歐拉公式的改進(jìn)課件

§1Euler’sMethod

歐拉公式的改進(jìn)：隱式歐拉法/*implicitEulermethod*/向后差商近似導(dǎo)數(shù)x0x1))(,()(1101xyxfhyxy+)1,...,0(),(111-=+=+++niyxfhyyiiii由于未知數(shù)yi+1

同時(shí)出現(xiàn)在等式的兩邊，不能直接得到，故稱為隱式/*implicit*/

歐拉公式，而前者稱為顯式/*explicit*/歐拉公式。一般先用顯式計(jì)算一個(gè)初值，再迭代求解。隱式即隱式歐拉公式具有1階精度。Hey!Isn’ttheleadingtermofthelocaltruncationerrorofEuler’smethod?Seemsthatwecanmakeagooduseofit…§1Euler’sMethod梯形公式/*trapezoidformula*/—顯、隱式兩種算法的平均注：的確有局部截?cái)嗾`差，即梯形公式具有2階精度，比歐拉方法有了進(jìn)步。但注意到該公式是隱式公式，計(jì)算時(shí)不得不用到迭代法，其迭代收斂性與歐拉公式相似。中點(diǎn)歐拉公式/*midpointformula*/中心差商近似導(dǎo)數(shù)x0x2x1假設(shè)，則可以導(dǎo)出即中點(diǎn)公式具有2階精度。需要2個(gè)初值y0和y1來啟動遞推過程，這樣的算法稱為雙步法/*double-stepmethod*/，而前面的三種算法都是單步法/*single-stepmethod*/。方法§1Euler’sMethod顯式歐拉隱式歐拉梯形公式中點(diǎn)公式簡單精度低穩(wěn)定性最好精度低,計(jì)算量大精度提高計(jì)算量大精度提高,顯式多一個(gè)初值,可能影響精度Can’tyougivemeaformulawithalltheadvantagesyetwithoutanyofthedisadvantages?Doyouthinkitpossible?Well,callmegreedy…OK,let’smakeitpossible.§2龍格-庫塔法/*Runge-KuttaMethod*/建立高精度的單步遞推格式。單步遞推法的基本思想是從(xi,yi)點(diǎn)出發(fā)，以某一斜率沿直線達(dá)到(xi+1

,yi+1

)點(diǎn)。歐拉法及其各種變形所能達(dá)到的最高精度為2階。

考察改進(jìn)的歐拉法，可以將其改寫為：斜率一定取K1K2的平均值嗎？步長一定是一個(gè)h嗎？§2Runge-KuttaMethod首先希望能確定系數(shù)1、2、p，使得到的算法格式有2階精度，即在的前提假設(shè)下，使得

Step1:將K2在(xi,yi)點(diǎn)作Taylor展開將改進(jìn)歐拉法推廣為：),(),(][12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii++==++=+llStep2:將K2代入第1式，得到§2Runge-KuttaMethodStep3:將yi+1與y(xi+1)在xi點(diǎn)的泰勒展開作比較要求，則必須有：這里有個(gè)未知數(shù)，個(gè)方程。32存在無窮多個(gè)解。所有滿足上式的格式統(tǒng)稱為2階龍格-庫塔格式。注意到，就是改進(jìn)的歐拉法。Q:為獲得更高的精度，應(yīng)該如何進(jìn)一步推廣？其中i

(i=1,…,m)，i

(i=2,…,m)

和ij

(i=2,…,m;j=1,…,i1

)

均為待定系數(shù)，確定這些系數(shù)的步驟與前面相似。§2Runge-KuttaMethod)...,(......),(),(),(]...[1122112321313312122122111--++++++=+++=++==++++=mmmmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyybbbabbaballl

最常用為四級4階經(jīng)典龍格-庫塔法

/*ClassicalRunge-KuttaMethod*/：§2Runge-KuttaMethodLab15.Runge-Kutta(OrderFour)UseRunge-Kuttamethodoforderfourtoapproximatethesolutionoftheinitial-valueproblem,,and(1)YouaresupposedtowriteafunctionvoidRK4(double(*f)(),doublea,doubleb,doubley0,intn,FILE*outfile)toapproximatethesolutionofProblem(1)withy’=f,xin[a,b],andtheinitialvalueofybeingy0.Outputtheapproximatingvaluesofyonthen+1equallyspacedgridpointsfromatobtooutfile.InputThereisnoinputfile.Instead,youmusthandinyourfunctionina*.hfile.Theruleofnamingthe*.hthesameasthatofnamingthe*.cor*.cppfiles.Output(representsaspace)

Foreachtestcase,youaresupposedtoprintn+1lines,andeachlineisinthefollowingformat:

fprintf(outfile,“%8.4f%12.8e\n”,x,y);§3收斂性與穩(wěn)定性/*ConvergencyandStability*/

收斂性/*Convergency*/定義若某算法對于任意固定的x=xi=x0+ih，當(dāng)h0

(同時(shí)i)時(shí)有yi

y(xi

)，則稱該算法是收斂的。例：就初值問題考察歐拉顯式格式的收斂性。解：該問題的精確解為歐拉公式為對任意固定的x=xi=ih，有§3ConvergencyandStability定義若某算法在計(jì)算過程中任一步產(chǎn)生的誤差在以后的計(jì)算中都逐步衰減，則稱該算法是絕對穩(wěn)定的/*absolutelystable*/。一般分析時(shí)為簡單起見，只考慮試驗(yàn)方程/*testequation*/常數(shù)，可以是復(fù)數(shù)當(dāng)步長取為h時(shí)，將某算法應(yīng)用于上式，并假設(shè)只在初值產(chǎn)生誤差，則若此誤差以后逐步衰減，就稱該算法相對于絕對穩(wěn)定，的全體構(gòu)成絕對穩(wěn)定區(qū)域。我們稱算法A比算法B穩(wěn)定，就是指A的絕對穩(wěn)定區(qū)域比B的大。hlh=h§3ConvergencyandStability例：考察顯式歐拉法由此可見，要保證初始誤差0以后逐步衰減，必須滿足：0-1-2ReImg例：考察隱式歐拉法可見絕對穩(wěn)定區(qū)域?yàn)椋?10ReImg注：一般來說，隱式歐拉法的絕對穩(wěn)定性比同階的顯式法的好?！?ConvergencyandStability例：隱式龍格-庫塔法而顯式1~4階方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域?yàn)槠渲?階方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域?yàn)?ReImgk=1k=2k=3k=4-1-2-3---123ReImg無條件穩(wěn)定HW:p.202#6§4線性多步法/*MultistepMethod*/用若干節(jié)點(diǎn)處的y及y’值的線性組合來近似y(xi+1)。)...(...110111101kikiiikikiiiffffhyyyy--+---+++++++++=bbbbaaa其通式可寫為：當(dāng)10時(shí)，為隱式公式;1=0則為顯式公式。

基于數(shù)值積分的構(gòu)造法將在上積分，得到只要近似地算出右邊的積分，則可通過近似y(xi+1)。而選用不同近似式Ik，可得到不同的計(jì)算公式。§4MultistepMethod亞當(dāng)姆斯顯式公式/*Adamsexplicitformulae*/利用k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的被積函數(shù)值構(gòu)造k階牛頓后插多項(xiàng)式,有Newton插值余項(xiàng)/*顯式計(jì)算公式*/局部截?cái)嗾`差為：例：k=1時(shí)有§4MultistepMethod亞當(dāng)姆斯隱式公式/*Adamsimplicitformulae*/利用k+1個(gè)節(jié)點(diǎn)上的被積函數(shù)值fi+1

,fi,…,fik+1

構(gòu)造k階牛頓前插多項(xiàng)式。與顯式多項(xiàng)式完全類似地可得到一系列隱式公式，并有，其中與fi+1

,fi,…,fik+1的系數(shù)亦可查表得到。~~10123kfi+1fifi1fi2…Bk…………………~常用的是k=3的4階亞當(dāng)姆斯隱式公式小于Bk較同階顯式穩(wěn)定§4MultistepMethod亞當(dāng)姆斯預(yù)測