空間幾何中的平行與垂直 新高考 數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專項(xiàng)提升精講精練 （含答案解析）

7.1空間幾何中的平行與垂直（精練）（提升版）題組一題組一平行問題1（2022·四川宜賓）如圖，正方形ABED的邊長為1，G，F(xiàn)分別是EC，BD的中點(diǎn)，求證：平面ABC【答案】證明見解析；【解析】如圖，連接AE，因F是正方形ABED對(duì)角線BD的中點(diǎn)，則F是AE的中點(diǎn)，而G是CE的中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.2．（2022·遼寧撫順）在正方體中，分別是和的中點(diǎn).求證：(1)平面.(2)平面平面.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】（1）連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)，又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，連接，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn).又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫嫫矫嫠云矫?由（1）知平面，又，平面，所以平面平面.3．（2022·江西南昌）兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，，，且，過M作于H，求證：(1)平面平面BCE；(2)平面BCE.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析.【解析】（1）在正方形ABCD中，，，則，又平面，平面，因此平面，由，得，而，，則有，即，于是得，又平面，平面，則平面，因，平面，所以平面平面.（2）由（1）知：平面平面，而平面，所以平面.4．（2022·安徽安慶市）如圖，四棱錐中，底面為直角梯形，且，點(diǎn)M在棱上，若直線平面，求的值【答案】（1）1∶2；【解析】連接與交于點(diǎn)N，連接，，，，，又平面，平面，且平面平面．5．（2022·北京市第十三中學(xué)）如圖，已知在四棱錐中，底面是平行四邊形，為的中點(diǎn)，在上任取一點(diǎn)，過和作平面交平面于.(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)求證：.【答案】證明見解析【解析】(1)證明：因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，則，平面，平面，因此，平面.(2)證明：連接交于點(diǎn)，連接，因?yàn)樗倪呅螢槠叫兴倪呅?，，則為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，平面，平面，平面.

(3)證明：平面，平面，平面平面，.6．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，與相交于點(diǎn)O，F(xiàn)點(diǎn)是的中點(diǎn)，E點(diǎn)在線段上，且．求證：直線∥平面【答案】證明見解析；【解析】取的中點(diǎn)，連接CG、GF、EO．∵，則，∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，故，且平面，故平面．又，故是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，則，且平面，故平面，且，故平面平面．又平面，故平面．7（2022·山西臨汾）如圖（1），在梯形中，且，線段上有一點(diǎn)E，滿足，，現(xiàn)將分別沿折起，使，得到如圖（2）所示的幾何體．求證：【答案】證明見解析；【解析】圖（1）中，，則，而，即，在中，，有，同理可得，則，圖（2）中，，則，而，平面，則有平面，在中，，則，又，，平面，因此平面，所以.8．（2022·江西）如圖所示，在四棱錐中，平面，E是的中點(diǎn).(1)求證：//平面(2)求證：//平面.【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析【解析】(1)因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，又平面，平面，則平面；(2)取中點(diǎn)，連接，易得，且，由（1）知且，則且，則四邊形為平行四邊形，則，又平面，平面，則平面.9．（2022·全國·高一）如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD為平行四邊形，G為FC的中點(diǎn)，平面ABFE∩平面CDEF=EF(1)證明:AF//平面BDG(2)證明:AB//EF【答案】(1)證明見解析.(2)證明見解析.【解析】(1)連接AC交BD于O,連接OG.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AC、BD互相平分.又G為FC的中點(diǎn)，所以O(shè)G為三角形ACF的中位線，所以.因?yàn)槊?面,所以AF//平面BDG.(2)因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB//CD.因?yàn)槊?面,所以AB//平面.因?yàn)槊?面面=EF.所以AB//EF.題組二題組二空間幾何中的垂直1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在平行四邊形中過點(diǎn)作的垂線交的延長線于點(diǎn)，.連接交于點(diǎn)，如圖1，將沿折起，使得點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置.如圖2.證明：直線平面.【答案】證明見解析【解析】證明：圖1中，在中，所以.所以也是直角三角形，，在圖2中，所以平面.2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐中，平面平面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且，，．證明：平面【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，連接AF，由題意知為等腰三角形，而為的中點(diǎn)，所以．又因?yàn)槠矫嫫矫?，且，平面平面，平面，所以平面．而平面，所以．而，平面，所以平面．連接，則，，而，，所以且，所以是平行四邊形，因此，故平面．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）在四棱錐中，底面．證明：【答案】證明見解析；【解析】證明：在四邊形中，作于，于，因?yàn)?，所以四邊形為等腰梯形，所以，故，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，所以平面，又因?yàn)槠矫妫裕?．（2022·上海松江·二模）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上．(1)求四棱錐的全面積；(2)求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1)∵BC//AD，AD⊥平面ABP，∴BC⊥平面ABP，∴BC⊥BP，∴,同理可得,∴.(2)∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴CD⊥PA．又ABCD是矩形，∴CD⊥AD，∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD．∵AF?平面PAD，∴AF⊥CD．∵PA＝AD，點(diǎn)F是PD的中點(diǎn)，∴AF⊥PD．又CD∩PD＝D，∴AF⊥平面PDC．∵PE?平面PDC，∴PE⊥AF．5．（2022·河南·信陽高中）如圖所示，直三棱柱中，為中點(diǎn)．(1)求證：平面；(2)若三棱柱上下底面為正三角形，，，求證：平面平面．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【解析】(1)連接，與相交于點(diǎn)F，連接MF，則為的中點(diǎn)，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以MF是的中位線，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?2)因?yàn)橹比庵舷碌酌鏋檎切危?，，所以，所以，所以，即，由三線合一可得：，又因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)樗云矫?，因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?．（2022·北京大興）如圖，在四棱錐中，平面，底面為菱形，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求證：平面；(3)若平面平面，求的大小.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【解析】(1)因?yàn)槠矫妫矫?，所?又因?yàn)榈酌鏋榱庑危?又因?yàn)椋云矫?(2)取為的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié).在中，分別為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且為的中點(diǎn)，所以.所以.所以四邊形為平行四邊形.所以.因?yàn)槠矫嫫矫?所以平面.(3)因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面平面，所以平?所以.因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且為的中點(diǎn)，所以.所以則是等邊三角形.所以.題組三題組三空間幾何中的定理辨析1．（2022·上海虹口·二模）已知，是平面內(nèi)的兩條直線，是空間的一條直線，則“”是“且”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，所以且；當(dāng)且，，但，是否相交無法判斷，所以可能成立，也可能不成立．綜上，“”是“且”的充分不必要條件．故選：A．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））在正方體中，E，F(xiàn)分別為的中點(diǎn)，則（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】A【解析】解：在正方體中，且平面，又平面，所以，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面，故A正確；選項(xiàng)BCD解法一：如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，則，，設(shè)平面的法向量為，則有，可取，同理可得平面的法向量為，平面的法向量為，平面的法向量為，則，所以平面與平面不垂直，故B錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故C錯(cuò)誤；因?yàn)榕c不平行，所以平面與平面不平行，故D錯(cuò)誤，故選：A.選項(xiàng)BCD解法二：解：對(duì)于選項(xiàng)B，如圖所示，設(shè)，，則為平面與平面的交線，在內(nèi)，作于點(diǎn)，在內(nèi)，作，交于點(diǎn)，連結(jié)，則或其補(bǔ)角為平面與平面所成二面角的平面角，由勾股定理可知：，，底面正方形中，為中點(diǎn)，則，由勾股定理可得，從而有：，據(jù)此可得，即，據(jù)此可得平面平面不成立，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，取的中點(diǎn)，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，取的中點(diǎn)，很明顯四邊形為平行四邊形，則，由于與平面相交，故平面平面不成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：A.3．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（理））設(shè)，是不同的直線，，，是不同的平面，則下面說法正確的是（

）A．若，，則B．若，，則C．若，，則D．若，，則【答案】C【解析】A：由，，則或相交，錯(cuò)誤；B：由，，則或或相交，錯(cuò)誤；C：由，則存在直線且，而則，根據(jù)面面垂直的判定易知，正確；D：由，，則或，錯(cuò)誤.故選：C4（2022·全國·高三專題練習(xí)（理））已知是正方體的中心O關(guān)于平面的對(duì)稱點(diǎn)，則下列說法中正確的是（

）A．與是異面直線 B．平面C． D．平面【答案】B【解析】連接、，交于點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn).連接、、、、.由題可知，在平面上，所以與共面，故A錯(cuò)誤；在四邊形中，且，所以四邊形為平行四邊形..平面，平面，平面，故B正確；由正方體的性質(zhì)可得，因?yàn)?，所以，又，平面，，又，，而與所成角為，所以顯然與不垂直，故C錯(cuò)誤；顯然與不垂直，而平面，所以與平面不垂直，故D錯(cuò)誤.故選：B.5．（2022·浙江省新昌中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，給出下列命題：①若，則②若，則③若，則④若，則其中為真命題的是（

）A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】C【解析】①中，，則平面與平面可能平行，可能相交也可能垂直，故①錯(cuò)誤；②中，，直線與直線可能平行，異面或者垂直，故②錯(cuò)誤；③中，，則，故，故③正確；④中，，則，故④正確.故選：C.6．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方體中，是的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線異面，直線平面D．直線與直線相交，直線平面【答案】A【解析】連接；由正方體的性質(zhì)可知，是的中點(diǎn)，所以直線與直線垂直；由正方體的性質(zhì)可知，所以平面平面，又平面，所以直線平面，故A正確；以為原點(diǎn)，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，顯然直線與直線不平行，故B不正確；直線與直線異面正確，，，所以直線與平面不垂直，故C不正確；直線與直線異面，不相交，故D不正確；故選：A.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖是一個(gè)幾何體的平面展開圖，其中四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點(diǎn)，在此幾何體中，給出下面四個(gè)結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A