青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件

第五章偏微分方程和特殊函數(shù).5.1引言5．2偏微分方程的分類5．3典型方程的建立5．4定解條件和定解問(wèn)題5．5線性迭加原理5．6分離變量法5．7非齊次邊界條件的處理第五章偏微分方程和特殊函數(shù).5.1引言5.1引言5.1.1偏微分方程的定義5.1.1.1方程定義：描述物理量在時(shí)、空域中變化規(guī)律的方程，若含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，則稱之為偏微分方程。5.1引言5.1.1偏微分方程的定義5.1.1.2方程的規(guī)定：（1）方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階數(shù)。（2）若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)稱方程為線性的，反之統(tǒng)稱成為非線性的。在非線性方程中若僅對(duì)未知函數(shù)的所有最高階偏導(dǎo)是線性的——擬線性的。（3）不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱之為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。5.1.1.2方程的規(guī)定：例如：例如：5.1.2偏微分方程的定解問(wèn)題5.1.2.1n階線性常微分方程對(duì)于n階線性常微分方程其中線性無(wú)關(guān)；

——任意常數(shù)當(dāng)存在n個(gè)邊界條件可以來(lái)確定系數(shù)：→特解的求解過(guò)程。5.1.2偏微分方程的定解問(wèn)題5.1.2.1n階線性常5.1.2.2偏微分方程在偏微分方程中特解是具有特定形式的任意函數(shù)。如方程：的通解是,特解：

而滿足二維拉普拉斯方程滿足一維熱傳導(dǎo)方程5.1.2.2偏微分方程

由此可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：①偏微分方程的通解包含有任意函數(shù)，因此解偏微分方程，一般都不是先解通解，后由定解條件確定特解，而是直接求特解。②一個(gè)特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現(xiàn)象的共性規(guī)律，可以有很多不同形式的特解。所以可稱為“泛定方程”。由此可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：

確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，除了反映運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的偏微分方程（泛定方程）外，還必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的模型提出定解條件。泛定方程加定解條件構(gòu)成一個(gè)確定的物理過(guò)程的“定解問(wèn)題”，由此求得特定的解。定解條件包括初始條件（當(dāng)方程含有時(shí)間變量時(shí)）和邊界條件（關(guān)于空間變量的約束條件）。確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，除了反映運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的5.1.2.3偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分離變量法包括貝塞爾函數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式（球柱坐標(biāo)）；②拉普拉斯變換法等。（2）數(shù)值解：尤拉法、龍格－庫(kù)塔法等。5.1.2.3偏微分方程的求解方法5.2二階偏微分方程分類.限兩個(gè)自變量的二階線性方程，未知函數(shù)u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(7-4)線性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0

（7-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函數(shù)當(dāng)A，B，C，D，E，G是常數(shù)時(shí)，式（7－5）是二階常系數(shù)線性偏微分方程，f＝f（x，y）為已知函數(shù)是自由項(xiàng)。5.2二階偏微分方程分類.限兩個(gè)自變量的二階線性方程，未知函由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類設(shè)M=M（x，y）為自變量域內(nèi)的某一點(diǎn)，若在該點(diǎn)處有：（１）B2－AC＞0，則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型的，如：

uxx－uyy＝0

（7－6）（２）B2－AC＝0，則方程在該點(diǎn)處為拋物線型，如：

ut－uxx＝0

（7－7）（３）B2－AC＜0，則方程在該點(diǎn)處為橢圓型的，如：

uxx＋uyy＝0

（7－8）由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類方程的類型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限雙曲線型②xy＞0，M在一，三象限橢圓型③xy＝0(x或y＝0)，M在兩數(shù)軸拋物線型三類方程：（最典型的物理含義）雙曲線型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波動(dòng)方程拋物線型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）熱傳導(dǎo)方程橢圓型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程方程的類型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：5.3典型方程的建立.

5.3典型方程的建立.

例題例題青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件[例]半無(wú)限介質(zhì)中線性熱傳導(dǎo)方程（本無(wú)界桿的熱傳導(dǎo)方程），端點(diǎn)溫度恒定為T(mén)1，初始時(shí)刻溫度均為T(mén)0，求溫度分布解：定解問(wèn)題首先確定對(duì)哪個(gè)變量做拉氏變換，就本例題而言，對(duì)x與t都可進(jìn)行拉氏變換，但由于缺少u(mài)

'(0,t)，故選t作L變[例]半無(wú)限介質(zhì)中線性熱傳導(dǎo)方程（本無(wú)界桿的熱傳導(dǎo)方程）設(shè)即對(duì)方程（1）兩端作拉氏變換，有（1）變換為對(duì)（3）的邊界條件做拉氏變換設(shè)（4）是關(guān)于x的二階線性常微分方程方程的通解為因?yàn)?，B＝0；因?yàn)椋裕?）是關(guān)于x的二階線性常微分方程代入（6）得做逆變換誤差函數(shù)

余誤差函數(shù)代入（6）得用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：（1）首先確定對(duì)哪個(gè)自變量作拉氏變換。要求該自變量變化范圍（0，∞），而且根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)該變量必需具備上式有關(guān)的初值條件。如若有兩個(gè)自變量都滿足要求，那應(yīng)取決于對(duì)哪個(gè)自變量求解過(guò)程最簡(jiǎn)單為準(zhǔn)。（2）除對(duì)方程作拉氏變換外，還要對(duì)凡在方程變化中沒(méi)有用到的定解條件都要作拉氏變換，使其作為變換后新方程的定解條件。（3）最后得到定解問(wèn)題的解的關(guān)鍵是對(duì)新方程之解作拉氏逆變換。當(dāng)象函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，運(yùn)用查表和拉氏變換一章介紹的幾種求逆變換方法也不得其解時(shí)，就只能運(yùn)用拉氏變換的反演公式，通常用復(fù)變函數(shù)的圍道積分法求解。用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：5．4定解條件和定解問(wèn)題.

上節(jié)建立的數(shù)學(xué)物理方程是具有某類共性的物理現(xiàn)象的泛定方程。在引言中我們也看到了，同一個(gè)泛定方程可以有多個(gè)不同函數(shù)的解。因此對(duì)實(shí)際的物理現(xiàn)象特性的討論還需對(duì)其特定的“環(huán)境”和起始狀態(tài)加以描述和限定——定解條件，結(jié)合泛定方程，便可確定定解問(wèn)題的特解。5．4定解條件和定解問(wèn)題.上節(jié)建立的數(shù)學(xué)物5.4.1初始條件（初值條件）對(duì)于隨著時(shí)間而發(fā)生變化的問(wèn)題，必須考慮研究對(duì)象的初始時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。凡泛定方程中只含t的一階偏導(dǎo)數(shù)的只需要一個(gè)初始條件，u的初始分布。（5-37）泛定方程中含有t的二階偏導(dǎo)數(shù)的則需要兩個(gè)初始條件，初始分布和初始速度。

(5-38)初始條件給出了整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)（t=0）。穩(wěn)態(tài)過(guò)程因與t無(wú)關(guān)，則不存在初始條件5.4.1初始條件（初值條件）5.4.2邊界條件（1）第一邊界條件——已知函數(shù)直接給出在邊界上的值（s——Γ上的動(dòng)點(diǎn)）（7-39）如弦振動(dòng)，長(zhǎng)為的弦兩端固定，則邊界條件為，（7-40）5.4.2邊界條件（1）第一邊界條件——已知函數(shù)又高h(yuǎn)，半徑r0的圓柱體的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題

(7-41)第一邊界條件稱為Dirichlet（狄利克利）條件，問(wèn)題稱為Dirichlet問(wèn)題。又高h(yuǎn)，半徑r0的圓柱體的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題（2）第二類邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)一維熱傳導(dǎo)（桿的導(dǎo)熱），設(shè)桿的一端x＝a絕熱，則由外到內(nèi)經(jīng)過(guò)桿端的熱量流速為零因K，S是常數(shù)，故（7-42）對(duì)于二維、三維應(yīng)以邊界的外法向?qū)?shù)表述

(7-43)第二類邊界條件稱為Noumann（牛曼）條件，問(wèn)題稱為Noumann問(wèn)題。（2）第二類邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)（3）第三類邊界條件——混合邊界條件給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系。如一維導(dǎo)熱，桿端x=a處自由冷卻，環(huán)境介質(zhì)溫度為u0

，則——桿端散發(fā)出的熱流效率與端點(diǎn)溫度與介質(zhì)溫度之差成正比?？筛膶?xiě)（7-44）（3）第三類邊界條件——混合邊界條件對(duì)于長(zhǎng)為的桿兩端自由冷卻（7-45）第三類邊界條件的一般形式（7-46）對(duì)于長(zhǎng)為的桿兩端自由冷卻5.5線性迭加原理.

在講如何用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題前，先介紹一下線性偏微分方程解的迭加原理。

所謂線性疊加就是幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng)，產(chǎn)生的效果等于各因素獨(dú)立作用產(chǎn)生的效果的總和。5.5線性迭加原理.迭加原理：設(shè)函數(shù)是齊次線性偏微分方程的特解，若級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求偏微分，則該級(jí)數(shù)也是齊次線性偏微分方程的解。迭加原理：5．6分離變量法.對(duì)于多個(gè)自變量的偏微分方程定解問(wèn)題的求解，在可能的情況下，我們總設(shè)法使自變量的個(gè)數(shù)減少。分離變量法就是基于這種想法產(chǎn)生的。分離變量法也叫傅立葉方法，它利用變量分離形式的解法，將求解偏微分方程的定解問(wèn)題化為求解常微分方程的固有值問(wèn)題，再利用定解條件及有關(guān)數(shù)學(xué)方法，求得定解問(wèn)題的解。分離變量法對(duì)定解條件尤其是邊界條件的要求比較苛刻，一般只涉及較為規(guī)則的邊界問(wèn)題。我們主要是通過(guò)各種例題來(lái)介紹分離變量法的具體應(yīng)用。5．6分離變量法.對(duì)于多個(gè)自變量的偏微分方程定解問(wèn)題的求[例]有界弦的自由振動(dòng)解：弦長(zhǎng)為兩端張緊固定且無(wú)外力作用的弦振動(dòng)問(wèn)題，可用下述定解問(wèn)題表述

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問(wèn)題。[例]有界弦的自由振動(dòng)（1）分離變量設(shè)其解函數(shù)可以表示為兩個(gè)單自變量函數(shù)的乘積。令u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)——x的函數(shù)，T(t)——t的函數(shù)代入（7-52）得分離變量改寫(xiě)為（1）分離變量不妨令其等于常數(shù)λ得到兩個(gè)常微分方程（7-56）（7-57）由邊界條件（7-53）

（7-58）不妨令其等于常數(shù)λ（2）求本征值（固有值）λ(i)設(shè)λ>0，則（5-56）的通解為代入條件（5-58）

解得A=-B=0，即X(x)≡0，不合題意舍去。（u≡0）(ii)設(shè)λ＝0得，

由條件（5-58）得A=B=0，X(x)≡0，不合題意舍去。（2）求本征值（固有值）λ（iii）設(shè)λ<0，不妨令λ=-β2

，式（5－56）的通解為

由條件（7-58）

因?yàn)棣隆?

，所以

（iii）設(shè)λ<0，不妨令λ=-β2，式（5－56）的λn——固有值或本征值.Xn(x)——固有函數(shù)，常寫(xiě)成不帶系數(shù)的形式：

λn——固有值或本征值.（3）求（5-57）的通解Tn(t)及定解問(wèn)題的一組特解un(x,t)對(duì)，有通解為（5-61）(5-60)×(5-61)得一組特解（5-62）（3）求（5-57）的通解Tn(t)及定解問(wèn)題的一組特解un（4）由傅立葉級(jí)數(shù)確定系數(shù)Cn,Dn，求由解的迭加原理（5-63）代入初始條件（5-55）、（5-56）

（4）由傅立葉級(jí)數(shù)確定系數(shù)Cn,Dn，求

式（5－64）和式（5－65）分別是φ(x),ψ(x)

的傅立葉正弦級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，而φ(x),ψ(x)是由初始條件給出的定義在[0，l]上的連續(xù)函數(shù)（或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，且至多有有限個(gè)極值點(diǎn)），所以只要選取即代入（5-63）即得定解問(wèn)題的完整特解。式（5－64）和式（5－65）分別是φ(x),ψ(x)的[例]

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問(wèn)題。[例]解:u(x,t)是其一個(gè)解函數(shù)假設(shè)函數(shù)可以表示為各個(gè)自變量單元函數(shù)的乘積，代入方程后可分離為各自變量的常微分方程。設(shè)u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函數(shù)，T(t)-t的函數(shù)解:u(x,t)是其一個(gè)解函數(shù)代入原方程中：代入原方程中：將邊界條件代入：將邊界條件代入：運(yùn)用疊加原理運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從積分。(為需要求的待定系數(shù))運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從積分。運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用疊加原理運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從積分。(為需要求∴∴u(x?t)=總結(jié)：①通過(guò)假設(shè)，將變量分離②確定待定系數(shù)（通過(guò)已知條件）③利用疊加原理得到解函數(shù)∴∴u(x?t)=總結(jié)：①通過(guò)假設(shè)，將變量分離青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件

得到F(詳見(jiàn)P223頁(yè))得到F(詳見(jiàn)P223頁(yè))【習(xí)題】用分離變量法解下列振動(dòng)問(wèn)題初始條件：（2）兩端固定，解：（2）的定解問(wèn)題為：【習(xí)題】用分離變量法解下列振動(dòng)問(wèn)題1°分離變量令u=X?T，代入方程（1）得（λ為常量）（4）（5）由邊界條件（2）得1°分離變量2°求固有值λ①當(dāng)λ>0時(shí)，（6）的通解為代入邊界條件（7）得不合題意，舍去；②當(dāng)λ=0時(shí)，（6）的通解為代入邊界條件（7）得不合題意，舍去；2°求固有值λ③當(dāng)λ<0時(shí)，令λ=β2

，方程（6）的通解為由邊界條件（7）得③當(dāng)λ<0時(shí)，令λ=β2，方程（6）的通解為3°求將代入方程（5）得通解為3°求4°確定系數(shù)Cn,Dn

，求u(x,t)由解的疊加原理由初始條件（3）4°確定系數(shù)Cn,Dn，求u(x,t)青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件【例（補(bǔ)充）】有限桿的熱傳導(dǎo)長(zhǎng)為l的均勻細(xì)桿放置x軸上，其側(cè)面及兩端面絕熱，桿內(nèi)無(wú)熱源且桿內(nèi)初始溫度分布為φ(x)。定解問(wèn)題：【例（補(bǔ)充）】有限桿的熱傳導(dǎo)解：（1）分離變量令代入方程式（1）得解：（2）求λ（i）設(shè)λ>0，通解為代入邊界條件得：

即X(x)≡0，不合題意。（ii）λ=0，通解為代入邊界條件得所以（2）求λ（iii）設(shè)λ<0,取，通解

代入邊界條件得：所以固有值固有函數(shù)（iii）設(shè)λ<0,取（3）求（i）當(dāng)λ0＝0時(shí)

化為得解

（ii）當(dāng)（3）求（4）確定cn及u(x,t)，由疊加原理代入初始條件代入u(x,t)的表達(dá)式即得定解問(wèn)題的解。（4）確定cn及u(x,t)，由疊加原理5.7非齊次邊界條件的處理.

前面分離變量涉及的定解條件是齊次邊界條件，對(duì)非齊次邊界條件則要進(jìn)行齊次化的處理。以一維熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題為例介紹非齊次邊界條件的處理方法——邊界條件齊次化。一維熱傳導(dǎo)定解問(wèn)題：5.7非齊次邊界條件的處理.前面分離變量涉作代換：（7-98）選取適當(dāng)?shù)腤(x,t)，使V(x,t)滿足齊次邊界條件（7-99）則作代換：W(x,t)的形式力求簡(jiǎn)單，達(dá)到V(x,t)邊界條件齊次化的目的即可，不妨設(shè)W(x,t)為x的一次函數(shù)。令

由邊界條件式（7－100）可得于是

W(x,t)的形式力求簡(jiǎn)單，達(dá)到V(x,t)邊界條件齊次化的將式(5-101)及式(5-98)代入(A)得問(wèn)題（A）轉(zhuǎn)化為問(wèn)題（B）

將式(5-101)及式(5-98)代入(A)得

經(jīng)邊界條件齊次化處理后，定解問(wèn)題（A）的求解轉(zhuǎn)化為定解問(wèn)題（B）的求解。由（B）解得V(x,t)，則（A）的解為。一般情況下（B）是非齊次方程的定解問(wèn)題。在這一節(jié)我們只看形如的齊次方程的求解，而形如的非齊次方程的求解放到下一節(jié)討論。經(jīng)邊界條件齊次化處理后，定解問(wèn)題（A）的求解轉(zhuǎn)類似于定解問(wèn)題（A）的其它類型的非齊次邊界條件有如相應(yīng)的W(x,t)有不同的結(jié)果。類似于定解問(wèn)題（A）的其它類型的非齊次邊界條件有如[例5-13]一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題

設(shè)一均勻細(xì)桿，初始時(shí)全桿有一均勻溫度，然后使其一端保持不變溫度，另一端則有恒定的熱流輸入，試求溫度分布規(guī)律。此定解問(wèn)題可描述如下[例5-13]一維熱傳導(dǎo)問(wèn)題設(shè)一均勻細(xì)桿，解：（1）邊界條件齊次化設(shè)為使則解：（1）邊界條件齊次化設(shè)

代入（7-104）得所以代入原問(wèn)題（A）得到定解問(wèn)題（B）

（2）求解定解問(wèn)題（B）這是關(guān)于V(x,t)的齊次邊界問(wèn)題①分離變量令代入(7-105)并分離變量，并結(jié)合齊次邊界條件得（7－108）

（2）求解定解問(wèn)題（B）這是關(guān)于V(x,t)的齊次邊②求λ由前面的例題分析可知，λ<0時(shí)（B）有解，不妨設(shè)，式（7－109）的通解為由邊界條件式（7－110），得固有函數(shù)

②求λ由前面的例題分析可知，λ<0時(shí)（B）有解，不妨設(shè)③求λ代入(7-108)，得③求④確定系數(shù)由初始條件式（7－107）④確定系數(shù)利用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)法求系數(shù)從而利用Fourier級(jí)數(shù)展開(kāi)法求系數(shù)（3）求

解式（5－111）的結(jié)構(gòu)可以看出隨時(shí)間的推延，此級(jí)數(shù)解迅速收斂。（3）求第五章偏微分方程和特殊函數(shù).5.1引言5．2偏微分方程的分類5．3典型方程的建立5．4定解條件和定解問(wèn)題5．5線性迭加原理5．6分離變量法5．7非齊次邊界條件的處理第五章偏微分方程和特殊函數(shù).5.1引言5.1引言5.1.1偏微分方程的定義5.1.1.1方程定義：描述物理量在時(shí)、空域中變化規(guī)律的方程，若含有未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，則稱之為偏微分方程。5.1引言5.1.1偏微分方程的定義5.1.1.2方程的規(guī)定：（1）方程中出現(xiàn)的偏導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為方程的階數(shù)。（2）若方程中沒(méi)有未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的乘積或冪等非線性項(xiàng)稱方程為線性的，反之統(tǒng)稱成為非線性的。在非線性方程中若僅對(duì)未知函數(shù)的所有最高階偏導(dǎo)是線性的——擬線性的。（3）不含未知函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱之為自由項(xiàng)。自由項(xiàng)為零的方程稱為齊次方程，否則稱為非齊次方程。5.1.1.2方程的規(guī)定：例如：例如：5.1.2偏微分方程的定解問(wèn)題5.1.2.1n階線性常微分方程對(duì)于n階線性常微分方程其中線性無(wú)關(guān)；

——任意常數(shù)當(dāng)存在n個(gè)邊界條件可以來(lái)確定系數(shù)：→特解的求解過(guò)程。5.1.2偏微分方程的定解問(wèn)題5.1.2.1n階線性常5.1.2.2偏微分方程在偏微分方程中特解是具有特定形式的任意函數(shù)。如方程：的通解是,特解：

而滿足二維拉普拉斯方程滿足一維熱傳導(dǎo)方程5.1.2.2偏微分方程

由此可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：①偏微分方程的通解包含有任意函數(shù)，因此解偏微分方程，一般都不是先解通解，后由定解條件確定特解，而是直接求特解。②一個(gè)特定形式的偏微分方程可以描述許多物理現(xiàn)象的共性規(guī)律，可以有很多不同形式的特解。所以可稱為“泛定方程”。由此可以得出兩點(diǎn)結(jié)論：

確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，除了反映運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的偏微分方程（泛定方程）外，還必須根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的模型提出定解條件。泛定方程加定解條件構(gòu)成一個(gè)確定的物理過(guò)程的“定解問(wèn)題”，由此求得特定的解。定解條件包括初始條件（當(dāng)方程含有時(shí)間變量時(shí)）和邊界條件（關(guān)于空間變量的約束條件）。確定地描述某個(gè)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，除了反映運(yùn)動(dòng)一般規(guī)律的5.1.2.3偏微分方程的求解方法1、方程的建立建模。2、求解（1）解析解：①分離變量法包括貝塞爾函數(shù)、勒讓德多項(xiàng)式（球柱坐標(biāo)）；②拉普拉斯變換法等。（2）數(shù)值解：尤拉法、龍格－庫(kù)塔法等。5.1.2.3偏微分方程的求解方法5.2二階偏微分方程分類.限兩個(gè)自變量的二階線性方程，未知函數(shù)u（x，y）一般形式：

F（x，y，u，ux，uy，uxx，uyy，uxy）=0(7-4)線性形式：

Auxx+2Buxy+Cuyy+Dux+Euy+Gu+f=0

（7-5）A，B，C，D，E，f，G是x，y的函數(shù)當(dāng)A，B，C，D，E，G是常數(shù)時(shí)，式（7－5）是二階常系數(shù)線性偏微分方程，f＝f（x，y）為已知函數(shù)是自由項(xiàng)。5.2二階偏微分方程分類.限兩個(gè)自變量的二階線性方程，未知函由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類設(shè)M=M（x，y）為自變量域內(nèi)的某一點(diǎn)，若在該點(diǎn)處有：（１）B2－AC＞0，則方程在該點(diǎn)處為雙曲線型的，如：

uxx－uyy＝0

（7－6）（２）B2－AC＝0，則方程在該點(diǎn)處為拋物線型，如：

ut－uxx＝0

（7－7）（３）B2－AC＜0，則方程在該點(diǎn)處為橢圓型的，如：

uxx＋uyy＝0

（7－8）由參數(shù)A，B，C判斷二階線性方程的分類方程的類型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：

xuxx＋yuyy＋2yux－xuy＝0B2-AC＝0－xy，①xy＜0，M在二，四象限雙曲線型②xy＞0，M在一，三象限橢圓型③xy＝0(x或y＝0)，M在兩數(shù)軸拋物線型三類方程：（最典型的物理含義）雙曲線型：utt＝a2（uxx＋uyy＋uzz）波動(dòng)方程拋物線型：ut＝a2（uxx＋uyy＋uzz）熱傳導(dǎo)方程橢圓型：uxx＋uyy＋uzz＝0

拉普拉斯方程方程的類型在域內(nèi)不一定是唯一的。如：5.3典型方程的建立.

5.3典型方程的建立.

例題例題青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件[例]半無(wú)限介質(zhì)中線性熱傳導(dǎo)方程（本無(wú)界桿的熱傳導(dǎo)方程），端點(diǎn)溫度恒定為T(mén)1，初始時(shí)刻溫度均為T(mén)0，求溫度分布解：定解問(wèn)題首先確定對(duì)哪個(gè)變量做拉氏變換，就本例題而言，對(duì)x與t都可進(jìn)行拉氏變換，但由于缺少u(mài)

'(0,t)，故選t作L變[例]半無(wú)限介質(zhì)中線性熱傳導(dǎo)方程（本無(wú)界桿的熱傳導(dǎo)方程）設(shè)即對(duì)方程（1）兩端作拉氏變換，有（1）變換為對(duì)（3）的邊界條件做拉氏變換設(shè)（4）是關(guān)于x的二階線性常微分方程方程的通解為因?yàn)?，B＝0；因?yàn)?，所以?）是關(guān)于x的二階線性常微分方程代入（6）得做逆變換誤差函數(shù)

余誤差函數(shù)代入（6）得用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：（1）首先確定對(duì)哪個(gè)自變量作拉氏變換。要求該自變量變化范圍（0，∞），而且根據(jù)拉氏變換的微分性質(zhì)該變量必需具備上式有關(guān)的初值條件。如若有兩個(gè)自變量都滿足要求，那應(yīng)取決于對(duì)哪個(gè)自變量求解過(guò)程最簡(jiǎn)單為準(zhǔn)。（2）除對(duì)方程作拉氏變換外，還要對(duì)凡在方程變化中沒(méi)有用到的定解條件都要作拉氏變換，使其作為變換后新方程的定解條件。（3）最后得到定解問(wèn)題的解的關(guān)鍵是對(duì)新方程之解作拉氏逆變換。當(dāng)象函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，運(yùn)用查表和拉氏變換一章介紹的幾種求逆變換方法也不得其解時(shí)，就只能運(yùn)用拉氏變換的反演公式，通常用復(fù)變函數(shù)的圍道積分法求解。用拉氏變換解偏微分方程的要點(diǎn)是：5．4定解條件和定解問(wèn)題.

上節(jié)建立的數(shù)學(xué)物理方程是具有某類共性的物理現(xiàn)象的泛定方程。在引言中我們也看到了，同一個(gè)泛定方程可以有多個(gè)不同函數(shù)的解。因此對(duì)實(shí)際的物理現(xiàn)象特性的討論還需對(duì)其特定的“環(huán)境”和起始狀態(tài)加以描述和限定——定解條件，結(jié)合泛定方程，便可確定定解問(wèn)題的特解。5．4定解條件和定解問(wèn)題.上節(jié)建立的數(shù)學(xué)物5.4.1初始條件（初值條件）對(duì)于隨著時(shí)間而發(fā)生變化的問(wèn)題，必須考慮研究對(duì)象的初始時(shí)刻的狀態(tài)，即初始條件。凡泛定方程中只含t的一階偏導(dǎo)數(shù)的只需要一個(gè)初始條件，u的初始分布。（5-37）泛定方程中含有t的二階偏導(dǎo)數(shù)的則需要兩個(gè)初始條件，初始分布和初始速度。

(5-38)初始條件給出了整個(gè)系統(tǒng)的狀態(tài)（t=0）。穩(wěn)態(tài)過(guò)程因與t無(wú)關(guān)，則不存在初始條件5.4.1初始條件（初值條件）5.4.2邊界條件（1）第一邊界條件——已知函數(shù)直接給出在邊界上的值（s——Γ上的動(dòng)點(diǎn)）（7-39）如弦振動(dòng)，長(zhǎng)為的弦兩端固定，則邊界條件為，（7-40）5.4.2邊界條件（1）第一邊界條件——已知函數(shù)又高h(yuǎn)，半徑r0的圓柱體的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題

(7-41)第一邊界條件稱為Dirichlet（狄利克利）條件，問(wèn)題稱為Dirichlet問(wèn)題。又高h(yuǎn)，半徑r0的圓柱體的穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題（2）第二類邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)一維熱傳導(dǎo)（桿的導(dǎo)熱），設(shè)桿的一端x＝a絕熱，則由外到內(nèi)經(jīng)過(guò)桿端的熱量流速為零因K，S是常數(shù)，故（7-42）對(duì)于二維、三維應(yīng)以邊界的外法向?qū)?shù)表述

(7-43)第二類邊界條件稱為Noumann（牛曼）條件，問(wèn)題稱為Noumann問(wèn)題。（2）第二類邊界條件——已知導(dǎo)數(shù)（3）第三類邊界條件——混合邊界條件給出邊界上函數(shù)值與其法向?qū)?shù)構(gòu)成的線性關(guān)系。如一維導(dǎo)熱，桿端x=a處自由冷卻，環(huán)境介質(zhì)溫度為u0

，則——桿端散發(fā)出的熱流效率與端點(diǎn)溫度與介質(zhì)溫度之差成正比。可改寫(xiě)（7-44）（3）第三類邊界條件——混合邊界條件對(duì)于長(zhǎng)為的桿兩端自由冷卻（7-45）第三類邊界條件的一般形式（7-46）對(duì)于長(zhǎng)為的桿兩端自由冷卻5.5線性迭加原理.

在講如何用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題前，先介紹一下線性偏微分方程解的迭加原理。

所謂線性疊加就是幾種不同因素綜合作用于系統(tǒng)，產(chǎn)生的效果等于各因素獨(dú)立作用產(chǎn)生的效果的總和。5.5線性迭加原理.迭加原理：設(shè)函數(shù)是齊次線性偏微分方程的特解，若級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)求偏微分，則該級(jí)數(shù)也是齊次線性偏微分方程的解。迭加原理：5．6分離變量法.對(duì)于多個(gè)自變量的偏微分方程定解問(wèn)題的求解，在可能的情況下，我們總設(shè)法使自變量的個(gè)數(shù)減少。分離變量法就是基于這種想法產(chǎn)生的。分離變量法也叫傅立葉方法，它利用變量分離形式的解法，將求解偏微分方程的定解問(wèn)題化為求解常微分方程的固有值問(wèn)題，再利用定解條件及有關(guān)數(shù)學(xué)方法，求得定解問(wèn)題的解。分離變量法對(duì)定解條件尤其是邊界條件的要求比較苛刻，一般只涉及較為規(guī)則的邊界問(wèn)題。我們主要是通過(guò)各種例題來(lái)介紹分離變量法的具體應(yīng)用。5．6分離變量法.對(duì)于多個(gè)自變量的偏微分方程定解問(wèn)題的求[例]有界弦的自由振動(dòng)解：弦長(zhǎng)為兩端張緊固定且無(wú)外力作用的弦振動(dòng)問(wèn)題，可用下述定解問(wèn)題表述

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問(wèn)題。[例]有界弦的自由振動(dòng)（1）分離變量設(shè)其解函數(shù)可以表示為兩個(gè)單自變量函數(shù)的乘積。令u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)——x的函數(shù)，T(t)——t的函數(shù)代入（7-52）得分離變量改寫(xiě)為（1）分離變量不妨令其等于常數(shù)λ得到兩個(gè)常微分方程（7-56）（7-57）由邊界條件（7-53）

（7-58）不妨令其等于常數(shù)λ（2）求本征值（固有值）λ(i)設(shè)λ>0，則（5-56）的通解為代入條件（5-58）

解得A=-B=0，即X(x)≡0，不合題意舍去。（u≡0）(ii)設(shè)λ＝0得，

由條件（5-58）得A=B=0，X(x)≡0，不合題意舍去。（2）求本征值（固有值）λ（iii）設(shè)λ<0，不妨令λ=-β2

，式（5－56）的通解為

由條件（7-58）

因?yàn)棣隆?

，所以

（iii）設(shè)λ<0，不妨令λ=-β2，式（5－56）的λn——固有值或本征值.Xn(x)——固有函數(shù)，常寫(xiě)成不帶系數(shù)的形式：

λn——固有值或本征值.（3）求（5-57）的通解Tn(t)及定解問(wèn)題的一組特解un(x,t)對(duì)，有通解為（5-61）(5-60)×(5-61)得一組特解（5-62）（3）求（5-57）的通解Tn(t)及定解問(wèn)題的一組特解un（4）由傅立葉級(jí)數(shù)確定系數(shù)Cn,Dn，求由解的迭加原理（5-63）代入初始條件（5-55）、（5-56）

（4）由傅立葉級(jí)數(shù)確定系數(shù)Cn,Dn，求

式（5－64）和式（5－65）分別是φ(x),ψ(x)

的傅立葉正弦級(jí)數(shù)的展開(kāi)式，而φ(x),ψ(x)是由初始條件給出的定義在[0，l]上的連續(xù)函數(shù)（或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)，且至多有有限個(gè)極值點(diǎn)），所以只要選取即代入（5-63）即得定解問(wèn)題的完整特解。式（5－64）和式（5－65）分別是φ(x),ψ(x)的[例]

這是齊次方程，齊次邊界條件的定解問(wèn)題。[例]解:u(x,t)是其一個(gè)解函數(shù)假設(shè)函數(shù)可以表示為各個(gè)自變量單元函數(shù)的乘積，代入方程后可分離為各自變量的常微分方程。設(shè)u(x,t)=X(x)T(t)，X(x)-x的函數(shù)，T(t)-t的函數(shù)解:u(x,t)是其一個(gè)解函數(shù)代入原方程中：代入原方程中：將邊界條件代入：將邊界條件代入：運(yùn)用疊加原理運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從積分。(為需要求的待定系數(shù))運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從積分。運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從運(yùn)用疊加原理運(yùn)用正交函數(shù)：兩邊同乘以，并從積分。(為需要求∴∴u(x?t)=總結(jié)：①通過(guò)假設(shè)，將變量分離②確定待定系數(shù)（通過(guò)已知條件）③利用疊加原理得到解函數(shù)∴∴u(x?t)=總結(jié)：①通過(guò)假設(shè)，將變量分離青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件

得到F(詳見(jiàn)P223頁(yè))得到F(詳見(jiàn)P223頁(yè))【習(xí)題】用分離變量法解下列振動(dòng)問(wèn)題初始條件：（2）兩端固定，解：（2）的定解問(wèn)題為：【習(xí)題】用分離變量法解下列振動(dòng)問(wèn)題1°分離變量令u=X?T，代入方程（1）得（λ為常量）（4）（5）由邊界條件（2）得1°分離變量2°求固有值λ①當(dāng)λ>0時(shí)，（6）的通解為代入邊界條件（7）得不合題意，舍去；②當(dāng)λ=0時(shí)，（6）的通解為代入邊界條件（7）得不合題意，舍去；2°求固有值λ③當(dāng)λ<0時(shí)，令λ=β2

，方程（6）的通解為由邊界條件（7）得③當(dāng)λ<0時(shí)，令λ=β2，方程（6）的通解為3°求將代入方程（5）得通解為3°求4°確定系數(shù)Cn,Dn

，求u(x,t)由解的疊加原理由初始條件（3）4°確定系數(shù)Cn,Dn，求u(x,t)青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課件青海大學(xué)-化工應(yīng)用數(shù)學(xué)-第五章-偏微分方程及特殊課