3-6-質點的角動量和角動量定理-1課件

1§3-6

質點的角動量和角動量定理

大小

M=Fd=Frsinθ

力矩單位

牛頓米(N·m)量綱

方向右手定則yxzOd一、力矩的一般意義

右手定則四指由矢徑通過小于180o

的角度轉向力

的方向，姆指指向就是力矩的方向。1§3-6質點的角動量和角動量定理大小M2代入力矩定義中,得

可見,合力對某參考點O的力矩等于各分力對同一點力矩的矢量和。

如果作用于質點上的力是多個力的合力,即2代入力矩定義中,得可見,合力對某參考點O的力矩等于3二、力對軸的力矩質點P的位置矢量

和作用力

可表示為，則

在以參考點O為原點的直角坐標系中,

表示為3二、力對軸的力矩質點P的位置矢量和作用力可表示4分量式力矩沿某坐標軸的分量通常稱作力對該軸的力矩。下面計算力對z軸的力矩由圖可見代入Mz式中可得R⊥oQβφzyx）φ）4分量式力矩沿某坐標軸的分量通常稱作力對該軸的力矩。下面5）xyzo）式中R、f為在xy平面上的投影。

如果知道力矩矢量的大小和它與z軸之間的夾角

,那么力對z軸的力矩也可按下式求得R⊥oQβφzyx）φ）lzlz力對z軸的力矩5）xyzo）式中R、f為在xy平6二、角動量(angularmomentum)Om1v1Om1v1’

實驗表明：在這種情況的碰撞，物體m2所傳遞的“運動的量”，不但與m2v2有關，而且還與定點O倒m2v2的距離有關Om1V1‘’m2m2m26二、角動量(angularmomentum)Om1v17xyzO））p大小

l＝rmvsin方向右手螺旋定則判定moθ作圓周運動的質點的角動量l=mrvoOm1v1m2v2角動量：7xyzO））p大小l＝rmvsin方向右手螺8注意事項：(1)因為質點的位置矢量r與參考點O的選取有關，所以質點相對于參考點的角動量也與參考點的選取有關(2)在直角坐標系中質點角動量可以表示為

如果質點是在一個平面上運動，可以將此平面取為xy平面，則：8注意事項：(1)因為質點的位置矢量r與參考點O的選取9

質點的角動量只具有z分量，或者說質點的角動量的方向垂直與該平面

假如質點是在xy平面上運動的，在某時刻到達點P,.

9質點的角動量只具有z分量，或者說質點的角動量的方向10

（3）質點對通過參考點O的任意軸線Oz的角動量lz,是質點相對于同一參考點的角動量l沿該軸線的分量。xyzpo））lz(4)對于質點在xy平面上運動的情況

對于l=lz來說，參考點必須取在z軸與xy平面的交點上10（3）質點對通過參考點O的任意軸線Oz的角動11

例1：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標下的矢徑為：

，其中a、b、皆為常數，求該質點對原點的角動量。解：已知角動量11例1：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在12二、角動量定理(theoremofangularmomentum)

角動量，兩邊求導其中令為合外力對同一固定點的力矩。12二、角動量定理(theoremofangular13角動量定理的微分形式

作用于質點的合力對某參考點的力矩，等于質點對同一參考點的角動量隨時間的變化率13角動量定理的微分形式作用于質點的合力對某14積分得：

質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量積分形式(1)這個定理是從牛頓第二定律導出的，所以它也應該與牛頓運動定律一樣只適用于慣性系。(2)定理中涉及的兩個量力矩M和角動量l，都是對參考點的量，并且是對于同一個參考點的。

(3)角動量定理的上述矢量方程式在直角坐標系中的分量式，可以表示為注意事項：14積分得：質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量積15若作用于質點的合力對參考點的力矩,由，得

恒矢量即

若作用于質點的合力對參考點的力矩始終為零,則質點對同一參考點的角動量將保持恒定。三、質點角動量守恒定律15若作用于質點的合力對參考點的力矩16討論：(1)r=0,表示質點處于參考點上靜止不動。(2)F=0，表示所討論的質點是孤立質點

設質點沿直線L作勻速運動,在不同時刻先后到達點A、B和C,相對于參考點O的位置矢量分別為r1

、r2和r3,對于孤立的質點不僅動量守恒，而且角動量也守恒16討論：(1)r=0,表示質點處于參考點上靜止不17（3）F與r總是平行或反平行,有心力是符合這個條件的力

有心力：就是其方向始終指向(或背離)固定中心的力,此固定中心稱為力心。

有心力存在的空間稱為有心力場（萬有引力場和靜電場都屬于有心力場）有心力是保守力,行星運動的機械能也是守恒的17（3）F與r總是平行或反平行,有心力是符合這個條件的力18

如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿Oz軸的分量為零,則恒量

(當Mz=0時)

當質點所受對Oz軸的力矩為零時,質點對該軸的角動量保持不變。此結論稱為質點對軸的角動量守恒定律。

例2：行星運動的開普勒第二定律認為,對于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。試用角動量守恒定律證明之。18如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿Oz恒量19開普勒第二定律應用質點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內掃過相等的面積例題219開普勒第二定律應用質點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二20解:將行星看為質點,在dt時間內以速度

完成的位移為

,矢徑

在dt

時間內掃過的面積為dS（圖中陰影）。根據質點角動量的定義則om·20解:將行星看為質點,在dt時間內以速度完成的根據質21矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速度）

萬有引力屬于有心力,行星相對于太陽所在處的點O的角動量是守恒的,即

=恒矢量,故有恒量

行星對太陽所在點O的角動量守恒,不僅角動量的大小不隨時間變化,即掠面速度恒定,而且角動量的方向也是不隨時間變化的,即行星的軌道平面在空間的取向是恒定的。21矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速度）萬有引力22

例3：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一端縛在一根豎直放置的細棒上,小球被約束在水平面內繞細棒旋轉,某時刻角速度為1，細繩的長度為r1。當旋轉了若干圈后,由于細繩纏繞在細棒上,繩長變?yōu)閞2,求此時小球繞細棒旋轉的角速度2

。解：小球受力繩子的張力

,指向細棒；重力

，豎直向下；支撐力

,豎直向上。

與繩子平行,不產生力矩；

與平衡，力矩始終為零。所以,作用于小球的力對細棒的力矩始終等于零,故小球對細棒的角動量必定是守恒的。22例3：質量為m的小球系于細繩的一端,繩的另一解：小23根據質點對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球的線速度,v2是半徑為r2時小球的線速度。代入上式得解得

可見,由于細繩越轉越短,,小球的角速度必定越轉越大,即。而23根據質點對軸的角動量守恒定律式中v1是半徑為r1時小球第3章動量與角動量24當飛船靜止于空間距行星中心4R時，以速度v

0發(fā)射一

求θ角及著陸滑行的初速度。解引力場（有心力）質點的動量矩守恒系統(tǒng)的機械能守恒例4

發(fā)射一宇宙飛船去考察一質量為M

、半徑為R的行星，質量為m的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面。第3章動量與角動量24當飛船靜止于空間距行星中心4R時25§3-6

質點的角動量和角動量定理

大小

M=Fd=Frsinθ

力矩單位

牛頓米(N·m)量綱

方向右手定則yxzOd一、力矩的一般意義

右手定則四指由矢徑通過小于180o

的角度轉向力

的方向，姆指指向就是力矩的方向。1§3-6質點的角動量和角動量定理大小M26代入力矩定義中,得

可見,合力對某參考點O的力矩等于各分力對同一點力矩的矢量和。

如果作用于質點上的力是多個力的合力,即2代入力矩定義中,得可見,合力對某參考點O的力矩等于27二、力對軸的力矩質點P的位置矢量

和作用力

可表示為，則

在以參考點O為原點的直角坐標系中,

表示為3二、力對軸的力矩質點P的位置矢量和作用力可表示28分量式力矩沿某坐標軸的分量通常稱作力對該軸的力矩。下面計算力對z軸的力矩由圖可見代入Mz式中可得R⊥oQβφzyx）φ）4分量式力矩沿某坐標軸的分量通常稱作力對該軸的力矩。下面29）xyzo）式中R、f為在xy平面上的投影。

如果知道力矩矢量的大小和它與z軸之間的夾角

,那么力對z軸的力矩也可按下式求得R⊥oQβφzyx）φ）lzlz力對z軸的力矩5）xyzo）式中R、f為在xy平30二、角動量(angularmomentum)Om1v1Om1v1’

實驗表明：在這種情況的碰撞，物體m2所傳遞的“運動的量”，不但與m2v2有關，而且還與定點O倒m2v2的距離有關Om1V1‘’m2m2m26二、角動量(angularmomentum)Om1v131xyzO））p大小

l＝rmvsin方向右手螺旋定則判定moθ作圓周運動的質點的角動量l=mrvoOm1v1m2v2角動量：7xyzO））p大小l＝rmvsin方向右手螺32注意事項：(1)因為質點的位置矢量r與參考點O的選取有關，所以質點相對于參考點的角動量也與參考點的選取有關(2)在直角坐標系中質點角動量可以表示為

如果質點是在一個平面上運動，可以將此平面取為xy平面，則：8注意事項：(1)因為質點的位置矢量r與參考點O的選取33

質點的角動量只具有z分量，或者說質點的角動量的方向垂直與該平面

假如質點是在xy平面上運動的，在某時刻到達點P,.

9質點的角動量只具有z分量，或者說質點的角動量的方向34

（3）質點對通過參考點O的任意軸線Oz的角動量lz,是質點相對于同一參考點的角動量l沿該軸線的分量。xyzpo））lz(4)對于質點在xy平面上運動的情況

對于l=lz來說，參考點必須取在z軸與xy平面的交點上10（3）質點對通過參考點O的任意軸線Oz的角動35

例1：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在直角坐標下的矢徑為：

，其中a、b、皆為常數，求該質點對原點的角動量。解：已知角動量11例1：一質量為m的質點沿著一條空間曲線運動，該曲線在36二、角動量定理(theoremofangularmomentum)

角動量，兩邊求導其中令為合外力對同一固定點的力矩。12二、角動量定理(theoremofangular37角動量定理的微分形式

作用于質點的合力對某參考點的力矩，等于質點對同一參考點的角動量隨時間的變化率13角動量定理的微分形式作用于質點的合力對某38積分得：

質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量積分形式(1)這個定理是從牛頓第二定律導出的，所以它也應該與牛頓運動定律一樣只適用于慣性系。(2)定理中涉及的兩個量力矩M和角動量l，都是對參考點的量，并且是對于同一個參考點的。

(3)角動量定理的上述矢量方程式在直角坐標系中的分量式，可以表示為注意事項：14積分得：質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量積39若作用于質點的合力對參考點的力矩,由，得

恒矢量即

若作用于質點的合力對參考點的力矩始終為零,則質點對同一參考點的角動量將保持恒定。三、質點角動量守恒定律15若作用于質點的合力對參考點的力矩40討論：(1)r=0,表示質點處于參考點上靜止不動。(2)F=0，表示所討論的質點是孤立質點

設質點沿直線L作勻速運動,在不同時刻先后到達點A、B和C,相對于參考點O的位置矢量分別為r1

、r2和r3,對于孤立的質點不僅動量守恒，而且角動量也守恒16討論：(1)r=0,表示質點處于參考點上靜止不41（3）F與r總是平行或反平行,有心力是符合這個條件的力

有心力：就是其方向始終指向(或背離)固定中心的力,此固定中心稱為力心。

有心力存在的空間稱為有心力場（萬有引力場和靜電場都屬于有心力場）有心力是保守力,行星運動的機械能也是守恒的17（3）F與r總是平行或反平行,有心力是符合這個條件的力42

如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿Oz軸的分量為零,則恒量

(當Mz=0時)

當質點所受對Oz軸的力矩為零時,質點對該軸的角動量保持不變。此結論稱為質點對軸的角動量守恒定律。

例2：行星運動的開普勒第二定律認為,對于任一行星,由太陽到行星的徑矢在相等的時間內掃過相等的面積。試用角動量守恒定律證明之。18如果作用于質點的合力矩不為零,而合力矩沿Oz恒量43開普勒第二定律應用質點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時間內掃過相等的面積例題219開普勒第二定律應用質點的角動量守恒定律可以證明開普勒第二44解:將行星看為質點,在dt時間內以速度

完成的位移為

,矢徑

在dt

時間內掃過的面積為dS（圖中陰影）。根據質點角動量的定義則om·20解:將行星看為質點,在dt時間內以速度完成的根據質45矢徑在單位時間內掃過的面積（稱為掠面速度）

萬有引力屬于有心力,行星相對于太陽所在處的點O的角動量是守恒的,即

=恒矢量,故有恒量

行星對太陽所在點O的角動量守恒,不僅角動量的