四川省宜賓市重點中學(xué)2023學(xué)年高三第二次診斷性檢測數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．是定義在上的增函數(shù)，且滿足：的導(dǎo)函數(shù)存在，且，則下列不等式成立的是（）A． B．C． D．2．已知命題若，則，則下列說法正確的是（）A．命題是真命題B．命題的逆命題是真命題C．命題的否命題是“若，則”D．命題的逆否命題是“若，則”3．已知雙曲線（）的漸近線方程為，則（）A． B． C． D．4．執(zhí)行如圖所示的程序框圖后，輸出的值為5，則的取值范圍是（）.A． B． C． D．5．已知集合,，則A． B．C． D．6．連接雙曲線及的4個頂點的四邊形面積為，連接4個焦點的四邊形的面積為，則當(dāng)取得最大值時，雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．根據(jù)如圖所示的程序框圖，當(dāng)輸入的值為3時，輸出的值等于（）A．1 B． C． D．8．已知數(shù)列滿足，則（）A． B． C． D．9．已知集合，，若，則（）A．4 B．－4 C．8 D．－810．函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，并且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實數(shù)的值為（）A． B． C．2 D．11．已知，則下列關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．12．雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知橢圓Г：，F(xiàn)1、F2是橢圓Г的左、右焦點，A為橢圓Г的上頂點，延長AF2交橢圓Г于點B，若為等腰三角形，則橢圓Г的離心率為___________.14．已知向量，，，則_________.15．的展開式中的系數(shù)為________.16．在三棱錐P-ABC中，，，，三個側(cè)面與底面所成的角均為，三棱錐的內(nèi)切球的表面積為_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點是直線上的動點，為定點，點為的中點，動點滿足，且，設(shè)點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）過點的直線交曲線于，兩點，為曲線上異于，的任意一點，直線，分別交直線于，兩點.問是否為定值？若是，求的值；若不是，請說明理由.18．（12分）如圖在棱錐中，為矩形，面，（1）在上是否存在一點，使面，若存在確定點位置，若不存在，請說明理由；（2）當(dāng)為中點時，求二面角的余弦值.19．（12分）如圖所示，在三棱錐中，，，，點為中點．（1）求證：平面平面；（2）若點為中點，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).（1）若函數(shù)在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，試求的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間上恰有3個零點，且，求的取值范圍.21．（12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）（Ⅰ）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍.22．（10分）已知函數(shù)，.（1）求曲線在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）判斷函數(shù)的零點個數(shù).

2023學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【答案解析】

根據(jù)是定義在上的增函數(shù)及有意義可得，構(gòu)建新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可得為上的增函數(shù)，從而可得正確的選項.【題目詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，故.又有意義，故，故，所以.令，則，故在上為增函數(shù)，所以即，整理得到.故選：D.【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用，一般地，數(shù)的大小比較，可根據(jù)數(shù)的特點和題設(shè)中給出的原函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系構(gòu)建新函數(shù)，本題屬于中檔題.2．B【答案解析】

解不等式，可判斷A選項的正誤；寫出原命題的逆命題并判斷其真假，可判斷B選項的正誤；利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項的正誤.綜合可得出結(jié)論.【題目詳解】解不等式，解得，則命題為假命題，A選項錯誤；命題的逆命題是“若，則”，該命題為真命題，B選項正確；命題的否命題是“若，則”，C選項錯誤；命題的逆否命題是“若，則”，D選項錯誤．故選：B．【答案點睛】本題考查四種命題的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.3．A【答案解析】

根據(jù)雙曲線方程（），確定焦點位置，再根據(jù)漸近線方程得到求解.【題目詳解】因為雙曲線（），所以，又因為漸近線方程為，所以，所以.故選：A.【答案點睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.4．C【答案解析】

框圖的功能是求等比數(shù)列的和，直到和不滿足給定的值時，退出循環(huán)，輸出n.【題目詳解】第一次循環(huán)：；第二次循環(huán)：；第三次循環(huán)：；第四次循環(huán)：；此時滿足輸出結(jié)果，故.故選：C.【答案點睛】本題考查程序框圖的應(yīng)用，建議數(shù)據(jù)比較小時，可以一步一步的書寫，防止錯誤，是一道容易題.5．D【答案解析】

因為,,所以,,故選D．6．D【答案解析】

先求出四個頂點、四個焦點的坐標(biāo)，四個頂點構(gòu)成一個菱形，求出菱形的面積，四個焦點構(gòu)成正方形，求出其面積，利用重要不等式求得取得最大值時有，從而求得其離心率.【題目詳解】雙曲線與互為共軛雙曲線，四個頂點的坐標(biāo)為，四個焦點的坐標(biāo)為，四個頂點形成的四邊形的面積，四個焦點連線形成的四邊形的面積，所以，當(dāng)取得最大值時有，，離心率，故選：D.【答案點睛】該題考查的是有關(guān)雙曲線的離心率的問題，涉及到的知識點有共軛雙曲線的頂點，焦點，菱形面積公式，重要不等式求最值，等軸雙曲線的離心率，屬于簡單題目.7．C【答案解析】

根據(jù)程序圖，當(dāng)x<0時結(jié)束對x的計算，可得y值．【題目詳解】由題x=3，x=x-2=3-1，此時x>0繼續(xù)運行，x=1-2=-1<0，程序運行結(jié)束，得，故選C．【答案點睛】本題考查程序框圖，是基礎(chǔ)題．8．C【答案解析】

利用的前項和求出數(shù)列的通項公式，可計算出，然后利用裂項法可求出的值.【題目詳解】.當(dāng)時，；當(dāng)時，由，可得，兩式相減，可得，故，因為也適合上式，所以.依題意，，故.故選：C.【答案點睛】本題考查利用求，同時也考查了裂項求和法，考查計算能力，屬于中等題.9．B【答案解析】

根據(jù)交集的定義，，可知，代入計算即可求出.【題目詳解】由，可知，又因為，所以時，，解得.故選：B.【答案點睛】本題考查交集的概念，屬于基礎(chǔ)題.10．C【答案解析】由函數(shù)的圖象向右平移個單位得到，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，可得時，取得最大值，即，，，當(dāng)時，解得，故選C.點睛：本題主要考查了三角函數(shù)圖象的平移變換和性質(zhì)的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題；據(jù)平移變換“左加右減，上加下減”的規(guī)律求解出，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減可得時，取得最大值，求解可得實數(shù)的值.11．A【答案解析】

首先判斷和1的大小關(guān)系，再由換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷的大小即可.【題目詳解】因為，，，所以，綜上可得.故選：A【答案點睛】本題考查了換底公式和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．C【答案解析】

根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可寫出漸近線方程.【題目詳解】雙曲線,雙曲線的漸近線方程為，故選：C【答案點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

由題意可得等腰三角形的兩條相等的邊，設(shè)，由題可得的長，在三角形中，三角形中由余弦定理可得的值相等，可得的關(guān)系，從而求出橢圓的離心率【題目詳解】如圖，若為等腰三角形，則|BF1|=|AB|.設(shè)|BF2|=t，則|BF1|=2a?t，所以|AB|=a+t=|BF1|=2a?t，解得a=2t，即|AB|=|BF1|=3t，|AF1|=2t，設(shè)∠BAO=θ，則∠BAF1=2θ，所以Г的離心率e=，結(jié)合余弦定理，易得在中，，所以，即e==，故答案為：.【答案點睛】此題考查橢圓的定義及余弦定理的簡單應(yīng)用，屬于中檔題.14．2【答案解析】

由得，算出，再代入算出即可.【題目詳解】，，，，解得：，，則.故答案為：2【答案點睛】本題主要考查了向量的坐標(biāo)運算，向量垂直的性質(zhì)，向量的模的計算.15．80.【答案解析】

只需找到展開式中的項的系數(shù)即可.【題目詳解】展開式的通項為，令，則，故的展開式中的系數(shù)為80.故答案為：80.【答案點睛】本題考查二項式定理的應(yīng)用，涉及到展開式中的特殊項系數(shù)，考查學(xué)生的計算能力，是一道容易題.16．【答案解析】

先確定頂點在底面的射影，再求出三棱錐的高以及各側(cè)面三角形的高，利用各個面的面積和乘以內(nèi)切球半徑等于三棱錐的體積的三倍即可解決.【題目詳解】設(shè)頂點在底面上的射影為H，H是三角形ABC的內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑.三個側(cè)面與底面所成的角均為，，，的高，，設(shè)內(nèi)切球的半徑為R，∴，內(nèi)切球表面積.故答案為：.【答案點睛】本題考查三棱錐內(nèi)切球的表面積問題，考查學(xué)生空間想象能力，本題解題關(guān)鍵是找到內(nèi)切球的半徑，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）是定值，.【答案解析】

（1）設(shè)出M的坐標(biāo)為，采用直接法求曲線的方程；（2）設(shè)AB的方程為，，,，求出AT方程，聯(lián)立直線方程得D點的坐標(biāo)，同理可得E點的坐標(biāo)，最后利用向量數(shù)量積算即可.【題目詳解】（1）設(shè)動點M的坐標(biāo)為，由知∥，又在直線上，所以P點坐標(biāo)為，又，點為的中點，所以，，，由得，即；（2）設(shè)直線AB的方程為，代入得，設(shè)，，則，，設(shè)，則，所以AT的直線方程為即，令，則，所以D點的坐標(biāo)為，同理E點的坐標(biāo)為，于是，，所以，從而，所以是定值.【答案點睛】本題考查了直接法求拋物線的軌跡方程、直線與拋物線位置關(guān)系中的定值問題，在處理此類問題一般要涉及根與系數(shù)的關(guān)系，本題思路簡單，但計算量比較大，是一道有一定難度的題.18．（1）見解析；（2）【答案解析】

（1）要證明PC⊥面ADE，由已知可得AD⊥PC，只需滿足即可，從而得到點E為中點;（2）求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數(shù)量積，求解二面角P﹣AE﹣D的余弦值．【題目詳解】（1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需即可，所以由,即存在點E為PC中點.法二：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D－XYZ，由題意知PD＝CD＝1，，設(shè)，，，由，得，即存在點E為PC中點.（2）由（1）知，，，，，，設(shè)面ADE的法向量為，面PAE的法向量為由的法向量為得，得，同理求得所以，故所求二面角P－AE－D的余弦值為.【答案點睛】本題考查二面角的平面角的求法，考查直線與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查空間想象能力以及計算能力．19．（1）答案見解析．（2）【答案解析】

（1）通過證明平面，證得，證得，由此證得平面，進而證得平面平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面和平面的法向量，計算出平面與平面所成銳二面角的余弦值.【題目詳解】（1）因為，所以平面，因為平面，所以．因為，點為中點，所以．因為，所以平面．因為平面，所以平面平面．（2）以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸，軸，過點與平面垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面的一個法向量，則即取，則，，所以，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則．所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為．【答案點睛】本小題主要考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20．（1）；（2）.【答案解析】

（1）求出，再求恒成立，以及恒成立時，的取值范圍；（2）由已知，在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點，由（1）的結(jié)論對分類討論，根據(jù)單調(diào)性，結(jié)合零點存在性定理，即可求出結(jié)論.【題目詳解】（1）由題意得，則，當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增時，在區(qū)間上恒成立.∴（其中），解得.當(dāng)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減時，在區(qū)間上恒成立，∴（其中），解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.（2）.由，知在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，設(shè)該零點為，則在區(qū)間內(nèi)不單調(diào).∴在區(qū)間內(nèi)存在零點，同理在區(qū)間內(nèi)存在零點.∴在區(qū)間內(nèi)恰有兩個零點.由（1）易知，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意.當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在區(qū)間內(nèi)至多有一個零點，不合題意，∴.令，得，∴函數(shù)在區(qū)間上單凋遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.記的兩個零點為，∴，必有.由，得.∴又∵，∴.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【答案點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)的單調(diào)性、零點問題，意在考查直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)計算能力，屬于較難題.21．（Ⅰ）單調(diào)遞增區(qū)間為，；單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.【答案解析】

（Ⅰ）對函數(shù)進行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；（Ⅱ）對函數(shù)進行求導(dǎo)，由題意知,為增函數(shù)等價于在區(qū)間恒成立，利用分離參數(shù)法和基本不等式求最值即可求出實數(shù)