小不會越過極差.(6)方差、標準差、極差的取值范圍為[0,+∞).當標準差、方差為0時,樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般采用標準差.(8)在實際問題中,總體平均數(shù)和總體標準差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標準差去估計總體標準差.在隨機抽樣中,樣本標準差依賴于樣本的選取,具有隨機性.(5)標準差的大小不會越過極差.181.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①標準差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差、方差越小,數(shù)據(jù)

的離散程度越小.(

)②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.(

)答案:①√

②×做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤192.對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:

甲:27,38,30,37,35,31

乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.2.對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們20《總體離散程度的估計》課件與同步練習21

有關平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是

.(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.歸納總結(jié)有關平均數(shù)、方差的重要222.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為

,方差為

.

答案:11

8解析:因為樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為2+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=8.2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)=5,s23例1在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為

;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為

,方差記為

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為

.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為典例解析例1在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比24《總體離散程度的估計》課件與同步練習25男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,把26歸納總結(jié)歸納總結(jié)271．在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標準差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標準差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和方差．跟蹤訓練1．在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個28所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.629歸納總結(jié)歸納總結(jié)309.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計算出樣本平均數(shù)=,樣本標準差s≈.8.796.20問題探究9.013.614.95.931如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個.也就是說，絕大部分數(shù)據(jù)落在內(nèi).

樣本標準差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的浮動大小，平均數(shù)和標準差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間321.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別是x1,x2,…,xn,下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A.x1,x2,…,xn的平均值

B.x1,x2,…,xn的標準差C.x1,x2,…,xn的最大值

D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)當堂達標答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標,故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標準差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地332.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本的方差為(

)答案:D2.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣343.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則以下選項判斷不正確的有(

)A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績的方差D.甲的成績的極差小于乙的成績的極差3.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的35答案:ABD答案:ABD364.甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽,四人的平均成績和方差如下表所示:若要從這四人中選擇一人去參加該運動會射擊項目比賽,最佳人選是

.(填“甲”“乙”“丙”“丁”中的一個)

答案:丙解析:分析表格數(shù)據(jù)可知,乙與丙的平均環(huán)數(shù)最多,又丙的方差比乙小,說明丙成績發(fā)揮得較為穩(wěn)定,所以最佳人選為丙.4.甲、乙、丙、丁四人參加某運動會射擊項目選拔賽,四人的平均37分析可以根據(jù)簡化公式進行計算,也可以把每個數(shù)據(jù)減去一個數(shù),用找齊法計算.5.計算數(shù)據(jù)54,55,53,56,57,58的方差.分析可以根據(jù)簡化公式進行計算,也可以把每個數(shù)據(jù)減去一個數(shù),用38解(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的眾數(shù)比較看，甲組成績好些．解(1)甲組成績的眾數(shù)為90，乙組成績的眾數(shù)為70，從成績的39《總體離散程度的估計》課件與同步練習40《總體離散程度的估計》課件與同步練習411.極差的定義及特征：2.方差、標準差的定義及特征總體方差、總體標準差的定義樣本方差、樣本標準差的定義3.會求方差、標準差，并做出決策4.方差的運算性質(zhì)：5.會求分層抽樣的方差課堂小結(jié)1.極差的定義及特征：課堂小結(jié)42第九章統(tǒng)計《9.2.4總體離散程度的估計》同步練習第九章統(tǒng)計《9.2.4總體離散程度的估計》同步練習43知識清單知識清單44《總體離散程度的估計》課件與同步練習45離散

大

小

標準差

離散大小標準差46小試牛刀小試牛刀47《總體離散程度的估計》課件與同步練習48《總體離散程度的估計》課件與同步練習49題型分析舉一反三題型分析舉一反三50《總體離散程度的估計》課件與同步練習51解題技巧(實際應用中標準差、方差的意義)解題技巧(實際應用中標準差、方差的意義)52【跟蹤訓練1】【跟蹤訓練1】53《總體離散程度的估計》課件與同步練習54《總體離散程度的估計》課件與同步練習55《總體離散程度的估計》課件與同步練習56解題技巧(用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體注意事項)

（1）標準差代表數(shù)據(jù)的離散程度，考慮數(shù)據(jù)范圍時需要加減標準差.（2）計算樣本平均數(shù)、樣本方差直接利用公式，注意公式的變形和整體代換．解題技巧(用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體注意事項)（1）57【跟蹤訓練2】【跟蹤訓練2】58《總體離散程度的估計》課件與同步練習59《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習答案答案《總體離散程度的估計》課件與同步練習答案答案《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習答案答案答案答案《總體離散程度的估計》課件與同步練習答案答案答案答案《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習答案答案答案答案《總體離散程度的估計》課件與同步練習解析答案解析答案《總體離散程度的估計》課件與同步練習《總體離散程度的估計》課件與同步練習答案答案答案答案解析答案解析答案解析答案解析答案答案答案解析解析解析答案解析答案《總體離散程度的估計》課件與同步練習答案答案9.2.4總體離散程度的估計第九章統(tǒng)計9.2.4總體離散程度的估計第九章統(tǒng)計96課程目標1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差、方差、極差)．2.會求樣本數(shù)據(jù)的方差、標準差、極差．3.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計含義.課程目標1.結(jié)合實例，能用樣本估計總體的離散程度參數(shù)(標準差97數(shù)學學科素養(yǎng)1．數(shù)學抽象：方差、標準差有關概念的理解；2．數(shù)學運算：求方差、標準差;3.數(shù)據(jù)分析：用樣本平均數(shù)和樣本標準差估計總體.

數(shù)學學科素養(yǎng)1．數(shù)學抽象：方差、標準差有關概念的理解；98自主預習，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問題1、標準差和方差各指什么？2、標準差和方差的特征各是什么？要求：學生獨立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問題。自主預習，回答問題閱讀課本209-213頁，思考并完成以下問99(1)眾數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)(即頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù))稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)可能不止一個,也可能沒有,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.(2)中位數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排成一列,處于最中間的一個數(shù)據(jù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是奇數(shù)時)或最中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)(當數(shù)據(jù)個數(shù)是偶數(shù)時)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).②特征:一組數(shù)據(jù)中的中位數(shù)是唯一的,反映了該組數(shù)據(jù)的集中趨勢.在頻率分布直方圖中,中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積相等.溫故知新(1)眾數(shù)溫故知新100(3)平均數(shù)①定義:一組數(shù)據(jù)的和與這組數(shù)據(jù)的個數(shù)的商.數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的②特征:平均數(shù)對數(shù)據(jù)有“取齊”的作用,代表該組數(shù)據(jù)的平均水平,任何一個數(shù)據(jù)的改變都會引起平均數(shù)的變化,這是眾數(shù)和中位數(shù)都不具有的性質(zhì).所以與眾數(shù)、中位數(shù)比較起來,平均數(shù)可以反映出更多的關于樣本數(shù)據(jù)全體的信息,但平均數(shù)受數(shù)據(jù)中極端值的影響較大,使平均數(shù)在估計總體時的可靠性降低.(3)平均數(shù)1011、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫坐標。

2、利用頻率分布直方圖（頻率分布表），求樣本的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的近似估計，進而估計總體的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù).2、在樣本中，有50％的個體小于或等于中位數(shù)，也有50％的個體大于或等于中位數(shù)，因此，在頻率分布直方圖中，中位數(shù)左邊和右邊的直方圖的面積應該相等，由此可以估計中位數(shù)的值。

3、平均數(shù)是頻率分布直方圖的“重心”.是直方圖的平衡點.頻率直方圖中每個小長

方形的面積乘以小矩形底邊中點的橫坐標之和。1、眾數(shù)在樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖中，就是最高矩形的中點的橫102三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點

三種數(shù)字特征的優(yōu)缺點103

樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的“中心值”，其中眾數(shù)和中位數(shù)容易計算，不受少數(shù)幾個極端值的影響，但只能表達樣本數(shù)據(jù)中的少量信息.平均數(shù)代表了數(shù)據(jù)更多的信息，但受樣本中每個數(shù)據(jù)的影響，越極端的數(shù)據(jù)對平均數(shù)的影響也越大.當樣本數(shù)據(jù)質(zhì)量比較差時，使用眾數(shù)、中位數(shù)或平均數(shù)描述數(shù)據(jù)的中心位置，可能與實際情況產(chǎn)生較大的誤差，難以反映樣本數(shù)據(jù)的實際狀況，很多時候還不能使我們做出有效決策.因此，我們需要一個統(tǒng)計數(shù)字刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度.探究新知樣本的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)常用來表示樣本數(shù)據(jù)的104

方差、標準差1.思考(1)平均數(shù)向我們提供了樣本數(shù)據(jù)的重要信息,但是,平均數(shù)有時也會使我們作出對總體的片面判斷,因為這個平均數(shù)掩蓋了一些極端的情況,而這些極端情況顯然是不能忽視的.因此,只用平均數(shù)還難以概括樣本數(shù)據(jù)的實際狀態(tài).例如:有兩位射擊運動員在一次射擊測試中各射靶10次,每次命中的環(huán)數(shù)如下:

甲:7

8

7

9

5

4

9

10

7

4

乙:9

5

7

8

7

6

8

6

7

7如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?

105如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?①甲、乙兩人本次射擊的平均成績分別為多少環(huán)?他們的平均成績一樣嗎?如果你是教練,你應當如何對這次射擊作出評價?106②難道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的頻率分布條形圖來說明其水平差異在哪里嗎?提示頻率分布條形圖如下:從圖上可以直觀地看出,他們的水平還是有差異的,甲成績比較分散,乙成績相對集中.②難道這兩個人的水平就沒有什么差異了嗎?你能作出這兩人成績的107(2)現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與標準差是不知道的.

如何求得總體的平均數(shù)和標準差呢?提示：通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標準差去估計總體的平均數(shù)與標準差.這與前面用樣本的頻率分布來近似地代替總體分布是類似的.只要樣本的代表性好,這樣做就是合理的,也是可以接受的.(2)現(xiàn)實中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的,總體的平均數(shù)與108《總體離散程度的估計》課件與同步練習109《總體離散程度的估計》課件與同步練習110《總體離散程度的估計》課件與同步練習111

對標準差和方差的理解(1)樣本標準差反映了各樣本數(shù)據(jù)聚集于樣本平均數(shù)周圍的程度,標準差越小,表明各個樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中;反之,標準差越大,表明各樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)的周圍越分散.(2)若樣本數(shù)據(jù)都相等,則s=0.(3)當樣本的平均數(shù)相等或相差無幾時,就要用樣本數(shù)據(jù)的離散程度來估計總體的數(shù)字特征,而樣本數(shù)據(jù)的離散程度,就由標準差來衡量.(4)數(shù)據(jù)的離散程度可以通過極差、方差或標準差來描述.極差反映了一組數(shù)據(jù)變化的最大幅度,它對一組數(shù)據(jù)中的極端值非常敏感;方差則反映了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動的大小.為了得到以樣本數(shù)據(jù)的單位表示的波動幅度,通常用標準差——樣本方差的算術(shù)平方根來描述.歸納總結(jié)

112(5)標準差的大小不會越過極差.(6)方差、標準差、極差的取值范圍為[0,+∞).當標準差、方差為0時,樣本各數(shù)據(jù)全相等,表明數(shù)據(jù)沒有波動幅度,數(shù)據(jù)沒有離散性.(7)因為方差與原始數(shù)據(jù)的單位不同,且平方后可能夸大了偏差的程度,所以雖然方差和標準差在刻畫樣本數(shù)據(jù)的分散程度上是一樣的,但在解決實際問題時,一般采用標準差.(8)在實際問題中,總體平均數(shù)和總體標準差都是未知的.就像用樣本平均數(shù)估計總體平均數(shù)一樣,通常我們也用樣本標準差去估計總體標準差.在隨機抽樣中,樣本標準差依賴于樣本的選取,具有隨機性.(5)標準差的大小不會越過極差.1131.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤的打“×”.①標準差、方差越大,數(shù)據(jù)的離散程度越大;標準差、方差越小,數(shù)據(jù)

的離散程度越小.(

)②若兩組數(shù)據(jù)的方差一樣大,則說明這兩組數(shù)據(jù)都是相同的.(

)答案:①√

②×做一做1.判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)打“√”,錯誤1142.對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們每次的最大速度(單位:m/s)如下:

甲:27,38,30,37,35,31

乙:33,29,38,34,28,36根據(jù)以上數(shù)據(jù),試判斷他們誰更優(yōu)秀.2.對劃艇運動員甲、乙在相同的條件下進行了6次測試,測得他們115《總體離散程度的估計》課件與同步練習116

有關平均數(shù)、方差的重要結(jié)論1.思考若x1,x2,…,xn的方差是s2,則ax1,ax2,…,axn的方差是多少?提示：由方差的定義知ax1,ax2,…,axn的方差是a2s2.2.填空(1)若x1,x2,…,xn的平均數(shù)是,則mx1+a,mx2+a,…,mxn+a的平均數(shù)是

.(2)數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn與數(shù)據(jù)x1+a,x2+a,…xn+a的方差相等.(3)若x1,x2,…,xn的方差為s2,則ax1,ax2,…,axn的方差為a2s2.歸納總結(jié)有關平均數(shù)、方差的重要1172.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,s2=2,則樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為

,方差為

.

答案:11

8解析:因為樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)

=5,所以樣本數(shù)據(jù)2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的平均數(shù)為2+1=2×5+1=11.方差為22×s2=4×2=8.2.已知樣本數(shù)據(jù)x1,x2,…,xn的平均數(shù)=5,s118例1在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，如果不知道樣本數(shù)據(jù)，只知道抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62.你能由這些數(shù)據(jù)計算出總樣本的方差，并對高一年級全體學生的身高方差作出估計嗎？解：把男生樣本記為x1,x2,…，x23,其平均數(shù)記為，方差記為

;把女生樣本記為y1,y2,...y27,其平均數(shù)記為

,方差記為

;把總樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)記為，方差記為

.根據(jù)方差的定義，總樣本方差為典例解析例1在對樹人中學高一年級學生身高的調(diào)查中，采用樣本量比119《總體離散程度的估計》課件與同步練習120男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62把已知的男生、女生樣本平均數(shù)和方差的取值代入，可得男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59,把121歸納總結(jié)歸納總結(jié)1221．在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個評判小組，給參賽選手打分．在給某選手的打分中，專業(yè)人士打分的平均數(shù)和標準差分別為47.4和3.7，觀眾代表打分的平均數(shù)和標準差為56.2和11.8，試根據(jù)這些數(shù)據(jù)計算這名選手得分的平均數(shù)和方差．跟蹤訓練1．在一個文藝比賽中，8名專業(yè)人士和12名觀眾代表各組成一個123所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6所以這名選手得分的平均數(shù)為52.68分，方差為107.6124歸納總結(jié)歸納總結(jié)1259.013.614.95.94.07.16.45.419.42.02.28.613.85.410.24.96.814.02.010.52.15.75.116.86.011.11.311.27.74.92.310.016.712.012.47.85.213.62.422.43.67.18.825.63.218.35.12.03.012.022.210.85.52.024.39.93.65.64.47.95.124.56.47.54.720.55.515.72.65.75.56.016.02.49.53.717.03.84.12.35.37.88.14.313.36.81.37.04.91.87.128.010.213.817.910.15.54.63.221.6計算出樣本平均數(shù)=,樣本標準差s≈.8.796.20問題探究9.013.614.95.9126如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間內(nèi)，在區(qū)間外的只有7個.也就是說，絕大部分數(shù)據(jù)落在內(nèi).

樣本標準差刻畫了數(shù)據(jù)離平均數(shù)波動的浮動大小，平均數(shù)和標準差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.如圖所示，可以發(fā)現(xiàn)，這100個數(shù)據(jù)中大部分落在區(qū)間1271.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地的畝產(chǎn)量(單位:kg)分別是x1,x2,…,xn,下面給出的指標中可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是(

)A.x1,x2,…,xn的平均值

B.x1,x2,…,xn的標準差C.x1,x2,…,xn的最大值

D.x1,x2,…,xn的中位數(shù)當堂達標答案:B解析:在A中,平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量,它是反映數(shù)據(jù)集中趨勢的一項指標,故A不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在B中,標準差能反映一組數(shù)據(jù)的離散程度,故B可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在C中,最大值是一組數(shù)據(jù)中最大的量,故C不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度;在D中,中位數(shù)將數(shù)據(jù)分成前半部分和后半部分,用來代表一組數(shù)據(jù)的“中等水平”,故D不可以用來評估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量的穩(wěn)定程度,故選B.1.為評估一種農(nóng)作物的種植效果,選了n塊地作試驗田.這n塊地1282.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣本的平均值為1,則樣本的方差為(

)答案:D2.樣本中共有五個個體,其值分別為a,0,1,2,3.若該樣1293.(多選)甲、乙兩人在一次射擊比賽中各射靶5次,兩人成績的條形統(tǒng)計圖如圖所示,則以下選項判斷不正確的有(

)A.甲的成績的平均數(shù)小于乙的成績的平均數(shù)B.甲的成績的中位數(shù)等于乙的成績的中位數(shù)C.甲的成績的方差小于乙的成績