均值不等式 含答案

課時(shí)作業(yè)15均值不等式時(shí)間：45分鐘滿分：100分課堂訓(xùn)練1．已知eq\f(5,x)＋eq\f(3,y)＝1(x>0，y>0)，則xy的最小值是()A．15 B．6C．60 D．1【答案】C【解析】∵eq\f(5,x)＋eq\f(3,y)＝1≥2eq\r(\f(15,xy))，∴xy≥60，當(dāng)且僅當(dāng)3x＝5y時(shí)取等號(hào)．2．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)＋3在(－∞，－2]上()A．無最大值，有最小值7B．無最大值，有最小值－1C．有最大值7，有最小值－1D．有最大值－1，無最小值【答案】D【解析】∵x≤－2，∴f(x)＝x＋eq\f(4,x)＋3＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－x＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x)))))＋3≤－2eq\r(－x\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,x))))＋3＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)－x＝－eq\f(4,x)，即x＝－2時(shí)，取等號(hào)，∴f(x)有最大值－1，無最小值．3．已知兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y滿足x＋y＝4，則使不等式eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)≥m恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．【答案】eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(9,4)))【解析】eq\f(1,x)＋eq\f(4,y)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,4)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋\f(4,y)))＝eq\f(5,4)＋eq\f(y,4x)＋eq\f(x,y)≥eq\f(5,4)＋2eq\r(\f(1,4))＝eq\f(9,4).4．求函數(shù)y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)的最小值．【分析】對(duì)于本題中的函數(shù)，可把x＋1看成一個(gè)整體，然后將函數(shù)用x＋1來表示，這樣轉(zhuǎn)化一下表達(dá)形式，可以暴露其內(nèi)在的形式特點(diǎn)，從而能用均值定理來處理．【解析】因?yàn)閤>－1，所以x＋1>0.所以y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)＝eq\f(x＋12＋5x＋1＋4,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(4,x＋1)＋5≥2eq\r(x＋1·\f(4,x＋1))＋5＝9當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(4,x＋1)，即x＝1時(shí)，等號(hào)成立．∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝eq\f(x2＋7x＋10,x＋1)(x>－1)，取得最小值為9.【規(guī)律方法】形如f(x)＝eq\f(ax2＋bx＋c,mx＋n)(m≠0，a≠0)或者g(x)＝eq\f(mx＋n,ax2＋bx＋c)(m≠0，a≠0)的函數(shù)，可以把mx＋n看成一個(gè)整體，設(shè)mx＋n＝t，那么f(x)與g(x)都可以轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)．課后作業(yè)一、選擇題(每小題5分，共40分)1．設(shè)x>0，則y＝3－3x－eq\f(1,x)的最大值是()A．3 B．3－3eq\r(2)C．3－2eq\r(3) D．－1【答案】C【解析】y＝3－3x－eq\f(1,x)＝3－(3x＋eq\f(1,x))≤3－2eq\r(3x·\f(1,x))＝3－2eq\r(3).當(dāng)且僅當(dāng)3x＝eq\f(1,x)，即x＝eq\f(\r(3),3)時(shí)取“＝”．2．下列結(jié)論正確的是()A．當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx＋eq\f(1,lgx)≥2B．當(dāng)x>0時(shí)，eq\r(x)＋eq\f(1,\r(x))≥2C．當(dāng)x≥2時(shí)，x＋eq\f(1,x)的最小值為2D．當(dāng)0<x≤2時(shí)，x－eq\f(1,x)無最大值【答案】B【解析】A中，當(dāng)x>0且x≠1時(shí)，lgx的正負(fù)不確定，∴l(xiāng)gx＋eq\f(1,lgx)≥2或lgx＋eq\f(1,lgx)≤－2；C中，當(dāng)x≥2時(shí)，(x＋eq\f(1,x))min＝eq\f(5,2)；D中當(dāng)0<x≤2時(shí)，y＝x－eq\f(1,x)在(0,2]上遞增，(x－eq\f(1,x))max＝eq\f(3,2).3．如果a，b滿足0<a<b，a＋b＝1，則eq\f(1,2)，a,2ab，a2＋b2中值最大的是()A.eq\f(1,2) B．a(chǎn)C．2ab D．a(chǎn)2＋b2【答案】D【解析】方法一：∵0<a<b，∴1＝a＋b>2a，∴a<eq\f(1,2)，又a2＋b2≥2ab，∴最大數(shù)一定不是a和2ab，又a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，∵1＝a＋b>2eq\r(ab)，∴ab<eq\f(1,4)，∴1－2ab>1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，即a2＋b2>eq\f(1,2).方法二：特值檢驗(yàn)法：取a＝eq\f(1,3)，b＝eq\f(2,3)，則2ab＝eq\f(4,9)，a2＋b2＝eq\f(5,9)，∵eq\f(5,9)>eq\f(1,2)>eq\f(4,9)>eq\f(1,3)，∴a2＋b2最大．4．已知a>b>c>0，則下列不等式成立的是()A.eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)>eq\f(2,a－c)B.eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)<eq\f(2,a－c)C.eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(2,a－c)D.eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≤eq\f(2,a－c)【答案】A【解析】∵a>b>c>0，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0，∴(a－c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝[(a－b)＋(b－c)]·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a－b)＋\f(1,b－c)))＝2＋eq\f(b－c,a－b)＋eq\f(a－b,b－c)≥2＋2eq\r(\f(b－c,a－b)·\f(a－b,b－c))＝4.∴eq\f(1,a－b)＋eq\f(1,b－c)≥eq\f(4,a－c)>eq\f(2,a－c).5．下列函數(shù)中，最小值為4的是()A．f(x)＝x＋eq\f(4,x) B．f(x)＝2×eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))C．f(x)＝3x＋4×3－x D．f(x)＝lgx＋logx10【答案】C【解析】A、D選項(xiàng)中，不能保證兩數(shù)為正，排除；B選項(xiàng)不能取等號(hào)，f(x)＝2×eq\f(x2＋5,\r(x2＋4))＝2×eq\f(x2＋4＋1,\r(x2＋4))＝2×(eq\r(x2＋4)＋eq\f(1,\r(x2＋4)))≥4，要取等號(hào)，必須eq\r(x2＋4)＝eq\f(1,\r(x2＋4))，即x2＋4＝1，這是不可能的，排除．故選C.6．今有一臺(tái)壞天平，兩臂長不等，其余均精確．有人說要用它稱物體的重量，只需將物體放在左、右托盤各稱一次，則兩次稱量結(jié)果的和的一半就是物體的真實(shí)重量．設(shè)物體放在左右托盤稱得的重量分別為a，b(a≠b)，則物體的實(shí)際重量為多少？實(shí)際重量比兩次稱量的結(jié)果的一半大了還是小了？()A.eq\f(a＋b,2)；大 B.eq\f(a＋b,2)；小C.eq\r(ab)；大 D.eq\r(ab)；小【答案】D【解析】設(shè)物體真實(shí)重量為m，天平左、右兩臂長分別為l1，l2，則ml1＝al2①ml2＝bl1②①×②得m2l1l2＝∴m＝eq\r(ab)又∵eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)且a≠b，∴等號(hào)不能取得，故m<eq\f(a＋b,2).7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，則x＋2y的最小值是()A．3 B．4C.eq\f(9,2) D.eq\f(11,2)【答案】B【解析】∵x＋2y＋2xy＝8，∴y＝eq\f(8－x,2x＋2)>0，∴－1<x<8，∴x＋2y＝x＋2·eq\f(8－x,2x＋2)＝(x＋1)＋eq\f(9,x＋1)－2≥2eq\r(x＋1·\f(9,x＋1))－2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(9,x＋1)時(shí)“＝”成立，此時(shí)x＝2，y＝1，故選B.8．在區(qū)間[eq\f(1,2)，2]上，函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c(b、c∈R)與g(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x)在同一點(diǎn)取得相同的最小值，那么f(x)在區(qū)間[eq\f(1,2)，2]上的最大值是()A.eq\f(13,4) B．4C．8 D.eq\f(5,4)【答案】B【解析】∵g(x)＝eq\f(x2＋x＋1,x)＝x＋eq\f(1,x)＋1≥3，當(dāng)x＝1時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)x＝1時(shí)取最小值3，∴f(x)的對(duì)稱軸是x＝1，∴b＝－2，將(1,3)代入即得c＝4，∴f(x)＝x2－2x＋4，易得在[eq\f(1,2)，2]上的最大值是4.二、填空題(每小題10分，共20分)9．比較大小：eq\f(x2＋2,\r(x2＋1))________2(填“>”“<”“≥”或“≤”)．【答案】≥【解析】eq\f(x2＋2,\r(x2＋1))＝eq\r(x2＋1)＋eq\f(1,\r(x2＋1))≥2.10．當(dāng)x>1時(shí)，不等式x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】(－∞，3]【解析】∵x>1，∴x＋eq\f(1,x－1)>0，要使x＋eq\f(1,x－1)≥a恒成立，設(shè)f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)(x>1)，則a≤f(x)min對(duì)x>1恒成立．又f(x)＝x＋eq\f(1,x－1)＝x－1＋eq\f(1,x－1)＋1≥2eq\r(x－1×\f(1,x－1))＋1＝3，當(dāng)且僅當(dāng)x－1＝eq\f(1,x－1)即x＝2時(shí)取“＝”．∴a≤3.三、解答題(每小題20分，共40分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)11．設(shè)x，y∈R＋，且x＋y＋xy＝2，(1)求x＋y的取值范圍；(2)求xy的取值范圍．【解析】(1)2＝x＋y＋xy≤x＋y＋(eq\f(x＋y,2))2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)取“＝”．∴(x＋y)2＋4(x＋y)－8≥0.∴[(x＋y)＋2]2≥12.∵x＋y>0，∴x＋y＋2≥eq\r(12).∴x＋y≥2eq\r(3)－2，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\r(3)－1時(shí)取“＝”．故x＋y的取值范圍是[2eq\r(3)－2，＋∞)．(2)2＝x＋y＋xy≥2eq\r(xy)＋xy，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\r(3)－1時(shí)取“＝”．∴(eq\r(xy))2＋2eq\r(xy)≤2.∴(eq\r(xy)＋1)2≤3.又x、y>0，∴eq\r(xy)＋1>0.∴eq\r(xy)＋1≤eq\r(3).∴0<eq\r(xy)≤eq\r(3)－1.∴0<xy≤4－2eq\r(3)，即xy的取值范圍是(0,4－2eq\r(3)]．12．某漁業(yè)公司今年初用98萬元購進(jìn)一艘漁船用于捕撈，每一年需要各種費(fèi)用12萬元．從第二年起包括維修費(fèi)在內(nèi)每年所需費(fèi)用比上一年增加4萬元．該船每年捕撈總收入50萬元．(1)問捕撈幾年后總盈利最大，最大是多少？(2)問捕撈幾年后的平均利潤最大，最大是多少？【解析】(1)設(shè)船捕撈n年后的總盈利y萬元．則y＝50n－98－[12×n＋eq\f(nn－1,2)×4]＝－2n2＋40n－98＝－2(n－10)2＋102∴捕撈10年后總盈利最大，最大是102萬元．(2)年平均利潤為eq\f(y,n)＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al