2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6講導(dǎo)數(shù)考點講義【含答案】

導(dǎo)數(shù)一、基本概念1、導(dǎo)數(shù)定義：函數(shù)在處的瞬時變化率，我們稱它為函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，記作或，即。附注：①導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)在處的瞬時變化率；②定義的變化形式：；；；，當(dāng)時，，∴。③求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)步驟：“一差；二比；三極限”。2、基本初等函數(shù)的八個必記導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)(為常數(shù))()(且)(且)3、導(dǎo)數(shù)四則運算法則(1)；(2)；(3)()。特別提示：，即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)乘函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。4、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)復(fù)合函數(shù)定義：一般地對于兩個函數(shù)和，如果通過變量，可以表示成的函數(shù)，就稱這個函數(shù)為和的復(fù)合函數(shù)，記作。(2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則：復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)、的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系為，即對的導(dǎo)數(shù)等于對的導(dǎo)數(shù)與對的導(dǎo)數(shù)的乘積。例1-1．求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)。分析：先求，再求，再求。。例1-2．求導(dǎo)：①；②；③；④；⑤。①，；②，；③，；④，；⑤，。變式1-1．若物體的運動方程是，則物體在時的瞬時速度為()。A、B、C、D、C∵，∴，故選C。變式1-2．如果函數(shù)，則()。A、B、C、D、不存在B，，故選B。例1-3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是。。變式1-3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是。。變式1-4．設(shè)，則()。A、B、C、D、A，故選A。變式1-5．函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，則()。A、B、C、D、D，則得，故選D。例1-4．函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為?！?；∴，。變式1-6．曲線()，且，則實數(shù)的值為()。A、B、C、D、B，，即，∵，∴，故選B。變式1-7．求導(dǎo)：(1)；(2)。(1)；(2)∵，∴。能力提升：已知函數(shù)，判斷在處是否可導(dǎo)？分析：分段函數(shù)在“分界點”處的導(dǎo)數(shù)，須根據(jù)定義來判斷是否可導(dǎo)。，，∴在處不可導(dǎo)。注意：，指逐漸減小趨近于；，指逐漸增大趨近于。點評：函數(shù)在某一點的導(dǎo)數(shù)，是一個極限值，即，，包括與，因此，在判定分段函數(shù)在“分界點”處的導(dǎo)數(shù)是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果都存在且相等，才能判定這點存在導(dǎo)數(shù)，否則不存在導(dǎo)數(shù)。講解：函數(shù)在定義域內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可能沒有意義，但是函數(shù)有意義：例如，則，在函數(shù)有意義，在導(dǎo)函數(shù)無意義。導(dǎo)數(shù)是切線的斜率，如果原函數(shù)某點的切線垂直與軸，則導(dǎo)數(shù)無意義，但是原函數(shù)值是存在的。例1-5．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為。，則。變式1-8．已知，則。設(shè)，，則。能力提升：求導(dǎo)：(1)；(2)；(3)。(1)；(2)，，，，，，，，；(3)解法一：設(shè)，，，則：；解法二：。二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義1、切線的斜率：函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)就是曲線在點處的切線的斜率，因此曲線在點處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程為。例2-1．曲線在點的切線斜率是()。A、B、C、D、不存在B點在曲線上，故選B。變式2-1．曲線在點處切線的傾斜角為()。A、B、C、D、C點在曲線上，故選C。例2-2．曲線在點處的切線方程為。，故，又點在曲線上，∴曲線在點處的切線方程為，化為一般式方程為。總結(jié)：求曲線切線方程關(guān)鍵點：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解曲線上某點處切線斜率或曲線上某點坐標(biāo)或過某點的切線方程，求解這類問題的關(guān)鍵就是抓住切點，點坐標(biāo)適合曲線方程；點坐標(biāo)適合切線方程；點處切線斜率為。變式2-2．已知為偶函數(shù)，當(dāng)時，，則曲線在點處的切線方程是。當(dāng)時，，則，又為偶函數(shù)，∴，∴當(dāng)時，，又點在曲線上，則曲線在點處的切線的斜率為，∴切線方程為，即。例2-3．已知點，點是曲線上的兩點，求與直線平行的曲線的切線方程。，設(shè)切點為，則，∵的斜率，又切線平行于，∴，即，切點，所求直線方程為。變式2-3．由曲線在點處的切線與軸、直線所圍成的三角形的面積為?！撸嗲芯€為，如圖，，，∴。例2-4．函數(shù)的圖像上有兩點和，在區(qū)間內(nèi)求實數(shù)，使得函數(shù)的圖像在處的切線平行于直線。，()，解得。變式2-4．已知直線是函數(shù)圖像的切線，則實數(shù)。設(shè)切點為，則，∴，又，∴，∴。變式2-5．若曲線在點處的切線方程是，則()。A、，B、，C、，D、，B∵，∴曲線在點處的切線斜率，∴，∴，∴曲線，∴，∴，故選B。三、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的聯(lián)系1、函數(shù)的單調(diào)性：在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。在某個區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。2、函數(shù)的極值：設(shè)函數(shù)在點附近有定義，如果對附近所有的點，都有，那么是函數(shù)的一個極大值，記作；如果對附近的所有的點都有，那么是函數(shù)的一個極小值，記作。極大值與極小值統(tǒng)稱為極值。3、函數(shù)的最值：將函數(shù)在內(nèi)的各極值與端點處的函數(shù)值、比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。注意：(1)判斷極值的條件掌握不清：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的極值時，忽視“導(dǎo)數(shù)等于零，并且兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號相反”這兩個條件同時成立。(2)混淆在點處的切線和過點的切線：前者點為切點，后者點不一定為切點，求解時應(yīng)先設(shè)出切點坐標(biāo)。(3)關(guān)注函數(shù)的定義域：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極(最)值應(yīng)先求定義域。例3-1．若函數(shù)在上是增函數(shù)，則的取值范圍是()。A、B、C、D、D在上恒成立，即，即在上恒成立，∵在上為減函數(shù)，∴，，故選D。變式3-1．若函數(shù)在上存在減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍是()。A、B、C、D、A，∵函數(shù)在上存在減區(qū)間，∴在上有解，即在上有解，設(shè)，，令，得，當(dāng)時，，又，∴，故選A。總結(jié)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的三個應(yīng)用(1)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖像：通過求導(dǎo)找出增減區(qū)間，結(jié)合排除法和特殊值法解題。(2)利用導(dǎo)數(shù)解不等式：這類題目很多時候要構(gòu)造特殊函數(shù)，通過觀察式子的特點，構(gòu)造特殊函數(shù)，然后求導(dǎo)找其增減區(qū)間，進而對不等式求解。(3)求參數(shù)的取值范圍：已知函數(shù)在的單調(diào)性，求參數(shù)的范圍的方法：①利用集合間的包含關(guān)系處理：在上單調(diào)，則區(qū)間是相應(yīng)單調(diào)區(qū)間的子集。②轉(zhuǎn)化為不等式的恒成立問題求解：即“若函數(shù)單調(diào)遞增，則；若函數(shù)單調(diào)遞減，則”。例3-2．函數(shù)()，，若至少存在一個，使得成立，則實數(shù)的范圍為()。A、B、C、D、B由題意知在上有解，滿足即可，設(shè)，，∵，∴，∴在上恒為增函數(shù)，∴，∴，故選B。變式3-2．設(shè)函數(shù)，若對于任意都有成立，求實數(shù)的取值范圍。，令，得或，2分∵當(dāng)或時，，當(dāng)時，，4分∴在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，6分∴在處有極大值，在處有極小值，極大值為，8分而，∴在上的最大值為，對于任意都有成立，得的范圍。10分例3-3．若對，不等式恒成立，則實數(shù)的最大值是()。A、B、C、D、B∵，即，當(dāng)時恒成立，當(dāng)時，可得，令，則，可得，且在上，在上，故的最小值為，于是，即，故選B。變式3-3．已知函數(shù)。(1)求的最小值；(2)若對所有都有，求實數(shù)的取值范圍。(1)的定義域為，的導(dǎo)數(shù)，1分令，解得，令，解得，3分從而在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，5分∴當(dāng)時，取極小值也是最小值，則；6分(2)依題意得在上恒成立，即不等式對于恒成立，7分令，則，8分當(dāng)時，，故是上的增函數(shù)，10分∴的最小值是，∴從而的取值范圍是。12分總結(jié)：研究極值、最值問題應(yīng)注意的三個關(guān)注點：(1)導(dǎo)函數(shù)的零點并不一定就是函數(shù)的極值點，所以在求出導(dǎo)函數(shù)的零點后一定注意分析這個零點是不是函數(shù)的極值點。(2)求函數(shù)最值時，不可想當(dāng)然地認(rèn)為極值點就是最值點，要通過認(rèn)真比較才能下結(jié)論。(3)含參數(shù)時，要討論參數(shù)的大小。例3-4．設(shè)函數(shù)，。(1)求的單調(diào)區(qū)間和極值；(2)若關(guān)于的方程有個不同實根，求實數(shù)的取值范圍。(3)已知當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍。(1)=，令得，，2分∴當(dāng)或時，當(dāng)時，∴的單調(diào)遞增區(qū)間是及，單調(diào)遞減區(qū)間是，5分當(dāng)，有極大值，當(dāng)，有極小值；6分(2)由(1)的分析可知圖像的大致形狀及走向，∴當(dāng)時直線與的圖像有個不同交點，即方程有三解；8分(3)即，∵，∴在上恒成立，10分令，由二次函數(shù)的性質(zhì)，在上是增函數(shù)，∴，∴所求的取值范圍是。12分變式3-4．已知函數(shù)(為實數(shù))。(1)若在處有極值，求的值；(2)若在上是增函數(shù)，求的取值范圍。(1)的定義域為，又，，；3分(2)對恒成立，∴，，，5分∵，∴的最大值為，7